Lineare Algebra. Gymnasium Immensee SPF PAM. Bettina Bieri

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1 Lineare Algebra Gymnasium Immensee SPF PAM Bettina Bieri 6. Oktober 2011

2 Inhaltsverzeichnis 1 Matrizen Einleitung Der Begriff Matrix Spezielle Matrizen Rechnen mit Matrizen Gleichheit Addition und Subtraktion Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl Multiplikation zweier Matrizen Aufgaben Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Lineare Gleichungssysteme Matrix-Vektor-Schreibweise Determinanten Permutation Determinante Der Gauss Algorithmus Elementare Zeilenoperationen Gauss-Algorithmus Beispiel Aufgaben Methode Inverse Matrix Die Inverse einer Matrix Definition: Invertierbarkeit und Inverse Berechnung der Inversen einer zwei kreuz zwei Matrix Ein Verfahren zur Matrixinversion Aufgaben Lösen von Linearen Gleichungssystemen

3 5 Lineare Abbildungen Beispiele von Abbildungen Herleitung der Matrix für Drehungen

4 Kapitel 1 Matrizen 1.1 Einleitung Im Wikipedia findet man folgende Definition von Linearer Algebra: Die Lineare Algebra ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit Vektorräumen und linearen Abbildungen zwischen diesen beschäftigt. Dies schliesst insbesondere auch die Betrachtung von linearen Gleichungssystemen und Matrizen mit ein. Zuerst werden wir lernen was eine Matrix ist, und wie man damit rechnen kann. In der Definition steht, dass sich die Lineare Algebra mit dem Lösen von linearen Gleichungssystemen beschäftigt. Unter linearen Gleichungssystemen könnt ihr euch bereits etwas vorstellen. Ihr habt auch schon Methoden kennen gelernt, wie man solche Systeme lösen kann. Wir werden noch zwei weitere Methode dazu kennen lernen. Dann werden wir auch noch lernen, wie man Abbildungen, wie zum Beispiel Drehungen und Spiegelungen, mit Hilfe von Matrizen darstellen kann. 1.2 Der Begriff Matrix Definition: Matrix Eine rechteckige Anordnung von m n Zahlen a ik in m Zeilen und n Spalten wird (m n) Matrix (Mehrzahl Matrizen) genannt. Man schreibt: 1

5 A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn. Die Zahlen a ik heissen Komponenten von A. Das Element a ik bezeichnet das Element in der i-ten Zeile und der k-ten Spalte von A. Oft wird dieses Element auch mit (A) ik bezeichnet. (m 1)-Matrizen werden Spaltenvektoren (oder einfach Vektoren) genannt und (1 n)-matrizen werden Zeilenvektoren genannt Spezielle Matrizen Nullmatrix Sind alle Komponenten einer Matrix gleich null, also a ik = 0 für alle i und alle k, so heisst die Matrix Nullmatrix. Quadratische Matrix Hat eine Matrix gleich viele Zeilen wie Spalten, gilt also m = n, dann handelt es sich um eine quadratische Matrix. Bei quadratischen Matrizen gibt es noch einmal verschiedene Spezialfälle: Diagonalmatrix Bei einer Diagonalmatrix gilt a ik = 0 für alle i k. Das heisst, alle Komponenten ausserhalb der Hauptdiagonalen sind gleich null: a a A = a mm 2

6 Einheitsmatrix Eine Diagonalmatrix, bei der alle Komponenten auf der Diagonalen eins sind, heisst Einheitsmatrix A = Dreiecksmatrizen Es gibt zwei verschieden Sorten von Dreiecksmatrizen. Untere Dreiecksmatrix Bei unteren Dreiecksmatrizen gilt a ik = 0 für alle i < k. Das heisst, alle Komponenten oberhalb der Diagonalen sind null: A = a a 21 a a m1 a mm 1 a mm Obere Dreiecksmatrix Bei oberen Dreiecksmatrizen gilt a ik = 0 für alle i > k. Das heisst, alle Komponenten unterhalb der Diagonalen sind null: a 11 a 1m 0 a 22 a 2m. A = a mm 3

