Lineare Algebra und Computer Grafik

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1 Lineare Algebra und Computer Grafik Vorlesung an der Hochschule Heilbronn (Stand: 7 Mai ) Prof Dr V Stahl Copyright 6 by Volker Stahl All rights reserved

2 Inhaltsverzeichnis Vektoren 4 Vektoren und Skalare 4 Einsatz von Vektoren in der Computer Grafik 4 3 Rechenoperationen auf Vektoren 7 3 Vektor Addition 7 3 Skalare Multiplikation, Kollineare Vektoren 8 33 Vektor Negation 34 Vektor Subtraktion 35 Vektor Division 36 Skalarprodukt 37 Länge, Betrag, Euklidische Norm 3 38 Senkrechte bzw Orthogonale Vektoren 5 39 Einheitsvektoren, normierte Richtungsvektoren 6 3 Winkel zwischen Vektoren 7 Geraden und Ebenen im Raum Geraden Ursprungsgeraden Affine Geraden 3 Zwei Punkte Form der Geraden 3 4 Geradensegmente 4 Ebenen 5 Ursprungsebenen 5 Affine Ebenen 8 3 Drei Punkte Form der Ebene 8 4 Normalenvektor einer Ebene, Kreuzprodukt 3 5 Hessesche Normalform 3 6 Implizite Form 33 7 Ebenensegmente 34 3 Schnittpunkt von Ebenen und Geraden 34 3 Genau ein Schnittpunkt 36 3 Kein Schnittpunkt Unendlich viele Schnittpunkte 39 3 Spannräume 4 3 Linearkombinationen 4 3 Lineare Abhängigkeit Austauschbarkeit Dimension und Basis 47 4 Lineare Gleichungssysteme, Gauß Algorithmus 5 5 Lineare Funktionen 55 5 Eigenschaften linearer Funktionen 55 5 Geometrische Transformationen 6 5 Streckung 6 5 Punktspiegelung 6 53 Drehung 6

3 54 Translation 6 55 Orthogonalprojektion Perspektivische Projektion 63 6 Matrizen 67 6 Darstellung linearer Funktionen durch Matrizen 67 6 Rechenoperationen auf Matrizen 7 6 Matrix Vektor Multiplikation 7 6 Matrix Addition 7 63 Matrix Skalare Multiplikation Matrix Matrix Multiplikation Matrix Inversion Matrix Transposition 8 63 Vektoren als spezielle Matrizen 8 64 Orthogonale Matrizen 8 7 Homogene Koordinaten 85 7 Der große Trick 85 7 Blick ins Unendliche 87 7 Arithmetik mit homogenen Koordinaten 88 7 Homogene Matrizen für geometrische Transformationen 89 7 Translation 89 7 Rotation 9 73 Allgemeine lineare Transformationen Perspektivische Projektion 94 8 Koordinatensysteme 96 8 Transformationen bzgl des Weltkoordinatensystems 96 8 Relative Transformationen bzgl des Cursorkoordinatensystems Koordinatensystem Transformationen 3

4 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 4 Vektoren Vektoren und Skalare Die Menge aller n-tupel reeller Zahlen wird mit R n bezeichnet, dh R n = {(x,x,,x n ) x i R, i =,,,n} Ein reeller n-dimensionaler Vektor ist (für uns zunächst einmal) nichts anderes als ein n-tupel reeller Zahlen Um Vektoren von normalen reellen Zahlen zu unterscheiden, werden Vektoren durch einen Pfeil gekennzeichnet So bedeutet also x R n, a R dass x ein n-dimensionaler Vektor und a eine relle Zahl ist Statt reelle Zahl sagt man auch Skalar Analog zu den bekannten Rechenoperationen auf Skalaren (Addition, Multiplikation, usw) werden wir in diesem Kapitel entsprechende Rechenoperationen auf Vektoren definieren Aus Darstellungsgründen ist es daher zweckmäßig, die Komponenten eines Vektors nicht wie bisher nebeneinander zu schreiben sondern untereinander Ein n-dimensionaler Vektor schreibt sich somit wie folgt: x = x x x n, x i R, i =,,,n Die Skalare x,x,,x n heißen Komponenten oder Koordinaten des Vektors x Einsatz von Vektoren in der Computer Grafik Was kann man mit Vektoren anfangen? Hierzu ein paar Beispiele Wie der Name der Vorlesung schon suggeriert, spielen Vektoren eine zentrale Rolle in der Computer Grafik Ein Vektor kann dazu benutzt werden um die Position eines Punktes in einem zwei- oder dreidimensionalen Raum zu beschreiben Vektoren, die diesem Zweck dienen, nennt man auch Ortsvektoren Möchte man in einer virtuellen Welt Objekte an bestimmten Stellen positionieren, gibt man für jedes Objekt einen Ortsvektor an Voraussetzung hierfür ist allerdings, dass in dem Raum ein Koordinatensystem verankert wurde Der Vektor s = beschreibt zb den Punkt, den man ausgehend vom Koordinatenursprung erreicht wenn man eine Einheit in x-richtung, eine Einheit entgegengesetzt der y-richtung und zwei Einheiten in z-richtung des Koordinatensystems läuft Für diesen Satz würden mich echte Mathematiker sofort erschießen Korrekterweise ist ein Vektor ein Element eines Vektorraums, was wiederum eine längere Geschichte ist Im Rahmen dieses Semesters werden wir mit dieser stark vereinfachten Definition ganz gut leben können

5 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 5 In Computer Grafik Anwendungen werden Objekte in einer virtuellen dreidimensionalen Welt positioniert und mit einer Kamera fotografiert Das entstehende zweidimensionale Bild wird dann auf dem Bildschirm dargestellt Damit man überhaupt etwas sieht muss die 3D Szene beleuchtet werden Im einfachsten Fall arbeitet man mit parallelen Lichtstrahlen, die aus einer bestimmten Richtung kommen Ähnlich wie Positionen können auch Richtungen durch Vektoren beschrieben werden Vektoren, die hierfür herhalten müssen, nennt man Richtungsvektoren Der Vektor r = würde dann die Richtung beschreiben, in die man läuft wenn man zwei Einheiten in x-richtung geht, eine Einheit entgegengesetzt der y-richtung und null Einheiten in z-richtung Man sieht es einem Vektor also nicht an, er zur Beschreibung einer Position oder einer Richtung verwendet wird Übrigens würde der Vektor r = 4 genau die selbe Richtung beschreiben, siehe Bild Sie haben allerdings eine unterschiedliche Länge Statt Länge sagt man auch Betrag eines Vektors y y x x r r Abbildung : Zwei unterschiedliche Vektoren mit gleicher Richtung Das Zusammenspiel eines Orts- und eines Richtungsvektors ist in Bild dargestellt Ein Würfel wird in einem Koordinatensystem positioniert und mit Licht aus einer bestimmten Richtung beleuchtet Ein Computer Grafik System würde in diesem Fall die linke Seite des Würfels heller darstellen als die obere, da die Lichtstrahlen dort steiler auftreffen Unter anderem muss also der Winkel zwischen einem Vektor und einer Fläche berechnet werden Computer Grafik wäre langweilig, wenn man es nur mit statischen Szenen zu tun hätte Häufig sind die Objekte in unseren virtuellen Welten in Be-

6 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 6 y Licht: Richtungsvektor Position: Ortsvektor x Abbildung : Ortsvektor zur Bestimmung der Position, Richtungsvektor für die Richtung des Lichts wegung, dh haben zu jedem Zeitpunkt eine bestimmte Geschwindigkeit Es wird Sie sicher nicht überraschen, dass man auch Geschwindigkeiten durch Vektoren beschreibt Der Vektor v = 3 5 beschreibt die Geschwindigkeit 3m/s in x-richtung, m/s entgegengesetzt der y-richtung und 5m/s in z-richtung Hat ein Objekt zum Zeitpunkt t die Position s(t) und Geschwindigkeit v, dann befindet es sich zum Zeitpunkt t + t an der Position s(t + t) = s(t) + v t Voraussetzung ist allerdings, dass die Geschwindigkeit konstant bleibt Durch entsprechende arithmetische Operationen auf Vektoren lassen sich somit reale physikalische Vorgänge berechnen und dadurch in virtuelle Welten übertragen Etwas dynamischer wird die Szene, wenn die dargestellten Objekte ihre Geschwindigkeit ändern, dh langsamer oder schneller werden oder ihre Richtung ändern Physikalisch bedeutet dies, dass die Objekte beschleunigt werden Beschleunigung ist natürlich ebenfalls eine vektorielle Größe Eine Beschleunigung eines Körpers wird durch eine auf ihn wirkende Kraft verursacht Sie ahnen sicher wodurch Kräfte beschrieben werden Das physikalische Gesetz ist F = m a wobei F der Kraftvektor, m die Masse und a der Beschleunigungsvektor ist Bei diesem Gesetz wird also ein Skalar (die Masse) mit einem Vektor (der Beschleunigung) multipliziert Wie solche Operationen definiert sind, kommt im nächsten Kapitel

7 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 7 3 Rechenoperationen auf Vektoren In diesem Kapitel werden die elementaren Rechenoperationen auf Vektoren und ihre wichtigsten Eigenschaften zusammengefasst 3 Vektor Addition Definition (Addition von Vektoren) Die Vektor Addition + R n R n R n ist definiert durch x x x n + y y y n = x + y x + y x n + y n Zu beachten ist, dass das + auf der linken Seite und die + Zeichen auf der rechten Seite unterschiedliche Funktionen sind! Links ist + R n R n R n die neu definierte Addition von Vektoren, rechts ist + R R R die Addition von reellen Zahlen Die Addition von zwei Vektoren x und y lässt sich grafisch dadurch ausführen, dass man x und y durch Pfeile darstellt und diese aneinandersetzt, siehe Bild 3 Werden Vektoren durch Pfeile in einem Koordinatensystem dargestellt, ist 3 ( ) ( 4 3 ) 3 ( 3 ) ( 3 ) ( 4 ) ( ) 3 Abbildung 3: Addition zweier Vektoren es in der Regel zweckmässig zu erlauben, dass sie frei verschiebbar sind Möchte

8 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 8 man einen Vektor dazu benutzen um die Position eines Punktes in einem Koordinatensystem zu beschreiben, dann wird man bei der grafischen Darstellung allerdings schon darauf bestehen, dass der Vektor im Koordinatenursprung befestigt ist Theorem Eigenschaften der Vektor Addition Für alle x, y, z R n gilt x + y = y + x x + ( y + z) = ( x + y) + z x + = x (Kommutativität) (Assoziativität) (Neutrales Element) Dabei ist = der sogenannte Nullvektor Die og Eigenschaften folgen unmittelbar aus den entsprechenden Eigenschaften der Rechenoperationen auf reellen Zahlen Die Assoziativität der Vektor Addition würde man zb wie folgt herleiten: x + ( y + z) = = = = x x x n + x + (y + z ) x + (y + z ) x n + (y n + z n ) (x + y ) + z (x + y ) + z (x n + y n ) + z n x + y x + y x n + y n y + z y + z y n + z n + z z z n Hier wird die Assoziativität der reellen Addition ausgenutzt = ( x + y) + z 3 Skalare Multiplikation, Kollineare Vektoren Als nächstes würde man erwarten, dass man analog zur Multiplikation reeller Zahlen eine Vektor Multiplikation aus der Menge R n R n R n

9 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 9 definiert Dies ist jedoch nicht der Fall Die Multiplikation, die wir definieren ist aus R R n R n, dh das erste Argument ist kein Vektor sondern ein Skalar! Man nennt diese Multiplikation daher auch Skalare Multiplikation Definition 3 (Skalare Multiplikation) Die Skalare Multiplikation ist definiert durch durch a R R n R n x x x n = ax ax ax n Wiederum ist zu beachten, dass das auf der linken Seite und die Multiplikationen auf der rechten Seite unterschiedliche Funktionen sind Links ist R R n R n die neu definierte Skalare Multiplikation einer reellen Zahl mit einem Vektor, rechts stehen Multiplikationen von reellen Zahlen Üblicherweise lässt man den Punkt einfach weg und schreibt a x um die Skalare Multiplikation von dem Skalar a R und dem Vektor x R n auszudrücken Die Skalare Multiplikation a x lässt sich grafisch dadurch ausführen, dass man den Vektor x als Pfeil darstellt und ihn um Faktor a streckt Interessant wird s wenn a negativ ist: In diesem Fall kehrt der Pfeil seine Richtung um, siehe Bild 4 ( ) ( ) ( ) 3 4 Abbildung 4: Skalare Multiplilation

10 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite Das nächste Theorem fasst die wichtigsten Eigenschaften der Skalaren Multiplikation zusammen Machen Sie sich dabei klar, welche Operationen auf Vektoren und welche auf Skalaren definiert sind! Theorem 4 Für alle a,b R und für alle x, y R n gilt a( x + y) = a x + a y (a + b) x = a x + b x (Pseudo Distributivität) (ab) x = a(b x) x = x (Pseudo Assoziativität) (Pseudo neutrales Element) Vektoren, die durch eine Skalare Multiplikation auseinander hervorgehen, haben entweder gleiche, oder aber entgegengesetzte Richtung Solche Vektoren nennt man kollinear Definition 5 (Kollineare Vektoren) Zwei Vektoren x, y R n \ { } heißen kollinear, wenn es ein a R gibt so dass y = a x Damit ist kollinear eine Relation auf Vektoren, dh kollinear = {( x, y) x, y R n \ { } a R y = a x} Beispiel 6 Die beiden Vektoren x = ( ) ( 4, y = ) sind kollinear, während x = ( 4 3 ) ( 3, y 4 ) nicht kollinear sind Beispiel 7 Kein Vektor ist kollinear zum Nullvektor Das macht Sinn, da der Nullvektor ja keine Richtung hat 33 Vektor Negation Definition 8 Die Vektor Negation ist definiert durch R n R n x = ( ) x

11 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite Die Vektor Negation ist somit eine einstellige Funktion auf R n Sie ist ein Spezialfall der Skalaren Multiplikation a x für a = Man hätte natürlich auch gleichbedeutend definieren können x = x x x n Wie in Bild 4 dargestellt, ist x der selbe Vektor wie x nur in entgegengesetzter Richtung 34 Vektor Subtraktion Hat man die Vektor Negation, kriegt man die Vektor Subtraktion quasi geschenkt Definition 9 (Vektor Subtraktion) Die Vektor Subtraktion ist definiert durch durch R n R n R n x y = x + ( y) Man hätte natürlich gleichbedeutend definieren können x y x y x y = x n y n Die erste Definition hat jedoch den Vorteil, dass sie grafisch leichter interpretierbar ist Stellt man sich x und y wieder als Pfeile in einem Koordinatensystem vor, dann berechnet man x y indem man y umdreht und an x dransetzt, siehe Bild 5 Das Bild zeigt auch, dass man sich den Vektor x y als den Vektor vorstellen kann, der vom Endpunkt von y zum Endpunkt von x geht x y y x y x y Abbildung 5: Subtraktion zweier Vektoren

12 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 35 Vektor Division Vergessen Sie s Vektoren kann man nicht durcheinander dividieren Was man manchmal liest sind Ausdrücke wie x a wobei x ein Vektor und a ein Skalar ist Das bedeutet jedoch nichts anderes als a x, dh eine Skalare Multiplikation von /a und x Das klappt natürlich nur wenn a ist 36 Skalarprodukt Die Skalarprodukt Operation kann man mit guten Recht als wichtigste Operation für die Computer Grafik bezeichnet werden Sie tritt nicht nur bei der Berechnung der Länge oder des Winkels zwischen Vektoren auf Die später zu behandelnden Matrix Operationen lassen sich alle durch Skalarprodukte beschreiben Grafikkarten verwenden den größten Teil ihrer Rechenleistung auf Skalarprodukt Operationen Frühe Superrechner wie zb die berühmten Cray s waren deshalb so erfolgreich, weil sie spezielle Pipeline Rechenwerke für die effiziente Berechnung von Skalarprodukten hatten Die damals entwickelte Technologie findet man heute integriert auf Mikroprozessoren wieder Anders als bei der Skalaren Multiplikation sind beim Skalarprodukt beide Argumente Vektoren, das Ergebnis aber dafür ein Skalar Achten Sie darauf, dass Sie Skalare Multiplikation und Skalarprodukt nicht verwechseln! Definition (Skalarprodukt) Das Skalarprodukt R n R n R ist definiert durch x x x n y y y n = x y + x y + + x n y n Auf der rechten Seite stehen nur Multiplikationen und Additionen von Skalaren, auf der linken Seite das neu definierte Skalarprodukt Also zb 3 = 3 + = Die wichtigsten Eigenschaften des Skalarprodukts sind wie folgt

13 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 3 Theorem Für alle a R und für alle x, y, z R n gilt x y = y x ( x + y) z = ( x z) + ( y z) a( x y) = (a x) y (Kommutativität) (Pseudo Distributivität) (Homogenität) x x und x x = genau dann wenn x = (Positive Definitheit) Der Beweis läuft wieder darauf hinaus, dass man die Definitionen der Vektor Operationen (Addition, Skalare Multiplikation, Skalarprodukt) einsetzt, dann hat man nur noch Operationen auf reellen Zahlen und kann dereren Rechengesetze verwenden Als Beispiel vielleicht der Beweis der positiven Definitheit Sei also x R n, x = x x x n ein beliebig aber fest gewählter Vektor Dann ist x x = x x + x x + + x n x n = x + x + + x n Jeder Summand ist größer oder gleich Null, da x i für jede relle Zahl x i Somit ist x x Damit die Summe gleich Null wird, muss jeder Summand x i Null sein Dies ist jedoch nur möglich, wenn x i Null ist für alle i, dh x = 37 Länge, Betrag, Euklidische Norm Die Begriffe Länge, Betrag und Euklidische Norm oder einfach Norm verwenden wir synonym Stellt man einen Vektor x R als Pfeil in einem zweidimensionalen Koordinatensystem dar, so berechnet sich seine Länge nach dem Satz des Pythagoras durch x = x + x, siehe Bild 6 Dies gilt analog auch für n = 3 und obwohl noch niemand die Länge von höherdimensionalen Pfeilen nachgemessen hat, wird die Euklidische Norm allgemein für Vektoren aus R n wie folgt definiert Definition (Euklidische Norm) Die Funktion R n R ist definiert durch x = x + x + + x n

