OPERATIONS-RESEARCH (OR)

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1 OPERATIONS-RESEARCH (OR) Man versteht darunter die Anwendung mathematischer Methoden und Modelle zur Vorbereitung optimaler Entscheidungen bei einem Unternehmen. Andere deutsche und englische Bezeichnungen: Unternehmensforschung, Optimalplanung, Management Science, Decision Analysis, Quantitative Analysis for Business. Unternehmensbereiche, in denen OR-Problemstellungen auftreten: Produktionsplanung, Logistik, Lagerhaltung, Gerätewartung, Projektplanung und abwicklung usw. Zu optimierende wirtschaftlichen Größen: Kosten, Gewinne, Zeitaufwand, Arbeitsaufwand und Verbrauch von Ressourcen jeglicher Art. E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 1

2 Die mathematischen Methoden und Modelle Viele Methoden stellen reine mathematische Disziplinen dar und lassen apriori keinen Bezug zum unternehmerischen Anwendungsbereich erkennen. Dazu zählen vor allem die lineare Optimierung, die nichtlineare Optimierung, die ganzzahlige Optimierung, die Spieltheorie, die Simulation, die Graphentheorie und die Netzplantechnik. Andere Methoden wie z.b. die Warteschlangentheorie und die Lagerhaltungstheorie tragen in ihren Bezeichnungen noch das konkrete Anwendungsgebiet, in dem sie entstanden sind. Von den genannten OR-Gebieten werden in dieser Vorlesung die Grundlagen der folgenden behandelt werden, sofern dies zeitlich möglich ist: Lineare Optimierung Ganzahlige Optimierung Nichtlineare Optimierung Transportaufgaben Lagerhaltungsmodelle Warteschlangenmodelle Netzplantechnik E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 2

3 I. Lineare Optimierung 1. Das Standardproblem der linearen Optimierung 2. Beispiele mit graphischer Darstellung 3. Das Standard-LOP mit Nebenbedingungen in Gleichungsform 4. Lösungen und Basislösungen von Ax + y = b, Basistausch 5. Basistausch bei vorzeichenbeschränkten Variablen 6. Die Berücksichtigung der Zielfunktion beim Basistausch 7. Der Simplex-Algorithmus 8. Die Algorithmische Durchführung 9. Die 2-Phasenmethode 10. Variablen ohne Vorzeichenbeschränkung 11. Dualität 12. Dualität bei gemischten Nebenbedingungen und freien Variablen 13. Weitere Sätze zur Dualität 14. Komplexität E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 3

4 I. Lineare Optimierung 1. Das Standardproblem der linearen Optimierung Gegeben a) Eine lineare Funktion, die sogenannte Zielfunktion F(x 1,x 2,...,x n ) = c 1 x 1 + c 2 x c n x n wobei die Koeffizienten c i beliebige relle Zahlen sind. b) Nebenbedingungen, bestehend aus m Ungleichungen a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m, wobei für die rechten Seiten b i 0 gilt und die a ij beliebig sind, und Vorzeichenbeschränkungen x j 0 für j = 1,2,...,n. E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 4

5 Gesucht Werte der Variablen x 1, x 2,..., x n, welche die Nebenbedingungen (Ungleichungen und Vorzeichenbeschränkungen) erfüllen und für welche die Zielfunktion einen maximalen Wert annimmt. Aufgabenstellung in Vektor- und Matrix-Schreibweise Maximiere F = c T x unter Ax b und x 0 wobei b 0 gilt. Bezeichnungen Menge der zulässigen Punkte: alle Vektoren x mit Ax b und x 0 nicht zulässige Punkte: alle Vektoren x, für die eine der Nebenbedingungen nicht erfüllt ist Lösungen des LOPs oder optimale Lösungen: zulässige Punkte x*, für die F(x*) F(x) für alle zulässigen x gilt E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 5

6 Bemerkungen x =(0, 0,..., 0) ist immer ein zulässiger Punkt des Standard-LOP, weil damit Ax = 0 gilt und 0 b vorausgesetzt wurde Ein Lineares Optimierungs-Problem (LOP) kann auch in anderer Form auftreten, z.b. - mit Minimierung von F statt Maximierung - oder mit Ax = b statt Ax b - oder ohne die Vorzeichenbeschränkungen x 0 - oder ohne die Voraussetzung b 0 u.s.w Jedes LOP kann mit mehr oder weniger Aufwand auf das Standard- LOP zurückgeführt werden. E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 6

