Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie

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1 Übungen zu Einführung in die Lineare Algebra und Geometrie Andreas Cap Wintersemester 2014/15 Kapitel 1: Einleitung (1) Für a, b Z diskutiere analog zur Vorlesung das Lösungsverhalten der Gleichung ax = b in einer Variablen x Z. (2) Zeige mittels einer Zeichnung, dass die komponentenweise Addition in R 2 genau der üblichen Vektoraddition ( Hintereinanderhängen von Vektoren ) entspricht. (3) Analysiere analog zu Abschnitt 1.2. der Vorlesung das Lösungsverhalten eines Systems von zwei Gleichungen in zwei Variablen im Fall dass a 12 0 gilt. Verifiziere insbesondere, dass sich die gleiche Bedingung für die Existenz eindeutiger Lösungen ergibt wie in der Vorlesung. (4) Bestimme genau, unter welchen Bedingungen ein System von drei Gleichungen in zwei Variablen, für das a 11 0 gilt, mindestens eine Lösung besitzt. (5) Beschreibe alle möglichen Lagen von zwei Geraden in R 2. Finde für jede dieser Lagen jeweils ein offensichtliches und ein nicht offensichtliches Beispiel für ein System von zwei Gleichungen in zwei Variablen, dass in der Beschreibung aus Abschnitt 1.2 der Vorlesung zwei Geraden in dieser Lage beschreibt. (6) Begründe zeichnerisch, warum für zwei Vektoren u und v in R 2, die nicht auf einer Geraden durch Null liegen, jeder Vektor in R 2 eindeutig in der Form ru + sv mit r, s R geschrieben werden kann. Kapitel 2: Vektorräume und lineare Abbildungen (7) Sei K ein Körper und s K ein Element mit s 0. Zeige: Falls sr = r für ein Element r K mit r 0 gilt, dann ist s = 1. (8) Zeige, dass multiplikativ inverse Elemente in einem Körper eindeutig bestimmt sind. (9) Ist R 2 mit den komponentenweisen Operationen ( a 1 ) ( a 2 + b1 ) ( b 2 := a1 +b 1 ) ( a 2 +b 2 und a1 ) ( b1 ) a 2 b 2 := ( a1 b 1 ) a 2 b 2 ein Körper? (10) Zeige: Ist K ein Körper und sind a, b K, dann folgt aus a b = 0, dass a = 0 oder b = 0 gilt. (11) Sei m N eine fixe Zahl 2. Zeige, dass a m b genau dann, wenn b a ein (ganzzahliges) Vielfaches von m ist eine Äquivalenzrelation auf Z definiert, also a m a für alle a Z gilt, aus a m b auch b m a folgt und mit a m b und b m c automatisch auch a m c gelten muss. 1

2 2 Übungen zu Einführung i. d. Lineare Algebra & Geometrie, A. Čap, WS 2014/15 (12) Für die Relation m aus dem letzten Beispiel zeige, dass jede Zahl a Z äquivalent zu genau einer der Zahlen 0,..., m 1 ist. Anleitung: Dividiere a mit Rest durch m. (13) Für die Relation m aus den letzten Beispielen zeige, dass aus a 1 m a 2 und b 1 m b 2 schon (a 1 + b 1 ) m (a 2 + b 2 ) und a 1 b 1 m a 2 b 2 folgen. (14) Auf der Menge Z m := {0,..., m 1} definiere eine Addition durch a + b = c, wobei c {0,..., m 1} die eindeutige Zahl ist, die c m a + b erfüllt. Benutze das letzte Beispiel um zu zeigen, dass diese Operation assoziativ ist, und verifiziere direkt, dass sie kommutativ ist, 0 ein neutrales Element ist und inverse Elemente besitzt. (15) Analog zum letzten Beispiel definiere eine Multiplikation auf Z m durch a b = c, wobei c {0,..., m 1} die eindeutige Zahl ist, die c m a b erfüllt. Zeige, dass diese Multiplikation assoziativ, kommutativ und distributiv bezüglich der Addition aus dem letzten Beispiel ist, und das 1 ein neutrales Element ist. (16) Zeige, dass für eine Primzahl p die Menge Z p mit den Operationen aus den letzten Beispielen ein Körper ist. Anleitung: Es fehlt nur noch die Existenz