II. Lineare Gleichungssysteme. 10 Matrizen und Vektoren. 52 II. Lineare Gleichungssysteme

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1 52 II Lineare Gleichungssysteme II Lineare Gleichungssysteme 10 Matrizen und Vektoren Der Gaußsche Algorithmus Basen, Dimension und Rang Reguläre Matrizen Determinanten Skalarprodukte Überbestimmte Gleichungssysteme Vektorprodukte Matrizen und Vektoren 101 Lineare Gleichungssysteme Viele konkrete Probleme führen auf lineare Gleichungssysteme der Form a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b = a m1 x 1 +a m2 x 2 + +a mn x n = b m Hierbei sind m,n N sowie die Koeffizienten a ij K = Q, R, C und die rechten Seiten b 1,,b m K gegeben, und Lösungen x 1,,x n K werden gesucht 102 Matrizen a) Die rechten Seiten von 101 faßt man zu einem Tupel b = b 1 b m Km in Spaltenform zusammen, ebenso als x = die gesuchten Lösungen x 1 x n Kn b) Die Koeffizienten von 101 liefern die Matrix a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A := K n m (1) a m1 a m2 a mn mit n Spalten und m Zeilen Man hat K 1 m = K m c) Die Spalte auf der linken Seite von 101 wird als Produkt der Matrix A K n m mit der Spalte x K n aufgefasst Dies definiert also ein Produkt K n m K n K m (2) d) Im Fall m = 1 sieht das Produkt so aus: (a 1 a n ) x 1 x n = n a j x j K (3) j=1

2 10 Matrizen und Vektoren 53 e) Für A K n m und i = 1,,m bezeichne A Z i := (a i1 a in ) K n 1 (4) die i-te Zeile von A Für x K n gilt dann a 11 x 1 + +a 1n x n Ax = = a m1 x 1 + +a mn x m f) Für A K n m und j = 1,,n bezeichne A S j := a 1j a mj A Z 1x A Z mx Km (5) Km (6) die j-te Spalte von A Mit den Einheitsvektoren 0 e j := 1 K n (7) 0 (die 1 steht in der j-ten Zeile) gilt dann Ae j = A S j für j = 1,,n g) Die Transposition von Matrizen vertauscht Spalten und Zeilen: Für A K n m aus (1) definiert man a 11 a 21 a m1 A a 12 a 22 a m2 := K m n, (8) a 1n a 2n a mn kurz: (a ij ) = (a ji ) Aus Platzgründen werden Spalten ab jetzt so geschrieben: x 1 x n = (x 1x n ) K n h)daslinearegleichungssystem 101kannalsokurzinderFormAx = b geschrieben werden; hierbei sind A K n m und b K m gegeben, während x K n gesucht ist 103 Addition und Skalarmultiplikation a) Für Matrizen A = (a ij ) K n m und B = (b ij ) K n m sowie Zahlen λ K setzt man A+B := (a ij +b ij ) K n m, λa := (λa ij ) K n m (9) b) Für x = (x 1 x n ) K n gilt x = n x j e j (10) j=1