7 2. Beispiele mit graphischer Darstellung Beispiel 1 Maximiere F(x 1, x 2 ) = 5 x x 2 unter 6x 1 + 3x x 1 - x 2 6 -x 1 + 4x 2 8 und x 1, x 2 0 Dimensionen, Vektor- und Matrixkomponenten für dieses Beispiel: m=3, n=2; x T = (x 1, x 2 ), c T = (c 1, c 2 ) = (5, 4) a 11 a b 1 12 A = a 21 a 22 = 4-1 b = b 2 = 6 a 31 a b 3 8 E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 7

8 5x 1 + 4x 2 = x 2 6x 1 + 3x 2 = 12 5x 1 + 4x 2 = 4 - x 1 + 4x 2 = 8 5x 1 + 4x 2 =0 Menge der 4x 1 - x 2 = 6 zulässigen Punkte 0 x 1 An der graphischen Darstellung liest man ab: a) Die Menge der zulässigen Punkte ist konvex und beschränkt b) Die optimale Lösung wird in einer Ecke angenommen E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 8

9 Beispiel 2 Maximiere F(x 1, x 2 ) = 5 x x 2 unter 4x 1-20x 2 6 -x 1 + 4x 2 8 und x 1, x 2 0 Dimensionen, Vektor- und Matrixkomponenten für dieses Beispiel: m=2, n=2; x T = (x 1, x 2 ), c T = (c 1, c 2 ) = (5, 4) a 11 a b 1 6 A = = b = = a 21 a b 2 8 E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 9

10 x 2 5x 1 + 4x 2 = 40 5x 1 + 4x 2 = 4 - x 1 + 4x 2 = 8 5x 1 + 4x 2 =0 Menge der zulässigen Punkte 4x 1-20x 2 = 6 0 x 1 An der graphischen Darstellung liest man ab: a) Die Menge der zulässigen Punkte ist konvex und unbeschränkt. b) Die Zielfunktion ist unbeschränkt. E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 10

11 Beispiel 3 Maximiere F(x 1, x 2 ) = - 5 x 1 + 5x 2 unter 4x 1-20x 2 6 -x 1 + 4x 2 8 und x 1, x 2 0 Dimensionen, Vektor- und Matrixkomponenten für dieses Beispiel: m=2, n=2; x T = (x 1, x 2 ), c T = (c 1, c 2 ) = (-5, 5) a 11 a b 1 6 A = = b = = a 21 a b 2 8 E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 11

12 x 2 - x 1 + 4x 2 = 8-5x 1 + 5x 2 = 10 Menge der zulässigen Punkte 4x 1-20x 2 = 6-5x 1 + 5x 2 = 0 0 x 1 An der graphischen Darstellung liest man ab: a) Die Menge der zulässigen Punkte ist konvex und unbeschränkt. b) Die Zielfunktion ist beschränkt. Die optimale Lösung wird in einer Ecke angenommen. E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 12

13 Fazit aus den 3 Beispielen Die Menge der zulässigen Punkte eines LOP ist eine konvexe Menge, die beschränkt oder unbeschränkt sein kann. Auch wenn die Menge der zulässigen Punkte unbeschränkt ist, kann die Zielfunktion trotzdem beschränkt sein und damit das LOP eine optimale Lösung besitzen. Falls das LOP eine einzige optimale Lösung besitzt, dann ist dies ein Eckpunkt. Besitzt das LOP mehrere optimale Lösungen, dann ist mindestens eine davon eine Ecke und die Menge aller optimalen Lösungen ist eine konvexe Menge. Ansatz für einen Algorithmus zur Bestimmung einer optimalen Lösung: Berechne alle Eckpunkte (z.b. als Schnittpunkte von je zwei Geraden) und suche die Ecke mit dem größten Wert der Zielfunktion aus. E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 13

14 3. Das Standard-LOP mit Gleichungen als Nebenbedingungen Beispiel mit Ungleichungen als Nebenbedingungen (m=3, n=2) 6x 1 + 3x x 1 - x 2 6 -x 1 + 4x 2 8 und x 1, x 2 0 Jedem 2-dimensionalen Punkt x T = (x 1, x 2 ), der diese Nebenbedingungen erfüllt, entspricht ein 5-dimensionaler Punkt x T = (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) der die folgenden Nebenbedingungen erfüllt 6x 1 + 3x 2 + x 3 = 12 4x 1 - x 2 + x 4 = 6 -x 1 + 4x 2 + x 5 = 8 und x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 und umgekehrt. E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 14