7 1.3 Rechnen mit Matrizen Wie mit normalen Zahlen, kann man auch mit Matrizen rechnen. Wir werden die Addition und Subtraktion von Matrizen sowie die Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl und die Multiplikation von zwei Matrizen kennen lernen Gleichheit Zwei Matrizen sind gleich, wenn sie dieselbe Grösse und die gleichen Koeffizienten an den gleichen Stellen haben Addition und Subtraktion Sind A und B zwei Matrizen mit gleich vielen Spalten, bzw. Zeilen (also mit gleichem Format), so ist ihre Summe A + B diejenige Matrix, welche durch Addition der einander entsprechneden Komponenten entsteht. Die Differenz A B erhält man durch die Subtraktion der Komponenten von B von den entsprechenden Komponenten von A. Matrizen unterschiedlichen Formates können nicht addiert oder subtrahiert werden. Es gilt also: (A + B) ik = (A) ik + (B) ik = a ik + b ik und (A B) ik = (A) ik (B) ik = a ik b ik Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl Ist A eine Matrix und c eine Zahl, so ist das Produkt ca diejenige Matrix, welche durch die Multiplikation jedes Elements von A mit der Zahl c entsteht. Es gilt also: (ca) ik = c(a) ik = ca ik Multiplikation zweier Matrizen Ist A eine (m r)-matrix und B eine (r n)-matrix, so ist das Produkt AB eine (m n)-matrix, und wird folgendermassen berechnet: Um die Komponente in der i-ten Zeile und der k-ten Spalte von AB zu bekommen, multipliziert man paarweise die Komponenten der i-ten Zeile von A und der k-ten Spalte von B und addiert die entsprechenden Produkte. Es gilt also: 4

8 (AB) ik = a i1 b 1k + a i2 b 2k + a i3 b 3k a ir b rk = r j=1 a ijb jk. Die Multiplikation zweier Matrizen A und B sind nur möglich, wenn die Spaltenanzahl von A mit der Zeilenanzahl von B übereinstimmt! Beispiel zur Multiplikation zweier Matrizen 5

9 1.4 Aufgaben Folgende Matrizen seien gegeben: 3 0 ( A = , B = D = , E = ) ( 1 4 2, C = ) Berechne (falls möglich) die folgenden Ausdrücke. Beachte dabei die Rechenregeln Punkt vor Strich und Klammern zuerst. a) D + E b) D E c) 5A d) 7C e) 2B C f) 4E 2D g) 3(D + 2E) h) A A i) AB j) BA k) (3E)D l) (AB)C m) A(BC) n) (4B)C + 2B o) Überlege dir anhand der oberen Aufgaben (oder evtl. noch zusätzlichen Beispielen), welche anderen bekannten Rechenregeln für Matrizen gelten bzw. nicht gelten. 6

10 Kapitel 2 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten 2.1 Lineare Gleichungssysteme In der Praxis kommt es oft vor, dass Gleichungssysteme gelöst werden müssen. Es gibt verschiedene Vorgehensweisen, um zur Lösung eines solchen Systemes zu gelangen. Je nach dem, wie die Aufgabe gestellt ist, sind andere Lösungsmethoden sinnvoll. Wir werden zwei dieser Lösungsmethoden in der Linearen Algebra kennen lernen. Zuerst behandeln wir den Gauss-Algorithmus. 2.2 Matrix-Vektor-Schreibweise Jedes Gleichungssystem kann als Matrix-Vektor-Multiplikation geschrieben werden. Betrachten wir zunächst das Gleichungssystem: x + y + 2z = 9 2x + 4y 3z = 1 3x + 6y 5z = 0. Dieses System können wir nun schreiben als: Av = b mit 7

