Rationale Zahlen. Weniger als Nichts? Ist Null nichts?

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1 Rationale Zahlen Weniger als Nichts? Ist Null nichts?

2 Oft kann es sinnvoll sein, Werte anzugeben die kleiner sind als Null. Solche Werte werden mit negativen Zahlen beschrieben, die durch ein Minus als Vorzeichen gekennzeichnet werden. Beispiele: Temperaturen unter dem Schmelzpunkt von Eis (0 C) werden mit -1 C, -2,3 C etc angegeben. Schuldbeträge werden mit -200,75, etc angegeben. Höhen in der Geographie werden vom Meeresspiegelniveau aus gemessen. Die Höhe von Gegenden unterhalb des Meeresspiegels werden mit -20m, -3,7m etc angegeben (z.b. Teile der Niederlande)

3 Definition Rationale Zahlen sind vorzeichenbehaftete Brüche. Werte oberhalb von Null werden mit dem Vorzeichen + (Plus) gekennzeichnet, sie werden positive rationale Zahlen genannt. Werte die kleiner sind als Null, erhalten das Vorzeichen (Minus) und heißen negative rationale Zahlen. Die Null ist weder positiv noch negativ. Oftmals wird das + bei positiven rationalen Zahlen weggelassen, da sie den normalen Brüchen entsprechen.

4 Ordnung rationaler Zahlen Wie werden rationale Zahlen miteinander verglichen? Wie wird entschieden, welche Zahl die größere ist? Setze das entsprechende Relationszeichen ein! a b c d Ordne die folgenden Werte nach ihrer Größe. Beginne mit den kleinsten Wert. 350 ; 75 ; 0 ; 3,50 ; 50 ; 150 ; 63,82 ; 1 ; 1 Formuliere eine Regel, nach der man entscheiden kann, welche von zwei rationalen Zahlen die größere ist.

5 Ordnung rationaler Zahlen Wie werden rationale Zahlen miteinander verglichen? Wie wird entschieden, welche Zahl die größere ist? Setze das entsprechende Relationszeichen ein! a b c d Ordne die folgenden Werte nach ihrer Größe. Beginne mit den kleinsten Wert. 350 ; 150 ; 3,50 ; 1 ; 0 ; 1 ; 50 ; 63,82 ; 75

6 Erweiterung des Zahlenstrahls Um eine Ordnung der rationalen Zahlen festzulegen, sollen diese auf einem Zahlenstrahl angeordnet werden. Da die negativen Werte kleiner als Null sind, muss der Zahlenstrahl also nach links erweitert werden, er wird zur Zahlengeraden. Wie würdest du die negativen Zahlen auf diesem Zahlenstrahl anordnen?

7 Die Zahlengerade Die negativen Zahlen entstehen durch Spiegelung der Brüche an der Null. Damit entsteht zu jedem Bruch eine entsprechende negative Zahl mit dem selben Abstand von der Null, z.b. Die +4 und die -4. Diese Beziehung wird durch Fachbegriffe definiert: Betrag einer rationalen Zahl: Der Betrag einer rationalen Zahl gibt an, wie groß der Abstand der Zahl von der Null ist. I+4I=4 I-4I=4 Entgegengesetzte rationale Zahl: Ändert man das Vorzeichen einer rationalen Zahl, so erhält man ihre entgegengesetzte Zahl. Die Null ist zu sich selbst entgegengesetzt.

8 Vergleich rationaler Zahlen 1. Haben beide Zahlen ein unterschiedliches Vorzeichen, so ist die positive Zahl die größere von beiden Zahlen. 2. Haben beide Zahlen ein positives Vorzeichen, so ist die betragsgrößere Zahl die größere von beiden. 3.Haben beide Zahlen ein negatives Vorzeichen, so ist die betragsgrößere Zahl die kleinere von beiden. 4. Die Null ist kleiner als jede positive Zahl und größer als alle negativen Zahlen.

9 Erweiterung des Koordinatensystems Das rechtwinklige Koordinatensystem ist durch zwei Zahlenstrahlen entstanden, die rechtwinklig aufeinander stehen. Diese werden nun durch Zahlengeraden ersetzt. Die Koordinatenfläche wird dadurch in vier Quadranten eingeteilt, in denen sich die Punktkoordinaten durch ihre Vorzeichen unterscheiden.

