Blockmatrizen. Beispiel 1 Wir berechnen das Produkt von A R 4 6 mit B R 6 4 :

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1 Blockmatrizen Beispiel 1 Wir berechnen das Produkt von A R 4 6 mit B R 6 4 : = Die Produktmatrix C liegt klarerweise in R 4 4 Hier liegt jedoch offensichtlich eine einfachere Struktur vor, man kann nämlich die Matrizen A und B in 2 2 Blöcke einteilen, und bekommt somit C = AB = ( A 1,1 A 1,2 A 1,3 A 2,1 A 2,2 A 2,3 B 1,1 B 1,2 B 2,1 B 2,2 B 3,1 B 3,2, mit den Blöcke A i,j R 2 2 und B i,j R 2 2 Es wäre nun wünschenswert, wenn wir das Produkt blockweise nach den Regeln der konventionellen Matrix- Multiplikation berechnen könnten, also ( C 1,1 C 1,2 3 C = mit C i,j = A i,k B k,j R 2 2 für i, j = 1, 2 C 2,1 C 2,2 k=1 Kontrollieren wir also das Ergebnis für den Block C 1,1 Da die Blöcke A i,j alle Identitäts-Blöcke sind, müssen wir nur C 1,1 = 3 k=1 A 1,kB k,1 = 3 k=1 B k,1 berechnen, also ( ( ( ( = In diesem Beispiel funktioniert es! 1

2 Beispiel 2: Das Produkt C der folgenden beiden Matrizen A und B ist = Betrachten wir die obige Einteilung in Blöcke, dann haben wir A 1,1 R 3 3, A 1,2 R 3 2, A 2,1 R 1 3, A 2,2 R 1 2 B 1,1 R 3 3, B 1,2 R 3 1, B 2,1 R 2 3, B 2,2 R 2 1 C 1,1 R 3 3, C 1,2 R 3 1, C 2,1 R 1 3, C 2,2 R 1 1 Die Blöcke passen also nach dem Domino-Prinzip zusammen Betrachten wir nun zum Beispiel den rechten oberen Block, also C 1,2, so hätten wir gerne, dass C 1,2 = A 1,1 B 1,2 + A 1,2 B 2,2 gilt, also ( = = Auch in diesem Beispiel liefern die gewünschten Rechenregeln das richtige Ergebnis! Allgemein: Jede Matrix kann in beliebige, rechteckige Blöcke zerlegt werden, solange die Zerlegung durchgängig ist, dh durchgängige Trennungslinien gezogen werden können Dann gilt: Satz Hat man zwei Blockmatrizen mit passender Blockeinteilung, dh A 1,1 A 1,n B 1,1 B 1,l A = und B =, sodass die Blöcke A m,1 A m,n B n,1 B n,l im Domino-Prinzip zusammenpassen, dh die Anzahl der Spalten von A i,k der Anzahl der Zeilen von B k,j entspricht, so kann die Produktmatrix 2

3 C = AB in Blockform C = C 1,1 C 1,l geschrieben werden, mit C i,j = n k=1 A i,kb k,j C m,1 C m,l Der Beweis hierfür ist sehr einfach aber recht technisch, weshalb wir ihn hier nicht ausführen wollen Klarerweise sind grundsätzlich bei blockweiser Multiplikation exakt die selben Multiplikationen und Additionen durchzuführen wie bei der Standard- Multiplikation, es ändert sich lediglich die Reihenfolge Die Block-Sichtweise hilft aber oftmals beim Verständnis der Wirkung einer Matrix Manchmal kann aber auch das Wissen über eine Blockstruktur ausgenutzt werden, zb wenn wie im ersten Beispiel Identitäts-Blöcke, oder etwa Null-Blöcke vorhanden sind Im Folgenden werden wir einige Anwendungen besprechen Anwendung 1: Gauß-Elimination Zur Erinnerung: Um unterhalb eines Pivotelements Nullen zu erzeugen, multipliziert man von links mit Elementarmatrizen Betrachte zum Beispiel eine Matrix 1 A = 4 2 Um Nullen in der ersten Spalte unterhalb des Pivotelemnts zu erzeugen, muss A von links mit der Matrix E multipliziert werden, wobei E = Allgemein: Wir zerlegen eine beliebige m n Matrix A in folgende Blöcke: den 1 1 Block ( a 1,1 mit dem ersten Pivotelement, den 1 (n 1 Block a (1T mit dem Rest der ersten Zeile, den (m 1 1 Block a (1 mit dem Rest 3