11 A = v = b = Da v bei allen Gleichungssystemen gleich ist, brauchen wir das gar nicht mehr aufzuschreiben. Vereinfacht können wir das Gleichungssystem also folgendermassen aufschreiben: 2.3 Determinanten Im Unterricht habt ihr bisher meistens mit Funktionen gearbeitet, die einer Zahl eine andere Zahl aus der gleichen Menge zuordnen. Als Ausnahme haben wir bei den Komplexen Zahlen den Betrag kennengelernt, welcher einer Komplexen Zahl eine reelle Zahl zuordnet. Wir werden heute eine ähnliche Funktion kennen lernen, welche einer quadratischen Matrix eine Zahl zuordnet. Die Determinante hat wichtige Anwendungen in der Theorie linearer Gleichungssysteme. Um zu verstehen, wie die Determinantenfunktion zu Stande kommt, müssen wir etwas ausholen Permutation Definition: Permutation Eine Permutation der Menge {1, 2, 3,..., n} ist eine Anordnung dieser Zahlen ohne Auslassung oder Wiederholungen. Aus der Kombinatorik wisst ihr, dass es für eine Permutation von n Elementen jeweils n! Möglichkeiten gibt. Wenn wir alle Möglichkeiten auflisten 8

12 müssen, kann es hilfreich sein, ein Baumdiagramm zu erstellen. Beispiel 1: Gib alle Permutationen der Menge {1, 2, 3} an. Definition: Inversion Eine Inversion ist ein Zahlenpaar, dessen natürliche Reihenfolge duch eine Permutation vertauscht wurde. Die Anzahl der Inversionen kann folgendermassen bestimmt werden: 1. Betrachte die erste Zahl und zähle alle Zahlen, die rechts davon liegen, aber kleiner als diese sind. 2. Betrachte die zweite Zahl und zähle alle Zahlen, die rechts davon liegen, aber kleiner als diese sind. 3. Betrachte die dritte Zahl usw., bis du bei der (zweit)letzten Zahl angelangt bist. 5. Die Summe der in all diesen Schritten gefundenen Zahlen ist die Gesamtzahl der Inversionen. Beipiel 2 Bestimme die Anzahl der Inversionen in den folgenden Permutationen: a) (6, 1, 3, 4, 5, 2) b) (2, 4, 1, 3) c) (1, 2, 3) 9

13 Definition: gerade bzw. ungerade Permutation Eine Permutation heisst gerade, wenn sie eine gerade Anzahl von Inversionen enthält und sie heisst ungerade, wenn die Anzahl ihrer Inversionen ungerade ist. Beispiel 3 Überlege dir zu den Permutationen aus Beispiel 2, ob sie gerade oder ungerade sind Determinante Wir betrachten nun eine quadratische nxn-matrix A: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a n1 a n2 a nn Definition: elementares Produkt Ein elementares Produkt aus einer nxn-matrix A entsteht durch Multiplikation von n Elementen von A, wobei keine zwei Faktoren in derselben Zeile oder Spalte stehen dürfen. Da keine zwei Elemente in der gleichen Zeile stehen dürfen, sind die elementaren Produkte alle von der Form: a 1... a 2... a 3... a a n.... Die drei Pünktchen hinter der kleinen Zahl stehen jeweils für den zweiten Index (Spaltenindex). Da auch keine zwei Elemente eines elementaren Produktes in der gleichen Spalte stehen, darf auch im zweiten Index jede Zahl nur einmal vorkommen. 10

14 Daher müssen die Spaltenindizes eine Permutation der Menge 1, 2, 3,..., n sein. Bemerkung Nach diesen Überlegungen ist klar, dass es für eine nxn-matrix jeweils n! verschiedene elementare Produkte gibt. Beispiel 4 Schreibe alle elementaren Produkte einer allgemeinen 3x3-Matrix auf. 11

