Übungsaufgaben LAAG I. für Lehramtsstudenten GS, MS, BS

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1 Doz.Dr. Norbert Koksch TU DRESDEN Fachrichtung Mathematik, Institut für Analysis Übungsaufgaben LAAG I für Lehramtsstudenten GS, MS, BS Logik: Übungsaufgabe 1. Begründen Sie, ob es sich um eine Aussage im Sinne der Logik handelt: a) Wenn die Erde eine Scheibe ist, geht die Sonne im Osten auf. b) a 2 + b 2 = c 2 c) Die Elbe ist länger als der Rhein. d) Martin ist krank. Übungsaufgabe 2. Stellen Sie die Wahrheitswertetafeln für die Konjunktion und Implikation auf. Übungsaufgabe 3. Wieviele verschiedene Wahrheitswertetafeln gibt es für die Verknüpfung von zwei Aussagen? Wieviele Arten logischer Verknüpfungen von zwei Aussagen gibt es daher? Übungsaufgabe 4. Schreibe A B und (A B) nur mit Hilfe von,, und. Übungsaufgabe 5. Seien A, B, C mathematische Aussagen, für die A B und B C gelten. Welche der folgenden Implikationen sind richtig: A C, B A, C B, C A, A B, B A, C A, A C. Mengen: Übungsaufgabe 6. Zeigen Sie folgende Rechenregeln für Mengen: a) X Y = Y X, X Y = Y Y. b) X (Y Z) = (X Y ) Z, X (Y Z) = (X Y ) Z. c) X (Y Z) = (X Y ) (X Z), X (Y Z) = (X Y ) (X Z). d) X \ (M 1 M 2 ) = (X \ M 1 ) (X \ M 2 ), X \ (M 1 M 2 ) = (X \ M 1 ) (X \ M 2 ). 1

2 Übungsaufgabe 7. Seien X, Y Mengen mit folgender Eigenschaft: x X : x Y. Folgt daraus Y X? Übungsaufgabe 8. Prüfen Sie, ob folgende Aussage gilt: X \Y = /0 X = Y. Relationen: Übungsaufgabe 9. Bestimmen Sie das Produkt A B sowie die Potenzmengen 2 A, 2 B für A = {1,2,3}, B = {a,b,c,d}. Übungsaufgabe 10. Skizzieren Sie das Produkt A B im kartesischen Koordinatensystem für A = [ 1,1] {2}, B = [3,5] {2,6}. Übungsaufgabe 11. Finden Sie Beispiele für Relationen auf X = {1,2,3}, welche a) reflexiv, symmetrisch, aber nicht transitiv b) symmetrisch, transitiv, aber nicht reflexiv c) reflexiv, transitiv, aber nicht symmetrisch d) weder reflexiv noch symmetrisch noch transitiv sind. Äquivalenzrelationen: Übungsaufgabe 12. Prüfen Sie, welche der folgenden Vorschriften Äquivalenzrelationen auf N definieren: x y : x,y gerade. x y : x y gerade. x y : x + y gerade. x y : x y ungerade. x y : x + y ungerade. Übungsaufgabe 13. Zeigen Sie, daß folgende Relationen Äquivalenzrelationen sind: a) Zwei natürliche Zahlen sind äquivalent, wenn sie die gleiche Quersumme haben. b) Zwei Städte sind äquivalent, wenn man von der einen in die andere per Bahn fahren kann. Übungsaufgabe 14. Sei eine Äquivalenzrelation auf X. Prüfen Sie folgende Aussagen: a) Für alle x 1,x 2,x 3 X gilt: Wenn weder x 1 x 2 noch x 2 x 3 gilt, so gilt auch nicht x 1 x 3. b) Für alle x 1,x 2,x 3 X gilt: Wenn weder x 1 x 2 noch x 2 x 3 gilt, so gilt jedenfalls x 1 x 3. 2

