Kapitel 3 Lineare Algebra

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1 Kapitel 3 Lineare Algebra

2 Inhaltsverzeichnis VEKTOREN... 3 VEKTORRÄUME... 3 LINEARE UNABHÄNGIGKEIT UND BASEN... 4 MATRIZEN... 6 RECHNEN MIT MATRIZEN... 6 INVERTIERBARE MATRIZEN... 6 RANG EINER MATRIX UND ELEMENTARE UMFORMUNGEN... 7 LINEARE ABBILDUNGEN... 8 DETERMINANTEN... 9 SKALARPRODUKTE... 1 GRUNDLEGENDES... 1 ORTHOGONAL Lineare Algebra Markus Kessler Seite 2 von 11

3 Vektoren Ve k t o r r ä u m e Grundlegend besteht ein Vektor aus einem Körper K (z.b.: C, R, Z 2 ) sowie dessen Elemente (= Skalare). Als Beispiel betrachten wir einen Körper mit drei Skalaren: Definition Vektorraum x 1 x 1 K 3 = ( x 2 ) ; x 3 K K 3 2 = ( x 2 ) + ( x 3 y 1 y 2 x 1 + y 1 λ x 1 ) = ( x 2 + y 2 ) ; λ K 3 = ( λ x 2 ) y 3 x 3 + y 3 λ x 3 Man erkennt leicht, dass (K n, +) eine abelsche Gruppe bildet. Das neutrale Element ist der Nullvektor und das Inverse von x ist x. Betrachtet man nun V = K n, also (V, +) als abelsche Gruppe und K als Körper, dann ist die algebraische Struktur (V, +, K) ein Vektorraum (bzw. linearer Raum) über K, wenn folgende Eigenschaften für alle λ, μ K und x, y V erfüllt sind: λ (x + y ) = λ x + λ y (λ + μ) x = λ x + μ x (λμ) x = λ (μ x ) 1 x = x Die Prüfung eines Vektorraums ist einfach. Man nimmt zwei Vektoren x, y V sowie λ K und prüft ob x + y V sowie λ x V gültig ist. Definition Unterraum/Teilraum Man nimmt eine nichtleere Teilmenge U von V. Bildet (U, +, K) wieder einen Vektorraum, dann heißt U Unterraum oder Teilraum von V (Kurzschreibweise U V) Auch hier ist der Beweis gleich einfach wie beim Vektorraum. Man nimmt zwei Vektoren aus U und prüft die Gültigkeit der Addition sowie der skalaren Multiplikation. Zum Beispiel sind alle Vielfachen eines Vektors ein Unterraum von diesem. Definition Nebenraum Ein verschobener Unterraum, also eine Nebenklasse ist der Nebenraum N. N = x + U = {x + u u U} Ein Nebenraum besteht immer aus einem Ortsvektor x und dem eigentlichen Vektor u aus dem Unterraum. g = x + [v] ist also eine Gerade, die um x verschoben, aber parallel zu [v] (= skalares Vielfaches) ist. ε = {x = x + λ 1 v 1 + λ 2 v λ 2 1, λ 2 R} bildet eine Ebene. Die Vektoren v, 1 v 2 spannen einen Unterraum auf. Dieser Unterraum ist eine Ebene, der beide Vektoren enthält. Definition Linearkombination Eine Linearkombination besteht immer aus endlich vielen Vektoren sowie dem einzelnen Koeffizienten zu jedem Vektor. Die Idee dahinter ist, dass man untersuchen möchte, ob sich ein bestimmter Vektor durch die Summe von Vielfachen anderer Vektoren darstellen lässt. Die Menge aller Linearkombinationen einer Menge von Vektoren wird lineare Hülle genannt. Lineare Algebra Markus Kessler Seite 3 von 11