15 Folgerung: Das LOP Maximiere F(x 1, x 2 ) = 5 x x 2 unter 6x 1 + 3x x 1 - x 2 6 -x 1 + 4x 2 8 mit x 1, x 2 0 ist gleichwertig mit dem LOP Maximiere F(x 1, x 2 ) = 5 x x 2 unter 6x 1 + 3x 2 + x 3 = 12 4x 1 - x 2 + x 4 = 6 -x 1 + 4x 2 + x 5 = 8 mit x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 Unterscheide Problemvariablen x 1, x 2 und Schlupfvariablen x 3, x 4, x 5. E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 15

16 Matrix-Schreibweise und allgemeine Betrachtung LOP mit Ungleichungen: Maximiere F = c T x unter Ax b und x 0 wobei b 0 gilt. LOP mit Gleichungen: Maximiere F = c T x unter Ax + y = b, x 0 und y 0 wobei b 0 gilt, und y die Komponenten y T = (y 1, y 2,..., y m ) = (x n+1, x n+2,..., x n+m ) hat. Die beiden LO-Probleme sind gleichwertig. Das ergibt sich daraus, dass aus der Aussage Ax b die Aussage y = b - Ax 0 folgt und umgekehrt. E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 16

17 4. Lösungen und Basislösungen von Ax + y = b, Basistausch Betrachte die Nebenbedingungen unseres Beispiels in der Form: 6x 1 + 3x 2 + x 3 = 12 4x 1 - x 2 + x 4 = 6 -x 1 + 4x 2 + x 5 = 8 Das ist ein System mit 3 Gleichungen für 5 Unbekannte. Man sagt, das System sei in einer kanonischen Form, da die Matrix A = die kanonische Basis des 3-dimensionalen Raums enthält. E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 17

18 Hinsichtlich der Lösungen des Systems stellen wir fest: Es gibt 2 Freiheitsgrade, z.b. kann man x 1 und x 2 beliebig vorgeben, dann sind x 3, x 4 und x 5 eindeutig bestimmt. Der Spezialfall x 1=0 und x 2=0 Dann ist x T = (0, 0, 12, 6, 8) eine Lösung des Gleichungssystems. Sie heißt Basislösung, x 3, x 4 und x 5 heißen Basisvariablen. Unter dem Gesichtspunkt der Suche nach Lösungen des Gleichungssystems mit vorzeichenbeschränkten Variablen x i 0 ist x T auch eine zulässige Basislösung. Man stellt auch fest, dass x T der Ecke (x 1, x 2 ) = (0, 0) in der graphischen Darstellung entspricht. Verallgemeinernd kann man den Satz formulieren: Eine zulässige Basislösungen der Nebenbedingungen des Standard-LOPs in Gleichungsform entspricht einer Ecke der zulässigen Punktmenge. E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 18

19 Bestimmung einer weiteren Basislösungen Ausgangssituation: 6x 1 + 3x 2 + x 3 = 12 4x 1 - x 2 + x 4 = 6 -x 1 + 4x 2 + x 5 = 8 Wir führen folgende Operationen durch: Division der 1. Zeile durch 3 Addition der neuen 1. Zeile zur 2. Zeile Subtraktion des 4-fachen der neuen 1. Zeile von der 3. Zeile Das Ergebnis ist eine neue kanonische Form der Nebenbedingungen: 2x 1 + x / 3 x 3 = 4 6x / 3 x 3 + x 4 = 10-9x 1-4 / 3 x 3 + x 5 = -8 mit der Basislösung x T = (0, 4, 0, 10, -8) E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 19

20 Die Umrechnung der kanonischen Form 6x 1 + 3x 2 + x 3 = 12 4x 1 - x 2 + x 4 = 6 -x 1 + 4x 2 + x 5 = 8 in die neue kanonische Form 2x 1 + x / 3 x 3 = 4 6x / 3 x 3 + x 4 = 10-9x 1-4 / 3 x 3 + x 5 = -8 heißt Basistausch der Variablen x 3 gegen x 2. Der Koeffizient a 12 =3 heißt Pivotelement des Basistauschs. Bemerkungen zur Basislösung nach dem Basistausch - Die Basislösung x T = (0, 4, 0, 10, -8) ist nicht zulässig, denn die x 5 -Komponente ist negativ. - (x 1, x 2 ) = (0, 4) ist keine Ecke der zulässigen Punktmenge sondern der Schnittpunkt zweier Geraden, außerhalb der zulässigen Punktmenge. E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 20

