Lineare Algebra I (WS 13/14)

Transkript

1 Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke Alexander Lytchak 1 / 12

2 Erinnerung Eine Abbildung f : V W zwischen reellen Vektorräumen ist linear, wenn für alle v 1, v 2 V und alle λ 1, λ 2 R die Gleichheit gilt: f (λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ) = λ 1 f (v 1 ) + λ 2 f (v 2 ) Für eine lineare Abbildung sind das Bild und Urbild von Untervektorräumen Untervektorräume. Insbesondere ist das Bild im(f ) = f (V ) ein Untervektorraum von W ; und der Kern ker(f ) := f 1 (0) ist ein Untervektorraum von V. im(f ) misst die Surejktivität von f : Sei W endlich-dimensional. Die Abbildung f surjektiv, genau dann wenn dim(im(f )) = dim(w ). Alexander Lytchak 2 / 12

3 Wir zeigen nun, dass der Kern von f für die Injektivität verantwortlich ist. Proposition Sei f : V W linear. Die Abbildung f genau dann injektiv, wenn ker f = {0} V. Alexander Lytchak 3 / 12

4 Das Beispiel Für V = R n und W = R m sei f : V W eine lineare Abbildung. Für 1 j n seien e j R n die Elemente der Standardbasis. Sei w j := f (e j ). Die Abbildung f ist eindeutig durch die Vektoren w j R m bestimmt: Für einen Vektor x = (x 1,..., x n ) R n gilt f (x) = f ( n x j e j ) = j=1 n x j w j Andererseits ist für beliebige w 1,..., w n R m die oben definierte Abbildung f linear. Schreiben wir die Koordinaten dieser n Vektoren w j R m als Spalten einer Matrix, so erhalten wir eine (m n)-matrix A = (a ij ) 1 i m,1 j n. Damit haben wir einer linearen Abbildung f : R n R m eine (m n)-matrix A nach der folgenden Regel zugeordnet: j=1 Die j-te Spalte von A ist das Bild von e j. Alexander Lytchak 4 / 12

5 Das Beispiel. Fortsetzung Die obige Zuordnung ist eineindeutig. Die Umkehrabbildung dieser Zuordnung definiert zu einer (m n)-matrix A = (a ij ) 1 i m,1 j n R m n eine lineare Abbildung f A : R n R m, die den Vektor e j auf den j-ten Spaltenvektor von A schickt. Die Abbildung f A : R n R m ist wie folgt gegeben: (x 1,... x n ) ( n a 1j x j,..., j=1 n ) a mj x j Um es gelehrter auszudrücken, führen wir folgende Bezeichnung ein: Für reelle Vektorräume V, W bezeichnen wir als Hom(V, W ) die Menge aller linearen Abbildungen V W. Wir haben soeben eine bijektive Abbildung A f A zwischen der Menge der reellen (m n)-matrizen und Hom(R n, R m ) definiert. j=1 Alexander Lytchak 5 / 12

6 Das Beispiel. Fortsetzung Der Nullmatrix 0 R m n wird die Nullabbildung f 0 = 0 : R n R m zugeorndet, die alles auf den Nullvektor in R m schickt. Sei m = n. Die Diagonaleinträge der quadratischen Matrix (a ij ) R n n sind die Einträge (a ii ) 1 i n. Die (n n)-einheitsmatrix E n hat alle Diagonaleinträge gleich 1 und alle übrigen gleich 0. Die entsprechende lineare Abbildung f En : R n R n ist id R n. Sei m = n. Die Matrix (a ij ) R n n heißt eine Diagonalmatrix, wenn alle Einträge außerhalb der Diagonalen gleich 0 sind. Sei A eine Diagonalmatrix mit Diagonaleinträgen λ j = (a jj ) 1 j n. Dann gilt f A (x 1,..., x n ) = (λ 1 x 1, λ 2 x 2,..., λ n x n ). Sind im obigen Beispiel alle λ j = λ, so ist f A : R n R n eine Streckung um λ. Jede lineare Abbildung f : R R ist eine Streckung. Alexander Lytchak 6 / 12

7 Das Beispiel. Fortsetzung Sei m < n. Sei A R m n mit Einträgen a ii = 1 für 1 i m und allen anderen Einträgen gleich 0. Dann ist f A : R n R m die kanonische Projektion f A (x 1,..., x m,..., x n ) = (x 1,..., x m ). Sei m > n. Sei A R m n mit Einträgen a ii = 1 für 1 i n und allen anderen Einträgen gleich 0. Dann ist f A : R n R m die kanonische Einbettung f A (x 1,..., x n ) = (x 1,..., x n, 0, 0,..., 0) Sei m = n = 2. Die (2 2)-Diagonalmatrix mit Einträgen 1 und 1 definiert eine Spiegelung an der e 1 -Achse. Die Diagonalmatrix mit Einträgen 1 und 1 definiert eine Spiegelung an der e 2 -Achse. Sei m = n = 2. Die Matrix ( cos t sin t sin t cos t definiert eine Drehung des R 2 um den Winkel t gegen den Uhrzeigersinn. ) Alexander Lytchak 7 / 12