multiplikativ inverser Elemente. Zeige dafür zunächst, dass für Elemente a, b Z p, die beide ungleich 0 sind, auch a b 0 gilt. Schließe daraus, dass die Funktion f : Z p Z p, die gegeben ist durch f(b) := a b injektiv sein muss. Daher muss sie aber auch surjektiv sein, was die Existenz eines Elements b mit a b = 1 impliziert. (17) Verifiziere die Vektorraumeigenschaften (V5) (V7) für die Operationen auf F(X, K), die in Beispiel 2.2 (4) der Vorlesung definiert wurden. (18) Zeige, dass für einen Körper K die Teilmengen {0} K und K K die einzigen Teilräume des K Vektorraumes K sind. (19) Zeige, dass eine Gerade in R 3 genau dann ein Teilraum ist, wenn sie durch den Nullpunkt geht. (20) Sind die folgenden Teilmengen von R 3 Teilräume (mit Begründung)? (a) {(x, y, z) : z = 0} (b) {(x, y, z) : z = 1} (c) {(x, y, z) : x = 0 oder y = 0} (d) {(x, y, z) : ax + by = cz} für fixes a, b, c R. (e) {(x, y, z) : x 2 + y 2 = z 2 } (21) Beschreibe geometrisch alle Teilräume von R 3. (22) Zeige direkt, dass die Funktionen f, g : R R, die durch f(x) := 2x+3 und g(x) = x 2 gegeben sind, keine linearen Abbildungen sind. (23) Betrachte C als Vektorraum über R. Zeige, dass die komplexe Konjugation a + ib := a ib eine lineare Abbildung C C definiert. Ist diese Abbildung auch linear als Abbildung von dem C Vektorraum C auf sich selbst? (24) Bestimme direkt Kern und Bild der linearen Abbildung f : R 3 R 2, die gegeben ist durch f(x, y, z) = (2x z, y + z).

3 Übungen zu Einführung i. d. Lineare Algebra & Geometrie, A. Čap, WS 14/15 3 (25) Seien V und W Vektorräume über einem Körper K und seien f, g : V W lineare Abbildungen. Zeige, dass die Teilmenge {v V : f(v) = g(v)} ein Teilraum von V ist. (26) Sei R n [x] der Raum der Polynome vom Grad n mit reellen Koeffizienten und betrachte die Funktion D : R n [x] R n [x], die gegeben ist durch D( i a ix i ) = i ia ix i 1. Zeige, dass D linear ist, und bestimme ker(d) und Im(D). (27) Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K Vektorräumen. Zeige, dass man für einen beliebigen K Vektorraum U durch f (g) := f g eine lineare Abbildung f : L(U, V ) L(U, W ) definieren kann. (28) Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K Vektorräumen. Zeige, dass man für einen beliebigen K Vektorraum U durch f (g) := g f eine lineare Abbildung f : L(W, U) L(V, U) definieren kann. Kapitel 3: Matrizen und lineare Gleichungssysteme (29) Bestimme die Matrix zu der linearen Abbildung f(x, y, z) = (2x z, y+z) aus Beispiel (24). (30) Für die folgenden Matrizen A und B bestimme AB, BA und (AB) 2 = ABAB A = B = Kann man A 2 = AA oder B 2 = BB bilden? 1 i 2 i (31) Für A = M i 1 2,3 (C) und x = 1 i, y = i C 3 berechne 1 0 Ax und Ay. 1 2 (32) Berechne A 2 = AA und A 3 für A = M (R). (33) Zeige, dass für eine fixe Matrix C M m,n (K) die Vorschrift A CA eine lineare Abbildung M n,k (K) M m,k (K) definiert und vergleiche das mit Beispiel (27). (34) Zeige, dass für eine fixe Matrix C M m,n (K) die Vorschrift A AC eine lineare Abbildung M k,m (K) M k,n (K) definiert und vergleiche das mit Beispiel (28). (35) Finde eine 3 3 Matrix A über R, sodass A und A 2 nicht die Nullmatrix sind, aber A 3 die Nullmatrix ist. Geht das auch für 2 2 Matrizen? Anleitung: Suche eine geeignete lineare Abbildung R 3 R 3. a b c d (36) Für A =, B = M b a d c 2 (R) berechne A+B und das Matrizenprodukt AB und vergleiche das mit den entsprechenden Operationen für die komplexen Zahlen z = a + ib und w = c + id.