14 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 4 x xxx xxx x = x + x xxx xxx x Abbildung 6: Norm eines Vektors ist die Länge des Pfeils Unter Verwendung des Skalarprodukts lässt sich dies einfach schreiben als x = x x Bitte verwechseln Sie die doppelten Betragsstriche nicht mit der normalen Betragsfunktion Erstere ist auf Vektoren definiert, letztere auf Skalaren! Nur im Fall n = sind beide Operationen identisch Beispiel 3 Wird die Geschwindigkeit eines Körpers durch einen Vektor v R 3 beschrieben, dann ist v der Betrag der Geschwindigkeit, dh ein Skalar Die Richtung, in die sich der Körper bewegt, geht bei der Operation verloren Theorem 4 (Positivität der Norm) Für alle x R n gilt x und x = genau dann wenn x = Dies folgt aus den oben genannten Eigenschaften des Skalarprodukts, ist aber auch geometrisch zumindest für n 3 klar, da die Länge eines Vektors nie negativ sein kann und nur der Nullvektor Länge Null hat Theorem 5 (Dreiecksungleichung) Für alle x, y R n gilt x + y x + y Der Beweis dieses Theorems ist recht mühsam Wenn man sich die Vektor Addition geometrisch vorstellt (schauen Sie dazu nochmal Bild 3 an) und die Euklidische Norm als Länge der Pfeile interpretiert, wird s jedoch sofort klar Man sieht dann auch, dass Gleichheit genau dann gilt wenn x und y die selbe Richtung haben (oder mindestens einer der Vektoren Nullvektor ist)

15 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 5 Theorem 6 Für alle a R und alle x R n gilt a x = a x Aufpassen dass man den Betrag von a auf der rechten Seite nicht vergisst! Der Beweis ist recht einfach: a x = (ax ) + (ax ) + + (ax n ) = a x + a x + + a x n = a (x + x + + x n = a x + x + + x n = a x 38 Senkrechte bzw Orthogonale Vektoren Zwei Vektoren x, y R stehen senkrecht (oder orthogonal) zueinander wenn das Dreieck mit Eckpunkten, x und y einen 9 Grad Winkel bei hat, siehe Bild 7 Im Ausnahmefall wenn x oder y gleich dem Nullvektor sind, hat man kein Dreieck Man legt dann einfach fest, dass der Nullvektor orthogonal zu jedem Vektor ist Der n-dimensionale Fall lässt sich leicht auf den zweidimensionalen Fall reduzieren, da drei Punkte immer in einer Ebene liegen Man kann daher ein Blatt in die Ebene legen, die von, x und y aufgespannt wird und dort die Punkte einzeichnen Danach ist alles wie im Zweidimensionalen Statt senkrecht sagt man auch orthogonal Die vielleicht wichtigste Eigenschaft des Skalarprodukts ist, dass man damit sehr einfach entscheiden kann, ob zwei Vektoren orthogonal zueinander sind x y x y y x y x Abbildung 7: Rechtwinkliges Dreieck mit Eckpunkten, x und y Theorem 7 Für alle x, y R n gilt x y = genau dann wenn x und y orthogonal sind

16 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 6 Also zb ( ) ( 4 ) = 4 4 = Zeichnen Sie die beiden Vektoren in ein Koordinatensystem ein sie stehen senkrecht zueinander! Zum Beweis verwenden wir den Satz des Pythagoras: Ein ebenes Dreieck mit Seitenlängen a,b,c und a,b c ist genau dann rechtwinklig, wenn a + b = c Damit sind x und y orthogonal genau dann wenn siehe Bild 7 Umformen ergibt x + y = x y, x + + x n + y + + y n = (x y ) + + (x n y n ) x + + x n + y + + y n = x + y x y + + x n + y n x n y n = x y x n y n = x y + + x n y n, dh x y = 39 Einheitsvektoren, normierte Richtungsvektoren Ein Vektor, dessen euklidische Norm eins ist, heißt Einheitsvektor Offensichtlich kann man jeden Vektor (außer den Nullvektor) so skalieren, dh mit einem positiven Skalar Multiplizieren, dass er danach Länge eins hat Seine Richtung bleibt dabei erhalten Definition 8 Normierter Richtungsvektor Der normierte Richtungsvektor von x R n, x ist definiert durch e = x x Da / x ein positives Skalar ist, folgt aus den Eigenschaften der Skalaren Multiplikation, dass x und e die selbe Richtung haben Dass e tatsächlich ein Einheitsvektor ist, kann man leicht nachprüfen: e = x x = x x (Theorem 6) = x x =

17 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 7 Normierte Richtungsvektoren spielen dann eine Rolle, wenn man Vektoren dazu benutzen möchte, ausschließlich eine Richtung zu beschreiben und die Länge dabei nur störend ist Die Richtung, aus der Licht in eine Szene fällt oder die Richtung einer Geraden sind typische Beispiele In der Computer Grafik legt man die Orientierung eines Flächenstücks im Raum durch einen Vektor fest, der senkrecht auf der Vorderseite der Fläche steht Zumindest in OpenGL muss man hierfür Einheitsvektoren verwenden Das ist auch sinnvoll, weil dann die Helligkeit, mit der die Fläche dargestellt werden muss wenn sie aus einer bestimmten Richtung angestrahlt wird, einfach zu berechnen ist Was man dazu noch bracht, ist die Berechnung des Winkels zwischen zwei Richtungen 3 Winkel zwischen Vektoren Wenn man sich mit Winkeln beschäftigt, treten einige unangenehme Fragen auf, die normalerweise stillschweigend unter den Teppich gekehrt werden: Meint man den inneren oder den äußeren Winkel, siehe Bild 8? Unter welchen Umständen ist der Winkel zwischen x und y negativ? Winkel werden ja immer gegen den Uhrzeigersinn gemessen Bedeutet das, dass der Winkel zwischen x und y gleich dem negativen Winkel zwischen y und x ist? Tatsächlich werden diese Fragen je nach Anwendung unterschiedlich beantwortet Wenn wir den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen, legen wir fest, dass wir den inneren Winkel meinen und dieser positiv ist Der Winkel α zwischen x und y ist damit gleich dem Winkel zwischen y und x und es gilt immer α < 8 Grad bzw α < π Radian x β x α y y Abbildung 8: Innerer Winkel α bzw äußerer Winkel β zwischen x und y Wie lässt sich nun der Winkel α zwischen zwei Vektoren x und y berechnen? Zunächst muss ausgeschlossen werden, dass einer der beiden Vektoren gleich dem Nullvektor ist, da in diesem Fall der Winkel undefiniert ist Um die Sache etwas Wenn wir uns mit Drehungen beschäftigen werden, treten positive und negative Winkel auf, wobei das Vorzeichen die Drehrichtung bestimmt Auch Winkel größer 36 Grad werden dann eine Bedeutung haben wenn man zb ein Objekt mehr als eine ganze Umdrehung ausführen lassen möchte

18 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 8 zu vereinfachen, kann man beide Vektoren durch ihre jeweiligen normierten Richtungsvektoren e x = e y = x x y y ersetzen Sei dann λ e x der Fusspunkt des Lotes von e y auf e x, siehe Bild 9 Der gestrichelte Vektor von e y nach λ e x ist nach den Gesetzen der Vektor Subtraktion λ e x e y Dieser Vektor steht senkrecht zu e x, nach Theorem 7 gilt also e x (λ e x e y ) = Umformen mit Hilfe der Rechengesetze des Skalarprodukts (Theorem ) ergibt λ e x e x e x e y = Da e x ein Einheitsvektor ist, ist e x e x = und damit folgt λ = e x e y Für den Winkel α ergibt sich somit aus Bild 9 cos α = λ e x e y = λ = e x e y Setzt man die Einheitsvektoren wieder ein, erhält man folgende Formel Theorem 9 Für den Winkel α zwischen zwei Vektoren x, y R n \ { } gilt cos α = x y x y Es ist also nicht schwierig, cos(α) auszurechnen, aber wie kommt man nun auf α? Leider ist die Cosinus Funktion nicht bijektiv, dh man kann α nicht durch Anwenden einer Umkehrfunktion berechnen Tatsächlich tut s für unsere Zwecke aber auch die arccos Funktion Für < α < π gilt nämlich arccos(cos(α)) = α Da wir in weiser Voraussicht festgelegt haben, dass Winkel zwischen Vektoren immer zwischen und π liegen, ist das Problem damit gelöst

19 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 9 y e y α λ e x e x x Abbildung 9: Winkel zwischen x und y Der Kreis hat Radius

20 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite Geraden und Ebenen im Raum Geraden und Ebenen sind geometrisch betrachtet nichts anderes als bestimmte unendliche Punkmengen im dreidimensionalen Raum Die Position eines Punktes kann bzgl eines Koordinatensystems durch einen (Orts-) Vektor angegeben werden Damit sind Geraden und Ebenen (und eigentlich alle geometrischen Gebilde) einfach Mengen von Vektoren Zur grafischen Darstellung verwendet man für Vektoren dann nicht mehr Pfeile sondern zeichnet lediglich deren Endpunkte ein Dies setzt natürlich voraus, dass die Vektoren im Koordinatenursprung befestigt sind Geraden Wir beginnen zunächst mit einem Spezialfall von Geraden, den Ursprungsgeraden Das sind Geraden, die durch den Koordinatenursprung laufen Später wird dann verallgemeinert auf affine Geraden, die beliebig im Koordinatensystem liegen können Ursprungsgeraden Beispiel Sei G = { ( a ) } a R R ¾½½¾ eine Menge von zweidimensionalen Vektoren Zeichnet man jedes Element von G als Punkt in ein zweidimensionales Koordinatensystem ein, so entsteht eine Gerade durch den Ursprung, ½ siehe ¾ Bild ¾ r Abbildung : Ursprungsgerade Eine Gerade, die durch den Ursprung läuft heißt Ursprungsgerade und ist wie folgt definiert Definition (Ursprungsgerade mit Richtungsvektor) Für jeden Vektor r R n \ { } ist die Ursprungsgerade mit Richtungsvektor r definiert durch G = {a r a R}

21 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite Mit dieser Definition haben wir noch lange nicht gesagt, wann eine Menge Ursprungsgerade heißt Wir haben lediglich eine Funktion aus der Menge R n \ { } P(R n ) definiert, die einem Vektor aus R n \ { } eine Menge von Vektoren, dh ein Element von P(R n ) zuordnet Definition 3 Eine Menge G heißt Ursprungsgerade, wenn es ein r R n \ { } gibt so dass G = {a r a R} So Wenn Sie also wissen, dass G eine Ursprungsgerade ist, dann können Sie daraus schließen, dass r R n \ { } G = {a r a R} wahr ist In vielen Beweisen ist das ein entscheidender Schritt Beispiel 4 Sei G = { ( 4 a ) } a R Vergleicht man diese Gerade mit der Geraden { ( ) } G = a a R R aus Beispiel, so stellt man fest, dass G = G Ist nämlich x ein beliebig aber fest gewähltes Element von G, dann existiert ein a R so dass ( ) x = a Wählt man nun a = /a, so ist ( ) x = a ( ) = a 4, und somit folgt x G, dh G G Die umgekehrte Richtung G G zeigt man analog Die oben definierte Funktion, die einem Vektor r R n \{ } die Ursprungsgerade G = {a r a R} zuordnet, ist also nicht injektiv Anders ausgedrückt heißt das, dass man ein und die selbe Gerade durch unterschiedliche Richtungsvektoren darstellen kann Der Richtungsvektor einer Geraden ist nur bis auf einen skalaren Faktor eindeutig

22 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite Theorem 5 Für alle r, s R n, r, s gilt {a r a R} = {a s a R} genau dann wenn r und s kollinear sind Affine Geraden Für jede Ursprungsgerade G gilt offensichtlich G Eine Verallgemeinerung von Ursprungsgeraden sind Geraden, die nicht notwendig durch den Ursprung gehen Solche Geraden nennt man affine Geraden Beispiel 6 Sei G = {( ¾½½ ) ( + a Ô ) } a R Zeichnet man wieder jeden Vektor von G in ein zweidimensionales Koordinatensystem ein, so entsteht eine Gerade, die nicht durch den Ursprung läuft, siehe Bild ¾ ½ ½ ¾ r Abbildung : Affine Gerade Definition 7 (Affine Gerade) Für alle p, r R n, r heißt die Menge G = { p + a r a R} affine Gerade mit Richtungsvektor r und Ortsvektor p Eine Menge von Vektoren G R n heißt affine Gerade, wenn es ein p, r R n, r gibt so dass G = { p + a r a R} Beispiel 8 Sei G = {( 3 ) ( + a ) } a R

23 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 3 Vergleicht man diese Gerade mit der Geraden {( ) ( ) } G = + a a R aus Beispiel 6, so stellt man fest, dass G = G Ist nämlich x G, dann existiert ein a R so dass ( ) ( ) x = + a ( ) ( ) ( ) 3 = + a ( ) ( ) 3 = + (a ) ( ) ( ) 3 = + a für a = a und somit ist x G, dh G G Die umgekehrte Richtung G G zeigt man analog Auch affine Geraden lassen sich somit auf unterschiedliche Weisen darstellen Theorem 9 Sei p, q, r, s R n, r, s und G = { p + a r a R} G = { q + a s a R} Dann ist G = G genau dann wenn G G und r, s kollinear sind 3 Zwei Punkte Form der Geraden Eine affine Gerade kann durch Angabe eines Ortsvektors p und eines Richtungsvektors r definiert werden, dh G = { p + a r a R} Diese Darstellung nennt man auch parametrische Darstellung, da a die Rolle eines Parameters spielt Alternativ ist eine Gerade auch dadurch eindeutig festgelegt, dass man zwei Punkte angibt, durch die die Gerade laufen soll Diese Darstellung nennt man Zwei Punkte Form der Geraden, siehe Bild 3 Theorem Durch je zwei Punkte x, y R n mit x y gibt es genau eine affine Gerade G = { x + a( y x) a R}, dh G ist die Gerade mit Ortsvektor x und Richtungsvektor y x Umrechnen von einer in die andere Darstellung ist denkbar einfach

24 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 4 Hat man einen Ortsvektor p und einen Richtungsvektor r einer Geraden G gegeben, dann sind zwei Punkte auf der Geraden zb x = p y = p + r Hat man andererseits zwei Punkte x, y auf einer Geraden gegeben, dann sind ein Ortsvektor p und ein Richtungsvektor r für diese Gerade zb Ü p = Ý x r = y x y x Abbildung 3: Affine Gerade durch zwei Punkte x und y 4 Geradensegmente In der Computer Grafik spielen vor allem endlich lange Ausschnitte von Geraden eine wichtige Rolle Solche Geradensegmente erhält man, indem man den Parameterbereich von affinen Geraden auf ein endliches Intervall einschränkt Definition (Geradensegment) Eine Menge G R n heißt Geradensegment, wenn es p, r R n, r sowie a,a R mit a a gibt so dass G = { p + a r a a a } Oft werden Geradensegmente durch Angabe ihrer Endpunkte angegeben Definition Für alle x, y R n ist das Geradensegment mit Endpunkten x und y definiert durch G = { x + a( y x) a } Klar, für a = ist und für a = ist x + a( y x) = x x + a( y x) = y

25 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 5 Für die Werte von a zwischen und liegen die Punkte Ü x + a( y x) auf der Geraden durch x und y und zwar zwischen Ý x und y, siehe Bild 4 a( y x) Abbildung 4: Geradensegment mit den Endpunkten x und y Der Parameter a läuft zwischne und Es ist daher immer möglich, den Parameterbereich von Geradensegmenten auf das Intervall [, ] zu normieren, indem man einfach die Endpunkte berechnet Die Endpunkte von G = { p + a r a a a } sind x = p + a r und y = p + a r Legt man das Geradensegment durch diese beiden Punkte, erhält man G = { x + a( y x) a } = { p + a r + a( p + a r ( p + a r)) a } = { p + a r + a((a a ) r a }} = { p + a r a } mit p = p + a r und r = (a a ) r Ebenen Wie bei den Geraden beginnen wir zunächst mit einem Spezialfall von Ebenen, den Ursprungsebenen Das sind Ebenen, die durch den Koordinatenursprung laufen Später wird dann verallgemeinert auf affine Ebenen, die beliebig im Koordinatensystem liegen können Ursprungsebenen Für n = 3 entspricht eine Ebene dem, was man sich normalerweise unter einer zweidimensionalen ebenen Fläche mit unendlicher Ausbreitung vorstellt Für n > 3 spricht man auch von Hyperebenen Während Geraden für beliebige

26 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 6 n immer eindimensionale Gebilde sind, sind Hyperebenen n dimensionale Gebilde Im Folgenden betrachten wir aber nur den für die Computer Grafik wichtigsten Fall n = 3 Beispiel 3 Die Menge E = a 3 + b 4 3 a,b R ist eine Ebene So sind zb die Punkte 7 E, E und damit auch die gesamte Ursprungsgerade 7 G = c c R E Generell gilt für zwei beliebige Punkte x, y E, dass die affine Gerade durch x und y Teilmenge von E ist Definition 4 (Ursprungsebene) Für zwei nicht kollineare Vektoren r, s R 3 mit r, s heißt die Menge E = {a r + b s a,b R} Ursprungsebene mit Richtungsvektoren r und s Eine Menge von Vektoren E R 3 heißt Ursprungsebene, wenn es nicht kollinear Vektoren r, s R 3 mit r, s gibt so dass E = {a r + b s a,b R} Die Forderung, dass r und s nicht kollinear sind ist wichtig, da ie Ebene sonst zu einer Geraden degenerieren würde: Angenommen r und s wären kollinear, dh s = c r, dann wäre Damit wäre E eine Ursprungsgerade E = {a r + b s a,b R} = {a r + bc r a,b R} = {(a + bc) r a,b R} = {a r a R} Beispiel 5 Sei E = a 7 + b 3 4 a,b R

27 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 7 Diese Ursprungsebene ist gleich wie die Ursprungsbene E = a 3 + b 4 3 a,b R aus Beispiel 3, dh E = E Ist nämlich x ein beliebig aber fest gewähltes Element von E, dann existieren a,b R so dass x = a 3 + b 4 3 Damit x auch in E ist, müssen a,b R existieren so dass x = a 7 + b 3 4 Die Werte von a und b kann man berechnen, indem man die beiden Darstellungen von x gleichsetzt Man erhält drei Gleichungen 3a + 4b = 7a + b a b = a 3b a + 3b = a + 4b, die man nach a und b auflösen kann: a = (a + b)/, b = (b a)/ Somit ist x E, dh E E Die umgekehrte Richtung E E zeigt man analog Wie bei Geraden hat man somit auch bei Ebenen eine gewisse Freiheit bei der Wahl der Richtungsvektoren Genau genommen kann man in einer Ursprungsebene E = {a r + b s a,b R} die Richtungsvektoren r, s durch zwei beliebige Elemente x, y E ersetzen Einzige Bedingung ist, dass x und y nicht kollinear und ungleich dem Nullvektor sind Theorem 6 Sei E eine Ursprungsebene und x, y E mit x, y und x, y nicht kollinear Dann ist E = {a x + b y a,b R} Mehr dazu in Kapitel 3

