Lineare Algebra I 14. Tutorium Lineare Abbildungen und Matrizen

Transkript

1 Lineare Algebra I 4 Tutorium Lineare Abbildungen und Matrizen Fachbereich Mathematik WS / Prof Dr Kollross 7 Februar Dr Le Roux Dipl-Math Susanne Kürsten Aufgaben Aufgabe G (Bewegungen im ) Als Bewegung im werden Spiegelungen, Drehungen und beliebige Zusammensetzungen von Spiegelungen und Drehungen bezeichnet Drehungen um den Koordinatenursprung in und Spiegelungen an einer Gerade durch den Koordinatenursprung sind lineare Abbildungen (a) Betrachten Sie die Abbildung ϕ :, x x x Geben Sie eine Matrix A an, sodass ϕ ϕ A die Multiplikation mit A ist Stellen Sie einige Vektoren aus und ihre Bilder unter ϕ graphisch dar Welche Bewegung im wird durch diese Abbildung beschrieben? (b) Es sei α [, π) Betrachten Sie die Abbildung ϕ α :, x x x x cos α x sin α x sin α + x cos α Geben Sie eine Matrix A α an, sodass ϕ α ϕ Aα die Multiplikation mit A α ist Stellen Sie einige Vektoren aus und ihre Bilder unter ϕ graphisch dar Welche Bewegung im wird durch diese Abbildung beschrieben? (c) Es sei χ die Abbildung, welche die Spiegelung an der x -Achse beschreibt Geben Sie eine explizite Abbildungsvorschrift für χ an (in der Form, wie sie in den Aufgabenteilen (a) und (b) gegeben ist) Bestimmen Sie weiterhin eine Matrix B mit χ ϕ B (d) Es sei χ die Abbildung, welche die Spiegelung an Gerade x x beschreibt Geben Sie eine explizite Abbildungsvorschrift für χ an Bestimmen Sie weiterhin eine Matrix B mit χ ϕ B (e) Berechenen Sie χ auf zwei Arten: () Setzen Sie die expliziten Abbildungsvorschriften ineinander ein () Multiplizieren Sie die zu den Abbildungen gehörigen Matrizen in der richtigen Reihenfolge (siehe Satz 553 aus der Vorlesung) Die zu der entstehenden Matrix gehörige Abbildung ist dann die gesuchte Zusammensetzung Ergeben beide Wege wirklich dasselbe Ergebnis? Welche der Abbildungen aus den vorherigen Aufgaben ist diese Zusammensetzung? Lösung: (a) Die gesuchte Matrix A ist offensichtlich A

2 Da die Abbildung linear ist reicht es sich die Bilder der Standardbasisvektoren e : und e : unter ϕ zu überlegen Man erkennt, dass die Abbildung e auf e und e auf e abbildet Durch die graphische Darstellung sieht man, dass es sich bei ϕ um eine Drehung um π um den Ursprung (in mathematisch positiver Richtung) handelt (Die gesamte Abbildung muss diese Drehung sein, da sowohl Drehung, als auch ϕ linear sind, und eine lineare Abbildung durch die Bilder einer Basis eindeutig bestimmt ist) (b) Die gesuchte Matrix A ist offensichtlich cos α A α sin α sin α cos α Es gilt A α (e ) cos α sin α und A α (e ) sin α cos α Graphisch, bzw unter Verwendung der bekannten Formel sin x +cos x x und der geometrischen Formeln sin α Gegenkathete Hypotenuse Ankathete und cos α Hypotenuse erkennt man, dass dies gerade einer Drehung um α um den Koordinatenursprung (in mathematisch positiver Richtung) ist (c) Es gilt offensichtlich χ (e ) e und χ (e ) e Aus der Linearität von χ ergibt sich dann χ x x χ (x e + x e ) x χ (e ) + x χ (e ) x e x e x x Dh die explizite Abbildungsvorschrift ist χ :, x x x x Die zugehörige Matrix B ist B : (d) Anschaulich erkennt man, dass χ (e ) e und χ (e ) e gilt Aus der Linearität von χ ergibt sich dann χ x x χ (x e + x e ) x χ (e ) + x χ (e ) x e + x e x x Dh die explizite Abbildungsvorschrift ist χ :, x x x x Die zugehörige Matrix B ist B : (e) () Man berechnet explizit ( χ x ) x χ x x x x x x Dh es gilt χ :, x x x x

