Lineare Algebra. 7. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching

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1 Lineare Algebra 7. Übungsstunde Steven Battilana battilana.uk/teaching November 9, 27

2 Erinnerung 2 Vektoräume Sei V ein Vektorraum, U V, U {}. U hiesst Untervektorraum, Unterraum, linearer Teilraum UVR, falls sie bezüglich Addition und skalarer Multiplikation abgeschlossen ist, d.h. wenn x, y U und α E gilt: U x + y U U2 αx U. Jeder Untervektorraum U enthählt den Nullvektor, d.h. U U. Satz. Jeder Untervektorraum ist ein Vektorraum. Beispiel 2: Zu zeigen: W = x x 2 x 3 Bemerkung Wir haben zwei Optionen: R 3 x + x 2 + x 3 =. Überprüfe ob V und V2 von der Vektorraum Definition erfüllt sind 2. Verwende den Satz von oben und zeige nur U und U2 Beweis: Wir führen den Beweis mit der zweiten Option durch. Also genügt es nach dem Satz zu zeigen, dass Wein Untervektorraum ist. x y Seien x = x 2, y = y 2 W, λ E x 3 y 3 U W, da + + =, U folgt trivialerweise x + y U x + y = x 2 + y 2 W, x 3 + y 3 da x + y + x 2 + y 2 + x 3 + y 3 = x + x 2 + x 3 + y }{{} + y 2 + y 3 = }{{} x +x 2 +x 3 = y +y 2 +y 3 = λx U2 λx = λx 2 λx 3 W, da λx + λx 2 + λx 3 = λ x + x 2 + x 3 = }{{} x +x 2 +x 3 = 2

3 Oder statt, dass ihr U und U2 separat zeigt könnt ihr auch die all in one Variante zeigen: x λy U/U2 x λy = x 2 λy 2 W, x 3 λy 3 da x λy +x 2 λy 2 +x 3 λy 3 = x + x 2 + x 3 λ y }{{} + y 2 + y 3 = }{{} x +x 2 +x 3 = y +y 2 +y 3 = 3 Basen, Dimensionen und lineare Un-Abhänigkeit Sei B = b i i I V. B heisst Basis von V, wenn V = spanb V wird erzeugt von B B = b i i I Satz. B ist ein minimales Erzeugendensystem, d.h. alle b i sind untereinander linear unabhängig. spanb = V, aber spanb \ {b i } V, b i B. Satz. B ist ein maximal linear unabhängige Teilmenge von V, d.h. b i i I sind linear unabhängig aber b i i I {v} sind nicht mehr linear unabhängig, v V \ B. Sind B und B 2 Basen von V, so gilt B = B 2. Jeder Vektorraum hat eine Basis. Sei B eine Basis von V. Dann ist B = dimv = # Basisvektoren die Dimension von V, wobei = Kardinalität von einer Menge ist. Falls dimv = n, dann gilt allgemein: Falls k < n, sind v,..., v k V nicht erzeugend Falls k > n, sind v,..., v k V linear abhängig Basisauswahlsatz. Aus jedem endlichen Erzeugendensystem eines Vektorraumes kann man eine Basis auswählen. Insbesondere hat jeder endlich erzeugte Vektorraum eine endliche Basis. Basisergnzungssatz. In einem endlich erzeugten Vektorraum V seien linear unabhängige Vektoren w,..., w n gegeben. Dann kann man w n +,..., w r finden so dass eine Basis von V ist. Beispiel 5: B = {w,..., w n, w n +,..., w r } 3