28 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 8 p r s Abbildung 5: Affine Ebene Affine Ebenen Für jede Ursprungsebene E gilt offensichtlich E Analog zu affinen Geraden gibt es auch affine Ebenen, die nicht notwendigerweise durch den Ursprung gehen Definition 7 (Affine Ebene) Für alle p, s, r R 3 mit r, s und r, s nicht kollinear heißt die Menge E = { p + a r + b s a,b R} affine Ebene mit Richtungsvektoren r und s und Ortsvektor p Eine Menge von Vektoren E R 3 heißt affine Ebene wenn es einen Vektor p R 3 und zwei nicht kollineare Vektoren r, s R 3 mit r, s gibt, so dass E = { p + a r + b s a,b R} Eine affine Ebene ist somit einfach eine Ursprungsebene, die um einen bestimmten Ortsvektor verschoben ist, siehe Bild 5 3 Drei Punkte Form der Ebene Eine affine Ebene kann durch Angabe eines Ortsvektors p und zweier Richtungsvektoren r und s definiert werden, dh E = { p + a r + b s a,b R} Diese Darstellung nennt man auch parametrische Darstellung, wobei a und b als Parameter bezeichnet werden Alternativ ist eine Ebene auch dadurch eindeutig festgelegt, dass man drei Punkte x, y, z angibt, durch die die Ebene laufen soll vorausgesetzt die drei Punkte liegen nicht unglücklicherweise genau auf einer Geraden

29 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 9 Theorem 8 Durch je drei Punkte x, y, z R 3, die nicht auf einer gemeinsamen Geraden liegen, gibt es genau eine affine Ebene E = { x + a( y x) + b( z x) a,b R}, dh E ist die Ebene mit Ortsvektor x und Richtungsvektoren y x und z x Aus der Bedingung, dass die drei Punkte x, y, z nicht auf einer Geraden liegen, folgt dass die Richtungsvektoren y x und z x der Ebene E = { x + a( y x) + b( z x) a,b R} nicht kollinear sind, dh die Ebene degeneriert nicht zu einer Geraden Dass x, y, z auf der Ebene liegen, sieht man indem man für die Parameter (a,b) die Werte (,), (,) und (,) einsetzt Umrechnen von einer in die andere Darstellung ist wie im Fall von Geraden sehr einfach Hat man einen Ortsvektor p und zwei Richtungsvektoren r und s einer affinen Ebenen E gegeben, dann sind drei Punkte auf der Ebenen zb x = p y = p + r z = p + s Da r und s nicht kollinear sind, liegen x, y und z nicht auf einer Geraden Hat man andererseits drei Punkte x, y, z auf einer Ebenen gegeben, die nicht auf einer Geraden liegen, dann sind ein Ortsvektor p und zwei Richtungsvektoren r und s für diese Ebene zb p r s = x = y x = z x Da x, y und z nicht auf einer Geraden liegen, sind r, s und nicht kollinear Umgekehrt kann man ausgehend von einer affinen Ebene in parametrischer Form E = { p + a r + b s a,b R} leicht drei Punkte x, y, z E bestimmen, die nicht auf einer Geraden liegen, zb x = p y = p + r z = p + s Da r, s und nicht kollinear sind, liegen x, y und z nicht auf einer Geraden

30 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 3 4 Normalenvektor einer Ebene, Kreuzprodukt Die Richtungen einer Ebene wurden bisher durch zwei Richtungsvektoren r und s angegeben Kompakter geht das, indem man einen Vektor n angibt, der senkrecht zur Ebene steht statt zwei Vektoren hat man dann nur noch einen! Ein Vektor, der senkrecht zu einer Ebene steht, nennt man Normalenvektor der Ebene Die Länge des Normalenvektors spielt dabei keine Rolle Ist n ein Normalenvektor, dann ist natürlich auch c n ein Normalenvektor für alle c Der Normalenvektor einer Ebene ist also nur bis auf einen skalaren Faktor eindeutig Mit etwas geometrischem Vorstellungsvermögen (oder einem Bleistift, das man senkrecht auf ein Blatt Papier stellt), kann man sich davon überzeugen, dass n genau dann senkrecht zur Ebene steht, wenn n orthogonal zu beiden Richtungsvektoren r und s der Ebene ist Man hat somit zwei Gleichungen für n: n r = n s = Setzt man die Definition des Skalarprodukts ein, erhält man n r + n r + n 3 r 3 = n s + n s + n 3 s 3 = Multipliziert man die erste mit s und die zweite mit r und subtrahiert dann die Gleichungen, fällt n raus: n (r s r s ) n 3 (r 3 s r s 3 ) = Eine spezielle Lösung, bei der man nicht dividieren muss und daher um eine Fallunterscheidung herumkommt ist Einsetzen in die erste Gleichung gibt n = r 3 s r s 3 n 3 = r s r s n r + (r 3 s r s 3 )r + (r s r s )r 3 = Der Summand r 3 r s fällt heraus und man erhält nach Ausklammern von r Mit der Wahl r (n + r 3 s r s 3 ) = n = r s 3 r 3 s sind somit alle Gleichungen erfüllt Ein Normalenvektor ist daher r s 3 r 3 s n = r 3 s r s 3 r s r s Die damit hergeleitete Rechenvorschrift, mit der man einen Vektor finden kann, der senkrecht zu zwei anderen Vektoren steht, verdient einen eigenen Namen und heißt Kreuzprodukt Manchmal sagt man dazu auch Vektorprodukt

31 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 3 Definition 9 (Kreuzprodukt) Die Funktion R 3 R 3 R 3 ist definiert durch x x x 3 y y y 3 = x y 3 x 3 y x 3 y x y 3 x y x y Die beiden wichtigsten Eigenschaften des Kreuzprodukts nochmal kurz zusammengefasst Theorem Seien x, y R 3 mit x, y und z = x y Dann gilt z steht senkrecht auf x und y z = x y sin α, wobei α der Winkel zwischen x und y ist Der Nachweis der zweiten Eigenschaft ist eine ziemliche Rechnerei Die wichtigsten Schritte lassen sich aber leicht nachvollziehen Insbesondere folgt hieraus x y = x y ( x y) = x y cos α = x y sin α x y = genau dann wenn x und y kollinear sind (dann ist sinα = ) oder mindestens einer der beiden gleich dem Nullvektor ist (dann ist x = bzw y = ) Hat man also eine Ebene E = { p + a r + b s a,b R} vorliegen, dann sind r, s und nicht kollinear Folglich ist r s, dh das Kreuzprodukt liefert einen echten Normalenvektor und nicht etwa den Nullvektor, der ja die eingangs gestellten Bedingungen auch erfüllt hätte 5 Hessesche Normalform n r = n s = Ein Normalenvektor zu einer Ebene beschreibt zwar deren Orientierung, die Ebene kann aber immer noch frei im Raum verschoben werden Um eine Ebene also eindeutig festzulegen, muss man zusätzlich zum Normalenvektor n noch einen Punkt p auf der Ebene angeben Die Ebene besteht dann aus allen Punkten x, für die x p senkrecht zu n steht, dh E = { x ( x p) n = }

32 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 3 Da die Länge des Normalenvektors keine Rolle spielt, kann man diesen auf Länge eins normieren Die Beschreibung der Ebene auf diese Weise heißt Hessesche Normalenform Die Umrechnung zwischen der parametrischen Form und der Hesseschen Normalform wird an einem Beispiel illustriert Beispiel Gegeben ist eine Ebene in parametrischer Form E = + a + b a,b R 4 Um die Hessesche Normalform zu berechnen, wird zunächst ein Normalenvektor zu den Richtungsvektoren bestimmt Hierzu berechnet man einfach das Kreuzprodukt: = Somit ist der normierte Normalenvektor zu E n = 6 4 Mit der Wahl von p = 4 E 6 lässt sich somit E in der Hesseschen Normalenform schreiben als E = x x 6 = 4 4 Beispiel Gegeben ist eine Ebene in Hessescher Normalform E = x x 3 = 4 6 Zunächst sucht man zwei nicht kollineare Vektoren, die senkrecht zum Normalenvektor stehen Dies sind zb r =, s = Einen Ortsvektor kann man direkt aus der Hesseschen Normalform entnehmen p = 3 E 4

33 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 33 Damit ist die parametrische Darstellung E = 3 + a + b 4 6 Implizite Form a,b R Eine weitere Möglichkeit, eine affine Ebene zu beschreiben ist eine lineare Gleichung mit 4 Koeffizienten a,b,c,d: E = { x ax + bx + cx 3 = d}, wobei a,b,c nicht gleichzeitig Null sein dürfen Man spricht hier von der impliziten Form der Ebene Wie bei der Hesseschen Normalform kann man in dieser Darstellung sehr einfach durch Einsetzen prüfen, ob ein Punkt x Element der Ebene ist oder nicht Die Umrechnung von der Hesseschen Normalform in die implizite Form geschieht wie folgt: wobei E = { x ( x p) n = } = { x x n p n = } = { x n x + n x + n 3 x 3 = p n} = { x ax + bx + cx 3 = d} a = n, b = n, c = n 3, d = p n Umgekehrt kommt man von der impliziten Darstellung E = { x ax + bx + cx 3 = d} auf die Hessesche Normalform, indem man einen Punkt p wählt, der die Gleichung ap + bp + cp 3 = d erfüllt Da einer der Koeffizient a,b,c sein muss, kann man p auf mindestens eine der drei folgenden Arten mit wenig Rechenaufwand wählen p =, p 3 =, p = d/a falls a p =, p 3 =, p = d/b falls b p =, p =, p 3 = d/c falls c Ein Normalenvektor von E ergibt sich dann als a n = b c Wieso? Seien x, y zwei beliebige Punkte auf der Ebene E = { x ax + bx + cx 3 = d}

34 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 34 dann steht n senkrecht auf x y, denn ( x y) n = x n y n = ax + bx + cx 3 (ay + by + cy 3 ) = d d = Die Hessesche Normalform ist dann { E = x ( x p) } n n 7 Ebenensegmente Ähnlich wie bei Geraden kann man auch bei Ebenen ausgehend von der parametrischen Form den Parameterbereich auf endliche Intervalle einschränken und dadurch Ebenensegmente erzeugen Definition 3 (Ebenensegment) Eine Menge E R n heißt Ebenensegment, wenn es p, r, s R n mit r, s und r, s nicht kollinear sowie a,a,b,b R mit a a und b b gibt so dass E = { p + a r + b s a a a,b b b } Geometrisch hat ein Ebenensegment die Form eines Parallelogramms, siehe Bild 5 auf Seite 8 Auch hier kann man die Parameterbereiche wieder auf die Intervalle [, ] normieren Man nimmt einfach die drei Punkte x, y, z der Ebene, die zu den Parameterwerten (a,b ), (a,b ) und (a,b ) gehören Hieraus berechnet man die parametrische Form, schränkt aber die Parameter Intervalle auf [,] ein E = { p + a r + b s a a a,b b b } = { x + a( y x) + b( z x) a, b } = { p + a r + b s + a(a a ) r + b(b b ) s a, b }} Das Ergebnis ist in Bild 6 dargestellt 3 Schnittpunkt von Ebenen und Geraden Die prinzipielle Vorgehensweise zur Erzeugung superrealistischer Bilder mit der Ray Tracing Technik ist in Bild 7 dargestellt Man stellt sich vor, der Bildschirm wäre das Fenster zu einer virtuellen Welt, die dahinter aufgebaut ist Ausgehend vom Auge des Benutzers wird eine Gerade durch jeden Pixel des Bildschirms gezeichnet und verlängert, bis sie auf ein Objekt der virtuellen Welt trifft Die Farbe des Objekts an der Stelle des Schnittpunkts bestimmt dann die Farbe des Pixels Zur Berechnung der Farbe des Objekts im Schnittpunkt überlegt man von welchen Lichtquellen der Punkt angestrahlt wird und unter welchem Winkel die Strahlen dort eintreffen Zahlreiche Verbesserungen

35 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 35 y x y x z x z Abbildung 6: Affines Ebenensegment mit Parameterwerten aus [,] Pixel Schnittpunkt Objekt Auge Lichtquelle Bildschirm Abbildung 7: Prinzipielle Vorgehensweise beim Ray Tracing

36 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 36 dieses Verfahrens sind bekannt, die ua auch mehrfach reflektierte Lichtstrahlen berücksichtigen Der Rechenaufwand steigt hierbei allerdings enorm Die Oberflächen der virtuellen Objekte sind in der Regel durch ebene Polygone gegeben Eine elementare Operation beim Ray Tracing ist somit die Berechnung des Schnittpunktes einer Geraden mit einem Polygon Hierbei wird zunächst vernachlässigt, dass das Polygon begrenzt ist Damit ist man beim Problem der Berechnung des Schnittpunktes einer Ebenen und einer Geraden im dreidimensionalen Raum In der Regel schneiden sich eine Ebene E und eine Gerade G in genau einem Punkt, dh E G ist eine einelementige Menge Es gibt jedoch zwei Ausnahmen, nämlich dann wenn E und G parallel zueinander verlaufen: E und G schneiden sich überhaupt nicht, dh E G = G liegt komplett in E, dh G E und somit E G = G Tatsächlich handelt es sich hierbei um Spezialfälle, denn eine zufällig gewählte Ebene und Gerae sind mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit nicht parallel 3 Genau ein Schnittpunkt Gegeben ist die Ebene E und die Gerade G durch 3 E = + a + b 3 a,b R G = 6 + a 4 a R 8 Gesucht ist die Menge E G, dh die Menge aller Vektoren x für, die sowohl x G als auch x E gilt Da die gebundene Variable a sowohl in der Definition von E als auch in der Definition von G auftritt und dies zu Problemen führt wenn ein konkreter Wert für a einmal für die Ebene und einmal für die Gerade berechnet werden soll, wird zunächst a in der Geraden durch c umbenannt Diesen Vorgang nennt man auch gebundene Umbenennung Somit ist also G = c 3 4 c R Die Bedingungen x E und x G sind nun wie folgt: 3 x = + a + b 3 für ein a,b R x = c 3 4 für ein c R

37 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 37 Gesucht sind somit a, b, c R so dass 3 + a + b bzw nach Umformen a + b c = c = Schreibt man die einzelnen Vektorkomponenten separat hin, erhält man drei lineare Gleichungen in den Unbekannten a,b,c: a b + 3c = 5 a + 3b + 4c = 8 4a + 6b + c = 7 Dieses lineare Gleichungssystem kann man zb mit dem Gauß Algorithmus lösen und erhält a = 33/6, b = 5/8, c = / Man kann nun a und b in die Ebenengleichung oder c in die Geradengleichung einsetzen In beiden Fällen kommt man zum gleichen Schnittpunkt 3 x = + 33/6 + 5/ dh = = / 3/ 4 3, E G = 3 4 3/ 4 3 Die Berechnung des Schnittpunkts einer Ebenen und einer Geraden läuft also auf die Lösung eines linearen Gleichungssystems hinaus Solche Systeme kann man wie folgt mit dem Gauß Algorithmus lösen Hierbei stellt man auch fest, ob die Ebene und die Geraden parallel sind und ob in diesem Fall keine Lösung existiert oder die ganze Gerade die Schnittmenge ist Kehren wir zu dem linearen Gleichungssystem a b + 3c = 5 () a + 3b + 4c = 8 () 4a + 6b + c = 7 (3) zurück Es liegen 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten a,b,c vor Der erste Schritt ist nun, a aus Gleichung () und (3) zu elimineren und zwar dadurch, dass ein geeignetes Vielfaches von () zu () bzw (3) addiert wird

38 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 38 Damit a aus () verschwindet, muss () mit multipliziert und zu () addiert werden Damit a aus (3) verschwindet, muss () mit multipliziert und zu () addiert werden Gleichung () wird unverändert übernommen Man erhält somit das lineare Gleichungssystem a b + 3c = 5 ( ) = () 4b + c = 3 ( ) = () () 8b + 4c = 7 (3 ) = (3) (), welches die selben Lösungen wie das ursprüngliche System hat Der nächste Schritt ist b aus Gleichung (3 ) zu eliminieren und zwar dadurch, dass ein geeignetes Vielfaches von ( ) zu (3 ) addiert wird Damit c aus (3 ) verschwindet, muss ( ) mit multipliziert werden und zu (3) addiert werden Gleichung ( ) und ( ) werden unverändert übernommen Man erhält somit das lineare Gleichungssystem a b + 3c = 5 ( ) = ( ) 4b + c = 3 ( ) = ( ) c = (3 ) = (3 ) ( ), welches wiederum die selben Lösungen wie das ursprüngliche System hat Aufgrund seiner Dreiecksstruktur kann man bei diesem System aber die Lösung unmittelbar durch Rückwärtseinsetzen ablesen: Aus Gleichung (3 ) erhält man c = / Setzt man c in ( ) ein, erhält man und damit b = 5/8 4b + / = 3 Setzt man c und b in ( ) ein, erhält man und damit a = 33/6 3 Kein Schnittpunkt a 5/8 + 3/ = 5 Als nächstes betrachten wir einen Spezialfall, bei dem die Ebene und die Gerade parallel verlaufen und keinen Schnittpunkt haben Sei E = G = a + c b 3 4 c R a,b R

39 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 39 Die Berechung von E G führt auf die Vektorgleichung a + b 4 = + c 3 3 a + b 4 + c 3 =, 3 3 bzw auf das lineare Gleichungssystem a + 3b c = () a + 4b 3c = () a + b 3c = 3 (3) Wie im vorigen Beispiel wird zunächst a aus Gleichung () und (3) eliminert, indem man zu diesen Gleichungen ein geeignetes Vielfaches der Gleichung () addiert: a + 3b c = ( ) = () 5/b 5/c = ( ) = () / () 4b 4c = (3 ) = (3) + () Als nächstes wird b aus Gleichung (3 ) eliminert, indem man ein geeignetes Vielfaches von Gleichung ( ) addiert: a + 3b c = ( ) = ( ) 5/b 5/c = ( ) = ( ) c = /5 (3 ) = (3) 8/5 ( ) Offensichtlich existiert kein c, das die letzte Gleichung c = /5 erfüllt Somit hat das lineare Gleichungssystem keine Lösung und daraus folgt, dass E G = 33 Unendlich viele Schnittpunkte Zum Schluss noch ein Beispiel für den dritten Fall, wenn die Gerade G komplett in der Ebene E liegt Dies erkennt man daran, dass das Gleichungssystem für beliebige Werte von c lösbar ist, dh jeder Punkt von G ist Schnittpunkt von E und G Sei zb E = G = 4 + a + c b 4 a,b R c R Die Berechung von E G führt auf die Vektorgleichung a + b 4 = + c 3 5 a + b 4 + c 5 =, 5 5

40 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 4 bzw auf das lineare Gleichungssystem a + 3b 5c = () a + 4b 5c = () a + b + c = (3) Nach der Elimination von a aus Gleichung () und (3) unter Verwendung von () entsteht das System a + 3b 5c = ( ) = () 5/b 5/c = ( ) = () / () 4b 4c = (3 ) = (3) + () Eliminiert man b aus (3 ) unter Verwendung von ( ) erhält man a + 3b 5c = ( ) = ( ) 5/b 5/c = ( ) = ( ) c = (3 ) = (3) 8/5 ( ) Die letzte Gleichung c = ist für beliebiges c R erfüllt und somit ist E G = G Zur Kontrolle kann man noch ( ) und ( ) nach a und b auflösen und erhält a = c, b = c Setzt man diese Werte in die Gleichung von E ein, erhält man ebenfalls die Schnittgerade G (c ) + c 4 c R 4 3 = + c + c 4 c R 5 = + c 5 c R