15 Definition: vorzeichenbehaftetes elementares Produkt Durch Multiplikation eines elementaren Produktes aus A mit +1 oder -1 erhalten wir ein vorzeichenbehaftetes, elementares Produkt aus A. Falls die Spaltenindizes eine gerade Permutation sind, multiplizieren wir mit +1 und falls sie eine ungerade Permutation sind, multiplizieren wir mit -1. Definition: Determinante Sei A eine quadratische Matrix. Wir bezeichnen die Determinantenfunktion mit det, wobei wir det(a) als Summe aller vorzeichenbehafteten elementaren Produkte aus A definieren. Die so berechnete Zahl nennen wir Determinante von A. Beipiel 5 a) Berechne die Determinante einer allgemeinen 3x3-Matrix. b) Berechne die Determinante einer allgemeinen 2x2-Matrix. ( ) 3 1 c) Berechne die Determinante der Matrix A =. 4 2 d) Berechne die Determinante der Matrix A =

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17 Methode zur Berechnung der Determinante einer 3x3-Matrix Sätze über Determinanten Satz 1 Sei A eine quadratische Matrix, die eine Nullzeile oder eine Nullspalte enthält, so ist det(a)=0. Beweis Da ein elementares Produkt aus A einen Faktor aus jeder Zeile und jeder Spalte enthält, tritt in jedem dieser Produkte sicher ein Element aus der Nullzeile bzw. Nullspalte auf, sodass das Produkt den Wert Null annehmen muss. det(a) ist die Summe all dieser elementaren Produkte, also muss auch det(a)=0 gelten. Satz 2 Für eine quadratische Matrix A, die zwei zueinander proportionale Zeilen oder Spalten hat, ist det(a)=0. (Dabei heisst proportional, dass zwei Zeilen (bzw. Spalten) durch elementare Zeilenoperationen (bzw. Spaltenoperationen) zu einer Nullzeile (bzw. Nullspalte) verrechnet werden können. Beweisskizze Man kann zeigen, dass folgende Aussage gilt: Für die Matrix B, die aus A durch Addition eines Vielfachen einer Zeile (oder Spalte) zu einer anderen hervorgeht, gilt det(b)=det(a). Wenn nun also A zwei zueinander proportionale Zeilen (oder Spalten) hat, kann A durch Addition eines Vielfaches einer Zeile (oder Spalte) zu einer anderen in eine Matrix verwandelt werde, die eine Nullzeile (oder Spalte) hat. So eine Matrix hat nach Satz 1 die Determinante null. 14

18 Satz 3 Eine quadratische Matrix A ist genau dann invertierbar, wenn det(a) 0 gilt. Satz 4 Für eine nxn-matrix A sind folgende Aussagen äquivalent: a) det(a) 0. b) A ist invertierbar. c) Ax=b hat für jeden Vektor b genau eine Lösung. Bemerkung Mit Satz 4 kann man einfach überprüfen, ob ein lineares Gleichungssystem eine eindeutige Lösung hat. 15

19 Kapitel 3 Der Gauss Algorithmus 3.1 Elementare Zeilenoperationen Es gibt drei Zeilenoperationen, durch die man die obere Matrix verändern kann, ohne dass sich dabei die Lösungsmenge des Gleichungssystems verändert: Gauss-Algorithmus Mit Hilfe dieser Operationen werden wir nun den linken Teil der Matrixdarstellung des Gleichungssystems auf eine obere Dreiecksmatrix bringen. Danach schreiben wir das Gleichungssystem wieder in die ursprüngliche Form um und können dann die Lösung sehr einfach berechnen Beispiel Wende den Gauss-Algorithmus nun auf das in Kapitel 2 beschriebene Gleichungssystem an: 16