3 54 II Lineare Gleichungssysteme mit den Einheitsvektoren e j aus (7) c) Für A = (a ij ) K n m und x = (x 1 x n ) K n gilt Ax = n x j A S j K m (11) j=1 104 Eigenschaften der Addition und Skalarmultiplikation a) Unter der Addition ist K n m eine kommutative Gruppe (vgl 116); das neutrale Element ist die Nullmatrix 0, und das inverse Element zu A = (a ij ) ist A = ( a ij ) b) Es gelten 1A = A sowie die Assoziativ- und Distributivgesetze (λµ)a = λ(µa) für λ, µ K, A K n m, (12) (λ+µ)a = λa+µa, λ(a+b) = λa+λb für λ, µ K, A,B K n m (13) 105 Punkte und Vektoren a) Die Elemente von R 2 lassen sich als Punkte einer Ebene auffassen, entsprechend die von R 3 als Punkte des Raumes und allgemein die von R n als Punkte eines n-dimensionalen Raumes Entsprechendes gilt auch in den Fällen K = Q und K = C; für die folgenden Veranschaulichungen sei aber K = R b) Tupel im R n können gemäß 103 addiert und mit Skalaren λ R multipliziert werden Zur Veranschaulichung dieser Operationen interpretiert man Tupel auch als Vektoren Ein Vektor v ist eine Translation oder Parallelverschiebung des Raumes R n, dh eine Abbildung v : R n R n der Form v : (x 1 x n ) (x 1 +v 1 x n +v n ) mit v 1,,v n R (14) c) Offenbar ist ein Vektor v durch seine Wirkung auf einen Punkt p R n eindeutig festgelegt; mit v(p) = q kann daher v als gerichtete Strecke pq von p nach q veranschaulicht werden Für jedes feste p liefert v v(p) eine Bijektion zwischen Vektoren und Punkten des Raumes, die im Fall des Nullpunktes p = 0 die Vektoren v mit den Tupeln (v 1 v n ) aus (14) identifiziert Mit q = v(0) = (v 1 v n ) heißt die gerichtete Strecke oq Ortsvektor zum Punkt q d) Für Vektoren entspricht nun die in 103 definierte Addition einfach der Hintereinanderausführung der Abbildungen Man kann x + y auch als Bild des Punktes x unter der Translation y oder umgekehrt als Bild des Punktes y unter der Translation x interpretieren und erhält dann wieder einen Punkt Durch die skalare Multiplikation eines Vektors v mit einer Zahl λ wird dessen Länge mit λ multipliziert sowie dessen Richtung im Fall λ > 0 beibehalten und im Fall λ < 0 umgekehrt e) Im folgenden werden Punkte, Vektoren und Ortsvektoren des R n meist kommentarlos miteinander identifiziert; an einigen Stellen wird sich aber ihre Unterscheidung als sinnvoll erweisen 106 Matrizen, lineare Abbildungen und Unterräume a) Für eine Matrix A K n m wird durch T = L(A) : K n K m, T(x) := Ax für x K n, (15)

4 10 Matrizen und Vektoren 55 eine Abbildung von K n nach K m definiert Diese ist linear, dh es gilt T(x+y) = T(x)+T(y) und T(λx) = λt(x) für x,y K n, λ K (16) Mit L(K n,k m ) wird die Menge aller linearen Abbildungen von K n nach K m bezeichnet Man schreibt L(K n ) := L(K n,k n ) und (K n ) := L(K n,k) b) Eine Menge U K n heißt Unterraum von K n, falls sie unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist, d h,: x,y U x+y U und x U λx U für λ K (17) c) Der Nullraum oder Kern N(A) := N(L(A)) := {x K n Ax = 0} (18) von A K n m bzw L(A) L(K n,k m ) ist ein Unterraum von K n Man hat N(A) = 0 genau dann, wenn L(A) injektiv ist d) Der Bildraum oder das Bild R(A) := R(L(A)) := {Ax x K n } (19) von A K n m bzw L(A) L(K n,k m ) ist ein Unterraum von K m Man hat R(A) = K m genau dann, wenn L(A) surjektiv ist e) Es sei eine lineare Abbildung T L(K n,k m ) gegeben Dann gibt es genau eine Matrix A K n m mit T = L(A) Diese Matrix besteht aus den Spalten (Te j ), j = 1,,n (vgl 102f)) Man schreibt A = M(T) Es ist also L : K n m L(K n,k m ) (20) eine bijektive Abbildung mit Umkehrabbildung L 1 = M 107 Homogene und inhomogene Systeme a) Ein System Ax = b heißt homogen, falls b = 0 ist, sonst inhomogen Stets ist Ax = 0 das zum System Ax = b gehörende homogene System b) Die Lösungsmenge des homogenen Systems Ax = 0 ist der Kern N(A) von A, also ein Unterraum von K n c) Es sei eine spezielle Lösung s K n des inhomogenen Systems Ax = b gegeben Dann ist die Menge aller Lösungen von Ax = b gegeben durch M = s+n(a) := {s+y y N(A)} (21) 108 Geraden in der Ebene a) Wir betrachten das (2 1)-System ax 1 +bx 2 = c, a,b,c K (22) und nehmen (nach Division durch a 0) oe a = 1 an Offenbar ist x 2 frei wählbar, und dann ist x 1 eindeutig festgelegt Die Lösungsmenge von (22) ist M = {(c bx 2,x 2 ) x 2 K} Mit x 2 := 0 erhält man die spezielle Lösung s = (c,0)