3 Abbildungen: Übungsaufgabe 15. Welche der folgenden Zuordnungen ist eine Abbildung, welche surjektiv, welche injektiv? Machen Sie sich jeweils klar, welche Mengen Sie als Definitions- und Bildbereich wählen: a) Mensch Freundin. b) Mensch Vater. c) Mensch Telefonnummer. d) Mensch Lieblingsessen. Übungsaufgabe 16. Welche der folgenden Abbildungen f : R R sind surjektiv bzw. injektiv? a) f (x) = x 3 b) ax 2 + bx + c mit a 0 c) x Übungsaufgabe 17. Welche der folgenden Abbildungen f : R 2 R sind surjektiv bzw. injektiv? a) f (x,y) = x + y b) f (x,y) = x 2 + y c). Übungsaufgabe 18. Prüfen Sie, ob eine Abbildung f : X Y genau dann injektiv ist, wenn a) aus x,x X und x x folgt f (x) f (x ); b) zu jedem y Y gibt es höchstens ein x X mit y = f (x); c) zu jedem x X gibt es genau ein y Y mit y = f (x); d) sind x,x X mit f (x) = f (x ), so gilt x = x. Übungsaufgabe 19. Seien f : X Y, g: Y Z Abbildungen und g f : X Z die Komposition von f und g. Zeigen Sie: a) Sind f und g injektiv (surjektiv), so ist g f injektiv (surjektiv). b) Ist g f injektiv (surjektiv), so ist auch f injektiv (g surjektiv). Anzahl, Mächtigkeit: Übungsaufgabe 20. Prüfen Sie, ob folgende Aussagen gelten: #(X Y ) = #X + #Y für alle endlichen Mengen X, Y. X Y endlich X, Y endlich. X Y endlich X, Y endlich. 3

4 Matrizen: Übungsaufgabe 21. Gegeben seien die Matrizen A = 0 3 5, B = , C = D = ( ) 1 4, F = Berechnen Sie alle möglichen Produkte. Übungsaufgabe 22. Eine quadratische Matrix, in deren Zeilen und Spalten jeweils genau eine 1 und sonst auschließlich Nullen stehen, heißt Permutationsmatrix. Zum Beispiel ist P = eine Permutationsmatrix. Berechnen Sie mit der Matrix A aus der Aufgabe 21 die Produkte PA und AP. Übungsaufgabe 23. Eine untere Dreicksmatrix (oder Subdiagonalmatrix) L (wie lower) ist eine quadratische Matrix bei der alle Elemente oberhalb der Diagonalen 0 sind, d.h., L i j = 0 für j > i. Anolog ist eine obere Dreicksmatrix (oder Superdiagonalmatrix) U (wie upper) definiiert. Lösen Sie das folgende gestaffelte Gleichungssystem x x 2 = 10, x 3 58 bei der die Systemmatrix eine obere Dreiecksmatrix mit nichtverschwindenden Diagonalelementen ist. Übungsaufgabe 24. a) Bilden Sie zu dem Gleichungssystem aus Aufgabe 23 das zugehörige homogene System und lösen Sie dieses. b) Berechnen Sie alle Lösungen des homogenen Systems ( ) x = x 2 x 3 ( ) 0. 0 c) Berechnen Sie alle Lösungen des inhomogenen Systems ( ) x = x 2 x 3 ( ) Hinweis: Führen Sie für eine Unbekannte einen Parameter ein

5 Gauß-Algorithmus: Übungsaufgabe 25. Lösen Sie folgende homogene Gleichungssysteme: a) x 1 x 2 +3x 3 = 0 2x 1 +3x 2 x 3 = 0 3x 1 +7x 2 5x 3 = 0 b) c) x 1 +3x 2 +2x 3 = 0 2x 1 2x 2 +5x 3 = 0 3x 1 +3x 2 2x 3 = 0 x 2 +2x 3 +3x 4 = 0 x 1 +2x 2 +3x 3 +4x 4 = 0 x 1 +3x 2 +4x 3 +5x 4 = 0 x 1 +4x 2 +5x 3 +6x 4 = 0 Übungsaufgabe 26. Für welche reellen Werte λ hat das folgende homogene Gleichungssystem nichtriviale Lösungen? Ermitteln Sie diese Lösungen. λ 1 1 x λ 2 x 2 = λ x 3 0 Hinweis: Man transformiere zuerst das System durch eine geeignete Zeilenvertauschung in eine für den Gauß-Algorithmus günstigere Form. Übungsaufgabe 27. Lösen Sie die folgenden inhomogenen Gleichungssysteme: a) x x 2 = x 3 6 b) 6x 1 +6x 2 +2x 3 2x 4 = 2 9x 1 +8x 2 +3x 3 2x 4 = 3 3x 1 +2x 2 +x 3 = 1 15x 1 +14x 2 +5x 3 4x 4 = 5 c) x x x 3 = x