3 () Die Multiplikation der entsprechenden Matrizen ergibt A π B Dh es gilt χ :, x x x x Offensichtlich stimmen die Ergebnisse unter () und () überein Außerdem erkennt man, dass gilt χ χ Aufgabe G (Matrizen linearer Abbildungen bezüglich verschiedener Basen) (a) Gegeben sei die lineare Abbildung ϕ :, x x x x Bestimmen Sie eine Basis B von und eine Basis C von, sodass die Matrix [ϕ ] B C dieser Basen die Einheitsmatrix ist (b) Gegeben sei die lineare Abbildung ϕ : 3 4, x x x 3 x x x 3 x x x 3 der Abbildung bezüglich Bestimmen Sie eine Basis D von 3 und eine Basis F von 4, sodass die Matrix [ϕ ] D F dieser Basen ist der Abbildung bezüglich Hinweis: In der Vorlesung wurde ein Satz bewiesen, der aussagt, dass man zu jeder linearen Abbildung Basen findet, so dass die zugehörige Matrix die Identität eventuell ergänzt um einige Nullzeilen und/oder Nullspalten ist Lösung: (a) Es gilt ϕ und ϕ Man setzt nun b :, b :, c :, c : Die Vektoren b und b bzw c und c sind offensichtlich linear unabhängig Dh B (b, b ) und C (c, c ) sind Basen von Wegen ϕ (b ) c und ϕ (b ) c gilt Dh die gesuchten Basen sind gefunden [ϕ ] B C 3

4 (b) In dem Beweis des im Hinweis erwähnten Satzes aus der Vorlesung wird eine mögliche Konstruktion der beiden Basen angegeben Dabei besteht F aus einer Basis des Bildes von ϕ ergänzt zu einer Basis von 4 und D aus einer Basis des Kerns von ϕ zusammen mit je einem Urbild der Basisvektoren von im ϕ aus F Die hier gegebene Abbildung ist gerade die Abbildung ϕ A aus der Aufgabe G3 vom Tutorium 3 Aus dieser Aufgabe ist bekannt, dass das Bild von ϕ von den Vektoren f :, f : und f 3 : aufgespannt wird Die zugehörigen Urbilder sind offensichtlich d :, d : und d 3 : Außerdem sieht man sofort, dass ker ϕ {} gilt und der Vektor f 4 : die Vektoren f, f, f 3 zu einer Basis ergänzt Man setzt nun also Wegen D : (d, d, d 3 ) und F : (f, f, f 3, f 4 ) ϕ (d ) f + f + f 3 + f 4 ϕ (d ) f + f + f 3 + f 4 ϕ (d 3 ) f + f + f 3 + f 4 folgt [ϕ ] D F Dh die gesuchten Basen sind gefunden Aufgabe G3 (Basiswechsel) Die lineare Abbildung ϕ : 3 3 habe bezüglich der Standardbasis E (e, e, e 3 ),, die Matrix [ϕ] E E 3 Bestimmen Sie die Matrix [ϕ] B B von ϕ bezüglich der Basis B (b, b, b 3 ),, 4

5 Lösung: Aus der Vorlesung ist bekannt, dass [ϕ] B B [id]e B [ϕ]e E [id]b E S [ϕ] E E S mit der Übergangsmatrix S [id] B E Wegen b e e e 3, b e + e 3, b 3 e + e + e 3 und der Definition von Übergangsmatrizen gilt S Die Inverse von S bestimmt man mit Hilfe des Gaußalgorithmus wie folgt I I+I I I I+I I I I I I I I I Folglich gilt Daraus folgt I I I I I I+I I I I I I S [ϕ] B B S [ϕ] E E S