V. Lineare Algebra. 35 Lineare Abbildungen und Matrizen. 156 V. Lineare Algebra

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1 156 V. Lineare Algebra V. Lineare Algebra 35. Lineare Abbildungen und Matrizen Eigenwerte und Eigenvektoren Hauptvektoren Normen und Neumannsche Reihe Numerische Anwendungen Spektralzerlegungen Quadratische Formen Drehungen und Spiegelungen Lineare Abbildungen und Matrizen Wir erinnern zunächst an wichtige Konzepte aus Kapitel II: 35.1 Vektorräume. Ein Vektorraum E über K = R oder K = C ist eine Menge mit einer Addition + : E E E und einer Skalarmultiplikation : K E E, sodass (E,+) eine kommutative Gruppe ist (vgl. 1.16), 1 x = x für x E sowie die folgenden Assoziativ- und Distributivgesetze gelten: (λµ)x = λ(µx) für λ, µ K, x E, (1) (λ+µ)x = λx+µx, λ(x+y) = λx+λy für λ, µ K, x,y E. (2) 35.2 Beispiele. a) K n ist ein Vektorraum (vgl. Abschnitt 10). b) Für eine Menge M ist die Menge F(M,K) aller Funktionen auf M ein Vektorraum. c) Die Menge K[x] aller Polynome über K ist ein Vektorraum Unterräume. Eine Teilmenge U E eines Vektorraums heißt Unterraum von E, falls sie unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist, d. h.: x,y U x+y U und x U λx U für λ K. (3) 35.4 Beispiele. a) Die Menge K m [x] = {P K[x] degp m} aller Polynome vom Grad m ist ein Unterraum von K[x]. b) R[x] ist ein Unterraum von F(R,R) oder auch von F([0,1],R). c)weitereunterräumevonf([0,1],r) sindetwab([0,1],r), R([0,1],R), C([0,1],R) oder C m ([0,1],R) für m N { }, nicht aber P[0,1] := {f F([0,1],R) f 0} oder M + [0,1] := {f F([0,1],R) f monoton wachsend}. d) Die Unterräume von R 3 sind {0}, Geraden und Ebenen durch 0 sowie R 3.

2 35 Lineare Abbildungen und Matrizen Basen und Dimension. a) Es sei E ein Vektorraum über K. Eine Menge {v 1,...,v n } E heißt Basis von E, falls die Vektoren v 1,...,v n linear unabhängig sind und für ihre lineare Hülle E = [v 1,...,v n ] gilt. Alle Basen von E haben die gleiche Länge (vgl. Folgerung 12.9), die Dimension dime = n. b) Die Räume aus 35.4b) und c) besitzen keine endliche Basis, sind also unendlichdimensional. c) Die Einheitsvektoren e j := (0,...,0,1,0,...,0), j = 1,...,n bilden eine Basis von K n. d) Eine Basis von R m [x] ist {1,x,x 2,...,x m }. Andere Basen sind {1,x, x2 xm,..., } 2 m! oder{1,x a, (x a)2,..., (x a)m } füra R. AuchdieLagrange-Basispolynome(vgl. 2 m! 33.2){L 0,L 1,...,L m } oderdienewton-basispolynome(vgl.33.4){n 0,N 1,...,N m } sind Basen von R m [x] Lineare Abbildungen. a) Es seien E, F Vektorräume über K. Eine Abbildung oder ein Operator T : E F heißt linear, falls gilt T(x+y) = T(x)+T(y) und T(λx) = λt(x) für x,y K n, λ K. (4) Mit L(E,F) wird die Menge aller linearen Abbildungen von E nach F bezeichnet; diese ist ebenfalls ein Vektorraum. Man schreibt einfach L(E) := L(E,E) und E := L(E,K) für den Dualraum. c) Der Nullraum oder Kern N(T) := {x E Ax = 0} (5) von T L(E,F) ist ein Unterraum von E. Man hat N(T) = 0 genau dann, wenn T injektiv ist. c) Der Bildraum oder das Bild R(T) := {Tx x E} (6) von T L(E,F) ist ein Unterraum von F. Man hat R(T) = F genau dann, wenn T surjektiv ist. d) Eine Matrix A K n m definiert eine lineare Abbildung L(A) L(K n,k m ) durch L(A) : x Ax für x K n. (7) 35.7 Matrix-Darstellungen. a) Es sei V = {v 1,...,v n } eine Basis des Vektorraums E. Jeder Vektor x E hat dann eine eindeutige Darstellung x = n ξ j v j mit ξ j K. (8) Das Tupel ξ := (ξ 1,...,ξ n ) K n heißt Koordinatentupel von x E bzgl. V. Die lineare Abbildung ϕ V : E K n, ϕ V : x ξ, (9) ist bijektiv, und die Umkehrabbildung ψ V := ϕ 1 V : K n E, ψ V : ξ n ξ j v j, (10)

