(A T ) T = A. Eigenschaft:

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1 Elementare Matrizenrechnung m n-matrix von Zahlen A m n a 1,1 a 1,n a m,1 a m,n rechteckige Tabelle m n Dimension der Matrix Sprechweise: m Kreuz n wobei m Anzahl Zeilen, n Anzahl Spalten a i,j Element der Matrix 1 Index Zeilennr, 2 Index Spaltennr Eine 1 1-Matrix wird als Zahl ohne die Matrixklammern geschrieben Eine m n-matrix A m n hat m n Elemente a i,j Element Zelle in der Sprache der Tabellenkalkulation 51 Gleichheit A m n B m n : elementweise Gleichheit Gleichheit A B: 1 A und B müssen gleiche Dimension haben 2 a i,j b i,j für alle Elemente im paarweisen Vergleich 1 Bsp (1 2) 1 2 und sind nicht vergleichbar (als Matrizen) (1 2) 1 2 (2 2) 1 2 sind vergleichbar, aber verschieden (1 2) 1 2 ( ) 1 2 sind gleich Transponierte (A T ) n m (A m n ) T einer Matrix A m n Die Zeilen (bzw Spalten) einer Matrix werden in unveränderter Reihenfolge als Spalten (bzw Zeilen) aufgeschrieben Zweimaliges Transponieren führt zum Ausgangszustand zurück Bsp T Eigenschaft: ; a1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2 (A T ) T A T a1,1 a 2,1 ;(a a 1,2 a 1 a 2 ) T a1 2,2 a 2 Transponieren ist insbesondere für reine Darstellungszwecke sehr nützlich, zb passt der etwas lästige Spaltenvektor a ( ) T noch locker auf diese Seite ;-) Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 1 von 6

2 52 Einige spezielle Matrizen A m n Äußere Formen m n quadratische Matrix dh ZeilenanzahlSpaltenanzahl m 1 n-zeilenvektor n Elementeanzahl der einen Zeile n 1 m-spaltenvektor m Elementenzahl der einen Spalte Innere Formen! 0 m n Nullmatrix in m Zeilen und n Spalten nur Nullen 0 n, (0 n ) T Nullspalte, Nullzeile Spalte bzw Zeile mit n Nullen 1 m n Einsenmatrix in m Zeilen und n Spalten nur Einsen 1 n, (1 n ) T Einsenspalte, Einsenzeile Spalte bzw Zeile mit n Einsen Wir schreiben Einsenmatrix statt Einsmatrix um jede Verwechslung mit der (folgenden) Einheitsmatrix auszuschließen Mischformen spezielle quadratische Matrizen E n n Einheitsmatrix E n n j-te Spalte von E n n j-ter Einheitsspaltenvektor (das j-te Element von e j n ist Eins, alle anderen sind Null) (e i n )T i-te Zeile von E n n i-ter Einheitszeilenvektor (das i-te Element von (e i n) T ist Eins, alle anderen sind Null) Bei einer quadratischen Matrix A n n heißen die Matrixelemente mit gleicher Zeilen- und Spaltennummer Diagonalelemente: a 1,1,a 2,2,,a n,n a 0 0 Eine quadratische Matrix A n n heißt 0 b 0 Diagonalmatrix wenn außerhalb ihrer Diagonale nur Nullen stehen (Bsp E n n ) 0 0 c obere Dreiecksmatrix wenn unterhalb ihrer Diagonale a b c a 0 0 nur Nullen stehen 0 d e b c 0 untere Dreiecksmatrix wenn oberhalb ihrer Diagonale nur Nullen stehen 0 0 f d e f e j n Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 2 von 6

3 5 Rechenoperationen mit Matrizen Addition Matrix m n ± Matrix m n Addition von Matrizen gleicher Dimension Elementweise Addition Regeln: A + B B + A und (A + B) T A T + B T Multiplikation Zahl Matrix Multiplikation jedes Matrixelements mit dieser Zahl Regel: αa + βa (α + β)a wobei α, β R Multiplikation k-zeilenvektor k-spaltenvektor als Baustein der Matrixmultiplikation: Skalarprodukt s 1 ( z 1,,z k ) : z 1 s z k s k k z l s l l1 s k Multiplikation Matrix m k Matrix k n Multiplikation mehrerer k-zeilenvekt mit mehreren k-spaltenvekt C m n : A m k B k n wird elementweise definiert: Das Element c i,j von C m n ist das Ergebnis der Multiplikation (Zeile Nr i von A) (Spalte Nr j von B) je k Elemente c i,j : a i,1 b 1,j + a i,2 b 2,j + + a i,k b k,j k l1 a i,l b l,j b 1,1 b 1,j b 1,n B k n b k,1 b k,j b k,n a 1,1 a 1,k A m k a i,1 a i,k c i,j : (A B) m n a m,1 a m,k Regeln: C(A + B) CA + CB und (A + B)C AC + BC (A B) C A (B C) und (AB) T B T A T! Vorsicht A B B A ist im Allgemeinen falsch A B ist nur definiert, wenn Spaltenanzahl von A Zeilenanzahl von B Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg von 6