5 56 II Lineare Gleichungssysteme b) Mit u := ( b,1) K 2 hat man N(A) = {( bx 2,x 2 ) x 2 K} = Ku = [u] = {λu λ K} c) Die Lösungsmenge M = s+n(a) = s+[u] = {s+λu λ K} von (22) ist eine Gerade in K 2, die nur für c = 0 durch 0 geht Hier ist s als Punkt und u als Vektor zu interpretieren Dies gilt auch in b) mit dem Punkt Quadratische (2 2)-Systeme a) Wir betrachten das System ax 1 +bx 2 = e (23) cx 1 +dx 2 = f und nehmen a 0 an Dividiert man die ersten Gleichung durch a und zieht dann das c-fache von der zweiten b, so erhält man x 1 + b a x 2 = e a (24) a x 2 = f ce a mit der Determinante = ad bc der Matrix A = ( a b c d b) Für 0 hat das System für alle rechten Seiten (e,f) K 2 genau eine Lösung; den entsprechenden Punkt in K 2 kann man nach 108 als Schnitt der beiden durch die Gleichungen in (23) gegebenen Geraden erhalten In diesem Fall ist N(A) = {0} und R(A) = K 2 c) Im Fall = 0 hat das System genau dann eine Lösung, wenn af ce = 0 gilt; es ist also R(A) = {(e,f) R 2 af ce = 0} (25) nach 108 eine Gerade durch 0 Für (e,f) R(A) ist die zweite Gleichung von (24) automatisch erfüllt, so daß nur die erste Gleichung zu berücksichtigen ist Somit ist die Lösungsmenge M von (23) nach 108 eine Gerade Insbesondere ist N(A) eine Gerade durch 0 d) Im Fall a = b = c = d = e = f = 0 gilt natürlich M = K 2, N(A) = K 2 und R(A) = {0} 1010 Ebenen im Raum a) Wir betrachten das (3 1)-System ax 1 +bx 2 +cx 3 = d, a,b,c,d K (26) ) und nehmen (nach Division durch a 0) oe a = 1 an Offenbar sind x 2 und x 3 frei wählbar, und dann ist x 1 eindeutig festgelegt Die Lösungsmenge von (26) ist M = {(d bx 2 cx 3,x 2,x 3 ) x 2,x 3 K} Mit x 2 := x 3 := 0 erhält man die spezielle Lösung s = (d,0,0) K 3

6 10 Matrizen und Vektoren 57 b) Mit u := ( b,1,0) K 3 und v := ( c,0,1) K 3 hat man N(A) = {( bx 2 cx 3,x 2,x 3 ) x 2,x 3 K} = Ku+Kv = [u,v] c) Die Lösungsmenge = {λu+µv λ,µ K} M = s+n(a) = s+[u,v] = {s+λu+µv λ,µ K} des Systems (26) ist eine Ebene in K 3, die nur für d = 0 durch 0 geht Hier sind wieder s als Punkt und u, v als Vektoren zu interpretieren d) Man beachte, daß u und v linear unabhängig sind (vgl 125), daß also u Kv und v Ku gilt Allgemein wird für linear unabhängige Vektoren u,v K 3 und Punkte p K 3 durch E = p+[u,v] = {p+λu+µv λ,µ K} eine Ebene im Raum K 3 definiert (für linear abhängige Vektoren u,v K 3 erhält man einen Punkt oder eine Gerade) e) Ein lineares System aus 2 bzw 3 Gleichungen in 3 Unbekannten beschreibt also (bis auf Ausnahmefälle) die Schnittmenge von 2 bzw 3 Ebenen im Raum K Bemerkung Man beachte, daß in die Möglichkeit der Division wesentlich ist Lineare Gleichungssysteme über etwa dem Ring der ganzen Zahlen Z oder auch dem Polynomring C[z] können nicht analog zum Fall K = Q,R oder C behandelt werden Aufgabe: Versuchen Sie, analog zu 109 Determinanten für (3 3)-Systeme und sogar für (n n)-systeme zu definieren