20 3.3 Aufgaben a) b) c) d) x + y + 2z = 8 x 2y + 3z = 1 3x 7y + 4z = 10 2x + 2y + 2z = 0 2x + 5y + 2z = 1 8x + y + 4z = 1 2x 3y = 2 2x + y = 1 3x + 2y = 1 x + y + z = 3 2x z = 2 y + 2z = 2 17

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22 Kapitel 4 Methode Inverse Matrix In der letzten Lektion haben wir den Gauss-Algorithmus zum Lösen von linearen Gleichungssystemen kennen gelernt. Heute werden wir noch eine zweite Möglichkeit betrachten, wie man solche Gleichungssysteme lösen kann. Auf die Idee, wie das geht, seid ihr in der letzten Stunde selber gekommen: Wir wollen ein Gleichungssystem Ax = b lösen, indem wir durch A teilen. Wir wollen also das System Ax = b überführen in b = A 1 x. Dazu brauchen wir aber zuerst einige Definitionen. 4.1 Die Inverse einer Matrix Wir definieren zunächst, was A 1 sein soll. Für eine reelle Zahl a, ist a 1 diejenige Zahl, welche man mit a multiplizieren muss, um 1 zu bekommen: = = = = 1 x x 1 = x 1 x = 1 Ähnlich wollen wir nun A 1 definieren. Dazu müssen wir nun wissen, was die 1 als Matrix geschrieben sein soll. Wir wissen, dass bei Zahlen, 1 diejenige Zahl ist, welche bei der Multiplikation 19

23 nichts verändert. (Man nennt sie das Neutralelement der Multiplikation.) 1 2 = = 25 1 x = x Überlege dir nun, wie die Einträge einer quadratischen Matrix I sein müssen, damit I das Neutralelement der Matrixmultiplikation ist. Es gilt: 20

24 Beispiele Nun sind wir auch in der Lage, die Definition der Inversen einer Matrix zu verstehen Definition: Invertierbarkeit und Inverse Sei A eine quadratische Matrix. Gibt es eine Matrix B mit AB = BA = I, so heisst A invertierbar. B wird als Inverse von A bezeichnet. Zu jeder Matrix A gibt es immer nur eine Inverse Matrix. Daher bezeichnen wir die Inverse einer Matrix A jeweils mit A 1. Es gilt also: AA 1 = A 1 A = I 21

25 4.1.2 Berechnung der Inversen einer zwei kreuz zwei Matrix Für 2 2 Matrizen gibt es eine Formel, um die Inverse zu berechnen: Satz Die Matrix ( ) a b A = c d ist für ad bc 0 invertierbar. In diesem Fall gilt: ( ) ( d b d ) A 1 = 1 b = ad bc ad bc. ad bc c a c ad bc a ad bc Beweis 22

26 4.1.3 Ein Verfahren zur Matrixinversion Wir erhalten die Inverse einer invertierbaren Matrix A, indem wir eine Folge von elementaren Zeilenoperationen bestimmen, welche A zur Einheitsmatrix umformt, und diese Folge von Operationen dann auf die Einheitsmatrix I anwenden. Wie wir das machen, werden wir im folgenden Beispiel sehen: Beispiel Gesucht ist die Inverse der Matrix A = Vorgehen: Wir wollen A durch Zeilenoperationen zur Einheitsmatrix umwandeln und gleichzeitig mit denselben Operationen I in A 1 überführen. Dazu schreiben wir die Einheitsmatrix rechts neben A und erhalten die Matrix A = ( A I ). Auf diese Matrix wenden wir nun geeignete Zeilenoperationen an, bis die linke Seite die Gestalt von I hat. Gleichzeitig ergibt sich auf der rechten Seiten A 1. So erhalten wir schliesslich die Matrix A = ( I A 1 ). Rechnen wir nun das Beispiel so durch: 23