3 158 V. Lineare Algebra ist ebenfalls linear. Beide Abbildungen sind Isomorphismen. b) Nun sei W = {w 1,...,w m } eine Basis eines weiteren Vektorraums F. Für eine lineare Abbildung T L(E,F) hat man Tv j = m a ij w i, j = 1,...,n, (11) mit geeigneten a ij K. Mit der Matrix A := (a ij ) K n m und ξ K n gilt T( n ξ j v j ) = n ξ j ( m a ij w i ) = m ( n a ij ξ j )w i, also T(ψ V (ξ)) = ψ W (Aξ) oder j=i Aξ = ϕ W Tψ V (ξ), ξ K n. (12) Mannennt A =: M V,W (T) K n m diematrixvont L(E,F) bezüglich derbasen V und W von E und F. Die Zuordnung T M V,W (T) ist ein Isomorphismus von L(E,F) auf K n m, der natürlich von der Wahl der Basen V und W abhängt. c) Dieser ist verträglich mit Komposition und Multiplikation der Matrizen: Ist U eine Basis von G und S L(F,G), so gilt M V,U (ST) = M W,U (S)M V,W (T). (13) d) Im Fall dime = dimf < ist T L(E,F) genau dann bijektiv, wenn die Matrix A = M V,W (T) K n m regulär ist. Wie in Folgerung 11.6 ist T genau dann injektiv, wenn T surjektiv ist. e) Die letzte Aussage von d) ist im Fall dime = dimf = i.a. nicht richtig. So ist etwa der lineare Differentialoperator d dx : C (R) C (R) surjektiv, aber nicht injektiv; man hat dimn( d dx ) = Basiswechsel. a) Es seien V und V Basen von E sowie W und W Basen von F. Für T L(E,F) hat man dann die Matrizen A = M V,W (T) und A = M V,W (T) in Kn m. Wir untersuchen nun, wie diese Matrizen ineinander umgerechnet werden können. b) Es bezeichne I E die Identität auf E. Wir betrachten (vgl. (12)) die reguläre Transformationsmatrix S := M V,V (I E ) = ϕ V ψ V =: (s ij ) GL K (n). (14) Nach (11) ist die Basistransformation gegeben durch v j = m s ij v i, j = 1,...,n, (15) und die entsprechende Koordinatentransformation ist Sξ = ξ für ξ = ϕ V x und ξ = ϕ V x. (16) c) Entsprechendes gilt für die reguläre Transformationsmatrix R := M W,W (I F ) = ϕ W ψ W =: (r ij ) GL K (m). (17) Das kommutative Diagramm