21 Basistausch x 5 gegen x 2 Ausgangssituation: 6x 1 + 3x 2 + x 3 = 12 4x 1 - x 2 + x 4 = 6 -x 1 + 4x 2 + x 5 = 8 Wähle als Pivotelement a 32 = 4 Division der 3. Zeile durch 4 Addition der neuen 3. Zeile zur 2. Zeile Subtraktion des 3-fachen der neuen 3. Zeile von der 1. Zeile Die neue kanonische Form ist 27 / 4 x 1 + x 3-3 / 4 x 5 = 6 15 / 4 x 1 + x / 4 x 5 = 8-1 / 4 x 1 + x / 4 x 5 = 2 Die neue Basislösung x T = (0, 2, 6, 8, 0) ist zulässig und entspricht der Ecke (x 1, x 2 ) = (0, 2) der zulässigen Punktemenge. E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 21

22 Wieviel Basislösungen bzw. wieviel kanonische Formen gibt es? Antwort mit Hilfe der Kombinatorik: Jede kanonische Form entspricht einer Auswahl von 3 (Basisvariablen) bzw. von 2 (Nichtbasisvaribalen) aus 5 (Variablen). ( 5 3) = ( 5 2) = 5!/(3!*2!) = 10 Bemerkungen: - Nicht jede kombinatorische Auswahl ergibt eine neue Basislösung. - Alle Basislösungen können mit der Methode des Basistauschs gefunden werden. Ansatz für einen Algorithmus zur Bestimmung einer optimalen Lösung: Berechne alle Basislösungen und bestimme diejenige, die den größten Zielfunktionswert besitzt und zulässig ist. E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 22

23 5. Die Berücksichtigung der Vorzeichenbeschränkungen beim Basistausch Ausgehend von der Anfangssituation 6x 1 + 3x 2 + x 3 = 12 4x 1 - x 2 + x 4 = 6 -x 1 + 4x 2 + x 5 = 8 fassen wir die Ergebnisse noch einmal unter Berücksichtigung der Vorzeichenbeschränkungen x i 0 zusammen. Pivotelement a 12 = 3 ergab (0, 4, 0, 10, -8), -> nicht zulässig Pivotelement a 32 = 4 ergab (0, 2, 6, 8, 0), -> zulässig Pivotelement a 22 = -1 ergibt -6 auf der rechten Seite -> nicht zulässig Folgerung: Es gibt in Spalte 2 nur ein geeignetes Pivotelement (a 32 =4), das beim Basistausch auf eine neue zulässige Basislösung führt. E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 23

24 Untersuchung der ersten Spalte von 6x 1 + 3x 2 + x 3 = 12 4x 1 - x 2 + x 4 = 6 -x 1 + 4x 2 + x 5 = 8 Pivotelement a 31 = -1 Pivotelement a 11 =6 Pivotelement a 21 =4 -> nicht zulässig -> nicht zulässig -> zulässig Folgerung: Es gibt auch in Spalte1 nur ein geeignetes Pivotelement (a 21 =4). Eigenschaften der geeigneten Pivotelemente in beiden Spalten: a) sie sind positiv b1) Quotient b 2 /a 21 = 6 / 4 = 1,5 ist kleiner als b 1 /a 11 = 12 / 6 = 2 b2) Quotient b 3 /a 32 = 8 / 4 = 2 ist kleiner als b 1 /a 12 = 12 / 3 = 4 E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 24

25 Um sicher zu stellen, dass beim Basistausch mit vorzeichenbeschränkten Variablen wieder eine zulässige Basislösung entsteht, ist also das folgende, allgemeine Kriterium für die Wahl eines Pivotelements zu berücksichtigen: - Wähle eine Spalte j, die wenigstens ein a ij > 0 enthält, als Pivotspalte - Berechne in dieser Spalte j die Quotienten b i /a ij für alle positiven a ij - Wähle als Pivotzeile i diejenige, in der b i /a ij am kleinsten ist E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 25