4 Bsp 1 Bsp ; ( 1 0 ) nicht definiert Ausklammern eines zu jedem Element einer Matrix gemeinsamen Faktors : Bsp (1 1 1) 1 2 6; ( ) 1 2 1; ( ) Bsp Bsp 5 Bsp nicht definiert In Bsp 5 sind (A B) 2 2 und (B A) nicht einmal vergleichbar, in Bsp 6 sind (A B) 2 2 und (B A) 2 2 vergleichbar, aber verschieden Vier allgemeinere Beispiele (Eigenschaften) Bsp 7 Für beliebige Matrizen A m n (insbesondere Vektoren) ist A m n 0 n k 0 m k A m n + 0 m n A m n 0 k m A m n 0 k n 0 m n + A m n A m n Die Nullmatrix spielt bei der Matrixaddition die gleiche neutrale Rolle wie die Zahl Null bei der Addition von Zahlen! Anders als bei Zahlen kann aber bei der Matrixmultiplikation aus der Gleichung A B 0 im Allgemeinen nicht gefolgert werden, dass A oder B die Nullmatrix ist (vgl Bspe 2 und 6) Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 4 von 6

5 Bsp 8 Für beliebige Matrizen A m n (insbesondere Vektoren) ist A m n E n n A m n E n n a n 1 a n 1 E m m A m n A m n a 1 n E n n a 1 n Die Einheitsmatrix spielt bei der Matrixmultiplikation die gleiche neutrale Rolle wie die Zahl Eins bei der Multiplikation von Zahlen Bsp 9 Multiplikation mit Einheitsvektoren 54 (e iṁ)t A m n i-te Zeile von A Zeilenpicker (von links) A m n e j n j-te Spalte von A Spaltenpicker (von rechts) Insbesondere ist (e i n )T e j 0 für i j n 1 für i j Die Picker werden insbesondere für Vertauschungen von Zeilen bzw Spalten (Permutationen) verwendet: A n A m sortiert die Zeilen von A in die Reihenfolge 2//1 sortiert die Spalten von A in die Reihenfolge /1/2 Das Ergebnis der folgenden Matrixmultiplikation kann ohne Rechnung direkt angegeben werden: Eine solche Vertauschung/Sortierung (die ja ausgedrückt ist durch die gewünschte Vertauschung der Zeilen bzw Spalten der Einheitsmatrix) wird rückgängig gemacht durch die entsprechende transponierte Vertauschung, im Bsp: Bsp 10 Multiplikation mit Einsenvektoren 1 T m A m n Zeile mit den n Spaltensummen von A m n A m n 1 n Spalte mit den m Zeilensummen von A m n 1 T m A m n 1 n Summe der m n Elemente von A m n (Vgl Grundlagen Nr 9) Die j-te Spaltensumme ist gleich m i1 a i,j, die i-te Zeilensumme gleich n j1 a i,j und die Gesamtsumme gleich m n i1 j1 a i,j Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 5 von 6

6 Anwendungsbeispiel Bei einem zweistufigen Produktionsprozess sind die beiden einstufigen Bedarfstabellen (Elemente: Bedarf in Anzahl Einheiten Zeilenobjekt bei der Produktion einer Einheit Spaltenobjekt) M RZ und M ZE wie folgt gegeben: Zwischenprodukte Z Z 1 Z 2 Z Rohstoffe R R R Endprodukte E E 1 E 2 E Zwischen- Z produkte Z Z Z 2 1 Rohstoffpreise r (r 1,r 2 ) (4, 5) Verkaufspreise p (p 1,p 2,p ) (10, 100, 10) [Preise werden als Zeile angegeben Zwischenprodukte werden in diesem einfachen Modell weder gekauft noch verkauft Ebenso erfordern feinere Wertbetrachtungen (Produktionskosten/Gewinn) ein erweitertes ökonomisches Modell Wir betrachten hier, sehr vereinfacht, nur Einkauf und Verkauf ] M RE M RZ M ZE Bedarfstabelle der Gesamtverarbeitung M RE M RZ M ZE Endprodukte E E E 2 E, dh Rohstoffe R R R Z M ZE E Zwischenproduktbedarf Z bei geg Endproduktion E Für E 5 10 ist der Z-Mengenvektor: Z M ZE E 5 R M RE E M RZ Z Rohstoffbedarf R bei geg Endproduktion E Für E ist der R-Mengenvektor: R M RE E 70 5 Zum Vgl einstufig rückwärts gerechnet: R M RZ r R Rohstoffkosten Rohstoffkosten r R 950 p E Verkaufserlös Verkaufserlös p E 1100 Ist nicht die Endproduktion E vorgegeben, sondern ein Rohstoffvorrat R bzw ein Zwischenproduktvorrat Z, so muss die Matrixgleichung R M RE E bzw Z M ZE E nach E aufgelöst werden Lineare Gleichungssysteme Mathematik für Ökonomen - Campus Duisburg 6 von 6