4 der ersten Spalte, und den (m 1 (n 1 Block à mit dem Rest der Matrix, also A = ( a 1,1 a (1 a (1T Dann müssen wir die m m Matrix E folgendermaßen zerlegen: ( 1 0 E =, Id a (1 a 1,1 wobei Id die Einheitsmatrix bezeichnet Die Block-Matrix-Multiplikation liefert dann eine Formel für den rechten unteren Block: ( ( ( 1 0 a 1,1 a (1T a1,1 a (1T EA = = Id à a (1 a 1,1 a (1 à 0 à a (1 a 1,1 a (1T Für die weiteren Schritte geht man genau so vor (siehe Übungen Anwendung 2: Polynom-Multiplikation Gegeben zwei Polynome p a (x = a m x m + + a 1 x + a 0 und p b (x = b n x n + + b 1 x + b 0, so sind die Koeffizienten des Produktpolynoms p c (x = p a (xp b (x mit Hilfe der Faltung berechenbar, dh die Koeffizientenfolge c von p c is gegeben durch c = a b, wobei c k = min{k,m} l=max{0,k n} a lb k l In Matrix-Schreibweise erhält man daher b b 1 b 0 0 c 0 c n+m = b 2 b 1 0 b n b n b n b n a 0 a m Beachte dass die Einträge der (m + n + 1 (m + 1 Matrix in der Mitte konstant entlang jeder Nebendiagonale sind Solche Matrizen werden Toeplitz- Matrizen genannt, und sie sind durch Angabe der ersten Zeile und ersten 4

5 Spalte eindeutig festgelegt Jede Toeplitz-Matrix lässt sich einfach zu einer quadratischen zirkulanten Matrix, also einer Matrix in der jede Zeile der zyklische Shift der darüberliegenden Zeile um 1 Position nach rechts ist, erweitern Diese Matrizen sind klarerweise durch Angabe der ersten Zeile eindeutig festgelegt Hierzu werden einfach die Einträge der erste Spalte (exklusive dem Ersten in umgekehrter Reihenfolge an die erste Zeile angereiht was im eben beschriebenen Fall der Polynom-Multiplikation zu (b 0, 0,, 0, b n, b n 1,, b 1 als erster Zeile führt Die so gebildete zirkulante Matrix enthält dann die ursprüngliche Toeplitz-Matrix in der linken oberen Ecke, was zu einer natürlichen Einteilung dieser Matrix in vier Blöcke führt Will man nun eine m n Toeplitz-Matrix A mit einem Vektor x der Länge n multiplizieren, so kann man A nach obigem Schema zu einer zirkulanten Matrix à erweitern, sowie den Vektor x um die entsprechende Anzahl von Nullen am Ende zu einem Vektor x ergänzen, und erhält dann ( ( ( A B x Ax à x = = C D 0 Cx Das gewünschte ergebnis Ax erhält man also durch streichen des unteren Blocks Cx des Ergebnisses Obwohl das im ersten Moment so aussieht als ob das Problem damit nur noch komplizierter wird, so hat das in der Praxis den entscheidenden Vorteil, dass das Rechnen mit zirkulanten Matrizen durch die Verwendeung der FFT wesentlich beschleunigt werden kann Anmerkung: In der Praxis wird beim Übergang von der Toeplitz zur zirkulanten Matrix ein Block mit genau so viele Nullen in die erste Zeile eingefügt, dass die Dimension eine Potenz von 2 ergibt, da in diesem Fall die FFT besonders schnell ist Spezialfall: Sind alle Blöcke einer Blockmatrix quadratisch und sind die Blöcke abseits der Diagonalen Nullblöcke, so spricht man von einer Block- 5

6 Diagonalmatrix Man schreibt dann einfach A 1 0 A A = 2 0 A n Sind die Blöcke A k von der Gestalt m k m k und definiert man m = n k=1 m k, so ist A offensichtlich eine m m Matrix Aus der Block-Matrixmultiplikation ergibt sich nun, dass das Produkt einer solchen Matrix A mit einem beliebigen Vektor x immer blockweise berechnet werden kann indem man x in Blöcke der Länge m k einteilt, und man erhält dann Ax = A 1 0 x 1 = A 1 x 1 0 A n x n A n x n Die Wirkung einer Block-Diagonalmatrix lässt sich also ganz einfach als die Wirkung der Blöcke auf entsprechende Blöcke eines Vektors beschreiben Es lässt sich weiters ganz einfach zeigen (Übungsaufgabe, dass das Produkt zweier Block-Diagonalmatrizen A, B mit Blöcken A k, B k wieder eine Block-Diagonalmatrix mit Blöcken A k B k ist Außerdem sind mit A auch A r k und A 1 (falls A invertierbar ist Block-Diagonalmatrizen mit Blöcken A r k bzw A 1 In den Übungen wird über dies hinaus gezeigt, dass die Eigenwerte einer Block-Diagonalmatrix gerade die Eigenwerte der einzelnen Blöcke sind, und dass die Eigenvektoren aus jenen der Blöcke konstruiert werden können Ebenso sieht man rasch (wieder Übungsaufgabe, dass Sp(A = n k=1 Sp(A k und det(a = Π n k=1 det(a k Anwendung 3: Jordan schen Normalform Jede quadratische Matrix A ist über C ähnlich zu einer Fast-Diagonalmatrix, dh zu einer Matrix, auf deren Diagonalen die Eigenwerte von A, und in der ersten Nebendiagonalen darüber an gewissen Stellen Einsen stehen Genauer gesagt ergibt 6

