e At = e λt e (A λi)t.

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1 Priv.-Doz. G. Reißig, F. Goßmann M.Sc Universität der Bundeswehr München Institut für Steuer- und Regelungstechnik (LR-15) Moderne Methoden der Regelungstechnik, H 2016 Übung 3 - Lösung Aufgabe 1. Berechnung der Matrix-Exponentialfunktion Gegeben sind die folgenden vier Matrizen: a) A 1 = b) A 2 = c) A 3 = d) A 4 = Aufgabe Berechnen Sie für die gegebenen Matrizen A 1 bis A 4 jeweils die Matrix-Exponentialfunktion e At. Beachten Sie dabei die in der Vorlesung 3. erwähnten Spezialfälle. Lösung Aufgabe 1. a) Matrix A 1 isteineoberedreiecksmatrix,sodass sich dieeigenwertedirektablesen lassen. Es ergibt sich also für A 1 mit λ 1,2,3 = 2 ein dreifacher Eigenwert. Nach der Vorlesung ist bekannt, dass eine Dreiecksmatrix mit nur einem Eigenwert wie folgt umgeformt werden kann: e At = e λt e (A λi)t. Dabei entsteht ein Produkt aus einem Skalar und einer nilpotenten Matrix. Aus der Vorlesung ist ebenfalls bekannt, dass sich die Matrix-Exponentialfunktion einer nilpotenten Matrix direkt über die Reihe e At = n 1 k=0 A k t k k! 1

2 berechnen lässt. Es genügt also, die allgemeine Reihe zur Berechnung der Matrix- Exponentialfunktion bis zum n 1-Glied auszuwerten, wobei n der Dimension von A entspricht. Es gilt also: e A 1t = e 2t e N t mit N = Die Matrix N ist wie bereits erwähnt nilpotent, sodass e N t direkt über die Reihe (mit n = 3) berechenbar ist: 1 t 0 exp(nt) = t + t2 2 Damit ergibt sich die gesuchte Matrix unmittelbar: e A 1t = e 2t e 2t t 1 2 e2t t 2 0 e 2t e 2t t 0 0 e 2t. = 1 t t 2 /2 0 1 t. b) Die Matrix A 2 ist eine allgemeine 3x3 Matrix, sodass es zunächst erforderlich ist, die Jordan-Normalform der Matrix zu bestimmen. Dazu werden zunächst die Eigenwerte mit λ det(λi A) = det 3 λ λ 1 berechnet. Die Eigenwerte einer 3x3 Matrix lassen sich beispielsweise mit der Regel von Sarrus berechnen: λ λ λ λ λ 1 = (λ 4)(λ 2)(λ 1). Das charakteristische Polynom ergibt sich also zu 3 0 χ(λ) = (λ 4)(λ 2)(λ 1), woraus die drei Eigenwerte 4,2 und 1 unmittelbar folgen. Die Jordan-Normalform 2

3 ergibt sich also sofort: Um die Matrix-Exponentialfunktion mit e At = e 1 J = e J 1 zu berechnen, muss noch die ransformationsmatrix berechnet werden, welche sich in dem Fall von drei verschiedenen Eigenwerten aus den jeweiligen Eigenvektoren ergibt, die mit Hilfe von (λi A)x = 0 ermittelt werden können. Diese ergeben sich zu: = Somit ergibt die Matrix-Exponentialfunktion zu:. e 4t 0 1 e At = e 2t e 1t }{{}}{{}}{{} e Jt 1 e 2t 0 0 = e t e 2t e t 0 e t +e 2t e t +e 4t e 4t c) Von der Matrix A 3 gilt es ebenfalls zunächst die Jordan-Normalform zu bestimmen. Dazu werden zunächst die Eigenwerte von A 3 benötigt. Analog zur Aufgabe b) ergeben sich die Eigenwerte als die Nullstellen von λ det 1 λ λ 3 = λ 3 6λ 2 +12λ 8 = (λ 2) 3, also ist λ = 2 ein 3-facher Eigenwert. Da in diesem Fall ein Eigenwert mehrfach auftritt, ist die algebraische Vielfachheit der Eigenwerte höhere als dessen geometrische Vielfachheit, weshalb zur Berechnung der ransformationsmatrix die Hauptvektoren benötigt werden. Hierzu werden zunächst B := A λi = A 2I = sowie B 2 =