4 35 Lineare Abbildungen und Matrizen 159 ψ V ξ x ϕ V ξ Aξ ϕ W ψ Tx W A ξ liefert Aξ = ϕ W Tψ V ξ = ϕ W ψ W A ϕ V ψ V ξ für ξ K n, also A = R 1 A S. (18) 35.9 Äquivalenz von Matrizen. a) Matrizen A,A K n m heißen äquivalent, Notation: A A, wenn es reguläre Matrizen S GL K (n) und R GL K (m) mit (18) gibt. b) Dies ist eine Äquivalenzrelation, d. h. es gelten (α) A A (Reflexivität), (β) A B B A (Symmetrie) und (γ) A B und B C A C (Transitivität). c) Es sei irgendeine Äquivalenzrelation auf einer Menge M. Durch x := {y M y x}, x M, werden Äquivalenzklassen definiert, und offenbar ist M die disjunkte Vereinigung aller dieser Äquivalenzklassen. d) Nach 35.8 sind alle Matrix-Darstellungen einer linearen Abbildung T L(E, F) äquivalent. Ist umgekehrt A = M V,W (T) K n m und A = R 1 AS A, so folgt A = M V,W (T), wobei die Basen V und W mittels (15) bestimmt werden; dazu muss die Matrix S invertiert werden Satz. Zwei Matrizen A,B K n m sind genau dann äquivalent, wenn sie den gleichen Rang besitzen. Beweis. Aus A B folgt mittels (18) sofort rka = rkb. Für A K n m sei nun rka = r N 0 und T = L(A) L(K n,k m ). Nach (12.5) ist dann dimn(t) = n r. Wir wählen eine Basis {v 1,...,v n }, von K n sodass {v r+1,...,v n } eine Basis von N(T) ist. Dann ist {w 1 := Tv 1,...,w r := Tv r } eine Basis von R(T), die wir mittels {w r+1,...,w m } zu einer solchen von K m ergänzen. Nach 35.8 folgt nun A M V,W (T) = A r mit ( ) Er 0 A r =, (19) 0 0 wobei E r die Einheitsmatrix der Größe r bezeichnet Ähnlichkeit von Matrizen. a) Im Fall E = F stellt man T L(E) durch quadratische Matrizen A = M V (T) := M V,V (T) dar, wobei in Definitionsund Zielbereich die gleiche Basis gewählt wird. Ist V eine weitere Basis von E und A = M V (T), so gilt mit der Transformationsmatrix S = M V,V (I E ) nach (18) A = S 1 A S. (20)

5 160 V. Lineare Algebra b) Matrizen A,A K n n heißen ähnlich, Notation: A = A, wenn es eine reguläre Matrix S GL K (n) mit (20) gibt. Auch Ähnlichkeit ist eine Äquivalenzrelation. c) Aus A = B folgt natürlich A B und somit rka = rkb. Nach Satz 14.9b) stimmen auch die Determinanten ähnlicher Matrizen überein. Dies rechtfertigt die folgende Definition. Die Determinante einer linearen Abbildung T L(E) wird definiert als dett := detm V (T), V Basis von E. (21) Aufgrund von Folgerung 11.7 und Satz gilt: Satz. Für einen linearen Operator T L(E) sind äquivalent: (a) T ist injektiv. (b) T ist surjektiv. (c) T ist bijektiv. (d) dett Beispiele. a) Der Differentialoperator d ist auf R dx m[x] nilpotent vom Grad m+1, d.h. es gilt ( d dx )m+1 = 0, aber ( d dx )m 0. b) Mit P k (x) := xk ist P := {P k! 0 (x),...,p m (x)} eine Basis von R m [x], und wegen d P dx k = P k 1 gilt M P ( d ) = J dx 0,m+1 := (22) Es handelt sich um einen Jordan-Block der Länge m + 1 zum Eigenwert 0 des Operators d (vgl. 37.9). dx c) Im Fall m = 2 liefern die Lagrange-Basispolynome zu den drei Stützstellen x 0 = 1,x 1 = 0,x 2 = 1 die Basis {L 0 (x) = 1 2 (x2 x), L 1 (x) = x 2 + 1, L 2 (x) = 1 2 (x2 +x)} von R 2 [x]. Man hat M L ( d ) = 1 dx Diese Matrix ist also ähnlich zum Jordan-Block J 0,3.