41 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 4 3 Spannräume 3 Linearkombinationen In der linearen Algebra hat man es meistens mit gewichteten Summen von Vektoren zu tun, dh mit Ausdrücken der Form x a + x a + + x n a n Solche Ausdrücke nennt man Linearkombinationen von a, a,, a n Für n = bzw n = sind uns Linearkombinationen bereits in Form von Geraden bzw Ebenen im R 3 begegnet Die miteinander linear kombinierten Vektoren waren die Richtungsvektoren In Kapitel 6 werden wir sehen, dass alle linearen Funktionen und damit die wichtigsten geometrischen Transformationen der Computer Grafik nichts anderes als Linearkombinationen sind Lineare Gleichungssysteme, mit denen wir uns im nächsten Kapitel beschäftigen werden, haben die Form x a + x a + + x n a n = b für gegeben Vektoren a,, a n und b Gesucht sind die Koeffizienten x,,x n der Linearkombination auf der linken Seite Definition 3 (Linearkombination, Spannraum) Ein Vektor b R m heißt Linearkombination von a, a,, a n R m wenn es gibt so dass x,x,,x n R b = x a + x a + + x n a n Die Menge aller Linearkombinationen L( a, a,, a n ) = {x a + x a + + x n a n x i R} R m von a, a,, a n heißt Spannraum von a, a,, a n Man sagt auch L( a, a,, a n ) wird von den Vektoren a, a,, a n aufgespannt oder erzeugt Dazu stellt man sich die a i als Streben eines Regenschirms vor und L( a, a,, a n ) als den von ihnen aufgespannten Stoff Beispiel 3 Ursprungsgeraden und Ursprungsebenen sind Beispiele von Spannräumen, die von einem bzw zwei Vektoren aufgespannt werden So gilt {x a x R} = L( a) {x a + y b x,y R} = L( a, b) (Ursprungsgerade) (Ursprungsebene)

42 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 4 Definition 33 (Spannraum) Eine Menge M R m heißt Spannraum, wenn es Vektoren a, a,, a n R m gibt so dass M = L( a, a,, a n ) Spannräume haben eine besonders einfache Struktur: Sie sind bezüglich der Addition und der skalaren Multiplikation abgeschlossen Das heißt, dass man die Elemente des Spannraums beliebig skalieren und miteinander addieren kann und als Ergebnis immer wieder ein Element des Spannraums erhält Theorem 34 (Abgeschlossenheit) Sei M ein Spannraum Dann gilt für alle u, v M und für alle s R u + v M s u M Der Beweis ist nicht schwer Da M ein Spannraum ist, gibt es a, a,, a n so dass M = L( a, a,, a n ) Seien u, v M beliebig aber fest Dann existieren Koeffizienten x,x,,x n und y,y,,y n so dass Damit sind u = x a + x a + + x n a n v = y a + y a + + y n a n u + v = (x + y ) a + (x + y ) a + (x n + y n ) a n s u = (sx ) a + (sx ) a + (sx n ) a n Linearkombination von a, a,, a k, dh u + v M und s u M Wissenswert ist auch, dass jeder Spannraum den Nullvektor enthält, da = a + a + + a n Echt affine Geraden und Ebenen, dh Geraden und Ebenen, die nicht durch den Ursprung gehen, sind somit keine Spannräume! Tatsächlich gilt auch die Umkehrung von Theorem 34 Zum Beweis braucht man allerdings noch etwas mehr Theorie Ich verrate es aber trotzdem schon jetzt, da es die Natur von Spannräumen sehr gut beschreibt Theorem 35 (Spannräume) Eine Menge M R m ist genau dann ein Spannraum, wenn für alle u, v M und für alle s R gilt u + v M s u M Spannräume sind also genau die Teilmengen von R n die unter Addition und skalarer Multiplikation abgeschlossen sind!

43 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 43 3 Lineare Abhängigkeit Ein und der selbe Spannraum kann durch unterschiedliche Vektoren erzeugt werden So ist zb der Spannraum von ( ) identisch mit dem Spannraum von ( ) (, 4 Man kann sich daher fragen, welche der Vektoren a, a,, a n tatsächlich unbedingt gebraucht werden um den Spannraum ) L( a, a, a n ) zu erzeugen Oder anders gefragt: Welche Vektoren sind hierbei überflüssig? Wenn für ein l {,,n} gilt, dass a l Linearkombination der übrigen n Vektoren ist, dann kann man auf a l bei der Erzeugung des Spannraums verzichten, dh es gilt dann L( a, a, a n ) = L( a, a,, a l,, a n ) Ist nämlich a l Linearkombination der anderen, dh a l = n i=,i l für bestimmte Koeffizienten y i und b ein beliebiges Element von L( a, a,, a n ), dh b = x a + x a + + x n a n für bestimmte x,x,,x n, so gilt y i a i n b = x i a i = = = i= n i=,i l n i=,i l n i=,i l x i a i + x l a l n x i a i + x l y i a i (x i + x l y i ) a i i=,i l und somit b L( a, a,, a l,, a n ) Man kann also auch ohne Verwendung von a l jeden Vektor aus dem Spannraum L( a, a,, a n ) erzeugen, dh a l ist durch die anderen ersetzbar

44 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 44 Die Umkehrung gilt übrigens genauso: Wenn a l nicht Linearkombination der anderen ist, dann ist L( a, a, a n ) L( a, a,, a l,, a n ) Das erkennt man sofort daran, dass in diesem Fall a l L( a, a, a n ) a l L( a, a,, a l,, a n ) Fassen wir also zusammen: Theorem 36 a l ist Linearkombination von a, a,, a l,, a n genau dann wenn L( a, a, a n ) = L( a, a,, a l,, a n ) Dies führt zu folgender Definition Definition 37 (Lineare Unabhängigkeit) Die Vektoren a, a,, a n R m heißen linear unabhängig, wenn keiner von ihnen Linearkombination der übrigen ist Bemerkung Zwei Vektoren a, b sind linear abhängig genau dann wenn sie kollinear sind Kollinearität ist somit ein Spezialfall der linearen Abhängigkeit wenn nur zwei Vektoren im Spiel sind Beispiel 38 Die Vektoren,, sind linear unabhängig Man sagt auch, dass ein Vektor b linear abhängig von a, a,, a n ist, wenn b Linearkombination von a, a,, a n ist Damit ist L( a, a,, a n ) die Menge der Vektoren, die linear abhängig sind von a, a,, a n Bemerkung Da = a für jeden Vektor a ist, folgt dass der Nullvektor von jedem Vektor linear abhängig ist

45 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 45 Theorem 39 (Lineare Unabhängigkeit) Folgende Aussagen sind äquivalent: a, a,, a n sind linear unabhängig Kein Vektor ist überflüssig, dh für alle l n L( a, a, a n ) L( a, a, a l, a n ) Der Nullvektor hat eine eindeutige Darstellung: Aus x a + x a + + x n a n = folgt x = x = = x n = Die Funktion f R n L( a, a, a n ), f(x,x,,x n ) = x a + x a + + x n a n ist bijektiv, dh für jeden Vektor b L( a, a, a n ) existiert genau ein Satz von Koeffizienten x,x,x n R so dass x a + x a + + x n a n = b Der letzte Punkt ist für die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme besonders wichtig Ein lineares Gleichungssystem lösen bedeutet ja nichts anderes als die Umkehrfunktion von f zu berechnen Seien a, a,, a n R n beliebig aber fest Dass f surjektiv ist, ist klar denn L( a, a,, a n ) ist ja genau das Bild von f Angenommen f ist nicht injektiv, dh x a + x a + x n a n = y a + y a + + y n a n und x y, dh x l y l für mindestens ein l Dann ist (x y ) a + (x y ) a + + (x n y n ) a n = und somit a l = n i=,i l x i y i x l y l a i, dh a l ist Linearkombination der übrigen a i und somit sind a, a,, a n linear abhängig Angenommen a, a,, a n sind linear abhängig, dh a l = n i=,i l y i a i

46 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 46 für ein l und bestimmte y i Dann ist f(,,,,,) = a l = f(y,y,,,,y k ), dh f ist nicht injektiv 33 Austauschbarkeit Im letzten Kapitel wurde ein Kriterium hergeleitet, mit dem man entscheiden kann ob ein Vektor bei der Erzeugung eines gegebenen Spannraums überflüssig ist Mit einem ähnlich einfachen Kriterium kann man entscheiden, wann man einen Vektor bei der Erzeugung eines Spannraums durch einen anderen ersetzen kann Ist nämlich b = x a + x a + + x n a n mit x l dann kann man a l durch b ersetzen, dh L( a, a,, a l, a n ) = L( a, a,, b,, a n ) Dadurch, dass a l bei der Zusammenmischung von b mitspielt, kann man aus b auch a l wieder herausfiltern Das ist im Prinzip schon die Beweisidee Überzeugen wir uns zunächst, dass Sei also L( a, a,, b,, a n ) L( a, a,, a n ) y L( a, a,, b,, a n ) beliebig aber fest Dann gibt s bestimmte u i so dass y = = = n u i a i + u l bl i l n n u i a i + u l x i a i i l i= n (u i + u l x i ) a i + u l x l a l i l und damit y L( a, a,, a n ) Bleibt zu zeigen, dass L( a, a,, a n ) L( a, a,, b,, a n ) Da x l kann man a l aus b herausziehen mit a l = b x i a i x l i l

47 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 47 Sei also y L( a, a,, a n ) beliebig aber fest Dann gibt s bestimmte u i so dass y = = = = n u i a i i= n u i a i + u l a l i l n u i a i + u l b x i a i x l i l n i l i l ( u i u ) lx i a i + u l b x l und damit y L( a, a,, b,, a n ) 34 Dimension und Basis Werfen wir also alle Vektoren, die nicht unbedingt zur Erzeugung eines Spannraums gebraucht werden weg Übrig bleibt eine minimale Anzahl linear unabhängiger Vektoren, die den Spannraum erzeugen können Ein solches Set von Vektoren nennt man Basis des Spannraums Definition 3 (Basis) Ein n-tupel von Vektoren ( a, a,, a n ) heißt Basis eines Spannraums M wenn gilt L( a, a, a n ) = M und a, a,, a n sind linear unabhängig Ein Spannraum kann natürlich unterschiedliche Basen haben So sind zb, und 3, 5 zwei unterschiedliche Basen für ein und den selben Spannraum Andererseits haben alle Basen eines Spannraums gleich viele Elemente Diese Anzahl nennt man Dimension des Spannraums

48 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 48 Definition 3 (Dimension) Die Dimension eines Spannraums M ist die minimale Anzahl n von Vektoren a, a,, a n so dass L( a, a, a n ) = M Das macht Sinn Geraden sind eindimensionale Gebilde, Ebenen zweidimensionale Zur Erzeugung einer Ursprungsgeraden braucht man einen Vektor, zur Erzeugung einer Ursprungsebene zwei Ist also ( a, a,, a n ) eine Basis von M, dann gibt es für jeden Vektor b M genau einen Satz von Koeffizienten x,x,,x n so dass x a + x a + + x n a n = b, siehe Theorem 39 Die Koeffizienten lassem sich zu einem Vektor x zusammenfassen, der dann Darstellung von b bzgl der Basis ( a, a,, a n ) heißt Beispiel 3 Ein besonders einfacher Spannraum ist der R 3 Um ihn aufzuspannen braucht man 3 Vektoren, dh der Raum hat Dimension 3 Eine Basis ist zb a =, a =, a 3 = Allgemein ist R n ein Spannraum der Dimension n für beliebiges n N Der Zusammenhang zwischen den Begriffen Dimension und Basis wird durch folgende Eigenschaften hergestellt: Theorem 33 Sei M ein Spannraum der Dimension n Dann gilt folgendes: Jede Basis von M besteht aus genau n Vektoren Jedes n-tupel linear unabhängiger Vektoren aus M ist eine Basis von M Jedes Tupel von mehr als n Vektoren aus M ist linear abhängig Für den Spezialfall M = R n, der ja ein Spannraum der Dimension n ist, folgt hieraus: Theorem 34 Jede Basis des R n besteht aus genau n Vektoren Jedes n-tupel linear unabhängiger Vektoren aus R n bildet eine Basis des R n Jedes Tupel von mehr als n Vektoren aus R n ist linear abhängig

49 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 49 Hat man also zb 5 Vektoren aus R 4, dann weiß man sofort, dass diese linear abhängig sind Ist also M R n ein Spannraum, dann hat er höchstens Dimension n Theorem 35 Die Funktion f R n R n mit f(x,x,,x n ) = x a + x a + + x n a n ist genau dann bijektiv, wenn a, a,, a n R n linear unabhängig, dh eine Basis des R n sind

50 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 5 4 Lineare Gleichungssysteme, Gauß Algorithmus In Kapitel sind bei der Berechnung der Schnittmenge einer Ebenen und einer Geraden lineare Gleichungssysteme mit drei Gleichungen und drei Unbekannten aufgetreten Viele Probleme der linearen Algebra führen zu linearen Gleichungssystemen mit mehreren Gleichungen und Unbekannten Besonders wichtig sind Systeme, bei denen die Anzahl der Gleichungen und Unbekannten gleich sind, da diese in der Regel genau eine Lösung besitzen In diesem Fall spricht man daher von regulären Systemen Es gibt jedoch auch Ausnahmefälle, wo entweder gar keine oder unendlich viele Lösungen existieren Diese Systeme nennt man singuläre Systeme Definition 4 (Lineares Gleichungssystem) Ein lineares n n Gleichungssystem ist ein System von n Gleichungen der Form a x + a x + + a n x n = b () a x + a x + + a n x n = b () a n x + a n x + + a nn x n = b n (n) mit den Unbekannten x,x,,x n Hierbei sind a ij und b i die Koeffizienten des Systems für i,j =,,,n Die Koeffizienten b i heißen auch rechte Seite des linearen Gleichungssystems Unter Verwendung von Summenzeichen kann man ein lineares Gleichungssystem auch kürzer schreiben durch n a ij x j = b i, i =,,n j= Eine weitere Möglichkeit bietet die Verwendung von Linearkombinationen, dh x a + x a + + x n a n = b mit b a j b b =, a a j j =,j =,,,n b n a nj Auch hier kann man mit Summenzeichen arbeiten: n x j a j = b j= Lineare Gleichungssysteme werden oft kompakt dargestellt, indem man nur die Koeffizienten hinschreibt und die rechte Seite durch einen senkrechten Strich abtrennt, dh a a a n b a a a n b a n a n a nn b n

51 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 5 Zur Lösung eines linearen kann man natürlich beliebig Gleichungen nach Unbekannten auflösen und ineinander einsetzen Eine besonders effizienten und systematische Vorgehensweise hierfür ist der Gauß Algorithmus Der Fall n = 5 ist in Bild 4 dargestellt Im ersten Schritt wird x aus den Gleichungen,3,,n eliminiert Dies wird erreicht, indem man ein geeignetes Vielfaches von Gleichung von den anderen Gleichungen subtrahiert Im zweiten Schritt wird x aus den Gleichungen 3,4,,n eliminiert Dies wird erreicht, indem man ein geeignetes Vielfaches von Gleichung von den anderen Gleichungen subtrahiert Im dritten Schritt wird x 3 aus den Gleichungen 4,5,,n eliminiert Dies wird erreicht, indem man ein geeignetes Vielfaches von Gleichung 3 von den anderen Gleichungen subtrahiert usw 3 Zum Schluss enthält die n-te Gleichung nur noch die Variable x n und kann gelöst werden Und jetzt in die Details Die Rechenvorschrift des l-ten Eliminationsschrittes, bei dem x l aus den Gleichungen l +,,n eliminert wird, ist in Bild 4 dargestellt Um x l aus Gleichung i zu eliminieren, muss Gleichung l mit einem Faktor q i multipliziert und dann von Gleichung i subtrahiert werden Damit x l aus Zeile i verschwindet, muss also a il q i a ll = sein und damit q i = a il a ll Nachdem dieser Elimnationsschritt für l =,,,n ausgeführt wird, hat das lineare Gleichungssystem Dreiecksgestalt Die Lösung kann dann durch Rückwärtseinsetzen berechnet werden Prinzipiell kann es im l-ten Schritt passieren, dass a ll = ist, so dass bei der Berechnung des Faktors q i eine Division durch Null auftreten würde In dem Fall vertauscht man einfach die l-te Zeile mit einer späteren Zeile k > l für die a kl ist Dadurch geht die bis dahin aufgebaute Dreieckstruktur nicht verloren und die Reihenfolge der Gleichungen spielt ja keine Rolle, siehe Beispiel 43 Was, wenn aber für alle Zeilen k > l gilt dass a kl = ist? In dem Fall liegt ein singuläres Gleichungssystem vor, das entweder keine oder unendlich viele Lösungen hat Wir werden diesen Fall aber nicht näher betrachten Theorem 4 Für alle a, a,, a n, b R n gilt, dass das LGS x a + x a + + x n a n = b genau dann eindeutig lösbar ist, wenn a,, a n linear unabhängig sind 3 Lisp Freunde können sich das Ganze auch rekursiv vorstellen Durch den ersten Eliminationsschritt wurde ein n n LGS mit den Unbekannten x,, x n reduziert auf ein (n ) (n ) LGS mit den Unbekannten x,, x n Und der Rest ist Rekursion

52 ¹Ø Ð Ñ ÒÙ Õ Ñ Ð½¹Ø Ð Ð Ø Ð Õ ½ ½½ ¾ V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 5 ÆÙÐÐ ¹Ø Ð Ñ ÒÙ Õ Ñ Ð¾¹Ø Ð Ð Ø Ð Õ ¾ ¾¾ ÆÙÐÐ ¹Ø Ð Ñ ÒÙ Õ Ñ Ð ¹Ø Ð Ð Ø Ð Õ ÆÙÐÐ ¹Ø Ð Ñ ÒÙ Õ Ñ Ð ¹Ø Ð Ð Ø Ð Õ ÆÙÐÐ ººº Abbildung 4: Gauß Elimination für n = 5 // Eliminiere l-te Spalte in Zeilen l +,,n for Zeile i = l +,, n q i a il /a ll // Zeile i Zeile i minus q i mal Zeile l b i b i q i b l for Spalte j = l +,,n a ij a ij q i a lj a il Ë Ö Øؽ Ë Ö ØØ Ë Ö Øؾ Ë Ö ØØ Abbildung 4: Rechenschritte beim l-ten Gauß Eliminationsschritt