6 d) ( ) x 1 x 2 x 3 x 4 ( ) 2 =. 10 Übungsaufgabe 28. Geben Sie die Lösung der folgenen parameterabhängigen Gleichungssysteme an. Beachten Sie dazu nötige Fallunterscheidungen. a) b) x 1 12t x 2 = 12t + 7, t R x 3 7t x x 2 = 2, a,b R. 1 a 2 x 3 b Übungsaufgabe 29. Durch den Gauß-Algorithmus wird eine quadratische Koeffizientmatrix A R n n in eine Matrix U in Zeilstufenform transformiert. Zeigen Sie zuerst, daß U eine obere Dreicksmatrix ist. Die Transformation zur Zeilenstufenform kann auch durch wiederholte Multiplikation mit unteren Dreiecksmatrizen L (i) durchgeführt werden, Ax = b (L (1) A)x = L (1) b (L (n 1) L (n 2) L (2) L (1) A)x = Ux = ˆb = L (n 1) L (n 2) L (2) L (1) b. Zeigen Sie, daß für a 11 0 und L (1) = a 21 a a a a n1 a der erste Schritt in der Transformation zur Zeilenstufenform durchgeführt wird. Wie sind die weiteren Transformationsmatrizen L (i) zu wählen? Transformieren Sie das inhomogene System aus Aufgabe 27 a) nach dieser Methode. 6

7 Übungsaufgabe 30. Sei A R 2 2 eine gegebene Matrix. Durch y = Ax wird einem Vektor x R 2 ein Vektor y R 2 zugeordnet. Diese Abbildung x f (x) := Ax ist eine spezielle lineare Abbildung und enthält als Spezialfälle die geometrische Drehstreckung in der Ebene. Wir betrachten nun eine weitere Matrix B R 2 2 und die mit ihr verbundene Abbildung x g(x) := Bx. Welche Bedingungen sind an A zu stellen, damit eine Matrix B so existiert, daß g Umkehrabbildung zu f wird? Anders formuliert, unter welchen Bedingungen an A existiert eine Matrix B mit x = g( f (x)) = BAx? ( ) ( ) a) Untersuchen Sie die Matrizen A 1 = und A = und berechnen Sie 20 5 gegebenfalls die Matrix B in der Umkehrabbildung. b) Unter welcher Bedingung an A existiert für jedes y R 2 genau ein x R 2 mit y = Ax? Welche Eigenschaft der Abbildung f wird hierbei gefordert? Gruppen: Übungsaufgabe 31. Untersuchen Sie, warum die Menge der n n-matrizen, n > 1, über R keine Gruppe bezüglich der Matrizenmultiplikation bildet. Übungsaufgabe 32. Für eine gegebene n n-matrix A suchen wir eine n n-matrix B mit AB = E, das heißt eine zu A inverse Matrix B. Um diese Matrix B zu bestimmen, versuchen wir die Gleichungssysteme Ax = e i mit i = 1,...n zu lösen. Man bemerke dabei daß e i die i-te Spalte von E ist, und daß die Lösung von Ax = e i die i-te Spalte von B ergibt. a) Mit dem Gauß-Algorithmus überlege man sich, wann die inverse Matrix existiert und ob sie eindeutig bestimmt ist. b) Bei obiger Idee wird der Gauß-Algorithmus n-mal durchgeführt, d.h., für jede der rechten Seiten e i ein Mal. Kann man die Transformation für alle rechten Seiten e 1,..., e n mit einem geeigneten Schema simultan durchführen? c) Bestimmen Sie die inverse Matrix für A = bzw. B = Übungsaufgabe 33. Bestimmen Sie die maximale Teilmenge G der n n-matrizen über R, so daß G mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bildet und zeigen Sie die Gruppeneigenschaften. Übungsaufgabe 34. Sei (G, ) eine Gruppe mit a a = n für alle a G. Zeigen Sie, daß die Gruppe abelsch ist. Übungsaufgabe 35. Zeigen Sie, daß alle Gruppen (G, ) mit maximal 4 Elementen abelsch sind. Vieviele Möglichkeiten gibt es hierbei für die Operation bei Gruppen mit maximal 3 Elementen? 7