4 berechnet.außerdemgiltb 3 = 0.ZunächstwirdderKernvonBbenötigt,welcher sich mit kerb = v 1 mit B v 1 = 0 berechnet. Also gilt v 1 = (1, 1,1). Desweiteren wird ein Vektor v 2 kerb 2 gesucht, für den v 2 / kerb gilt. Der Vektor v 2 = (0, 1,1) erfüllt diese Bedingung. Außerdem wird ein Vektor v 3 kerb 3 gesucht, für den v 3 / kerb 2 gilt. Der Vektor v 3 = (0,0,1) erfüllt diese Bedingung. Damit lässt sich dann wie ransformationsmatrix zu ( ) = B 2 v 3 Bv 3 v 3 = berechnen. Damit folgt schlussendlich die Jordan-Normalform der Matrix A 3 zu: 1 A = Es fällt unmittelbar auf, dass die Jordan-Normalform der Matrix A 3 der Matrix A 1 entspricht. Es gilt also: e A 2t = e (A 1 1 )t = e A 1t 1. Der Ausdruck e A 1t wurde ja bereits in Aufgabe a) berechnet, sodass sich für e A 3t ergibt: e 2t e 2t 1 t e A3t 2 e2t t = e 2t e 2t t e 2t }{{}}{{}}{{} e A 1 t 1 e 2t (t+1) e 2t t(t+4) e 2t t(t+3) = e 2t t e 2t( t 2 +2t 1 ) e 2t t(t+1) e 2t t e 2t t(t+2) e 2t( t 2 +t+1 ). d) Zunächst gilt es wieder, die Jordan-Normalform von A 4 zu berechnen. Das charakteristische Polynom von A 4 ist χ A (λ) = (λ+3)(λ 1) 2, die Eigenwerte von A sind also1und 3, wobei der Eigenwert 1doppelt vorkommt. Es stimmen alsodie algebraische und die geometrische Vielfachheit nicht überein. Die Jordan-Normal- Form von A 4 ist daher nach der Vorlesung 3 wie folgt gegeben: J =

5 Es folgt für die Matrix-Exponentialfunktion wie bereits bekannt: e A 4t = e Jt 1. Für die Berechnung von e A 4t wird also die ransformationsmatrix sowie der Ausdruck e Jt benötigt. Für den Eigenwert 3 reicht für den entsprechenden Eintrag in die Kenntnis eines Eigenvektors; Eigenvektor zu λ = 3 ist v 1 = (1,0,2). Um geeignete Hauptvektoren für den Eigenwert 1 zu bestimmen, gilt es wie in Aufgabe c) zunächst B = A λi und B 2 zu berechnen: B = 2 0 1, B 2 = Für v 2 = (0,1,0) gilt kerb = v 1. Es ist also nun ein v 3 kerb 2 gesucht, so dass v 2 / kerb gilt. Der Vektor v 2 = (1,0,0) erfüllt diese Bedingung. Es ergibt sich also die ransformationsmatrix zu: ) = (v 1 Bv 3 v 3 = Für die Berechnung von e Jt lässt sich die Jordan-Normalform offensichtlich wie folgt in zwei kleinere Diagonalmatrizen aufspalten, sodass sich die Matrix-Exponentialfunktion von J also wie in Vorlesung 3 vorgestellt auch wie folgt berechnen lässt: wobei mit à die untere Diagonalmatrix e Jt = diag(e 3t,eÃt ), ( ) 1 1 à = 0 1 aus der Jordan-Normalform J bezeichnet wird. Die Matrix à ist, wie die Matrix A 1, eine obere Dreiecksmatrix mit nur einem doppelten Eigenwert λ = 1, sodass sich zur Berechnung von eãt das bereits aus Aufgabe a) bekannte Verfahren anwenden lässt: ( ) eãt = e 1t e Nt 0 1 mit N =. 0 0 Die Matrix N ist offensichtlich nilpotent, da es eine echte Dreiecksmatrix darstellt, weshalb sich e Nt mit Hilfe der Reihenentwicklung bis k = n 1 = 2 berechnen 5

6 lässt. Damit ergibt sich eãt zu: [( ) ( )] eãt = e t t ( ) e t te t = 0 e t Die Matrix e Jt ergibt sich dann unmittelbar zu: e 3t 0 0 e Jt = 0 e t te t. 0 0 e t Somit folgt für die Matrix-Exponentialfunktion e A 4t wie zu Beginn der Aufgabe festgestellt: e 3t 1 0 e A4t 2 = e t te t e t }{{}}{{} 1 e t (e 3t e t ) = 2te t e t te t 0 0 e 3t 6