4 4 Übungen zu Einführung i. d. Lineare Algebra & Geometrie, A. Čap, WS 2014/15 (37) Für die Matrix A = M 3,3 (R) finde einen Vektor x R 3, sodass x aber Ax = 0 gilt. Schließe daraus, dass die Matrix A nicht invertierbar sein kann. (38) Sei A M n (R) eine n n Matrix, sodass A k für ein k N die Nullmatrix ist. Zeige: I n A ist invertierbar, und die inverse Matrix (I n A) 1 ist gegeben durch I n + A + A A k 1. Anleitung: Berechne direkt die Produkte der angegebenen Matrizen. (39) Bestimme alle Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems über R: 2x 1 3x 2 + x 3 = 5 x 1 + 2x 2 x 3 = 0 4x 1 x 2 + 3x 3 = 3 (40) Für welche b 1, b 2, b 3 C besitzt das folgende komplexe lineare Gleichungssystem eine Lösung? x + y = b 1 2x + y = b 2 ix y = b 3 (41) Bestimme Menge aller Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems für b 1, b 2 R. 2x + 3y + z = b 1 x + y 3z = b 2 (42) Löse das folgende lineare Gleichungssystem über K = Z 7 : 2x + y + 3z = 2 x + 4y + 2z = 0 2x + 6y + z = 4 (43) Sei A = M 3 (R). Bestimme, ob A invertierbar ist, und falls ja berechne die inverse Matrix ) ( 1 3 (44) Zeige, dass die Matrix A = über K = Z invertierbar ist und bestimme die inverse Matrix. (45) Bestimme Kern und Bild der linearen Abbildung f : R 3 R 3, die gegeben ist durch f x 2x 3y + z y = x 2z z 3x 7y z

5 Übungen zu Einführung i. d. Lineare Algebra & Geometrie, A. Čap, WS 14/15 5 Kapitel 4: Basen und Dimension (46) Betrachte die Teilmenge A = {(1, 1, t) : t R} des R Vektorraumes R 3. Zeige: A = {(x 1, x 2, x 3 ) : x 1 = x 2 }, und interpretiere dieses Resultat geometrisch. Anleitung: Zeige erst, dass {(x 1, x 2, x 3 ) : x 1 = x 2 } ein Teilraum ist, der A enthält. Dann zeige, dass (1, 1, 0) und (0, 0, 1) in A liegen und folgere daraus die Behauptung. (47) Zeige, dass {(1, 2, 0), (1, 0, 3), (0, 4, 1)} ein Erzeugendensystem für den R Vektorraum R 3 ist. (48) Zeige direkt, dass die Teilmenge {(1, 0, 1), (1, 1, 1), (1, 1, 0)} R 3 linear unabhängig ist. (49) Zeige direkt, dass die Polynome p 1 = 2x 2 x, p 2 = x 2 + 2x + 1 und p 3 = x 1 linear unabhängig in R[x] sind. (50) Zeige, dass die Menge {x n : n N} = {1, x, x 2, x 3,... } eine Basis für den R Vektorraum R[x] bilden. Schließe daraus, dass R[x] nicht endlich erzeugt ist. (51) Sei V ein n dimensionaler Vektorraum über einem Körper K und W ein Teilraum der Dimension n 1. Zeige: (a) Es gibt eine lineare Abbildung f : V K, sodass W = Ker(f) gilt. Anleitung: Erweitere eine Basis für W zu einer Basis für V und definiere f auf den Elementen dieser Basis. (b) Ist g : V K eine weitere lineare Abbildung mit Ker(g) = W, dann gibt es ein Element λ K \ {0}, sodass g(v) = λf(v) für alle v V gilt. (52) Sei V ein n dimensionaler Vektorraum über einem Körper K und W ein k dimensionaler Teilraum von V. Zeige: (a) Es