8 Körper: Übungsaufgabe 36. Gibt es einen Körper (K,+, ), bei dem K einelementig ist? Übungsaufgabe 37. Wieviele Körper (K,+, ) mit K = {0,1} und 0 als neutralem Element bezüglich Addition und 1 als neutralem Element bezüglich Multiplikation gibt es? Stellen Sie eine geeignete Behauptung über die Eigenschaften aller zweielementiger Körper auf. Übungsaufgabe 38. Sei K = {0,1,2} eine dreielementige Menge. Auf welche Arten können eine Addition + (mit neutralen Element 0) und eine Multiplikation (mit neutralen Element 1) definiert werden, so daß (K,+, ) einen Körper bildet? Stellen Sie eine geeignete Behauptung über die Eigenschaften aller dreielementiger Körper auf. Komplexe Zahlen: Übungsaufgabe 39. Zeigen Sie, daß (C,+, ) ein Körper mit dem neutrale Element 0 = (0,0) bezüglich Addition und dem neutralen Element 1 = (1, 0) bezüglich Multiplikation ist. Bestimmen Sie dazu insbesondere die inversen Elemente bezüglich Addition und Multiplikation. Übungsaufgabe 40. Für eine komplexe Zahl z = (x,y) = x + iy nennen wir die Zahl z := (x, y) = x iy die zu z konjugiert komplexe Zahl. Mit z := zz = x 2 + y 2 wird ihr Betrag bezeichnet. a) Veranschaulichen Sie sich durch Interpretation komplexer Zahlen als Punkte in der Ebene R 2 (Gaußsche Zahlenebene), was Betrag und konjugiert Komplexes und Summe von komplexen Zahlen bedeuten. b) Bestimmen Sie z 1 + z 2, z 1 z 2, z 1 z 2, z 1 z 2, z 2, z 2 z 1, z 1 z 2 für z 1 = 1 + i 3, z 2 = 1 i. Übungsaufgabe 41. Berechnen Sie den Real- und Imaginärteil sowie den Betrag der komplexen Zahlen z 1 = 1+i 1, z 2 = ( ) 1+i 2, 1 i z3 = i + 1+i 3+i. Übungsaufgabe 42. Welche Punkte z = (x, y) in der Gaußschen Zahlenebene erfüllen folgende Bedingung: a) z + 2 i 2; b) z z =1, z 0. Lineare Gleichungssysteme in anderen Körpern: Übungsaufgabe 43. Überlegen Sie sich, warum der Gauß-Algorithmus zur Bestimmung einer Lösung x K n des Gleichungssystems Ax = b mit A Mat(m n,k) und b K m angewandt werden kann. 8