4 Beispiel in R Der Vektor ( 4) ist eine Linearkombination der Vektoren ( 2) und ( ), denn Definition Lineare Hülle ( 4) = 2 ( 2) + 5 ( ) Die lineare Hülle [M] einer nichtleeren Teilmenge M von V ist nichts anderes, als die Menge aller Vektoren, die durch Linearkombinationen von endlich vielen Vektoren gebildet werden können. Da man einen Vektor nicht verschieden darstellen kann, gibt es auch nur endlich viele Lösungen. Beispielweise ist [v ] = {λ v λ K} die lineare Hülle eines Vektors v. Es gilt M V [M] V sowie M V [M] ist der kleinste Unterraum der M enthält. L i n e a r e U n a b h ä n g i g k e i t u n d B a s e n Linear unabhängig Sind zwei Vektoren v, 1 v 2 linear unabhängig, bedeutet das, dass v 2 kein Vielfaches von v 1 ist. Weitet man diesen Grundsatz auf eine Menge M von Vektoren aus, so heißt diese Menge linear unabhängig, wenn kein Vektor aus M, durch eine Linearkombination der anderen Vektoren aus M dargestellt werden kann. Lässt sich ein Vektor aus M durch eine Linearkombination der anderen Vektoren darstellen, heißt die Menge linear abhängig. Auf den ersten Blick scheint das Überprüfen der linearen Unabhängigkeit relativ aufwendig zu sein. Als Hilfe kann folgender Grundsatz verwendet werden: λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n = Eine Menge M = {v 1, v 2,, v n } von Elementen eines Vektorraums V ist genau dann linear unabhängig, wenn nur die trivialen Linearkombinationen den Nullvektor darstellen. Jedenfalls heißt eine Linearkombination trivial, wenn alle Koeffizienten λ i = (1 < i n). Andernfalls wäre die Linearkombination nicht trivial. Eine anschauliche Erklärung findet man in der Beispielsammlung unter Aufgabe 479. Definition Basis Eine Basis B ist eine Teilmenge eines Vektorraums. Diese Teilmenge muss linear unabhängig sein und zusätzlich muss [B] (lineare Hülle von B) gleich V sein. Es lässt sich also jeder Vektor x V als Linearkombination von Vektoren der Basis darstellen. Die Koeffizienten der Linearkombination heißen Koordinaten von x bezüglich der Basis B. Kanonische Basis Die Kanonische Basis ist eine grundlegende Basis für Vektorräume. Für einen n-dimensionalen Vektorraum existieren n Basisvektoren. e 1 = 1, e 2 = 1,, e n = K n ( ) ( ) ( 1) Dabei ist jeder Basisvektor linear unabhängig, da er offensichtlich nicht durch eine Kombination der anderen Vektoren dargestellt werden kann. Lineare Algebra Markus Kessler Seite 4 von 11

5 Definition Dimension Besitzt ein Vektorraum V eine endliche Basis B, so ist die Dimension von V (= dim V) gleich der Anzahl der Vektoren von B (= B ). Besitzt V keine endliche Basis, so heißt der Vektorraum unendlichdimensional. Beispiel Kanonische Basis: Man betrachtet einen n-dimensionalen Raum. Mithilfe der Kanonischen Basis E = {e, 1 e, 2, }, e n kann man jeden Vektor aus K n darstellen. x 1 1 x 2 1 x = x 3 = x 1 + x x n ( x n) ( ) ( ) ( 1) x 1, x 2,, x n sind die Koordinaten bezüglich E. Für die Dimension gilt: dim K n = n. Koordinatenabbildung Wir möchten jetzt das Modell verallgemeinern. V sei ein allgemeiner Vektorraum der Dimension n und B = {b, 1, b 2, b } n eine Basis von V. Es lässt sich also jeder Vektor x V als eindeutige Linearkombination mithilfe der Basisvektoren darstellen. x = λ 1 b 1 + λ 2 b λ n b n Zu einer bestimmten Basis existiert also die bijektive Koordinatenabbildung φ B : V K n, die einem Vektor x V die Koordinaten zuordnet. λ 1 λ 2 φ B (x ) = λ 3 ( λ n) Diese Abbildung erfüllt zusätzlich noch folgende zwei Bedingungen: φ B (x + y ) = φ B (x ) + φ B (y ) und φ B (λ x ) = λ φ B (x ) Lineare Algebra Markus Kessler Seite 5 von 11