10 Übungen Lb S.59 Nr. 6(1) (2) Lb S.65 Nr. 5b) c) Lb S.66 Nr. 13 Lb S.67 Nr. 20

11 Addition rationaler Zahlen Notierung: Wenn Additionsaufgaben mit rationalen Zahlen notiert werden, könnte es zu Missverständnissen kommen, da Plus und Minus mehrfach aufeinander folgen könnten, z.b Damit eindeutig erkennbar ist, welches Symbol ein Rechenzeichen und welches ein Vorzeichen ist, werden rationale Zahlen mit Vorzeichen in Klammern gesetzt, wenn sie auf ein Rechenzeichen folgen. z.b. (-300)+(-400)+(+700) oder auch -300+(-400)+(+700) Bei der -300 kann die Klammer auch entfallen, da sie nicht auf ein Rechenzeichen folgt.

12 Addition rationaler Zahlen Löse die folgenden Aufgaben! Welche Ergebnisse sind sinnvoll! Begründe! a) (+300 )= (+720 )= b) (+670 )+(-280 )= (-790 )= c) (+550 )= (+160 )= d) (-330 )= (-610 )+(-290 )= Kannst Du eine allgemeine Rechenregel formulieren, wie rationale Zahlen zu addieren sind?

13 Addition rationaler Zahlen Löse die folgenden Aufgaben! Welche Ergebnisse sind sinnvoll! Begründe! a) (+300 )= (+720 )= b) (+670 )+(-280 )= (-790 )= c) (+550 )= (+160 )= d) (-330 )= (-610 )+(-290 )= Kannst Du eine allgemeine Rechenregel formulieren, wie rationale Zahlen zu addieren sind?

14 Addition rationaler Zahlen Löse die folgenden Aufgaben! Welche Ergebnisse sind sinnvoll! Begründe! a) (+300 )= (+720 )=+1170 b) (+670 )+(-280 )= (-790 )= c) (+550 )= (+160 )= d) (-330 )= (-610 )+(-290 )= Kannst Du eine allgemeine Rechenregel formulieren, wie rationale Zahlen zu addieren sind?

15 Addition rationaler Zahlen Löse die folgenden Aufgaben! Welche Ergebnisse sind sinnvoll! Begründe! a) (+300 )= (+720 )=+1170 b) (+670 )+(-280 )= (-790 )= c) (+550 )= (+160 )= d) (-330 )= (-610 )+(-290 )= Kannst Du eine allgemeine Rechenregel formulieren, wie rationale Zahlen zu addieren sind?

16 Addition rationaler Zahlen Löse die folgenden Aufgaben! Welche Ergebnisse sind sinnvoll! Begründe! a) (+300 )= (+720 )=+1170 b) (+670 )+(-280 )= (-790 )=-470 c) (+550 )= (+160 )= d) (-330 )= (-610 )+(-290 )= Kannst Du eine allgemeine Rechenregel formulieren, wie rationale Zahlen zu addieren sind?

17 Addition rationaler Zahlen Löse die folgenden Aufgaben! Welche Ergebnisse sind sinnvoll! Begründe! a) (+300 )= (+720 )=+1170 b) (+670 )+(-280 )= (-790 )=-470 c) (+550 )= (+160 )= d) (-330 )= (-610 )+(-290 )= Kannst Du eine allgemeine Rechenregel formulieren, wie rationale Zahlen zu addieren sind?

18 Addition rationaler Zahlen Löse die folgenden Aufgaben! Welche Ergebnisse sind sinnvoll! Begründe! a) (+300 )= (+720 )=+1170 b) (+670 )+(-280 )= (-790 )=-470 c) (+550 )= (+160 )=-280 d) (-330 )= (-610 )+(-290 )= Kannst Du eine allgemeine Rechenregel formulieren, wie rationale Zahlen zu addieren sind?

19 Addition rationaler Zahlen Löse die folgenden Aufgaben! Welche Ergebnisse sind sinnvoll! Begründe! a) (+300 )= (+720 )=+1170 b) (+670 )+(-280 )= (-790 )=-470 c) (+550 )= (+160 )=-280 d) (-330 )=-450 (-610 )+(-290 )= Kannst Du eine allgemeine Rechenregel formulieren, wie rationale Zahlen zu addieren sind?