4 dimr n = n = dimc n dimp n = n + dim R C = 2 BP n = {, x, x 2,..., x }{{ n } } n+ Basisvektoren Basis von C über dem Körper R ist z.b. {, i} dim C C = Basis von C über dem Körper C ist z.b. {} 4 Lineare Abbildungen I Eine Abbildung f : X Y heisst injektiv, falls x, x 2 X : x x 2 fx fx 2. In Worten: Verschiedene Elemente aus X werden auf verschiedene Bilder in Y abgebildet. Eine Abbildung f : X Y heisst surjektiv, falls y Y x X : fx = y. In Worten: Jedes Element aus Y wird von f getroffen. Eine Abbildung f : X Y heisst bijektiv, falls y Y!x X : fx = y. In Worten: Jedes Element aus Y wird von f genau eins getroffen. Eine Abbildung F : V W zwischen E-Vektorräumen V und W heisst linear genauer Homomorphismus von E-Vektorräumen, wenn v, w V und λ, µ E: L F v + w = F v + F w L2 F λv = λf v Diese beiden Bedingungen kann man zusammenfassen zu einer: L F λv + µw = λf v + µf w. Notation. Für F : V W linear ist F HomV, W. Es ist üblich, den Begriff Homomorphismus zu verschärfen: i F HomV, W und bijektiv Isomorphismus Notation: V =W ii F HomV, W und V = W Endomorphismus Notation: F EndV iii F EndV und bijektiv Automorphismus 4

5 Satz. Sei F : V W linear. Dann gilt: f =. Zu jeder Basis B = {v,..., v n } von V gibt es genau einen Isomorphismus: φ B : V, x,..., x n φ B x,..., x n = n x k v k = x v x n v n mit φ B e i = v i. k= In Worten: φ B ordnet x seinen Koordinaten bezüglich der Basis B zu. Transformationsmatrix Gegeben: A = a,..., a n, B = b,..., b n sind Basen von V. Gesucht: Transformationsmatrix T A B und T B A. B A b b n a a n T B A A B a a n b b n T A B Es gilt T A B = T B A. */ 5 Lineare Abbildungen Eine Abbildung f : X Y heisst injektiv, falls x, x 2 X : x x 2 fx fx 2. In Worten: Verschiedene Elemente aus X werden auf verschiedene Bilder in Y abgebildet. Eine Abbildung f : X Y heisst surjektiv, falls y Y x X : fx = y. In Worten: Jedes Element aus Y wird von f getroffen. Eine Abbildung f : X Y heisst bijektiv, falls y Y!x X : fx = y. 5

6 In Worten: Jedes Element aus Y wird von f genau eins getroffen. Eine Abbildung F : V W zwischen E-Vektorräumen V und W heisst linear genauer Homomorphismus von E-Vektorräumen, wenn v, w V und λ E: L F v + w = F v + F w L2 F λv = λf v Diese beiden Bedingungen kann man zusammenfassen zu einer: L F v + λw = F v + λf w. Notation. Für F : V W linear ist F HomV, W. Es ist üblich, den Begriff Homomorphismus zu verschärfen: i F HomV, W und bijektiv Isomorphismus Notation: V =W ii F HomV, W und V = W Endomorphismus Notation: F EndV iii F EndV und bijektiv Automorphismus Zudem gilt: i G : W V linear, so dass F G = id W, G F = id V, d.h. w W : v V : F Gw = w GF v = v Seien MF, MG die darstellenden Matrizen von F : V W isomorph und G : W V homomorph und V, W sind endlichdimensionale Vektorräume, d.h. dimv < und dimw <. Dann bedeutet Bijektivität von F, dass dimv = dimw MF MG = MG MF = dimv MF = MG Sei die F HomV, W. ImF := F V = {F v v V } W ist ein Untervektorraum von W und heisst BildF oder ImF. kerf := {v V F v = } V ist ein Untervektorraum von V und heisst kerf. Satz. Sei F : V W linear und V, W sind Vektorräume. Dann gilt: i F =, die Null wird immer auf die Null abgebildet ii F surjektiv ImF = W dimimf = dimw iii F injektiv kerf = {} dimkerf = iv F ist ein Isomorphismus dimv = dimw = rangf 6