8 Das Beispiel. Fortsetzung. Sei m = n = 2. Betrachte die (2 2)-Matrix A mit a 11 = a 22 = 0 und a 12 = a 21 = 1. Der entsprechende Endomorphismus von R 2 ist die Spiegelung an der Geraden {(x 1, x 2 ) x 1 = x 2 }. Sei n = 1. Eine (m 1)-Matrix A ist durch einen Spaltenvektor w gegeben. Die entsprechende lineare Abbildung f A : R R m ist durch f A (t) = tw definiert. Sei m = 1. Eine (1 n)-matrix A ist ein Zeilenvektor (a 1, a 2,..., a n ). Die entsprechende lineare Abbildung f A : R n R ist gegeben durch (x 1,..., x n ) a 1 x 1 + a 2 x a n x n. Sei n = 2, m = 3. Seien w 1, w 2 R 3 zwei linear unabhängige Vektoren. Sei A die (3 2)-Matrix, mit Spaltenvektoren w 1, w 2. Dann ist f A : R 2 R 3 die Abbildung (λ 1, λ 2 ) λ 1 w 1 + λ 2 w 2. Das Bild von f A ist der von w 1, w 2 aufgespannte Unterraum von R 3, also eine Ebene. Alexander Lytchak 8 / 12

9 Das Beispiel. Fortsetzung. Sei ein lineares Gleichungssystem Ax = b gegeben. Sei (A b) die erweiterte Koeffizientenmatrix. Betrachte die entsprechende lineare Abbildung f A : R n R m und fasse b als ein Element aus R m auf. Die Menge L der Lösungen des Gleichnugssystems ist genau das Urbild f 1 A (b). Ist b = 0, so ist L genau der Kern von f A. Alexander Lytchak 9 / 12

10 Lineare Abbildungen und Basen Proposition Es sei f : V W eine lineare Abbildung und (v i ) i I eine Familie von Vektoren in V. Dann gilt span(f (v i ) i I ) = f (span(v i ) i I ). Folgerung Es sei f : V W eine lineare Abbildung. Ist U ein endlich-dimensionaler Unterraum von V, so gilt dim(f (U)) dim(u). Ist V endlich-dimensional, so auch f (V ) und es gilt dim(f (V )) dim(v ). Proposition Es sei f : V W eine lineare Abbildung. Sei (v 1,..., v n ) eine Basis von V und sei w j = f (v j ) für alle i. Die Abbildung f ist surjektiv genau dann, wenn (w 1,..., w n ) ein Erzeugendensystem von W ist. Die Abbildung f ist injektiv genau dann, wenn (w 1,..., w n ) linear unabhängig sind. Die Abbildung f ist bijektiv genau dann, wenn (w 1,..., w n ) eine Basis von W ist. Alexander Lytchak 10 / 12

11 Lineare Abbildungen und Basen (Fortsetzung) Proposition Es sei (v 1,..., v n ) eine Basis des Vektorraumes V und W ein beliebiger Vektorraum. Seien w 1,..., w n W beliebig. Dann existiert genau eine lineare Abbildung f : V W, so dass f (v j ) = w j für 1 j n gilt. Mit anderen Worten: Eine lineare Abbildung kann auf einer Basis beliebig definiert werden. Jede solche Definition legt die lineare Abbildung eindeutig fest. Proposition Endlich-dimensionale Vektorräume V und W sind isomorph genau dann, wenn dim V = dim W. Folgerung Jeder reelle Vektorraum V der Dimension n ist isomorph zu R n. Alexander Lytchak 11 / 12

12 Sei V ein reeller Vektorraum. Zu jeder Basis B = (v 1,..., v n ) von V gibt es genau einen Isomorphismus Φ B : R n V mit Φ B (e j ) = v j für 1 i n. Wir nennen Φ B das zur Basis B gehörende Koordinatensystem. Die Umkehrabbildung Φ 1 B schickt einen Vektor v V auf das eindeutige n-tupel reeller Zahlen (λ 1,..., λ n ), so dass v = λ 1 v λ n v n. Die Koeffizienten (λ 1,..., λ n ) heißen die Koordinaten von v bezüglich der Basis B. Die Koordinaten von v V hängen von der Wahl der Basis B ab! Sei C = (w 1,..., w n ) eine andere Basis von V. Hat v V, bezüglich B die Koordinaten (λ 1,..., λ n ) und bezüglich C die Koordinaten (µ 1,..., µ n ), so gilt Φ B ((λ 1,..., λ n )) = v = Φ C ((µ 1,..., µ n )). Folglich ist Φ 1 C Φ B ((λ 1,..., λ n )) = (µ 1,..., µ n ). Die Abbildung Φ 1 C Φ B ist ein linearer Isomorphismus R n R n, der die Transformation der Koordinaten beschreibt. Die diesem Isomorphismus entsprechende (n n)-matrix hat als j-ten Spaltenvektoren die Koordinaten von v j bezüglich der Basis C. Sie heißt die Transformationsmatrix des Basiswechsels und wird mit TC B bezeichnet. Alexander Lytchak 12 / 12