53 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 53 Zum Schluss noch ein Beispiel für den Gauß Algorithmus, der in Bild 43 in einer Pseudo Programmiersprache formuliert ist lineare Gleichungssysteme von Hand zu lösen macht ja nun wirklich keinen Spass Beispiel 43 Elimination () () 8 3 (3) 3 3 (4) () () () 3/ () (3) (3) / () (4) (4) + / () () () (3) Vertauschen von (3) () Zeile () und (3) (4) () () (3) (4) (4) 4/6 () () () (3) 36 (4) (4) + 7/55 (3) Rückwärtseinsetzen 36x 4 = x 4 = 55x 3 65x 4 = x 3 = 6x + 5x 3 5x 4 = x = x 4x x 3 + 3x 4 = 4 x =

54 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 54 Gauß Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme Input: Output: a ij,b i R, i,j =,,n x R n so dass n j= a ijx j = b i für alle i falls genau eine Lösung x existiert Elimination Iteriere über Eliminationsschritt for l =,,,n Suche nach Zeile k für die a kl for k = l,,n if a kl break if l k Vertausche Zeile k und l for j = l,,n t = a lj, a lj = a kj, a kj = t t = b l, b l = b k, b k = t if a ll = Fehler: singuläres System! Iteriere über Zeilen for i = l +,,n q = a il /a ll Iteriere über Spalten for j = l +,,n a ij = a ij qa lj b i = b i qb l Rückwärtseinsetzen Iteriere über Zeilen for i = n,n,, Iteriere über Spalten s = b i for j = i +,,n s = s a ij x j x i = s/a ii return (x,x,,x n ) Abbildung 43: Gauß Algorithmus

55 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 55 5 Lineare Funktionen In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit Funktionen f R n R m Es handelt sich also um Funktionen, die einen n-dimensionalen Vektor auf einen m-dimensionalen Vektor abbilden Wir werden uns hierbei auf lineare Funktionen einschränken und zwar aus mehreren Gründen Fast alle für die Computer Grafik relevanten geometrischen Transformationen wie Drehungen, Streckungen, Spiegelungen, Projektionen und Verschiebungen lassen sich durch lineare Funktionen beschreiben Lineare Funktionen lassen sich einfach und effizient durch Matrizen darstellen Zur Auswertung einer linearen Funktion sind ausschließlich Skalarproduktoperationen erforderlich Auch das kommt der Computergrafik entgegen, da Skalarprodukte sehr effizient durch spezielle Hardware auf der Grafik Karte berechnet werden können In der Computergrafik werden oft viele geometrische Transformationen hintereinander ausgeführt Dies entspricht der Komposition der zugehörigen linearen Funktionen Die Komposition linearer Funktionen ist wieder eine lineare Funktion, dh man kann ganze Ketten von geometrischen Transformationen mit einer einzigen linearen Funktion erschlagen Dies ermöglicht natürlich enorme Effizienzgewinne Lineare Funktionen spielen nicht nur in der Computer Grafik eine wichtige Rolle sondern allgemein in den Ingenieurswissenschaften Lineare Probleme sind unvergleichbar viel einfacher zu lösen als nichtlineare Es ist mit dem Gauß Algorithmus zb kein Problem, ein lineares Gleichungssystem zu lösen Nichtlineare Gleichungssysteme sind ia nicht geschlossen lösbar, so dass man auf Iterationsverfahren mit all ihren Widrigkeiten (Konvergenz, Abbruchkriterium) angewiesen ist Wenn man in einer Ingenieursanwendung auf ein nichtlineares System stößt, besteht die Lösung fast immer darin, es zu linearisieren, dh durch ein lineares System zu approximieren Ein typischer Vertreter dieses Ansatzes ist das Newton Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen 5 Eigenschaften linearer Funktionen Definition 5 (Lineare Funktion) Eine Funktion f R n R m heißt linear wenn für alle x, y R n und für alle u R gilt: f( x + y) = f( x) + f( y) f(u x) = uf( x)

56 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 56 Bemerkung Wenn man sich einfache Beispiele von Funktionen anschaut, sind in der Regel entweder beide Bedingungen erfüllt oder keine Es gibt aber auch Fälle, in denen nur genau eine Bedingung erfüllt ist Sei f R R definiert durch f ( x y ) = { x /y falls y sonst Hier ist die zweite Linearitätsbedingung erfüllt, die erste aber nicht Sei f C C definiert durch f(z) = re(z) Hier ist die erste Linearitätsbedingung erfüllt, die zweite aber nicht So ist für u = j in der Regel re(jz) jre(z) Eine wichtige Eigenschaft linearer Funktionen kann man sofort erkennen wenn man den Spezialfall u = betrachtet Theorem 5 Für jede linare Funktion f R n R m gilt f( ) = Die og Kriterien wann eine Funktion linear ist, klingen zunächst etwas abstrakt Anschaulicher lässt sich auch sagen, dass eine Funktion f R n R m genau dann linear ist, wenn man sie auf die Form f( x) = x a + x a + + x n a n für bestimmte Vektoren a, a,, a n R m bringen kann: Theorem 53 Eine Funktion f R n R m ist linear genau dann wenn a, a,, a n R m x R n f( x) = x a + x a + + x n a n Zum Beweis sind zwei Richtungen zu zeigen: Annahme: a, a,, a n R m x R n f( x) = x a + x a + + x n a n Zu zeigen: f ist linear Seien also a, a,, a n R m so dass x R n f( x) = x a + x a + + x n a n

57 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 57 Die beiden Linearitätsbedingungen erhält man wie folgt durch Umformen f( x + y) = (x + y ) a + (x + y ) a + + (x n + y n ) a n = x a + x a + + x n a n + y a + y a + = f( x) + f( y) f(u x) = ux a + ux a + + ux n a n = u(x a + x a + + x n a n ) = uf( x) Annahme: f ist linear Zu zeigen: a, a,, a n R m x R n f( x) = x a + x a + + x n a n Zunächst kann man jeden Vektor x R n wie folgt als gewichtete Summe schreiben: x = x + x + + x n Unter Ausnutzung der Linearität von f folgt damit f( x) = f x + x + + x n = x f + x f + + x nf Mit der Wahl a = f, a = f,, a n = f gilt daher f( x) = x a + x a + + x n a n für jeden Vektor x R n Lineare Funktionen haben sehr nette Abschlusseigenschaften: Wenn man eine lineare Funktion skaliert oder zwei lineare Funktionen addiert oder hintereinander ausführt oder die Umkehrfunktion einer bijektiven linearen Funktion berechnet kommt immer wieder eine lineare Funktion heraus Diese Eigenschaften werden nachfolgend einzeln bewiesen

58 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 58 Die Summe zweier linearer Funktionen ist wieder linear Theorem 54 Für alle linearen Funktionen f,g R n R m ist die Funktion h R n R m, h( x) = f( x) + g( x) linear Der Beweis ist nicht schwer h( x + y) = f( x + y) + g( x + y) = f( x) + f( y) + g( x) + g( y) = f( x) + g( x) + f( y) + g( y) = h( x) + h( y) h(u x) = f(u x) + g(u x) = uf( x) + ug( x) = u(f( x) + g( x)) = uh( x) Das skalare Vielfache einer linearen Funktion ist wieder linear Theorem 55 Für alle linearen Funktionen f R n R m und für alle a R ist die Funktion g R n R m, g( x) = af( x) linear Der Beweis läuft wieder nach Schema g( x + y) = af( x + y) = a(f( x) + f( y)) = af( x) + af( y) = g( x) + g( y) g(u x) = af(u x) = auf( x) = uaf( x) = ug( x) Die Komposition zweier linearer Funktionen ist wieder linear

59 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 59 Theorem 56 Für alle linearen Funktionen f R k R m und g R n R k ist die Komposition wieder linear f g R n R m Unter Ausnutzung der Linearität von f und g kann man die Linearität von f g leicht nachweisen: (f g)( x + y) = f(g( x + y)) = f(g( x) + g( y) Linearität von g = f(g( x)) + f(g( y)) Linearität von f = (f g)( x) + (f g)( y) (f g)(u x) = f(g(u x)) = f(ug( x)) Linearität von g = uf(g( x)) Linearität von f = u(f g)( x) Ist eine lineare Funktion invertierbar, dann ist ihre Umkehrfunktion wieder linear Später werden wir zeigen, dass eine lineare Funktion f R n R m nur dann bijektiv sein kann, wenn n = m ist Betrachten wir also im folgenden Theorem nur diesen Spezialfall Theorem 57 Für alle bijektiven linearen Funktionen f R n R n gilt, dass f R n R n linear ist Sei also f eine bijektive lineare Funktion und f ihre Umkehrfunktion Der Beweis beruht auf der bekannten Tatsache, dass f (f( x)) = x für alle x R n Damit lassen sich die beiden Linearitätsbedingungen von f wie folgt zeigen f ( x + y) = f (f(f ( x)) + f(f ( y))) = f (f(f ( x) + f ( y))) Linearität von f = f ( x) + f ( y) f (u x) = f (uf(f ( x))) = f (f(uf x))) Linearität von f = uf ( x)

60 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 6 f( x + y) = f( x) + f( y) f( y) y x x + y f( x) Abbildung 5: Linearität der Streckung f( x) = a x mit Streckfaktor a = 5 Geometrische Transformationen 5 Streckung Die Streckung mit Streckfaktor a ist definiert durch f R 3 R 3, f( x) = a x Um sich zu überzeugen, dass f eine lineare Funktion ist muss man die beiden in Definition 5 genannten Linearitätseigenschaften nachweisen Seien x, y R 3 und u R beliebig aber fest Dann gilt f( x + y) f(u x) = a( x + y) = a x + a y = f( x) + f( y) = au x = ua x = uf( x) Die erste Eigenschaft kann man aber auch leicht an Bild 5 erkennen Für a ist die Streckung invertierbar und es gilt f ( x) = a x 5 Punktspiegelung Die Punktspiegelung am Koordinatenursprung ist definiert durch f R 3 R 3, f( x) = x Sie ist damit ein Spezialfall der Streckung mit Streckfaktor und somit eine lineare Funktion 4 4 Die Punktspiegelung an einem anderen Punkt als dem Koordinatenursprung ist keine lineare Funktion!

61 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 6 53 Drehung Mit Drehungen assoziiert man etwas Rundes, mit linearen Dingen etwas Gerades Trotzdem sind auch Drehungen um den Koordinatenursprung lineare Funktionen 5 Der scheinbare Widerspruch löst sich auf wenn man sich klar macht, dass das Argument der Drehfunktion nicht etwa der Drehwinkel ist (dieser wird als konstant angenommen) sondern der zu drehende Punkt Machen wir s uns einfach und betrachten zunächst eine Drehung im zweidimensionalen Raum mit Drehwinkel α gegen den Uhrzeigersinn Diese Funktion ist definiert durch f R R, f ( x x ) = ( x cos α x sinα x sin α + x cos α Man kann sich diesen Funktionsterm übrigens mit einem kleinen Trick (dh unter Ausnutzung der Linearitätseigenschaften) leicht herleiten, siehe Beispiel 66 auf Seite 69 Dass diese Funktion tatsächlich linear ist, kann man in Bild 6 sehen Man kann s aber auch nachrechnen: ( ) ( ) x + y f( x + y) = f (x + y = )cos α (x + y )sin α = x + y ( x cos α x sin α x sin α + x cos α ) (x + y )sin α + (x + y )cos α ) ( ) y cos α y + sinα y sin α + y cos α = f( x) + f( y) ( ) ( ) ux ux cos α ux f(u x) = f = sin α ux ux sin α + ux cos α ( ) x cos α x = u sin α = uf( x) x sinα + x cos α Die Drehung um Winkel α ist eine bijektive Funktion Die Umkehrfunktion ist die Drehung um Winkel α 54 Translation Die Verschiebung oder Translation ist neben der Drehung eine der wichtigsten geometrischen Transformationen Wie der Name sagt, kann man mit ihr Objekte um einen bestimmten Vektor a im Raum verschieben, siehe Bild 53 Die Translation um Vektor a ist definiert durch f R 3 R 3, f( x) = x + a Umso ärgerlicher ist es, dass die Translation keine lineare Funktion ist falls a! Das sieht man schon daran, dass f( ) = + a = a, siehe Theorem 5 Der Versuch, die Linearitätseigenschaften nachzuweisen, ist natürlich zum Scheitern verurteilt: f( x + y) f( x) + f( y) = x + y + a = x + a + y + a = x + y + a f(u x) = u x + a uf( x) = u( x + a) = u x + u a 5 Drehungen um einen andern Punkt als den Koordinatenursprung sind allerdings nicht linear!

62 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 6 f( x + y) = f( x) + f( y) f( x) x + y y f( y) x f(u x) = uf( x) f( x) x u x Abbildung 5: Linearität der Drehung Der Drehwinkel ist α = π/

63 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 63 a a Abbildung 53: Translation um Verschiebungsvektor a Immerhin ist die Translation um Vektor a ist eine bijektive Funktion, Umkehrfunktion ist die Translation um a, dh 55 Orthogonalprojektion f ( x) = x a Die Orthogonalprojektion auf die xy-ebene ist definiert durch x x f R 3 R 3, f x x 3 = x Durch sie kann eine dreidimensionale Szene auf einen zweidimensionalen Bildschirm abgebildet werden Auch diese Funktion ist linear: 6 x + y x + y x y f( x + y) = f x + y x 3 + y 3 = x + y = x + y = f( x) + f( y) ux f(u x) = f ux ux 3 = = uf( x) ux ux = u In Bild 54 ist die zweidimensionale Orthogonalprojektion auf die y-achse ( ) ( ) f R R x x, f = dargestellt Die Linearität ist unmittelbar erkennbar Die Orthogonalprojektion ist nicht invertierbar Einmal projiziert führt kein Weg zum Ausgangspunkt zurück 56 Perspektivische Projektion Kennen Sie das Märchen, in dem ein Kind gefragt wird, wie groß der Mond ist? Seine Antwort war, dass er ungefähr so groß ist wie sein Daumen, denn wenn es 6 Eine Orthogonalprojektion auf eine Ebene, die nicht durch den Koordinatenursprung geht, ist allerdings nicht linear! x x x

64 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 64 f( x + y) = f( x) + f( y) x + y f(u x) = uf( x) u x f( y) f( x) x y f( x) x Abbildung 54: Orthogonalprojektion auf die y-achse den Daumen vor den Mond hält, wird dieser gerade verdeckt Fotografieren Sie den Mond und ihren Daumen nebeneinander und messen sie auf dem Bild nach das Ergebnis lässt keine Zweifel offen Die Computergrafik sollte möglichst genauso falsche (oder sagen wir realistische?) Bilder erzeugen wie das menschliche Auge oder eine Kamera Was liegt also näher, als den Abbildungsmechanismus nachzubauen? Im Gegensatz zur Physik kommt man in der Computer Grafik ohne Linsen und ähnliche Komplikationen aus Stellen Sie sich einfach vor, der Bildschirm wäre ein Fenster, durch das Sie Ihre virtuelle dreidimensionale Welt betrachten Ein Objektpunkt x im dreidimensionalen Raum landet auf dem Bildschirm an genau der Stelle f( x), wo die Gerade zwischen Auge und Objektpunkt den Bildschirm schneidet Diese Abbildung nennt man perspektivische Projektion oder auch Zentralprojektion Üblicherweise legt man hierbei den Bildschirm im Abstand d parallel zur xy-ebene und positioniert das Auge im Koordinatenursprung Eine Seitenansicht ist in Bild 55 dargestellt 7 Dass durch die perspektivische Projektion weit entfernte Objekte kleiner dargestellt werden als nahe, lässt sich an Bild 56 nachvollziehen Und nun zur Herleitung der Formeln für die perspektivische Projektion f R 3 R 3 Schauen Sie sich dazu Bild 57 an Sei f x x x 3 = Offensichtlich gilt x 3 = d, das war der leichte Teil Um x zu berechnen nutzt man die Ähnlichkeit der beiden grau eingezeichneten Dreiecke aus Das große Dreieck hat Breite x 3 und Höhe x Das kleine Dreieck hat Breite d und Höhe x Da die beiden Dreiecke ähnlich sind, gilt x x x 3 x x 3 = x d 7 Standardmäßig sitzt man bei OpenGL im Koordinatenursprung und schaut in negative z-richtung In den Bildern ist daher d negativ

65 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 65 x, y x Bildschirm f( x) d Auge z Abbildung 55: Perspektivische Projektion, Seitenansicht x, y d z Abbildung 56: Weit entfernte Objekte werden bei der perspektivischen Projektion kleiner dargestellt als nahe

66 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 66 x x, x f( x) x, x x 3 x 3 = d Abbildung 57: Perspektivische Projektion, Herleitung der Formeln Auflösen nach x ergibt x = dx x 3 Analog geht man zur Berechnung von x vor und erhält x f x = d x x x x 3 3 x 3 Anhand von Beispielen kann man sich davon überzeugen, dass diese Funktion keine der beiden Linearitätsbedingungen erfüllt Letztlich scheitert s an der Division durch x 3 Eine weitere Unschönheit ist, dass es sich nur um eine partielle Funktion handelt Für x 3 = schneidet die Gerade zwischen Auge und x die Bildschirmebene nicht, folglich bleibt in diesem Fall f( x) undefiniert Die perspektivische Projektion ist genauso wie die Orthogonalprojektion nicht invertierbar Die für die Rücktransformation erforderliche Tiefeninformation ist bei der Projektion verloren gegangen

67 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 67 6 Matrizen 6 Darstellung linearer Funktionen durch Matrizen Definition 6 (Kanonische Basisvektoren) Die kanonischen Basisvektoren e, e,, e n R n sind definiert durch e =, e =, e 3 =,, e n = Jeder Vektor x R n kann als Linearkombination der kanonischen Basisvektoren dargestellt werden durch x x x 3 x n = x + x + x x n oder kurz x = x e + x e + x 3 e x n e n Eine lineare Funktion f R n R m ist bereits vollständig festgelegt, wenn die Funktionswerte der kanonischen Basisvektoren festgelegt sind Mit anderen Worten, ist f( e ),f( e ),f( e 3 ),,f( e n ) bekannt, dann kann unter Ausnutzung der Linearität von f der Funktionswert f( x) für jedes beliebige x R n wie folgt berechnet werden: f( x) = f(x e + x e + x 3 e x n e n ) = f(x e ) + f(x e ) + f(x 3 e 3 ) + + f(x n e n ) = x f( e ) + x f( e ) + x 3 f( e 3 ) + + x n f( e n )