7 Satz. Sind f, g linear Abbildungen f g ist eine lineare Abbildung. Satz. Sind f, g lineare Abbildungen, dann ist die Funktion F := f ± g die aus der Linearkombination von f, g entsteht wieder eine lineare Abbildung. Der Rang der linearen Abbildung F ist definiert als: rangf = dimimf. Der Rang der linearen Abbildung F ist gleich dem Rang ihrer Abbildungsmatrix MF. Es gilt: rangf = dimimf = rangmf = rangmf T Zeilenrang = Spaltenrang: rangmf = rangmf T Achtung: Im Allgemeinen gilt: Spaltenraum Zeilenraum Beispiel : Sei F : R R, x 5x. F ist nicht linear, da F =. Sei f HomV, W und die Vektorräume V,W sind endlichdimensional. Das Bild von f wir aufgespannt von den Spalten von Mf, d.h. Imf = span{spalten von Mf}. Sei F HomV, W und die dazugehörige Abbildungsmatrix MF. Dann gilt: F x = MF x =. Beispiel : Gegeben: F : R 3 R 3, x = x + x 2 x 3 3x + x 2 + 2x 3 2x + 3x 3 x x 2 x 3 mit MF = 3 2, s.d. 2 3 Gesucht: kerf, Basis vom kerf, ImF, Basis von ImF MF x = F x Beispiel 2: Gegeben: F : R 3 R 2 ist gegeben durch die folgende Matrix: 2 3 MF =

8 Gesucht: Bestimme die Basen von kerf und ImF. 2 3 ii l 2 i 2 3 MF = i 2 3 ii Um die dimkerf zu finden benutzen wir die Dimensionsformel: dimr 3 = dimkerf + dimimf dimkerf = dimr 3 dimimf dimkerf = 3 2 = =: 3 6 MF dimimf = rangf = rangmf = 2 können wir direkt von MF ablesen. Dank der Dimensionsformel wissen, wir das die Basis vom Kern F einen Basisvektor enthält. x kerf = kermf = x 2 2 x 3, x 3 R 3 x 3 = span x x 2 x 3 2 Basis vom kerf ist zum Beispiel : B kerf = 2 Für das Bild ImF wissen wir wegen der Bemerkung von oben: { } 2 3 ImF = span,, Wähle aus den Spalten von MF Erzeugendensystem von ImF zwei Vektoren als Basis von ImF, nämlich diejenigen die Pivotelemente in MF haben: { } 2 B ImF =, 4 5 Abbildungsmatrix darstellende Matrix; Spezialfall mit Standardbasis Gegeben: V ein Vektorraum, F : V, A W, B, v F v und Basis von V mit A = {a,..., a n } und die Standardbasis von W mit B = {b,..., b m } Gesucht: M A B F 8

9 . Berechne für jeden Basisvektor F a i, i {,..., n} 2. Erstelle MB AF = F a,..., F a n } m-zeilen. }{{} n-spalten Wir haben die Abbildungsmatrix von F erhalten, wobei der Definitionsbereich bezüglich A und Bildbereich bezüglich B gegeben ist. Beispiel 2: Sei F = d dt : P 2 P, p ṗ = dp dt. i Zu zeigen: F ist eine lineare Abbildung. Beweis: a, b P 2, λ E : F a + λb = d a + λb dt = d dt a + λ d dt b = F a + λf b ii Finde die Abbildungsmatrix MB BF bezüglich der Monombasis B = {, t, t2 }. p = λ + λ t + λ 2 t 2 P 2, ṗ = λ + 2λ 2 t P, p = ṗ = λ λ λ 2 λ 2λ 2 E 3 E 3 = e t = e 2 t 2 = e 3 ṗ = ṗe =, ṗt = ṗe 2 =, ṗt 2 = ṗe 3 = 2 = MB B F = 2 Ein Polynom p P n ist durch die Funktionswerte px i an n + paarweise verschiedenen Punkten x i {,..., n} eindeutig bestimmt. Seien V, U, W E-Vektorräume mit dimv = n, dimu = k und dimw = l, dann ist die Dimensionsregel für Verknüpfungen von linearen Abbildungen: Mf R l n, Mg R k l Mg f = Mg Mf R k l R l n = R k n Satz. Seien V und W zwei endlichdimensionale Vektorräume eines grösseren Vektorraums endlichdimensional dimv = n < und dimw = k < und sei f : V W linear, dann gelten die folgenden Dimensionsformeln: 9