9 Übungsaufgabe 44. Lösen Sie in C. Übungsaufgabe 45. Für A = A 1 = B Mat(2 2,K) für a) den Körper K = R, ix 1 +3x 2 +(2 + i)x 3 (7 + i)x 4 = 0 9x 1 +(4 i)x 2 +5ix 3 +8x 4 = 0 ( ) 1 1 Mat(2 2,K) bestimme man die inverse Matrix 0 1 a) den Körper K = {0,1} mit 0 bzw. 1 als neutrale Elemente bezüglich Addition bzw. Multiplikation. Vektorräume Im Folgenden bezeichnet Abb(X,Y ) die Menge aller Abbildungen von X nach Y. Übungsaufgabe 46. Sei X eine nichtleere Menge, V ein K-Vektorraum. Seien durch ( f + g)(x) := f (x) + g(x), (λ f )(x) := λ f (x) für f,g Abb(X,V ), x X, λ K eine Addition und Multiplikation mit Skalar in Abb(X,V ) definiert. Zeigen Sie, daß Abb(X,V ) damit ein Vektorraum ist. Übungsaufgabe 47. Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume der angegebenen Vektorräume V? a) {(x 1,x 2,x 3 ) R 3 : x 1 = x 2 = 2x 3 } in V = R 3, b) {(x 1,x 2 ) R 2 : x 2 1 = x4 2 = 0} in V = R2, c) {(µ+ λ,λ 2 ) R 2 : µ,λ R} in V = R 2, d) { f Abb(R,R): f (x) = f ( x) für alle x R} in V = Abb(R,R), e) {(x 1,x 2,x 3 ) R 3 : x 1 x 2 } in V = R 3, f) {A Mat(m n,r): A ist in Zeilenstufenform} in V = Mat(m n,r), Übungsaufgabe 48. Seien V und W zwei K-Vektorräume. Zeigen Sie, daß das direkte Produkt V W durch die Verknüpfungen (v.w) + (v,w ) := (v + v,w + w ), λ (v,w) := (λv,λw) ebenfalls zu einem K-Vektorraum wird. 9

10 Übungsaufgabe 49. Sei T > 0. Eine Abbildung f : R R heißt T -periodisch, falls f (x) = f (x + T ) für alle x R. a) Zeigen Sie, daß { f Abb(R,R): f ist T -periodisch} ein Untervektorraum von Abb(R,R) ist. b) Zeigen Sie daß lin{ f Abb(R,R): f (x) = sinnx oder f (x) = cosnx für x R, n N} ein ein Untervektorraum von Abb(R,R) ist. Übungsaufgabe 50. Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig? a) 1, 2, 3 im Q-Vektorraum R, b) (1,2,3), (4,5,6), (7,8,9) im R 3. Übungsaufgabe 51. Für welche t R sind die folgenden Vektoren aus R 3 linear abhängig? (1,3,4), (3,t,11), ( 1, 4,0). Übungsaufgabe 52. Stellen Sie den Vektor w jeweils als Linearkombination der Vektoren v 1, v 2, v 3 dar. a) w = (6,2,1), v 1 = (1,0,1), v 2 = (7,3,1), v 3 = (2,5,8), b) w = (2,1,1), v 1 = (1,5,1), v 2 = (0,9,1), v 3 = (3, 3,1). Übungsaufgabe 53. Gegeben seien im R 3 die Vektoren a 1 = (1,0,0), a 2 = (0,1,0), a 3 = (1, 1,0), a 4 = (1,0, 1). Bestimmen Sie lin(a 1,a 2,a 3 ) und lin(a 1,a 2,a 4 ). Übungsaufgabe 54. Wir betrachten die Spaltenvektoren der Matrix A aus dem Gleichungssystem aus Aufgabe 28 b). a) Untersuchen Sie, ob diese Vektoren linear unabhängig sind. b) Welche Eigenschaft muß der Vektor b im Gleichungssystem Ax = b haben, damit dieses System lösbar ist? Übungsaufgabe 55. Wir betrachten ein Gleichungssystem Ax = b mit A R m n, b R m \ {0}. Formulieren Sie mit Hilfe der Begriffe Linearkombination oder lineare Hülle ein Kriterium für die Lösbarkeit des Gleichungssystems. Basis und Dimension Übungsaufgabe 56. Gegeben seien im R 5 die Vektoren v 1 = (4,1,1,0 2), v 2 = (0,1,4, 1,2), v 3 = (4,3,9, 2,2), v 4 = (1,1,1,1,1), v 5 = (0, 2, 8,2, 4). a) Bestimmen Sie V = lin(v 1,v 2,v 3,v 4,v 5 ). b) Bestimmen Sie eine Basis in V. 10