6 Matrizen R e c h n e n m i t M a t r i z e n Definition Matrix Eine Matrix ist eine tabellarische Ansammlung von Werten. Sie ist immer rechteckig, kann auch quadratisch sein. Die Größe einer Matrix wird auch mit Dimensionen ausgedrückt. Das ist die Anzahl der Spalten bzw. die Anzahl der Zeilen. Eine Matrix mit m-zeilen und n-spalten wird kurz als A K mxn bezeichnet. Definition transponierte Matrix (A T ) Eine transponierte Matrix, wird an ihrer Symmetrieachse gespiegelt. Bei einer symmetrischen Matrix, ist A und A T gleich. Multiplikation von Matrizen A = ( ) AT = ( 2 5) A = ( 2 5 4) A T = ( 2 5 4) Beispiel anhand der Multiplikation ( ) ( ) ( 1 3 ) ( 2 2 ) (1 2) = ( 2) = 2 (3 2) ( 2) = ( 2) ( 2) = 1 Definition Einheitsmatrix (I n ) In der Einheitsmatrix wird die Diagonale mit 1er gefüllt, alle anderen Stellen sind : I 2 = ( 1 1 ) I n v e r t i e r b a r e M a t r i z e n Definition inverse Matrix Existiert für eine Matrix A eine andere Matrix A 1, sodass gilt A A 1 = A 1 a = I n, so heißt diese Matrix invertierbar oder regulär. A 1 ist die inverse Matrix zu A. Eine Matrix ist dann invertierbar, wenn die lineare Hülle der Spalten von A ganz K n ist, also der Rang von A K nxn gleich n ist. Definition singuläre Matrix Eine nicht invertierbare Matrix wird als singulär bezeichnet. Überprüfung auf Invertierbarkeit Eine Matrix ist singulär, wenn ihre Determinante ist. Lineare Algebra Markus Kessler Seite 6 von 11

7 R a n g e i n e r M a t r i x u n d e l e m e n t a r e U m f o r m u n g e n Definition Rang Der Spaltenrang einer Matrix ist die Dimension der linearen Hülle der Spalten von A. Der Zeilenrang und Spaltenrang ist immer gleich, deshalb spricht man auch nur von dem Rang. Berechnung des Rangs Man entwickelt die Matrix in eine Dreiecksmatrix und zählt die Glieder der Hauptdiagonale ungleich. Dafür verwenden wir die elementaren Spaltenumformungen A = ( ) ( ) ( Der Rang dieser Matrix ist demnach 3. Definition der elementaren Spaltenumformungen Die drei elementaren Spaltenumformungen sind: (S2 2x S1, S3 + 3x S1) (S3 7x S2, S4 8x S2) (S4 S3) Multiplikation einer Spalte mit einem Skalar λ ) ( ) Addieren eines Vielfachen einer anderen Spalte, d.h. ersetzen der Spalte a j durch λa i + a j (i j) Vertauschen zweier Spalten a i, a j (i j) Definition der elementaren Zeilenumformungen Die drei elementaren Zeilenumformungen sind: Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar λ Addieren eines Vielfachen einer anderen Zeile, d.h. ersetzen der Zeile a j durch λ a i + a j (i j) Vertauschen zweier Zeilen a i, a j (i j) Berechnung der inversen Matrix Zur Berechnung der inversen Matrix, wandelt man A in eine Dreiecksmatrix um. Dabei führt man die elementaren Zeilen- und Spaltenumformungen nicht nur auf A sondern auch auf A 1 aus. A Z2 Z1, Z3 Z1 Z3 Z ( ) ( ) ( ) Z1 + 2x Z2 Z2 ½ Z3 Z2 * (-1), Z3 * (- ½ ) ( ) ( ) ( 1 2 2) A 1 = ( 2 2) Lineare Algebra Markus Kessler Seite 7 von 11

8 Lineare Abbildungen Definition einer linearen Abbildung Eine Abbildung f: V W zwischen zwei Vektorräumen V und W (über demselben Körper K) ist linear, wenn sie die folgenden beiden Eigenschaften für x, y V; λ K hat. f(x + y ) = f(x ) + f(y ) f(λ x ) = λ f(x ) Kern von f Der Kern von f umfasst alle x V, für die f(x ) = gilt. Die Kurzschreibweise ist ker(f) Defekt von f Die Dimension des Kerns von f ist der Defekt von f. Die Kurzschreibweise ist def(f) Bild von f def(f) = dim(ker(f)) Das Bild von f definiert die Funktion f(v) = {f(x ) x V}. Die Kurzschreibweise ist f(v) Rang von f Die Dimension des Bildes von f ist der Rang von f. Die Kurzschreibweise ist rg(f) rg(f) = dim(f(v)) Rangformel rg(f) + def(f) = dim V Ein passendes Beispiel wäre Aufgabe 57 in der Beispielsammlung. Lineare Algebra Markus Kessler Seite 8 von 11