10 dimv + W = dimv + dimw dimv W n = dimv = dimkerf + dimimf Eigenschaften von linearen Abbildungen: Seien V, W E-Vektorräume und B = {v,..., v n } eine Basis von V. linear. Sei F : V W ImF = spanf v,..., F v n, d.h. F ist eindeutig definiert durch die Werte der Basisvektoren Ist F injektiv und v,..., v n V linear unabhängig, dann sind F v,..., F v n ImF linear unabhängig dimf < und F injektiv F ist bijektiv! 6 Basiswechsel, Koordinatentransformation Seien A = e,..., e n die kanonische Basis vom Vektorraum V und B = b,..., b n eine weitere Basis von V beschrieben mit der kanonischen Basis. Dann existiert eine Transformationsmatrix mit: T B A = b b n mit e i = T B A b i, i {,..., n}. V A T A B V B Es gilt die folgende Rechenregel: TB A = T A B Mit der obigen Definition erhalten wir somit: TB Ae i = b i, i {,..., n}. Satz. Sei E ein Körper, V ein E-Vektorraum mit dimv = n <. Seien v V, A = {a,..., a n }, B = {b,..., b n } Basen für V. Dann existieren eindeutige λ,..., λ n E sowie eindeutige µ,..., µ n E, so dass v = n λ k a k = k= n µ k b k. k= Da stellt sich die Frage wie man zwischen den Basen A und B wechseln kann, konkret hat man zum Beispiel die Abbildungsmatrix bezüglich A gegeben und möchte nun die Abbildungsmatrix bezüglich B darstellen. Zu jeder Basis B = {v,..., v n } von V gibt es genau einen Isomorphismus: φ B : V, x,..., x n φ B x,..., x n = n x k v k = x v x n v n mit φ B e i = v i. k= In Worten: φ B ordnet x seinen Koordinaten bezüglich der Basis B zu.

11 Seien V mit Basis A = {v,..., v m } und W mit Basis B = {w,..., w n } Vektorräume über E. Dann gibt es zu jeder linearen Abbildung f : V W genau eine Matrix MB A f, so dass MB Af j = fv j = a j w a mj w m für j =,..., n. Die Matrix M A B f von oben hat als j-te Spalte den Vektor der Koordinaten von fv j bezüglich der Basis B. Wichtig In den Spalten einer Abbildungsmatrix stehen die Bilder der Basisvektoren, d.h. M A B f = fv fv m. Die Matrix MB A f kann mit Hilfe des kommutierenden Diagramms auch foglendermassen beschrieben werden: MB A f = φ B f φ A E m V φ A M A B f f W φ B Die reguläre Transformationsmatrix TB A mit Basen A = {v,..., v n }, B = {w,..., w n } vom Vektorraum V sieht wie folgt aus: T A B = φ B φ A = t t n.. t n t nn, Dadurch kann man nun folgend beschreiben w i = t i v +...+t ni v n = TB Av i, wobei w i bezüglich Bund v i bezüglich A dargestellt ist: v TB A v A = w B, wobei v A =. v n bzgl. A, w B = φ A T A B V w. w n φ B bzgl. B. i {,..., n}, Rechenregeln. T A A = T A B = T B A λ A K n ein Koordinatenvektor bezüglich A µ B K n ein Koordinatenvektor bezüglich B TB Aλ A = µ B f : V V linear mit Abbildungsmatrix MA A f wobei der Definitionsbereich und der Bildbereich bezüglich A gegeben ist. Analog ist die Abbildungsmatrix MB Bf im Definitionsbereich und im Bildbereich bezüglich B gegeben. Wir erreichen eine