68 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 68 Theorem 6 Sei f R n R m eine lineare Funktion und sei a a a f( e ) =,f( e a ) =,,f( e n) = a m a m a n a n a mn Dann gilt für alle x R n f( x) = x a a + x a a + + x n a n a n a m a m a mn Man kann s noch etwas einprägsamer ausdrücken: Theorem 63 Ist f R n R m eine lineare Funktion, dann existieren Vektoren a, a,, a n R m so dass f( x) = x a + x a + + x n a n Genau diese Eigenschaft (und ihre Umkehrung) wurden ja bereits in Theorem 53 formuliert und beweisen Lineare Funktionen lassen sich also immer als Linearkombinationen darstellen Man kann somit jede lineare Funktion f R n R m durch m n Koeffizienten a ij, i =,,,m j =,,,n vollständig definieren Die Bilder der kanonischen Basisvektoren können beliebig gewählt werden wird die Funktion wie in Theorem 6 fortgesetzt, kommt immer eine lineare Funktion heraus Die Koeffizienten a ij können übersichtlich in einer Matrix mit m Zeilen und n Spalten angeordnet werden Die Spalten der Matrix sind hierbei die Bilder der kanonischen Basisvektoren Somit entsprechen m n Matrizen : den linearen Funktionen aus R n R m

69 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 69 sin α f( e ) f( e ) e cosα α cosα e sinα α Abbildung 6: Berechnung der Bilder der kanonischen Basisvektoren der Drehung um Winkel α Definition 64 (Matrix) Eine m n Matrix ist ein rechteckiger Block von reellen Zahlen mit m Zeilen und n Spalten a a a n a a a n A = a m a m a mn Die Matrix Darstellung einer linearen Funktion f R n R m ist die Matrix A R m n, deren Spalten die Bilder der kanonischen Einheitsvektoren sind, dh ( ) A = f( e ) f( e ) f( e n ) Notation 65 Matrizen werden durch Großbuchstaben bezeichnet Die Koeffizienten a ij in einer Matrix haben zwei Indizes, der erste Index ist der Zeilenindex, der zweite der Spaltenindex Die Menge aller m n Matrizen wird mit R m n bezeichnet Beispiel 66 Eine Funktionsterm bzw eine Matrix für die lineare Funktion f R R, die eine Drehung um Winkel α gegen den Uhrzeigersinn beschreibt, lässt sich berechnen, indem man die Bilder der kanonischen Basisvektoren ( ) ( ) e =, e = bestimmt Aus Bild 6 geht hervor, dass ( cos α f( e ) = sin α ), f( e ) = ( sin α cos α )

70 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 7 Folglich ist f( x) = f(x e + x e ) = x f( e ) + x f( e ) ( ) ( ) cos α sin α = x + x sin α cos α ( ) x cos α x = sin α x sin α + x cos α Die Matrix Darstellung der Drehung ist entsprechend ( cos α sinα A = sin α cos α ) 6 Rechenoperationen auf Matrizen 6 Matrix Vektor Multiplikation Der Funktionswert einer linearen Funktion f R n R m kann direkt aus ihrer Matrix Darstellung A = a a a n a a a n a m a m a mn Rm n berechnet werden Allgemein gilt f( x) = x f( e ) + x f( e ) + + x n f( e n ) a a a = x + x a + + x n a m a m = a x + a x + + a n x n a x + a x + + a n x n a m x + a m x + + a mn x n a n a n a mn Man kann die Auswertung linarer Funktionen f R n R m somit als Funktion betrachten, die als Input die Matrix Darstellung A R m n der Funktion und den Argument Vektor x R n bekommt und als Ouput den Vektor f( x) R m liefert Diese Operation nennt man Matrix Vektor Multiplikation

71 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 7 Definition 67 (Matrix Vektor Multiplikation) Die Matrix Vektor Multiplikation R m n R n R m ist definiert durch a a a n a a a n a m a m a mn x x x n = a x + a x + + a n x n a x + a x + + a n x n a m x + a m x + + a mn x n Wie immer lässt man den Punkt für das Multiplikationssymbol weg Merkregel 68 Die Matrix Vektor Multiplikation ist nur dann definiert, wenn die Anzahl der Spalten von A gleich der Anzahl der Zeilen von x ist Die Anzahl Zeilen des Ergebnisvektors A x ist dann gleich der Anzahl Zeilen von A Es gibt zwei Möglichkeiten, die Matrix Vektor Multiplikation zu interpretieren, die je nach Problemstellung vorteilhaft sind: Linearkombination der Spalten Man kann A x interpretieren als Linearkombination der Spalten von A, wobei die Komponenten von x die Gewichtsfaktoren sind, dh a a a n a a a n a m a m a mn a a x + x a m x x x n a a a m = + + x n a n a n a mn

72 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 7 Zeile mal Spalte Regel Sei y = A x Dann ist y i gleich dem Skalarprodukt der i-ten Zeile von A und dem Vektor x, dh a a a n x a a a n x = a m a m a mn x n ( a a a n ) T x ( a a a n ) T x ( a m a m a mn ) T x Hat man also schnelle Hardware für die Berechnung von Skalarprodukten, dann kann man damit auch effizient Matrix Vektor Multiplikationen ausführen bzw lineare Funktionen auswerten Das hochgestellte T in dieser Darstellung bedeutet Transposition eines Vektors Wir hatten ja vereinbart, dass bei Vektoren die Komponenten immer übereinander stehen Die Zeilen der Matrix A sind jedoch Vektoren, deren Komponenten nebeneinander stehen Die Transposition macht aus einem Zeilenvektor einen Spaltenvektor mit identischen Komponenten und umgekehrt Für die i-te Zeile von A gilt somit ( a i a i a in ) T = Eine Matrix mit nur einer Zeile ist im wesentlichen nur ein Zeilenvektor Damit gilt a x = a T x Auf der linken Seite steht das Skalarprodukt, auf der rechten Seite die Matrix Vektor Multiplikation 6 Matrix Addition Seien f,g R n R m zwei lineare Funktionen mit zugehörigen Matrizen A,B R m n, a i a i a in dh f( x) = A x, Da laut Theorem 54 auch die Funktion g( x) = B x h R n R m, h( x) = f( x) + g( x) linear ist, muss es eine Matrix C R m n geben so dass h( x) = C x

73 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 73 Die Matrix C lässt sich wie folgt berechnen h( x) = f( x) + g( x) a a a n a a a n = a m a m a mn a x + a x + + a n x n a x + a x + + a n x n = = x x x n a m x + a m x + + a mn x n b b b n + b b b n b m b m b mn b x + b x + + b n x n b x + b x + + b n x n + b m x + b m x + + b mn x n (a + b )x + (a + b )x + + (a n + b n )x n (a + b )x + (a + b )x + + (a n + b n )x n (a m + b m )x + (a m + b m )x + + (a mn + b mn )x n a + b a + b a n + b n a + b a + b a n + b n = a m + b m a m + b m a mn + b mn = (A + B) x x x x n x x x n Die zu f + g gehörige Matrix erhält man also, indem man die zu f und g gehörigen Matrizen komponentenweise addiert Definition 69 (Matrix Addition) Die Matrix Addition + R m n R m n R m n ist definiert durch a a a n b b b n a a a n + b b b n a m a m a mn b m b m b mn a + b a + b a n + b n a + b a + b a n + b n = a m + b m a m + b m a mn + b mn Die Matrix Addition ist nur definiert für Matrizen, die die selben Abmessungen haben!

74 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite Matrix Skalare Multiplikation Sei f R n R m linear mit zugehöriger Matrix A R m n, dh f( x) = A x und c R Da laut Theorem 55 auch die Funktion g R n R m, g( x) = cf( x) linear ist, muss es eine Matrix C geben so dass g( x) = C x g( x) = cf( x) = ca x = c = = a x + a x + + a n x n a x + a x + + a n x n a m x + a m x + + a mn x n ca x + ca x + + ca n x n ca x + ca x + + ca n x n ca m x + ca m x + + ca mn x n ca ca ca n ca ca ca n ca m ca m ca mn = (ca) x x x x n Definition 6 (Skalare Multiplikation von Matrizen) Die Skalare Multiplikation R R m n ist definiert durch a a a n ca ca ca n a a a n c = ca ca ca n a m a m a mn ca m ca m ca mn Wie üblich lässt man das Symbol meistens weg 64 Matrix Matrix Multiplikation Seien f R k R m und g R n R k lineare Funktionen mit zugehörigen Matrizen A R m k und B R k n,

75 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 75 dh f( x) = A x und g( x) = B x Nach Theorem 56 ist auch die Komposition f g R n R m linear, dh hat eine Darstellung als Matrix C R m n Man kann sich nun fragen, wie sich C aus A und B berechnen lässt Da A und B Matrizen zu f und g sind, gilt Sei nun Sei weiterhin dh (f g)( x) = f(g( x)) = f(b x) = A(B x) y = B x, dh y l = n b lj x j, j= z = A(B x) = A y, l =,,,k z i = l = l = l = j = j a il y l a il b lj x j j a il b lj x j j ( ) a il b lj l } {{ } c ij c ij x j x j wobei c ij = k a il b lj, i =,,,m, j =,,,n l= Die so entstehende Matrix C nennt man Produkt von A und B Definition 6 (Matrix Matrix Multiplikation) Die Matrix Matrix Multiplikation R m k R k n R m n ist definiert durch AB = C wobei c ij = die Komponenten von C sind k a il b lj l=

76 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 76 Abbildung 6: Matrix Multiplikation Die Matrix Matrix Multiplikation C = AB ist nur für zueinander passende Matrizen definiert, dh die Anzahl der Spalten von A muss gleich der Anzahl der Zeilen von B sein Das Produkt C hat gleich viele Zeilen wie A und gleich viele Spalten wie B Die Matrix Matrix Multiplikation lässt sich wie in Bild 6 veranschaulichen Die Multiplikation von Matrizen merkt man sich am besten durch folgende Regel: Merkregel 6 Das Element in der i-ten Zeile und j-ten Spalte von AB ergibt sich aus dem Skalarprodukt der i-ten Zeile von A und der j-ten Spalte von B Die Matrix Matrix Multiplikation ist eine direkte Verallgemeinerung der Matrix Vektor Multiplikation Ist nämlich AB = C das Produkt der Matrizen A und B und ist weiterhin b i die i-te Spalte von B, so ist A b i = c i die i-te Spalte von C Anschaulich lässt sich das so schreiben A( b b b n ) = (A } {{ } b A b A b n ) = ( c c c n ) } {{ } B C Auch die Matrix Multiplikation kann man somit auf die Berechnung von Skalarprodukten zurückführen Die Matrix Multiplikation erbt ihre Eigenschaften direkt von der Funktionskomposition Sie ist damit assoziativ aber nicht kommutativ, dh selbst wenn sowohl AB als auch BA definiert sind, gilt im allgemeinen AB BA

77 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 77 Es gibt zwei Möglichkeiten, um zu berechnen AB x Zuerst die Matrix Vektor Multiplikation y = B x ausführen und dann die Matrix Vektor Multiplikation z = A y Zuerst das Matrix Produkt C = AB berechnen und dann die Matrix Vektor Multiplikation z = C x ausführen Was geht schneller? Der Rechenaufwand wird in Skalarproduktschritten gemessen Ein Skalarproduktschritt besteht aus einer Multiplikation gefolgt von einer Addition Zur Berechnung von y = B x braucht man für jede Komponente n Skalarproduktschritte Da y R k, braucht man für die Multiplikation B x insgesamt nk Skalarproduktschritte Zur Berechnung von z = A y braucht man für jede Komponente k Skalarproduktschritte Da z R m, braucht man für die Multiplikation A y insgesamt mk Skalarproduktschritte Zusammen sind dies (m + n)k Skalarproduktschritte zur Berechnung von A(B x) Für jede Komponente c ij des Matrix Produktes sind k Skalarproduktoperationen erforderlich Da C R m n, kostet die Matrix Multiplikation insgesamt mnk Skalarproduktschritte Zur Berechnung von C x braucht man für jede Komponente n Skalarproduktschritte Da z R m, braucht man für die Multiplikation C x insgesamt mn Skalarproduktschritte Zusammen sind dies (mn)(k + ) Skalarproduktschritte zur Berechnung von (AB) x Ist zb m = n = k = 3, braucht man im ersten Fall 8 Skalarproduktschritte, im zweiten jedoch 36 Die Computer Grafik lebt davon, dass sehr viele geometrische Transformationen hintereinander ausgeführt werden Möchte man zb einen Astronauten darstellen, der sich auf dem Mond bewegt und ist das Koordinatensystem im Mittelpunkt der Sonne aufgehängt, sind folgende Transformationen auszuführen: Rotation in Richtung Erde, Translation zum Erdmittelpunkt, Rotation Richtung Mond, Translation zum Mond Mittelpunkt, Rotation Richtung Astronaut, Translation zur Mondoberfläche Das Spiel setzt sich fort, wenn man zb einen Finger des Astronauten zeichnen will, dessen Position relativ zur Hand, die wiederum relativ zum Unterarm, die relativ zum Oberarm, usw angegeben werden muss Möchte man ein Objekt sehr detailliert darstellen, dann muss es aus vielen kleinen Flächenstücken zusammengesetzt werden, deren Eckpunkte x alle durch ein und die selbe Folge von Transformationen geschleust werden müssen Es lohnt sich daher durchaus, zuerst die entprechenden Matrizen zu multiplizieren um dann für jeden Vektor x nur noch eine einzige Matrix Vektor Multiplikation ausführen zu müssen In OpenGL bewirken Befehle wie zb glrotate, gltranslate, usw dass die entsprechende Rotations- oder Translationsmatrix an eine globale Matrix, die sog ModelView Matrix, dranmultipliziert wird Beim Aufruf des Befehls

78 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 78 glvertex, der als Argument einen Ortsvektor x nimmt, wird dieser mit der momentanen ModelView Matrix multipliziert Dies geschieht jedoch auf der Grafik Karte, die schnelle Hardware zur Berechnung von Matrix Vektor Multiplikationen hat 65 Matrix Inversion Sei f( x) = A x eine lineare, bijektive Funktion Die Umkehrfunktion f von f ist wieder linear und kann durch eine Matrix dargestellt werden Mit der Berechnung dieser sog inversen Matrix A von A werden wir uns in diesem Abschnitt beschäftigen Vorab jedoch eine wichtige Einschränkung Eine lineare Funktion f R n R m kann nur dann bijektiv sein, wenn n = m ist Theorem 63 Ist f R n R m eine bijektive lineare Funktion, dann ist n = m Beweis Sei f R n R m eine bijektive lineare Funktion mit zugehöriger Matrix A, dh f( x) = A x Sei weiterhin a j R m die j-te Spalte von A, dh A = ( a, a,, a n ) Dann ist f( x) = x a + x a + + x n a n Da f surjektiv ist, muss es zu jedem y R m ein x R n geben mit Somit muss y = x a + x a + + x n a n L( a, a,, a n ) = R m sein Da man mindestens m Vektoren braucht um R m aufzuspannen muss n m sein Da f injektiv ist, müssen a, a,, a n R m nach Theorem?? linear unabhängig sein Da n Vektoren aus R m zwangsläufig linear abhängig sind wenn n > m ist, folgt dass n m Somit muss n m und n m sein, dh n = m Sei im Folgenden also f R n R n, f( x) = A x eine bijektive lineare Funktion Nach Theorem 57 ist auch die Umkehrfunktion f linear Es existiert somit eine Matrix A mit f ( y) = A ( y)

79 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 79 Die Spalten von A sind die Bilder der kanonischen Basisvektoren von f Es gilt somit Nun ist f ( e i ) = x genau dann wenn A = (f ( e ) f ( e ) f ( e n ) f( x) = e i bzw A x = e i Die i-te Spalte von A ist somit die Lösung des linearen Gleichungssystems A x = e i, i =,,,n Definition 64 (Inverse Matrix) Eine n n Matrix A = ( x x x n ) heißt inverse Matrix von A R n n wenn A x i = e i, i =,,,n Ist f eine bijektive lineare Funktion, dann sind die linearen Gleichungssysteme alle eindeutig lösbar Dies ist wiederum genau dann der Fall, wenn die Spalten von A linear unabhängig sind Wählt man die Koeffizienten einer n n Matrix zufällig, dann ist die Matrix mit größter Wahrscheinlichkeit invertierbar Der Regelfall ist also, dass eine Matrix invertierbar ist man nennt diese Matrizen daher regulär Nur in Ausnahmefällen hat man es mit singulären Matrizen zu tun Wie unwahrscheinlich singuläre Matrizen sind, zeigt der Fall n = Die einzige singuläre Matrix ist (), alle anderen sind regulär Theorem 65 Sei A R n n Dann sind folgende Aussagen äquivalent: A ist regulär, dh invertierbar Die Spalten von A sind linear unabhängig Die Zeilen von A sind linear unabhängig Das lineare Gleichungssystem A x = b hat für jeden Vektor b R n genau eine Lösung Die lineare Funktion f( x) = A x ist bijektiv, dh besitzt eine Umkehrfunktion Für alle x R n gilt (f f)( x) = x, dh Funktion f f ist die Identitätsfunktion Als lineare Funktion hat sie natürlich eine Matrix Darstellung (f f)( x) = E x

80 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 8 wobei E = die n n Einheitsmatrix ist Da andererseits die zur Funktionskomposition f f gehörige Matrix gleich dem Produkt A A ist, folgt A A = E Die gleichen Überlegungen treffen natürlich auch für f f zu Theorem 66 A ist genau dann die inverse Matrix von A wenn A A = E, was wiederum genau dann der Fall ist wenn AA = E 66 Matrix Transposition Ausgehend von einer Matrix A R m n kann man eine Matrix A T R n m konstruieren, deren Zeilen gleich den Spalten von A sind Diese Matrix nennt man transponierte Matrix von A Definition 67 (Transposition) Die Transposition einer Matrix T R m n R n m ist definiert durch a a a n a a a n a m a m a mn T a a a m a a a m = a n a n a mn Es gilt folglich [A] ij = [A T ] ji [A T ] ij = [A] ji Beispiel T = ( ) Eine anschauliche Vorstellung hiervon vermittelt Bild 63

81 Ñ Ì Ñ V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 8 Ò Ò Abbildung 63: Berechnung der transponierten Matrix Theorem 69 (A T ) T = A (A + B) T = A T + B T (ca) T = ca T (AB) T = B T A T (A ) T = (A T ) Die meisten Gleichungen sind leicht zu sehen Beispielhaft die Herleitung von (AB) T = B T A T Die Komponenten in der i-ten Zeile und j-ten Spalte von AB ist [AB] ij = l [A] il [B] lj Folglich ist die Komponente in der i-ten Zeile und j-ten Spalte von (AB) T [(AB) T ] ij = [AB] ji = l [A] jl [B] li = l [A T ] lj [B T ] il = l [B T ] il [A T ] lj = [B T A T ] ij Dass man die Reihenfolge von Inversion und Transposition vertauschen kann, lässt sich wie folgt zeigen Ausgehend von A A = E erhält man durch Transposition auf beiden Seiten (A A) T = E T Da nun E T = E ist, gilt mit dem eben gezeigten Gesetz für die Matrix Multiplikation A T (A ) T = E