7 sich A = UJU 1, wobei U invertierbar, und J eine Block-Diagonalmatrix ist Die Matrix U wird aus verallgemeinerten Eigenvektoren von A gebildet, während sich J aus den Blöcken J λ für die verschiedenen Eigenwerte λ von A zusammensetzt, die ihrerseits wieder aus den elementaren Jordan-Blöcken der folgenden Form bestehen: λ 1 0 λ 1 0 λ Mit Hilfe dieser Zerlegung von A vereinfacht sich das Rechnen oftmals So gilt zum Beispiel offensichtlich, dass A r = UJ r U 1 Da J eine Block- Diagonalmatrix ist, lässt sich J r ganz einfach mit Hilfe einer Formel für die r-te Potenz eines elementaren Jordan-Blocks berechnen Anwendung 4: Interpretationen der Matrix-Vektor-Multiplikation Wir wollen eine m n Matrix A mit einem n-dimensionalen Vektor x multiplizieren 1 Teilen wir dazu A spaltenweise in Blöcke, also A = ( A (1 A (2 A (n, wobei jedes A i eine Spalte bezeichnet (und daher von Gestalt m 1 ist Aus Konsistenzgründen müssen wir dann x in n 1-dimensionale Blöcke unterteilen, also x = Dann ergibt sich für das Produkt y: y = Ax = ( A (1 A (n x 1 x n x 1 x n = x 1A (1 + + x n A (n 7

8 Wir bekommen also offensichtlich als Ergebnis eine Linearkombination der Spalten 2 Nun unterteilen wir A zeilenweise, also A (1 A (n Dann kann x nur aus einem Block (nämlich dem ganzen Vektor bestehen Hier ergibt sich dann das Produkt y als A (1 A (1 x y = Ax = x = A (n A (n x Das Produkt setzt sich also andererseits aus den inneren Produkten der Zeilen von A mit x zusammen Man sieht hier sehr einfach die obige Aussage, dass beim Verwenden der Block-Matrixmultiplikation exakt die gleichen Additionen und Multiplikationen durchgeführt werden müssen wie im Standard-Fall, wobei sich lediglich die Reihenfolge ändert Anwendung 5: Interpretationen der Matrix-Matrix-Multiplikation Wir wollen eine m n Matrix A mit einer n l Matrix B multiplizieren 1 Teilen wir dazu wieder A spaltenweise in Blöcke, also A = ( A (1 A (2 A (n, und B in die 1 1 Blöcke B i,j, also B 1,1 B 1,l B = B n,1 B n,l 8

9 Dann ergibt sich für das Produkt C: C = AB = ( B 1,1 B 1,l A (1 A (n B n,1 B n,l = ( B 1,1 A (1 + + B n,1 A (n B 1,l A (1 + + B n,l A (n Die Spalten der Produktmatrix sind also einfach l verschiedene Linearkombinationen der Spalten von A 2 Nun unterteilen wir A wieder zeilenweise, also A (1 A (n, und B spaltenweise, also B = ( B (1 B (l, Hier ergibt sich dann das Produkt C als C = AB = A (1 A (n B = ( B (1 B (l = A (1 B (1 A (1 B (l A (m B (1 A (m B (l Wie erwartet setzt sich das Produkt also andererseits aus den inneren Produkten der Zeilen von A mit den Spalten von B zusammen 3 Unterteilen wir nun wieder A spaltenweise, nun aber B zeilenweise, so erhalten wir C = AB = ( A (1 A (n B (1 B (n = A (1B (1 + + A (n B (n Hier ist ja jedes A (i ein m 1 Block, jedes B (j ein 1 l Block, und daher jedes Produkt A (i B (i eine volle m l Matrix In einem solchen Produkt 9

10 A (i B (i stehen nur Vielfache der Zeile B (i, und zwar entsprechend dem Eintrag in A (i, also A (i B (i = A 1,i ( B i,1 B i,l = A 1,i B i,1 A 1,i B i,l = A m,i A 1,i B (i A m,i B (i A m,i B i,1 A m,i B i,l Solche Matrizen haben offensichtlich Rang 1 Man kann also die Produktmatrix C als Summe von Matrizen von Rang 1 schreiben 10