12 Basistransformation von A nach B der Abbildungsmatrix MA A f mit den Transformationsmatrizen TA B, T B A: M B B f φ B φ B M B B f = T A B M A A ft B A T B A V f V T A B φ A φ A MA Af f : V V linear mit Abbildungsmatrix M B B 2 f wobei der Definitionsbereich bezüglich B und der Bildbereich bezüglich B 2 gegeben ist. Analog ist die Abbildugnsmatrix M B B f im Definitionsbereich bezüglich B 2 und im Bildbereich bezüglich B 2 gegeben. Wir erreichen eine Basistransformation von B nach B Definitionsbereich bzw. von B 2 nach B 2 Bildbereich der Abbildungsmatrix M B B 2 f mit den Transformationsmatrizen T B 2 B, T B 2 B : M B B 2 f φ B φ B 2 M B B 2 f = T B 2 B M B 2 B 2 ft B B T B B V f V T B 2 B 2 φ B φ B2 M B B f 2 Seien A = e,..., e n die kanonische Basis vom Vektorraum V und B = b,..., b n eine weitere Basis von V beschrieben mit der kanonischen Basis. Dann existiert eine Transformationsmatrix mit: T B A = b b n mit e i = T B A b i, i {,..., n}. V A T A B V B Mit der obigen Definition erhalten wir somit: T A B e i = b i, i {,..., n}. Transformationsmatrix Gegeben: A = a,..., a n, B = b,..., b n sind Basen von V. Gesucht: Transformationsmatrix T A B und T B A. 2

13 B A b b n a a n Gaussen ohne Zeilenvertauschung A B a a n b b n Gaussen ohne Zeilenvertauschung TB A TA B Intuition BB B A }{{ } AB }{{ } T B A =T A B Beispiel 3: 3 3 Gegeben: A =,,, B = 3, 2, Gesucht: T A B, T B A iii l 32 ii ii iii i ii ii l 2 i i 3 iii i 3 iii 3 2 iii l 3 i 2 = TB A = TA B = T B A könnt ihr entweder mit dem Rezept von oben berechnen oder ihr benützt das Rezept aus der 3. Übungsstunde und berechnet die Inverse TB A = TA B. Beispiel 4: Sei V = P mit Basen B = {, x, x 2 } Standardbasis Monombasis und A = {a, a 2, a 3 } mit a = x 2 a 2 = x + 2 = x 2 + 2x + a 3 = x 2 = x 2 2x + 3

14 a T A B, T B A? b Sei F = d : P dt 2 P, p ṗ = dp mit Abbildungsmatrix dt MF = MB BF = 2. Was ist MA A F? c Sei px = 3x 2 8x + 2 P 2. Was sind die Koordinaten von p bezüglich A und B? a Da B die Standardbasis ist, gilt: TB A = a a 2 a 3 = 2 2 TA B = T B A : 2 2 Zeilenvertauschungen 2 2 iii l 32 ii i 4 iii ii 4 iii i ii iii TA B = TB A = b Unter Verwendung der Rechenregel erhalten wir: MA A F = TA B MB B F TB A 2 2 = = c Koordinaten von p bezüglich B: 2 p B = 8. 3 Koordinaten von p bezüglich A: p A = TA B p B =. 3 Test: a a 2 + 3a 3 = 3x 2 8x + 2 = px 4

15 Zwei Matrizen A, B E m n heissen äquivalent, wenn es S E m m und T n gibt mit: B = SAT Falls m = n nennen wir A, B E m n ähnlich, wenn es ein S E m m gibt mit: B = SAS. 5