11 Übungsaufgabe 57. Geben Sie für die folgenden R-Vektoräume jeweils eine Basis an: a) {(x 1,,x 2,x 3 ) R 3 : x 1 = x 3 }, b) {(x 1,,x 2,x 3,x 4 ) R 4 : x 1 + 3x 2 + 2x 4 = 0, 2x 1 + x 2 + x 3 = 0}, c) { f Abb(R,R): f (x) = 0 bis auf endlich viele x R}. Übungsaufgabe 58. Zeigen Sie, daß C endlich erzeugt ist über R, aber R nicht endlich erzeugt ist über Q. Übungsaufgabe 59. Ist (v i ) i I eine Basis von V und (w j ) j J eine Basis von W, so ist eine Basis von V W. Insbesondere gilt ((v i,0)) i I ((0,w j )) j J dim(v W) = dimv + dimw, falls dimv <, dimw <. Übungsaufgabe 60. Sei V ein reeller Vektorraum und a,b,c,d,e V. Zeigen Sie, daß die folgenden Vektoren linear abhängig sind: v 1 = a + b + c, v 2 = 2a + 2b + 2c d, v 3 = a b e, v 4 = 5a + 6b c + d + e, v 5 = a c + 3e, v 6 = a + b + d + e. Lineare Abbildungen Übungsaufgabe 61. Wir betrachten V = R 2 mit der Standardbasis ε = (e 1,e 2 ), e 1 = (1,0), e 2 = (0,1). Seien a 1 = (4,20) und a 2 = (1, 5). a) Zeigen Sie, daß es genau eine lineare Abbildung L: V V gibt, welche e i auf a i für i = 1,2 abbildet. Geben Sie die zugehörige Abbildungsmatrix L ε,ε an. b) Zeigen Sie, daß L invertierbar ist und geben die Abbildungsmatrix der inversen Abbildung bezüglich der Standardbasis an. Übungsaufgabe 62. Gibt es eine lineare Abbildung L: R 2 R 2 mit L(2,0) = (0,1), L(1,1) = (5,2), L(1,2) = (2,3)? Übungsaufgabe 63. Gibt es eine lineare Abbildung L: R 3 R 2 mit L(2,0,1) = (0,1), L(1,1,1) = (5,2), L(1, 1,0) = (2,1)? Übungsaufgabe 64. Wir betrachten V = R 3 mit der Standardbasis ε = (e 1,e 2,e 3 ) und die beiden Vektoren x 1 = (2, 1,3) und x 2 = (3,7,0). a) Finden Sie eine lineare Abbildung L: V V mit x 1,x 2 ker(l). Ist L eindeutig bestimmt? Was können Sie über den Rang von L aussagen? b) Es sei nun zusätzlich noch gefordert, daß L den Vektor x 3 = (0,0,1) auf (3,4,1) abbilden soll. Zeigen Sie, daß eine solche Abbildung L existiert und eindeutig bestimmt ist. Was können Sie über den Rang von L aussagen? Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix L ε,ϕ von L, wobei sie dazu im Urbildraum eine naheliegende Basis ϕ anstelle von ε wählen sollten. Welchen Rang hat L ε,ϕ? Sind L ε,ϕ und L invertierbar? 11