20 Addition rationaler Zahlen Löse die folgenden Aufgaben! Welche Ergebnisse sind sinnvoll! Begründe! a) (+300 )= (+720 )=+1170 b) (+670 )+(-280 )= (-790 )=-470 c) (+550 )= (+160 )=-280 d) (-330 )=-450 (-610 )+(-290 )=-900 Kannst Du eine allgemeine Rechenregel formulieren, wie rationale Zahlen zu addieren sind?

21 Addition rationaler Zahlen Löse die folgenden Aufgaben! Welche Ergebnisse sind sinnvoll! Begründe! a) (+300 )= (+720 )=+1170 b) (+670 )+(-280 )= (-790 )=-470 c) (+550 )= (+160 )=-280 d) (-330 )=-450 (-610 )+(-290 )=-900 Kannst Du eine allgemeine Rechenregel formulieren, wie rationale Zahlen zu addieren sind? Guthaben+Guthaben= höheres Guthaben Schulden+Guthaben= Guthaben und Schulden gleichen sich aus, das Ergebnis können Guthaben oder Schulden sein Schulden+Schulden= höhere Schulden

22 Rechenregel zur Addition Zwei rationale Zahlen mit a) gleichem Vorzeichen werden addiert, indem man die Beträge der Zahlen addiert und das gemeinsame Vorzeichen übernimmt +2+(+9)=+11-4+(-8)=-12 b) unterschiedlichem Vorzeichen werden addiert, indem man die Beträge voneinander subtrahiert (größerer Betrag-kleinerer Betrag) und das Vorzeichen der betragsgrößeren Zahl übernimmt. +9+(-5)=+4 +4+(-10)=-6

23 Übungen Lb S.74 Nr. 7 Kopfrechnen, mündlich Lb S.74 Nr. 8 Lb S.74 Nr.9a) b) Lb S.75 Nr.12 Lb S,75 Nr.16 Lb S.75 Nr.17a)

24 (-34) +? = (+8) + + +? + (-86) =?? +? = (-56)

25 (-34) + 42 = (+8) + + +? + (-86) = (-64)? +? = (-56)

26 (-34) + 42 = (+8) (-86) = (-64)? + (-44) = (-56)

27 (-34) + 42 = (+8) (-86) = (-64) (-12) + (-44) = (-56)

28 Lb S.75 Nr.8 (-8)+x=0 x=(+8), denn (-8)+(+8)=0 y+(+977)=0 y=(-977), denn (-977)+(+977)=0 z+(-1,7)=0 z=(+1,7), denn (+1,7)+(-1,7)=0 3 7 a=0 a= 3 7,denn =0

29 Lb S.75 Nr.17a,b -14,8 +10,6-0,4-2,4-4,2 +10,2-2,8 6 7,4 13,4

30 Rechengesetze Kommutativgesetz: In einer Summe darf man die Summanden vertauschen, der Wert der Summe verändert sich dadurch nicht. a+b=b+a Assoziativgesetz: In einer Summe aus drei Summanden darf man beliebig Klammern setzen, der Wert der Summe verändert sich dadurch nicht. a+b+c=(a+b)+c=a+(b+c)

31 Subtraktion rationaler Zahlen Löse die folgenden Aufgaben! Welche Ergebnisse sind sinnvoll! Begründe! a) (+300 )= (+720 )= b) (+390 )-(-280 )= (-790 )= c) (+550 )= (+160 )= d) (-330 )= (-900 )+(-290 )= Kontrolliere Deine Ergebnisse mit den Beispielaufgaben zur Addition rationaler Zahlen aus der vorhergehenden Stunde. Kannst Du daraus eine allgemeine Rechenregel formulieren, wie rationale Zahlen subtrahiert werden?

32 Subtraktion rationaler Zahlen Die Lösungen ergeben sich aus den Additionsaufgaben: a) (+300 )= (+720 )=+1170 b) (+670 )+(-280 )= (-790 )=-470 c) (+550 )= (+160 )=-280 d) (-330 )=-450 (-610 )+(-290 )=-900 Da die Subtraktion als Umkehrung der Addition definiert ist, folgen daraus als Ergebnisse der Subtraktionsaufgaben: a) (+300 )= (+720 )=+450 b) (+390 )-(-280 )= (-790 )=+320 c) (+550 )= (+160 )=-440 d) (-330 )= -120 (-900 )+(-290 )=-610