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28 Bemerkung Häufig ist nicht von vornherein klar, ob eine gegebene Matrix invertierbar ist. Ist eine n n Matrix A nicht invertierbar, so existiert keine Folge elementarer Zeilenoperationen, die A in I verwandelt. Wenden wir das oben beschriebene Verfahren auf eine nicht invertierbare Matrix an, erhalten wir während der Berechnungen eine Nullzeile auf der linken Seite. Wenn wir also auf der linken Seite eine Zeile mit nur Nullen bekommen, können wir daraus schliessen, dass die gegebene Matrix nicht invertierbar ist, und die Prozedur abbrechen Aufgaben Berechne die Inversen der folgenden Matrizen. Verwende dazu entweder den Satz oder das Verfahren aus dem Skript. Kontrolliere jeweils das Ergebnis durch Ausmultiplizieren. ( ) 1 4 a) A = 2 6 b) B = c) C = ( d) D = ) Lösen von Linearen Gleichungssystemen Das Wissen aus Kapitel 1 können wir nun auch anwenden, um Lineare Gleichungssysteme zu lösen. Wie wir Lineare Gleichungssysteme in der Matrix-Vektor-Schreibweise darstellen, haben wir schon gesehen. 25

29 Um ein Gleichungssystem Ax = b zu lösen, gehen wir folgendermassen vor: 1. Wir invertieren die Matrix A. (Falls das nicht möglich ist, hat das Gleichungssystem keine eindeutige Lösung.) 2. Wir multiplizieren A 1 mit b. Das heisst, wir berechnen A 1 b. 3. Als Resultat erhalten wir einen Vektor (x). In den Zeilen von x stehen dann gerade die Lösungen des Linearen Gleichungssystems. Beispiel Löse folgendes Gleichungssystem: x + 2y +3z = 9 2x + 5y +3z = 13 x +8z = 17 26

30 Kapitel 5 Lineare Abbildungen Mit Hilfe von Matrizen können wir Abbildungen von Punkten in der Zahlenebene einfach darstellen. 5.1 Beispiele von Abbildungen Auf der nächsten Seite findest du eine Tabelle mit möglichen Abbildungen. Fülle die Tabelle vollständig aus. Schreibe ( ) dazu die Koordinaten (x/y) des ursprünglichen Punktes als Vektor x und überlege dir, welche 2x2-Matrix A du von links an diesen Vektor y multiplizieren musst, damit die Lösung dieser Matrix-Vektor-Multiplikation genau die Koordinaten des Punktes ergibt, welcher aus dem gegebenen Punkt durch die gewünschte Abbildung entsteht. 27

31 Lineare Abbildung Darstellung Abbildungsgleichung Abbildungsmatrix Spiegelung an der x-achse Spiegelung an der y-achse Spiegelung am Ursprung (Nullpunkt) 90 -Drehung um den Ursprung Zentrische Streckung mit Streckungszentrum (0/0) und Faktor k Orthogonale Projektion auf die x-achse Orthogonale Projektion auf die y-achse Drehung um einen beliebigen Winkel α um den Ursprung 28

32 5.1.1 Herleitung der Matrix für Drehungen Um die letzte Zeile der Tabelle zu verstehen, muss man einige Überlegungen machen. Dazu machen wir zunächst eine Skizze: Herleitung Wie wir wissen gilt sin = Gegenkathete Hypothenuse. Daraus erhalten wir: sin Hypothenuse = Gegenkathete. Genauso gilt cos = Ankathete. Hypothenuse Daraus erhalten wir: sin Hypothenuse = Ankathete. Damit erhalten wir: x = r cos(β) y = r sin(β). Für den Spiegelpunkt erhalten wir (mit den Umrechnungsformeln für trigonometrische Funktionen): x = r cos(α + β) = r (cos(α) cos(β) sin(α) sin(β)) = r cos(β) cos(α) r sin(β) sin(alpha) = x cos(α) y sin(α) y = r sin(α + β) = r (sin(α) cos(β) cos(α) sin(β)) = r cos(β) sin(α) r sin(β) cos(α) = x sin(α) y cos(α) 29