12 Übungsaufgabe 65. Sei V ein Vektorrraum. Eine lineare Abbildung P: V V heißt Projektion, wenn P P = P. Wir betrachten V = R 3 und P: V V mit P(x) = M x mit 1 a 0 M = 0 b 0 0 c 1 für x R 3, wobei a,b,c R. a) Für welche a,b,c ist P eine Projektion? Bestimmen Sie rg(p), ker(p) und im(p). Ist P invertiertbar? b) Untersuchen Sie für obige P anhand von rg(p), ob P(a 1 ) P(a 2 ) für a 1 = (2, 1,3) und a 2 = (3,7,0) möglich ist. Übungsaufgabe 66. Sei ϕ = (sin,cos,sin cos,sin 2,cos 2 ) und V = lin(ϕ) Abb(R,R). Wir betrachten die Abbildung D: V V mit D( f ) = f für f V, wobei f die Ableitung der Funktion f bezeichnet. a) Zeigen Sie, daß ϕ eine Basis von V ist. b) Zeigen Sie, daß D eine lineare Abbildung ist. c) Bestimmen Sie die zu D gehörende Abbildungsmatrix D ϕ,ϕ. d) Bestimmen Sie ker(d) und im(d). Übungsaufgabe 67. Für n N 1 betrachten wir den R-Vektorraum P n der Polynome p: R R vom Grade kleiner gleich n. Es seien p i : R R, i = 0,...,n, gegeben durch p i (x) = x i für x R. Damit ist ϕ = (p 0,..., p n ) eine Basis von P n und ψ = (p 0,..., p n 1 ) eine Basis von P n 1. Wir betrachten D: P n P n 1 mit D(p) = p mit p als der Ableitung von p P n. a) Welche Dimension hat P n? b) Zeigen Sie, daß D eine lineare, surjektive Abbildung ist. Ist D auch injektiv? c) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix D ψ,ϕ zu D. d) Zeigen Sie, daß es eine lineare Abbildung I : P n 1 P n gibt mit D I = id Pn und bestimmen Sie Abbildungsmatrix I ϕ,ψ. Übungsaufgabe 68. Wir betrachten den R-Vektorraum P 3 der Polynome vom Grade kleiner gleich 3 mit der Basis ϕ = (p 0, p 1, p 2, p 3 ). Wir betrachten die Abbildungen F : P n R, F(p) = Z 1 1 p(t) dt G: P n R 3, G(p) = (p( 1), p(0), p(1)). a) Zeigen Sie, daß F und G lineare Abbildungen sind. 12

13 b) Bestimmen Sie im(f), im(g) und dim(ker(f)). Finden Sie wenigstens einen 2-dimensionalen Untervektorraum von ker(f). c) Seien ε und ε die kanonischen Basen von R und R 3. Bestimmen Sie die Abbildungsmatrizen F ε,ϕ und G ε,ϕ. d) Zeigen Sie ker(g) ker(f). e) Bestimmen Sie eine lineare Abbildung H : R 3 R mit H G = F. Übungsaufgabe 69. Wir betrachten den R-Vektorraum P 3 der Polynome p: R R vom Grade kleiner gleich n. Es seien p i : R R, i = 0,...,3, gegeben durch p 0 (x) = 1, p 1 (x) = 1 +x, p 2 (x) = x 2 1, p 3 (x) = x 3 + x für x R. Wir betrachten D: P n P n 1 mit D(p) = p mit p als der Ableitung von p P n. a) Zeigen Sie, daß ϕ = (p 0,..., p 3 ) eine Basis von P 3 und ψ = (p 0,..., p 2 ) eine Basis von P 2 ist. b) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix D ψ,ϕ zu D. Übungsaufgabe 70. Im R 3 betrachten wir die durch den Richtungsvektor r = (0,1,1) gegebene Drehachse durch (0,0,0) und die Drehung D r,ϕ um diese Achse um den Winkel ϕ. Machen Sie dazu eine Skizze und zerlegen Sie die Drehung in eine Drehung um die e 1 -Achse, eine Drehung um die e 2 -Achse und Rückdrehung um die e 1 -Achse. Finden Sie damit die Abbildungsmatrix D r,ϕ ε,ε bezüglich der kanonischen Basis ε = (e 1,e 2,e 3 ). Rang von Matrizen und linearen Abbildungen Übungsaufgabe 71. Seien L: U V und M : V W lineare Abbildungen in den endlichdimensionalen K-Vektorräumen U, V, W. a) Zeigen Sie rg(m L) rg(l). Wann tritt Gleicheit auf? Finden Sie ein Beispiel, bei dem die strenge Ungleichung gilt. b) Übertragen Sie obige Ungleichung auf entsprechende Matrizen. Übungsaufgabe 72. Welchen Rang haben folgende Matrizen? , , Übungsaufgabe 73. Bestimmen Sie den Rang der n n-matrix a b b b b a b b A = b b a b,.... b b b a