gibt eine (surjektive) lineare Abbildung f : V K n k sodass W = Ker(f) gilt. (b) Ist g : V K n k eine weitere lineare Abbildung mit W = Ker(g), dann gibt es einen (eindeutigen) linearen Isomorphismus ϕ : K n k K n k, sodass g = ϕ f gilt. (53) Sei V ein n dimensionaler Vektorraum über einem Körper K und W ein k dimensionaler Teilraum von V. Zeige: (a) Es gibt eine (injektive) lineare Abbildung f : K k V sodass W = Im(f) gilt. (b) Ist g : K k V eine weitere lineare Abbildung mit W = Im(g), dann gibt es einen (eindeutigen) linearen Isomorphismus ϕ : K k K k, sodass g = f ϕ gilt. (54) Zeige: Für jeden Vektor (a, b, c) R 3 mit c 0 ist die Gerade {t(a, b, c) : t R} ein Komplement zur Ebene {(x 1, x 2, 0) : x 1, x 2 R}. (55) Sei V ein endlich erzeugter K Vektorraum, W V ein Teilraum. Zeige, dass es eine Projektion auf W gibt, also eine lineare Abbildung π : V W, sodass π(w) = w für alle w W gilt. (56) In der Situation des letzten Beispiels zeige, dass ker(π) V ein Komplement zu W ist. Kann man so jedes Komplement erhalten? (57) Beweise, dass für zwei K Vektorräume V 1 und V 2 das kartesische Produkt V 1 V 2 die Vektorraumeigenschaften (V5) bis (V8) erfüllt.

6 6 Übungen zu Einführung i. d. Lineare Algebra & Geometrie, A. Čap, WS 2014/15 (58) Zeige, dass die in der Vorlesung definierte Multiplikation von Polynomen assoziativ ist. (59) Bestimme den Rang der Matrix A = über R (60) Zeige, dass für A M m,n (K) und eine invertierbare (n n) Matrix D gilt, dass A und AD den gleichen Rang haben. (61) Betrachte den Vektorraum R 3 [x] mit der Standardbasis S := {1, x, x 2, x 3 }. Berechne die Matrixdarstellung [D] S S für den Ableitungsoperator D : R 3[x] R 3 [x]. (62) Für den Vektorraum R 2 berechne die beiden Matrizen [id]{( S B und [id]b ( S zu den Basiswechseln zwischen der Standardbasis S und der Basis B =, ) 1)} 1 2 (63) Sei f : R 2 R 2 die lineare Abbildung x Ax, wobei A =. Berechne die 2 1 { ( 1 1 Matrixdarstellung [f] B B bezüglich der Basis B =,. 1 1)} (64) Zeige, dass B := {x 2 1, x 2 3x+2, x 2 x 2} eine Basis von R 2 [x] ist und bestimme die Koordinatenvektoren der Polynome 1, x und x 2 bezüglich dieser Basis. (65) Berechne die Matrixdarstellung [D] B,B des Ableitungsoperators D : R 2 [x] R 2 [x], der gegeben ist durch D(ax 2 + bx + c) = 2ax + b, bezüglich der Basis B aus dem letzten Beispiel. (66) Zeige, dass es reelle Zahlen a, b, c R gibt, sodass für jedes Polynom p R 2 [x] die zugehörige Polynomfunktion p : R R die Gleichung p(5) = a(p( 1)) + b(p(0)) + c(p(1)) erfüllt. Bestimme diese Zahlen explizit. (67) Zeige, dass es reelle Zahlen a, b, c R gibt, sodass für jedes Polynom p R 2 [x] mit Ableitung D(p) die zugehörige Polynomfunktionen p, D(p) : R R die Gleichung D(p)(0) = a(p( 1)) + b(p(0)) + c(p(1)) erfüllt. Bestimme diese Zahlen explizit.