82 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 8 Folglich muss (A ) T die Inverse Matrix zu A T sein, dh (A ) T = (A T ) 63 Vektoren als spezielle Matrizen Es ist oft nützlich einen Vektor x R n als spezielle Matrix mit n Zeilen und einer Spalte zu interpretieren Die skalare Multiplikation und Addition von Vektoren sind dann einfach Spezialfälle der skalaren Matrix Multiplikation und der Matrix Addition Für das Skalarprodukt von Vektoren gilt dann x y = x T y wobei auf der rechten Seite die Matrix Multiplikation der n Matrix x T und der n Matrix y steht 64 Orthogonale Matrizen Die Berechung der inversen Matrix A einer regulären n n Matrix A ist eine ziemliche Rechnerei Wenn die Spalten von A jedoch paarweise orthogonale Vektoren sind und außerdem noch Länge eins haben, kriegt man die inverse Matrix quasi umsonst Diese Matrizen heißen orthogonale Matrizen und treten zum Glück auch in vielen praktischen Anwendungen auf So ist zb die diskrete Fourier Transformation, 8 die in der digitalen Signalverarbeitung eine zentrale Rolle spielt oder die diskrete Cosinus Transformation, auf der zb die JPEG Bilddatenkompression basiert, nichts anderes Matrix Vektor Multiplikationen mit einer orthogonalen Matrix Auch Drehmatrizen sind orthogonal Definition 6 (Orthogonale Matrix) Sei A R n n mit Spaltenvektoren a i R n, dh A = ( a a a n ) Die Matrix A heißt orthogonal wenn für alle i,j =,,n gilt a i a j = { falls i = j falls i j Beispiel 6 Die Einheitsmatrix E R n n ist orthogonal Beispiel 6 Jede Drehmatrix A R um einen beliebigen Winkel α ist orthogonal Sei ( ) cos α sin α A = sin α cos α 8 Genau genommen tritt bei der diskreten Fourier Transformation eine komplexe Matrix auf, statt orthogonal sagt man dann unitär

83 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 83 Dann ist ( ) ( ) cos α cos α sin α sin α ( ) ( ) cos α sin α sin α cos α ( ) ( ) sin α cos α cos α sin α ( ) ( ) sin α sin α cos α cos α = cos α + sin α = = = = sin α + cos α = Theorem 63 Ist A R n n eine orthogonale Matrix, dann gilt A = A T Sei A eine orthogonale Matrix Dann ist (A T A) ij gleich dem Skalarprodukt der i-ten Zeile von A T und der j-ten Spalte von A Die i-te Zeile von A T ist aber gerade die i-ten Spalte von A Somit ist (A T A) ij gleich dem Skalarprodukt der i-ten und der j-ten Spalte von A Da A orthogonal ist, gilt { (A T falls i = j A) ij = falls i j = E Somit muss A T die inverse Matrix von A sein Zur Berechunng der inversen Matrix einer orthogonalen Matrix sind daher keine arithmetischen Operationen erforderlich, es müssen lediglich die Koeffizienten umgeordnet werden Theorem 64 Ist A R n n eine orthogonale Matrix, dann gilt für jeden Vektor x R n A x = x Bei der Multiplikation mit einer orthogonalen Matrix bleibt die Länge eines Vektors also gleich Im Beweis wird ausgenutzt, dass man den Vektor A x auch als n Matrix interpretieren kann und dass für eine orthogonale Matrix A gilt A T A = E A x = (A x) (A x) = (A x) T (A x) = x T A T A x = x T E x = x T x = x x = x

84 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 84 Theorem 65 Sei A R n n eine orthogonale Matrix Dann ist der Winkel zwischen x und y gleich dem Winkel zwischen A x und A y für alle x, y R n \{ } Bei der Multiplilation mit einer orthogonalen Matrix bleibt der Winkel zwischen zwei Vektoren also gleich Da der Winkel zwischen zwei Vektoren immer zwischen und 8 Grad festgelegt wurde, genügt es zu zeigen, dass die Cosinusse der entsprechenden Winkel gleich sind, dh Aus dem vorigem Theorem folgt A x A y A x A y = x y x y A x = x A y = y Damit sind die Nenner der beiden Ausdrücke gleich Dass auch die Zähler gleich sind, sieht man wie folgt: A x A y = (A x) T (A y) = x T A T A y = x T E y = x T y = x y

85 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 85 7 Homogene Koordinaten Nachdem wir nun die linearen Funktionen lieb gewonnen haben, ist es umso ärgerlicher, dass zb die Translation und die perspektivische Projektion keine linearen Funktionen sind und sich somit auch nicht durch Matrizen darstellen lassen Dieser Umstand hat durchaus praktische Konsequenzen In der Computer Grafik tritt häufig der Fall ein, dass ein Objekt mehrfach hintereinander gedreht und verschoben werden muss Wenn alle Transformationen linear wären, dann könnte man die zugehörigen Matrizen einfach zu einer Matrix zusammenmultiplizieren, dh A A A m = A Jeder Vertex des Objekts liesse sich dann durch eine einzige Matrix Vektor Multiplikation A x transformieren Mit Hilfe von sog homogenen Koordinaten ist es möglich, auch die Translation und sogar die perspektivische Projektion durch Matrizen darzustellen obwohl es sich um keine linearen Funktionen handelt Translationen, Rotationen und Projektionen können damit völlig einheitlich behandelt werden Dadurch können Algorithmen und Datenstrukturen der Computer Grafik enorm vereinfacht werden, auch wenn s zunächst eher etwas komplizierter aussieht Tatsächlich arbeitet die Computer Grafik fast ausschließlich mit homogenen Koordinaten 7 Der große Trick Definition 7 (Homogene Koordinaten) Sei x x = y R 3 z Dann ist jeder Vektor x = w x y z R4 mit w R, w eine Darstellung von x in homogenen Koordinaten Bei der Darstellung in homogenen Koordinaten kommt also eine Vektor Komponente dazu Beispiel 7 Sei x = 3

86 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 86 Darstellungen von x in homogenen Koordinaten sind zb 3, 6, 3, usw Ein Vektor x R 3 hat also unendlich viele Darstellungen in homogenen Koordinaten Die Darstellungen unterscheiden sich aber nur um einen skalaren Faktor Merkregel 73 Vektoren in homogenen Koordinaten darf man beliebig skalieren Diese Situation erinnert an rationale Zahlen So hat die rationale Zahl 3/4 ebenfalls unendlich viele Darstellungen wie zb 6/8 oder 3/ 4 usw Ähnlich wie es bei rationalen Zahlen üblich ist, Brüche in gekürzter Form darzustellen, kann man homogene Koordinaten immer auf die Form w = bringen Beispiel 74 Die Vektoren mit homogenen Koordinaten und 6 4 unterscheiden sich nur um einen skalaren Faktor /3 und entsprechen daher beide dem selben Vektor 3 in normaler Darstellung Die homogene Darstellung mit w = wäre 3 Dem Kürzen von Brüchen entspricht somit die Division durch die letzte Komponente bei homogenen Koordinaten Unabhängig von dem gewählten w kann man einen Vektor in homogener Darstellung eindeutig wieder in normale Darstellung zurücktransformieren

87 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 87 Theorem 75 Ist x = a b c w R4, w ein Vektor in homogener Darstellung, dann ist a/w x = b/w R 3 c/w der zugehörige Vektor in normaler Darstellung Beispiel 76 Hat man wie im vorigen Beispiel einen Vektor 6 x = in homogener Darstellung, erhält man den zugehörigen Vektor in normaler Darstellung indem man einfach durch die letzte Komponente dividiert und sie dann weglässt, dh x = 6/ / / = Bemerkung Die Darstellungen eines Vektors x in homogenen Koordinaten liegen alle auf der Ursprungsgeraden x G = w y z w R im R 4 Man kann homogene Koordinaten daher auch so verstehen, dass man statt mit Vektoren im R 3 nun mit Ursprungsgeraden im R 4 arbeitet Diese Sichtweise ist manchmal vorteilhaft, da es einen eins zu eins Zusammenhang zwichen Punkten im R 3 und Ursprungsgeraden im R 4 gibt 7 Blick ins Unendliche Den Fall w = haben wir bisher ausgeschlossen, da bei der Umrechnung in normale Koordinaten eine Division durch Null auftreten würde Tatsächlich ist es aber manchmal ganz geschickt, auch w = zuzulassen Welche normalen Koordinaten könnte zb der Punkt x = 5 3

88 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 88 haben? Nähern wir uns der Sache an und versuchen s mit sehr kleinen Werten von w x = entspricht x = x = 5 5 entspricht x = 5 5 Man wandert also immer weiter vom Koordinatenursprung weg und zwar in Richtung des Vektors r = 5 Mit guten Recht kann man somit sagen, dass für w = der zugehörige Punkt im Unendlichen liegt und zwar in Richtung r Für die Computer Grafik ist es ganz praktisch, solche Punkte angeben zu können Positioniert man zb eine Lichtquelle im Unendlichen, dann treffen ihre Strahlen parallel ein Die Sonne ist sehr weit weg ihre Lichtstrahlen kommen daher auf der Erde fast parallel an Dies gilt insbesondere auch dann, wenn außer w eine weiter Vektorkomponente Null ist, zb x = Eigentlich würde hier eine Division / auftreten und es ist unklar, ob die Null im Zähler oder die im Nenner gewinnt, dh ob Unendlich oder Null herauskommt In Verallgemeinerung zu obiger Lösung soll dies der Punkt im Unendlichen in Richtung r = 5 5 sein Endgültig passen müssen wir allerdings bei x = Dieser Punkt hat keine geometrische Bedeutung 7 Arithmetik mit homogenen Koordinaten Ein Problem mit homogenen Koordinaten gleich vorweg Sie können Vektoren in homogener Darstellung nicht addieren oder subtrahieren In normalen Koordinaten gilt zb + =

89 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 89 In homogenen Koordinaten mit der Wahl w = erhält man + = Transformiert man das Ergebnis wieder in normale Koordinaten zurück, erhält man fälschlicherweise das Ergebnis / / = / Entweder man transformiert vor einer Addition also in normale Koordinaten zurück oder man stellt sicher, dass beide Argumentvektoren das selbe w verwenden, und übernimmmt dies unverändert in den Ergebnisvektor Erinnert an die Additionsregel beim Bruchrechnen Wir werden aber selten Vektoren in homogener Darstellung addieren müssen Die einzig relevanten Operationen in homogenen Koordinaten sind Matrix Matrix und Matrix Vektor Multiplikationen 7 Homogene Matrizen für geometrische Transformationen 7 Translation In wiefern lösen homogene Koordinaten nun das Problem, dass man die Translation nicht als Matrix Vektor Multiplikation darstellen kann? Sei b R 3, b ein fest gewählter Vektor und f R 3 R 3, f( x) = x + b die Translationsfunktion um Vektor b Diese Funktion ist nicht linear, dh es gibt keine Matrix A so dass A x = x + b für alle x R 3 Es ist sehr instruktiv zu versuchen trotzdem eine solche Matrix zu konstruieren Wenn Sie s schaffen, haben Sie vermutlich die Matrix Koeffizienten von x abhängig gemacht, was natürlich nicht erlaubt ist Ein und die selbe Matrix soll für jeden Vektor x die Translation um b ausführen! Der Trick besteht nun darin, den Input Vektor x und den gewünschten Output Vektor x+ b homogen darzustellen Mit w = entspricht die Translation damit der Zuordnung x x x 3 x + b x + b x 3 + b 3 Tatsächlich kann man diese Zuordnung durch eine Matrix Vektor Multiplikation realisieren: b x x + b b x b 3 x 3 = x + b x 3 + b 3

90 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 9 In homogenen Koordinaten ist es daher durchaus legitim, von einer Translationsmatrix zu sprechen Die Matrix ist übrigens unabhängig von der gewählten homogenen Darstellung von x Der gesamte Vorgang mit Übergang zwischen homogenen Koordinaten und normalen Koordinaten lässt sich wie folgt zusammenfassen, wobei w beliebig ist f x x x 3 = x + b x + b x 3 + b 3 homogenisieren b b b 3 } {{ } trans(b,b,b 3) wx wx wx 3 w = w(x + b ) w(x + b ) w(x 3 + b 3 ) w enthomogenisieren In Anwendungen der Computer Grafik wechselt man natürlich nicht bei jeder Transformation zwischen homogenen und normalen Koordinaten hin und her Vielmehr führt man alle erforderlichen Transformationen in homogenen Koordinaten durch und wechselt erst ganz zum Schluss zur normalen Darstellung zurück 7 Rotation Bisher haben wir uns nur die Rotation um den Koorinatenursprung im Zweidimensionalen angeschaut Rotationen im Raum sind komplizierter, weil man zusätzlich die Richtung der Achse festlegen muss, um die rotiert werden soll Glücklicherweise genügt es aber, sich die Drehungen um die drei Koordinatenachsen anzuschauen Eine Rotation um eine andere Achse, kann durch eine Folge dieser Rotationen zusammengesetzt werden Soll um eine Achse rotiert werden, die nicht durch den Koordinatenursprung läuft, kommen zusätzlich Translationen ins Spiel Beginnen wir mit der Rotation um die x-achse, siehe Bild 7 links Der Punkt x p = y z soll um Winkel α um die x-achse gedreht werden Wie lässt sich berechnen, bei welchen Koordinaten er landen wird? Besonders einfach ist die x-koordinate, die bleibt nämlich bei der Drehung um die x-achse gleich! Damit hat man die dreidimensionale Drehung aber auch schon auf eine zweidimensionale reduziert Betrachtet man den Vorgang aus der x-richtung (Bild 7 rechts), stellt man fest, dass es sich um eine zweidimensionale Drehung parallel zur yz-ebene handelt Die y- und z-koordinaten müssen daher genau so miteinander verheiratet werden wie bei der zweidimensionalen Drehung in Beispiel 66 auf Seite 69

91 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 9 y y p α f( p) x z p α f( p) z Abbildung 7: Rotation des Punktes p um Winkel α um die x-achse Auf gleiche Weise lassen sich auch die Drehmatrizen um die y-achse und um die z-achse herleiten Zusammengefasst erhält man folgende Matrizen: cos α sin α sinα cos α } {{ } rot x(α) rot y(α) x y z cos α sinα sin α cos α } {{ } cos α sin α sin α cos α } {{ } rot z(α) x y z x y z = = = x y cos α z sin α y sin α + z cos α xcos α + z sinα y xsin α + z cos α xcos α y sin α xsin α + y cos α z Nein, es ist kein Tippfehler, dass die Stelle an der das Minus Zeichen vor dem Sinus bei rot y steht, nicht dem selben Muster entspricht wie bei rot x und rot z Tatsächlich ist es eine Frage der Drehrichtung Da ist sin( α) = sin α cos( α) = cos α rot y ( α) = cos α sin α sin α cos α Weshalb wird also bei der Rotation um die y-achse die Drehrichtung so festgelegt, dass das Schema zerstört wird? Im Zweidimensionalen war s klar, dass die Drehrichtung gegen den Uhrzeigersinn genommen wird Wie wir die Drehrichtung im Dreidimensionalen definiert? Glücklicherweise wurde hier standardisiert, sonst wäre Grafik Software nicht portabel

92 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 9 Zunächst wurde festgelegt, wie die Achsen des Koordinatensystems orientiert sind Hier greift die rechte Hand Regel Der Daumen ist die x-achse, der Zeigefinger die y-achse, der Daumen die z-achse Wenn Sie die linke Hand nehmen würden, würde immer eine Achse in die falsche Richtung zeigen 9 Die Drehrichtung einer Achse ist so festgelegt, dass eine Schraube, deren Spitze in Richtung der Achse zeigt, bei positivem Drehwinkel reingedreht wird Wenn man hinter der Schraube steht, ist das im Uhrzeigersinn sieht man die Schraubenspitze auf sich zukommen, gegen den Uhrzeigersinn Dass das so kompliziert ist, ist nicht die Schuld der Mathematiker und auch nicht die der Uhrmacher oder Schraubenhersteller Es ist schwer, sich eine Welt vorzustellen, in der die Drehrichtung von hinten und von vorne betrachtet gleich orientiert ist Jedenfalls führen diese Vereinbarungen zu og Matrizen Am besten lässt sich die Drehrichtung nachvollziehen, wenn man einen geeigneten kanonischen Basisvektor nimmt und unter Verwendung der Matrizen um einen kleinen positiven Winkel α dreht Drehungen sind lineare Funktionen und lassen sich durch Matrizen darstellen Möchte man nur Drehungen ausführen, besteht kein Grund für homogene Koordinaten In der Regel werden jedoch Rotationen und Translationen hintereinander ausgeführt Um die zugehörigen Matrizen multiplizieren zu können, sind homogene Darstellungen für die Rotation erforderlich Hierfür muss man lediglich sicherstellen, dass die zusätzliche vierte Vektorkomponente unverändert übertragen wird Im Gegensatz zur Translation hat sie keinen Einfluss auf die übrigen drei Vektorkomponenten Um dies zu erreichen müssen die Drehmatrizen um eine Zeile und eine Spalte ergänzt werden, die lediglich Nullen enthalten mit Ausnahme einer Eins in der rechten unteren Ecke 9 Wie bei jedem Standard gibt s auch hier Systeme, die s genau anders machen So legt zb POV-Ray ein linkshändiges System zugrunde OpenGL ist aber rechtshändig Ähnlich wie im Fall von POV-Ray gibt s auch Schrauben mit anders orientiertem Gewinde, zb bei Spannschlössern

93 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 93 cos α sin α sinα cos α } {{ } rot x (α) cos α sinα sin α cos α } {{ } rot y (α) cos α sin α sin α cos α } {{ } rot z (α) wx wy wz w wx wy wz w wx wy wz w = = = wx w(y cos α z sinα) w(y sinα + z cos α) w w(xcos α + z sin α) wy w( xsin α + z cos α) w w(xcos α y sinα) w(xsin α + y cos α) wz w Nach diesem Prinzip kann jede Matrix homogenisiert werden Man kann also zu jeder linearen Funktion eine homogene Matrix zu finden und darüber hinaus auch noch zu ein paar nichtlinearen wie zb die Translation Beispiel 77 Sei f( p) die Funktion, die den Punkt p zunächst um 3 Grad um die x-achse dreht und dann um Einheiten in z-richtung verschiebt Die Matrixdarstellung dieser Funktion in homogenen Koordinaten ist somit 3 rot x (3)trans(,,) = 3 3 = 3 3 Man kann daher mit einer einzigen Matrix Vektor Multiplikation beide Transformationen hintereinander ausführen 73 Allgemeine lineare Transformationen Im vorigen Abschnitt wurde am Beispiel der Rotation gezeigt, wie man ausgehend von einer Matrix in normalen Koordinaten eine homogene Matrix berechnen kann Dieses Prinzip ist für jede lineare Funktion anwendbar Die zugehörige Matrix muss lediglich um eine Zeile und um eine Spalte erweitert werden Alle zusätzlichen Matrix Komponenten sind Null, mit Ausnahme einer Eins im rechten unteren Eck