14 wobei a und b verschiedene reelle Zahlen sind. Hinweis: Subtrahieren Sie zuerst die erste Zeile von allen anderen. Übungsaufgabe 74. Sei A K n n. Zeigen Sie: Wenn rg(a) = n, dann hat Ax = b für jedes b K n genau eine Lösung. Übungsaufgabe 75. (Minöl Ü ) Man bestimme den Rang rg(a) der Koeffizientenmatrix und den Rang rg(a b) der erweiterten Koeffizientenmatrix für folgende Gleichungsysteme. Auf der Grundlage dieser Ergebnisse entscheide man über die Lösbarkeit und die Dimension des Lösungsraumes. Hinweis: Zur Kontrolle können die Gleichungssysteme auch vollständig gelöst werden. a) d) x 1 +x 2 +x 3 = 2 3x 1 +2x 2 +x 3 = 2 2x 1 +3x 2 +4x 3 = 3, b) x 1 +x 2 = 3 x 1 +x 4 = 5 x 1 +x 3 +x 4 = 8 2x 1 +x 3 x 4 = 1 2x 1 2x 2 +2x 3 = 0 5x 1 x 2 +7x 3 = 2 3x 1 x 2 +4x 3 = 0, e), c) 3x 1 +4x 2 x 3 = 1 x 1 x 2 +x 3 = 0 5x 1 2x 2 +x 3 = 2 3x 1 +2x 2 x 4 = 5 4x 2 2x 3 3x 4 = 3 x 1 5x 2 x 3 +3x 4 = 2 2x 1 x 4 = 1 Elementare Analytische Geometrie Übungsaufgabe 76. (Minöl Ü ) Welche Vektoren a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 erfüllen die Bedingungen a = 10, (e 1,a) = (e 2,a) = π 3? Übungsaufgabe 77. (Minöl Ü ) Gegeben seien die Vektoren Man berechne a) a, b, c ; b) a,b, b,c, a,c ; c) a c, b c, (a b),c ; d) a (b c), (a b) c; e) [a,b,c]. a = (1, 2,1), b = (1,0,1), c = (1,0, 1). Übungsaufgabe 78. (Minöl Ü ) Bestimme die Projektion a b von a auf b für a) a,b R 2, a = (1,4), b = (3,1); b) a,b R 2, a = 3e 1 + 2e 2, b = 3e 1 + e 2 ; c) a,b R 3, a = (2,1,3), b = (5, 1,1); d) a,b R 3, b = e 1. 14

15 Übungsaufgabe 79. (Minöl Ü ) Man gebe eine Gleichung einer Geraden g im R 3 in Parameterdarstellung an, wenn jeweils gefordert wird: a) g ist parallel zu e 2 und geht durch (1,2,3); b) g verläuft durch die Punkte (1,2,3) und (4,5,6). Übungsaufgabe 80. (Minöl Ü ) Man bestimme eine parameterfreie Gleichung der durch folgende Angaben jeweils festgelegten Ebene E: a) In E liegen die Punkte A = (0,0,1), B = (1, 1,0), C = ( 2,1,1); b) In E liegen die Punkte A = (1,2,3), B = (3,2,1) und E steht senkrecht auf der Ebene 4x 1 x 2 + 2x 3 = 7; c) In E liegt der Punkt A = (1, 2,1), der Vektor a = (1, 2,1) steht senkrecht auf E; d) In E liegt der Punkt A = (1, 1,3) und E ist parallel zu 3x 1 + x 2 + x 3 = 7. Übungsaufgabe 81. (Minöl Ü ) Gesucht ist eine Gleichung der Ebene E in Parameterform: a) E enthält den Punkt P = (1, 1, 2) und verläuft parallel zu a = (1, 3, 1) und b = (1, 4, 2); b) In E liegen die Punkte A = (4, 2,11), B = (2,3,4) und C = (6,8,10). 15