9 Determinanten Definition Determinante Die Determinante einer Matrix ist durch det A = sgn(π)a π(1)1 a π(2)2 a π(n)n π S n gegeben. (S n bezeichnet die Menge aller Permutationen der Zahlen 1,2,, n und sgn(π)das Vorzeichen einer Permutation π) Schreibweise der Determinante Berechnung der Determinante A = ( ) det A = Die Determinante einer 2x2 Matrix ist einfach zu berechnen (2! = 2): det A = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 12 a 21 Man zieht also von dem Produkt der Hauptdiagonale das Produkt der anderen Diagonalen ab. Bei einer 3x3 Matrix gibt es allerdings schon 3! = 6 Permutationen: a 11 a 12 a 13 det A = a 21 a 31 a 22 a 32 a 23 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 a 33 Eine große Hilfe ist es, wenn man die Matrix zuerst mit dem Gauß schen Eliminationsverfahren vereinfacht, da in einer Dreiecksmatrix die Kreuzprodukte für die Subtraktion wegfallen. Sonstiges über die Determinante Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn det A. det(a B) = det A det B A, B K nxn det(a 1 ) = (det A) 1 Wenn A K nxn invertierbar ist det(a T ) = det A A K nxn Lineare Algebra Markus Kessler Seite 9 von 11

10 Skalarprodukte G r u n d l e g e n d e s Definition des Skalarproduktes Das gewöhnliche Skalarprodukt von x, y R n ist die Summe der gliedweisen Multiplikation Das Skalarprodukt besitzt bestimmte Eigenschaften: x, y = y, x x, y 1 + y 2 = x, y 1 + x, y 2 x, λ y = λ x, y x, x ; x, x = x = Definition der Länge x, y = x 1 y 1 + x 1 y x n y n Die Länge eines Vektors x, ist die Wurzel des Skalarproduktes mit sich selber. Auch die Länge besitzt bestimmte Eigenschaften: x ; x = x = λx = λ x x = x, x = x x x n 2 x + y x + y Dreiecksungleichung: Abb (direkter Weg ist immer kürzer) Definition des Winkels Allgemein ist der Winkel zweier Vektoren so definiert: Dagegen kann noch der Spezialfall betrachtet werden: x, λx x λ x x, y cos φ = x + y λ x, x 1 (λ > ) = 2 = λ x 1 (λ < ) Mit der Winkel- und Längenmessung haben wir eine geometrische Struktur über dem Vektorraum! Ein Beispiel dazu ist Aufgabe 579 in der Beispielsammlung! Sonstiges Cauchy-Schwarz sche Ungleichung: x, y x y Es gilt: x + y 2 = x 2 + y 2, wenn x und y orthogonal sind (Beweis im Buch S. 134) Lineare Algebra Markus Kessler Seite 1 von 11

11 O r t h o g o n a l Definition orthogonal Sind zwei Vektoren orthogonal, ist deren Skalarprodukt. x, y = Außerdem bedeutet das, dass die Vektoren einen rechten Winkel bilden. Obwohl das in höheren Dimensionen nicht vorstellbar ist, gilt es für alle R n. Definition Orthonormalbasis (ONB) Eine Basis B = {b, 1, b 2, b } n des R n heißt Orthonormalbasis (ONB), wenn die Basisvektoren b, 1, b 2, b n normiert und paarweise orthogonal sind. Das bedeutet, dass das Skalarprodukt zweier unterschiedlicher Basisvektoren immer ergibt, während das Skalarprodukt eines Basisvektors mit sich selber 1 ergibt. Beispiel R 2 b, i b j = { 1, für i = j, für i j ( 1 ) ( 1 ) Definition orthogonale Matrix In einer orthogonalen Matrix ist jede Spalte normiert. Das Skalarprodukt zweier unterschiedlicher Spalten ist, das Skalarprodukt von einer Spalte mit sich selber ist 1. Dasselbe trifft auch auf die Zeilen zu. Es gilt: P P T = P T P = I n P T = P 1 Lineare Algebra Markus Kessler Seite 11 von 11