94 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 94 a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 x x x 3 = a x + a x + a 3 x 3 a x + a x + a 3 x 3 a 3 x + a 3 x + a 33 x 3 homogenisieren enthomogenisieren a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a 33 wx wx wx 3 w = w(a x + a x + a 3 x 3 ) w(a x + a x + a 3 x 3 ) w(a 3 x + a 3 x + a 33 x 3 ) w Nach diesem Schema lässt sich somit Skalierung, Spiegelung und Orthogonalprojektion erschlagen 74 Perspektivische Projektion Die perspektivische Projektion mit Projektionszentrum im Koordinatenursprung auf die Ebene z = d wurde in Kapitel 56 hergeleitet Es handelt sich um eine nichtlineare Funktion f R 3 R 3, f x y z = dx/z dy/z d In homogenen Koordinaten entspricht dies der Zuordung wx wy wz w wdx/z wdy/z wd w Keine Chance, das mit einer Matrix Vektor Multiplikation zu bewerkstelligen wie sollte man auch z in den Nenner kriegen wenn nur Additionen und Multiplikationen erlaubt sind? An dieser Stelle rettet uns, dass ein Vektor mehrere Darstellungen in homogenen Koordinaten hat, wir können uns also eine besonders geschickte aussuchen Sie erinnern sich: Man darf einen Vektor in homogenen Koordinaten beliebig skalieren, der zugehörige Vektor in normalen Koordinaten bleibt dabei gleich So entsprechen die beiden Vektoren in homogenen Koordinaten wdx/z wdy/z wd w und wx wy wz wz/d dem selben Vektor in normalen Koordinaten Es wurde lediglich mit z/d skaliert Und damit klappts die zugehörige homogene perspektivische Projektionsmatrix sieht sogar sehr einfach aus

95 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 95 f x y z = dx/z dy/z d homogenisieren /d wx wy wz w = wx wy wz wz/d enthomogenisieren Die Division durch z, die uns vorher Schwierigkeiten machte, wird nun nicht mehr von der Matrix Multiplikation verlangt sondern durch die Enthomogenisierung bewerkstelligt Man spricht daher auch von der perspektivischen Division Der Fall z = muss natürlich ausgeschlossen werden, was aber keine echte Einschränkung ist, da in diesem Fall die perspektivische Projektion sowieso nicht definiert ist In Zukunft wird nicht mehr explizit zwischen normalen und homogenen Koordinaten unterschieden Wenn man zb trans(a, b, c) x schreibt, dann wird implizit vorausgesetzt, dass x zuerst homogenisiert wird Ob x normal oder homogen dargestellt ist, spielt meistens keine Rolle da man ja jederzeit umrechnen kann

96 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 96 8 Koordinatensysteme 8 Transformationen bzgl des Weltkoordinatensystems Wenn man ein Objekt in einem Koordinatensystem verschieben und rotieren möchte, kann man dies dadurch tun, dass man jeden Eckpunt des Objektes mit den entsprechenden Matrizen multipliziert y b K K α a x K Abbildung 8: Translation mit nachfolgender Rotation Im Bild ist a = 5, b = 9, α = 67 Grad In Bild 8 Wird ein Dreieck um a Einheiten in x-richtung und b Einheiten in y-richtung verschoben und dann um Winkel α um die z-achse gedreht (Die z-achse ist genau auf Sie gerichtet und nicht eingezeichnet) Man muss daher jeden Eckpunkt des Dreiecks mit der Matrix rot z (α)trans(a,b,) = cos α sin α sin α cos α a b multiplizieren Achten Sie hierbei auf die Reihenfolge der Matrizen: Ein Eckpunkt p des Dreiecks wird rechts an die Kette der Matrizen dranmultipliziert Er trifft also zunächst auf die Translationsmatrix und dann auf die Rotationsmatrix Wenn Sie das Dreieck von Hand bewegen müssten, würden Sie mit Sicherheit nicht jeden Eckpunkt einzeln bewegen Stattdessen würden Sie das Dreieck an einer bestimmten Stelle angreifen, mit ihrer Hand die entsprechenden Transformationen durchführen und erst zum Schluss wieder loslassen Ihre Hand spielt in dem Vergleich die Rolle eines Koordinatensystems Stellen Sie sich einfach vor, ein Koordinatensystem wird an das zu bewegende Objekt geklebt Die Transformationen werden dann nicht auf die Eckpunkte des Objektes angewandt sondern auf das angeklebte Koordinatensystem Das Objekt wandert natürlich automatisch mit Auf diese Weise bekommt man eine Folge von Koordinatensystemen, die in Bild 8 mit K, K und K bezeichnet sind K ist dabei identisch mit dem Weltkoordinatensystem, bezüglich dem sich alles abspielt Diese Sichtweise hat ein paar entscheidende Vorteile Den wichtigsten Vorteil, die relativen Transformationen, hebe ich mir für s nächste Kapitel auf

97 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 97 Die Koordinaten des Dreiecks in seiner Endposition bzgl K sind die selben wie die des Dreiecks in seiner Startposition bzgl K Die Koordinaten des Dreiecks bleiben also im ganzen Prozess unverändert sofern man sich auf das entsprechende Koordinatensystems bezieht Diese Koordinaten nennt man daher Objektkoordinaten Das Objekt ändert sich nicht, seine Objektkoordinaten auch nicht Klingt logisch Man kann einer Transformationsmatrix direkt ansehen wie ihr zugehöriges Koordinatensystem im Weltkoordinatensystem positioniert ist Die letzte Spalte gibt den Koordinatenursprung an, die ersten drei Spalten sind die Koordinatenachsen in homogener Darstellung Das ist kein Zufall, wie folgendes Beispiel zeigt Beispiel 8 Gegeben sei die homogene Transformationsmatrix A = Die kanonischen Basisvektoren des Weltkoordinatensystems (in homogener Darstellung) werden durch A wie folgt transformiert 5 6, 6, 3 7 Der Koordinatenursprung landet bei A = 7 Dies ist genau die letzte Spalte von A Um die Richtungsvektoren des transformierten Koordinatensystems zu bekommen, muss man von den transformierten Basisvektoren den transformierten Koordinatenursprung subtrahieren Hierzu wechselt man wieder zu normalen Koordinaten und erhält 3 6, 5 6, 5 7 Dies sind genau die ersten drei Spalten von A ohne das homogene Anhängsel Ok, Sie haben mich erwischt Die letzte Matrix Zeile wurde bewusst auf (,,,) gesetzt, wie das bei der Translation, Rotation, Skalierung, Spiegelung sowie deren Verkettungen (dh fast immer) der Fall ist Hat man in der letzten Zeile anderere Werte wie zb bei der perspektivischen Projektion, muss man bei der Rücktransformation in normale Koordinaten dividieren und dabei geht der einfache Zusammenhang zwischen den Koordinatenachsen und den Spalten von A verloren

98 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 98 8 Relative Transformationen bzgl des Cursorkoordinatensystems Stellen Sie sich das Objektkoordinatensystem, mit denen Sie durch die Welt fahren einfach wie einen dreidimensionalen Cursor vor Zu jedem Zeitpunkt steht der Cursor an einer bestimmten Position (seinem Koordinatenursprung) und hat eine bestimmte Orientierung (gegeben durch die Richtungsvektoren seiner Koordinatenachsen) Die Matrizen entsprechen Befehlen wie zb oder Verschiebe den Cursor um a Einheiten in x-richtung und um b Einheiten in y-richtung Drehe den Cursor um Winkel α um die z-achse Es stellt sich nun die Frage um welche z-achse gedreht werden soll: Die z-achse des Weltkoordinatensystems? So haben wir s bisher gemacht Die z-achse des Cursors? Das ist in den meisten Fällen viel praktischer und wird zb in der Turtle Grafik der Programmiersprache Logo oder in der Seitenbeschreibungssprache Postscript so gemacht Auch OpenGL und die meisten Computer Grafik Systeme verwenden standardmäßig diesen Ansatz Der Unterschied wird deutlich, wenn wir uns hierzu nochmal das Beispiel in Bild 8 anschauen Würde die Rotation bzgl des momentanen Cursorkoordinatensystems ausgeführt und nicht bzgl des Weltkoordinatensystems, wäre die Endposition wie in Bild 8 K K K Abbildung 8: Translation mit nachfolgender Rotation relativ zum momentanen Objektkoordinatensystem Beispiel 8 An einen Roboter, der im Ursprung des Weltkoordinatensystems steht, soll ein Greifer gezeichnet werden An den Greifer ist ein Objektkoordinatensystem geklebt, siehe Bild 83 Um den Greifer an die richtige Position und in die richtige Orientierung zu bringen, sind folgende Befehle erforderlich: Verschiebe Cursor um l Einheiten in y-richtung

99 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 99 Drehe Cursor um Winkel α um seine z-achse Verschiebe Cursor um l Einheiten in Richtung seiner x-achse Zeichne den Greifer in dieses Koordinatensystem Wie man in Bild 83 sieht, bezieht sich die Rotation um die z-achse um Winkel α und die Translation in x-richtung um l auf das momentane Cursorkoordinatensystem und nicht wie bisher auf das Weltkoordinatensystem Würden die Transformationen bzgl des Weltkoordinatensystems ausgeführt, dann würde der Greifer an der falschen Position landen y K 3 K K l α K l Greifer in seinem Objektkoordinatensystem Roboter im Weltkoordinatensystem x Abbildung 83: Relative Koordinatensystem Transformationen Um Transformationen bzgl des Weltkoordinatensystems wie zb in Bild 8 auszuführen, muss man die zugehörigen Matrizen einfach von rechts nach links aneinander multiplizieren Sollen allgemein nacheinander die Transformationen T,T,,T n auf einen Punkt x bzgl des Weltkoordinatensystems angewandt werden, erreicht man dies durch T n T T x Was muss sich ändern, wenn die Transformationen bzgl des momentanen Cursorkoordinatensystems wie zb in Bild 8 oder 83 ausgeführt werden sollen? Die Antwort ist erstaunlich einfach: Man dreht einfach die Reihenfolge der Matrizen um, dh T T T n x Die Transformationsmatrix war in Bild 8 und in Bild 8 gerade umgekehrt rot z (α)trans(a,b,), trans(a,b,)rot z (α)

100 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite Weshalb das so funktioniert, wird im nächsten Kapitel erklärt Halten wir das Ergebnis zunächst in einer Merkregel fest: Merkregel 83 Soll eine Folge T,T,,T n von Transformationen nacheinander bzgl des Weltkoordinatensystems ausgeführt werden, ist die Transformationsmatrix das Matrixprodukt T n T T Die Matrizen werden also von rechts nach links hingeschrieben Soll die gleiche Folge von Transformationen bzgl des momentanen Cursorkoordinatensystems ausgeführt werden (Turtle Grafik), ist die Transformationsmatrix das Matrixprodukt T T T n Die Matrizen werden also von links nach rechts hingeschrieben Man kann die Sache auch noch anders herum betrachten Merkregel 84 Ein Matrix Produkt T T T n kann auf zwei Weisen als geometrische Transformation interpretiert werden Von rechts nach links, dh T n wird zuerst ausgeführt In diesem Fall beziehen sich alle Transformationen auf das Weltkoordinatensystem Von links nach rechts, dh T wird zuerst ausgeführt In diesem Fall beziehen sich alle Transformationen auf das momentane Cursorkoordinatensystem Tatsächlich kann man das Matrix Produkt trans(a,b,)rot z (α) das in Bild 8 von links nach rechts als Folge von Transformationen bzgl des aktuellen Cursorkoordinatensystems interpretiert wurde, auch von rechts nach links bzgl des Weltkoordinatensystems lesen Es wird dann zuerst die Rotation und dann die Translation bzgl des Weltkoordinatensystems ausgeführt Dieser Vorgang wird in Bild 84 dargestellt das Dreieck landet beide Male an der selben Enposition Für die Computer Grafik ist dieses Verständnis ganz essentiell Hat man bereits eine Folge von Transformationen T T T n vorliegen und möchte noch eine Transformation A dranhängen, muss man sich entscheiden:

101 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite b K K K a Abbildung 84: Rotation mit nachfolgender Translation bzgl dem Weltkoordinatensystem Soll A bzgl des Weltkoordinatensystems ausgeführt werden, häng man A links dran und erhält AT T T n In der Computer Grafik tritt dieser Fall auf, wenn man die Kamera bewegen möchte Dieser Effekt wird dadurch erzielt, dass die ganze Szene bzgl des Weltkoordinatensystems in entegegengesetzter Richtung bewegt Klar, um ein Hochhaus von hinten zu sehen, kann man entweder links um das Hochhaus herumgehen oder das ganze Hochhaus rechts herum drehen Die Computer Grafik (und vermutlich nur diese) macht s auf die zweite Weise Soll A bzgl des aktuellen Cursorkoordinatensystems ausgeführt werden, hängt man A rechts dran und erhält T T T n A In der Computergrafik tritt dieser Fall viel häufiger ein, nämlich immer dann wenn man ein komplexes Objekt aus Einzelteilen zusammensetzen möchte Hätte der Roboter aus Bild 83 noch mehr Gelenke, müsste man die zugehörigen Transformationen immer bzgl des momentanen Cursorkoordinatensystems ausführen, dh rechts dranmultiplizieren In OpenGL gibt s eine globale Matrix, die sog ModelView Matrix OpenGL Befehle wie zb glrotate oder gltranslate führen dazu, dass die entsprechende Rotations- bzw Translationsmatrix rechts an die ModelView Matrix multipliziert wird Standard in OpenGL ist also, dass alle Transformationen bzgl des momentanen Cursorkoordinatensystems ausgeführt werden Es gibt jedoch OpenGL Befehle, die den direkten Zugriff auf die ModelView Matrix ermöglichen (glloadmatrix, glmultmatrix) Wenn man dann noch die zugrundeliegende Mathematik verstanden hat, sind der Kreativität keine Grenzen gesetzt Man kann in OpenGL mit dem Befehl glulookat auch die Kamera positionieren Wie oben gesehen, sollte die zugehörige Matrix links an die ModelView Matrix multipliziert werden, da die Kameraposition normalerweise bzgl des Weltkoordinatensystems angegeben wird Am einfachsten erreicht man dies dadurch, dass man den Befehl glulookat vor allen anderen geometrischen Transformationen aufruft Da die geometrischen Transformationen rechts dranmultipliziert werden, landet die Kameratransformation automatisch ganz links

102 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 83 Koordinatensystem Transformationen In diesem Abschnitt wird erklärt, weshalb die Umkehrung der Reihenfolge der Matrizen dazu führt, dass sich die zugehörigen geometrischen Transformationen nicht mehr auf das Weltkoordinatensystem sondern auf das momentane Cursorkoordinatensystem beziehen Wenn man die Position eines Punktes durch einen Vektor x angeben möchte, muss man immer dazusagen, auf welches Koordinatensystem sich x bezieht Wir schreiben daher x Ki um zu verdeutlichen, dass die Komponenten von x Koordinaten im Koordinatensystem K i sind Beispiel 85 Der in Bild 85 eingezeichnete Punkt hat bzgl Koordinatensystem K die Koordinaten x K = Der selbe Punkt hat bzgl Koordinatensystem K die Koordinaten a + x K = b + Es gilt somit x K = trans(a,b,) x K Dies gilt natürlich nicht nur für den eingezeichneten Punkt, sondern für jeden Punkt schließlich ging ja K aus K durch eine Translation trans(a, b, ) hervor b K a K Abbildung 85: Koordinatensystem Transformation Seien allgemein K und K Koordinatensysteme gegeben durch homogene 4 4 Matrizen bzgl eines Weltkoordinatensystems Sei weiterhin x R 4 ein Punkt mit homogenen Koordinaten x K bzgl K und x K bzgl K Dann gilt K x K = K x K Nimmt man weiter an, dass K aus K durch eine Transformation T hervorgeht, dann gilt x K = T x K

103 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 3 Durch Multiplikation mit der Matrix T kann man somit K Koordinaten in K Koordinaten umrechnen Folglich gilt K T x K = K x K Da diese Gleichheit für beliebige Punkte gilt, folgt die Matrix Gleichheit K T = K Das Anwenden einer relativen Transformation T auf ein Koordinatensystem K erfolgt also dadurch, dass man die Transformation rechts an das Koordinatensystem dranmultipliziert Merkregel 86 Sei K ein Koordinatensystem, das aus K durch Transformation T hervorgeht Dann gilt K T = K Die Umrechnung von K Koordinaten in K Koordinaten geschieht durch Multiplikation mit T, dh x K = T x K Beispiel 87 In Bild 86 wurde das Koordinatensystem K zuerst verschoben mit trans(a,b,) auf K Danach folgte eine Drehung um α = 45 Grad um die z-achse von K Das Ergebnis ist K Die Koordinaten des eingezeichneten Punktes lassen sich bzgl K und K direkt ablesen: x K = x K = = = rot z (α) x K Von K -Koordinaten auf K -Koordinaten kann man wie im vorigen Beispiel durch Matrix Multiplikation mit trans(a, b, ) umrechnen Zusammen erhält man somit x K = trans(a,b,) x K = trans(a,b,)rot z (α) x K Die Matrizen multiplizieren sich also tatsächlich in der Reihenfolge von links nach rechts auf Wäre die zweite Transformation bzgl des Weltkoordinatensystems K ausgeführt worden und nicht bzgl des momentanen Cursorkoordinatensystems K, dann wäre die Reihenfolge der Matrizen umgekehrt Fassen wir also zusammen Angenommen man erhält Koordinatensystem K i+ aus Koordinatensystem K i, indem man eine Transformation T i+ auf K i anwendet, dann gilt K i T i+ = K i+ x Ki = T i+ x Ki+

104 V Stahl Lineare Algebra und Computer Grafik Seite 4 K b α K a K Abbildung 86: Koordinatensystem Transformation Wendet man ausgehend vom Weltkoordinatensystem K nacheinander Transformationen T,T,,T n bzgl des jeweils momentanen Koordinatensystems K,K,,K n an, dann gilt K n = K n T n = K n T n T n = K n 3 T n T n T n = K T T T n x K = T x K = T T x K = T T T 3 x K3 = T T T n x Kn Um von den invarianten Objektkoordinaten auf Weltkoordinaten umzurechnen muss man diese mit der Matrix T T T n multiplizieren Die Transformationen werden also in der Reihenfolge ihrer Anwendung von links nach rechts aneinandermultipliziert

105 Literatur [] Burg, Haf, and Wille Höhere Mathematik für Ingenieure Band II: Lineare Algebra Teubner, 99 [] E Hohloch and H Kümmerer Brücken zur Mathematik, Band : Lineare Algebra Cornelsen, [3] E Hohloch and H Kümmerer Brücken zur Mathematik, Band 3: Vektorrechnung Cornelsen, [4] Klaus Jänich Lineare Algebra Springer, [5] M Mortenson Mathematics for Computer Graphics Applications Industrial Press, 999 [6] Dave Shreiner, Mason Woo, Jackie Neider, and Tom Davis OpenGL Programming Guide Addison Wesley, 3 5