26 6. Die Berücksichtigung der Zielfunktion beim Basistausch Im Beispiel lautet die Zielfunktion: Maximiere F(x 1, x 2 ) = 5x 1 + 4x 2 Gleichwertige Forderung ist: Maximiere F unter 5x 1 + 4x 2 - F = 0. F ist eine weitere Variable in einer zusätzlichen Nebenbedingung kanonische Form des Standard-LOPs: Maximiere F unter 6x 1 + 3x 2 + x 3 = 12 4x 1 - x 2 + x 4 = 6 -x 1 + 4x 2 + x 5 = 8 5x 1 + 4x 2 - F = 0 und x 1, x 2,..., x 5 0 x T =(0, 0, 12, 6, 8) mit Zielfunktionswert F = 0 ist zulässige Basislösung. E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 26

27 Jede zulässige Lösung mit x 1 > 0 oder x 2 > 0 führt zu einer Vergrößerung des Zielfunktionswerts, da die Zielfunktionskoeffizienten c 1 =5 und c 2 =4 positiv sind: F neu = 0 + 5x 1 neu > 0 falls x 1 > 0 neue Basisvariable wird. F neu = 0 + 4x 2 neu > 0 falls x 2 > 0 neue Basisvariable wird. Wir wählen x 1 als neue Basisvariable, d.h. j=1 als Pivotspalte. Pivotelement wird dann a 21 = 4: 4.50 x 2 + x x 4 = 3 x x x 4 = x x 4 + x 5 = x x 4 - F = -7.5 neue Basislösung: x T =(1.5, 0, 3, 0, 9.5), neuer Zielfunktionswert: F=7.5 Beachte: Bei der Umformung zur neuen kanonischen Form wird die Nebenbedingung mit der Zielfunktionsvariablen F wie die anderen umgerechnet. Bei einem Basistausch mit x 2 ist wiederum eine Vergrößerung der Zielfunkton zu erwarten, bei einem Basistausch mit x 4 allerdings nicht. E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 27

28 Basistasuch mit x 2, Pivotelement a 12 = 4.5 x x x 4 = x x x 4 = x x 4 + x 5 = x x 4 - F = Basislösung x T =(1.666, 0.666, 0, 0, 7.0), Zielfunktionswert F=11.0 Basistausch mit x 4. Pivotelement a 34 = 1.5 x x x 5 = x x x 5 = x 3 + x x 5 = x x 5 - F = Basislösung x T =(0.888, 2.222, 0, 4.666, 0), Zielfunktionswert F= Verfahrensende, da keine Vergrößerung der Zielfunktion mehr möglich ist. E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 28

29 7. Der Simplex-Algorithmus Ausgehend von der kanonischen Form des Standard-LOPs erzeugt der Simplexalgorithmus weitere kanonische Formen mittels Basistausch wie bisher am Beispiel beschrieben. Es soll hier auf den Ablauf, die Korrektheit und dieterminierung des Algorithmus für das allgemeine Standard-LOP eingegangen werden. Jede auftretende kanonische Form kann man wie folgt schreiben: Dabei ist A BN x N + x B = b B mit b B 0 c N T x N - F = f N die Indexmenge der n nicht-basisvariablen B die Indexmenge der m Basisvariblen N B = {1, 2,..., n + m}, N B = A BN eine mxn -Matrix, c N ein Vektor mit n Komponenten (x N, x B ) mit x N = 0 und x B = b B die zugehörige Basislösung F = -f der zugehörige Zielfunktionswert E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 29

30 A BN x N + x B = b B mit b B 0 c N T x N - F = f Ablauf des Algorithmus: 0. Initialisierung: N = {1,2,..,n}, B = {n+1,..., n+m}, A BN = A, b B = b, c N = c, f = 0 1. Auswahl eines Index j N: Falls alle c j 0: ENDE, die zugehörige Basislösung ist optimal. Anderenfalls wählen wir einen Index j mit c j > 0, weiter bei 2 2. Auswahl eines Index i B: Falls alle a ij 0: ENDE, die Zielfunktion ist unbeschränkt. Anderenfalls wähle einen Index i B mit a ij > 0 und minimalem Quotienten b i /a ij, weiter bei 3 3. Führe den Basistausch i gegen j durch, weiter bei 1. E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 30

31 Zur Korrektheit des Algorithmus 1. Angenommen der Algorithmus endet weil alle c j 0. Wir haben dann in der kanonischen Form: c N T x N - F = f mit c N 0 Für eine beliebige zulässige Lösung x N 0, x B 0 gilt deshalb F = -f + c N T x N = -f + c k x k -f k N Das heißt die Basislösung x N = 0, x B = b B ist optimale Lösung des LOP. 2. Angenommen der Algorithmus endet weil in einer Spalte der kanonischen Form, in der es ein c j > 0 gibt, a ij 0 für alle i B ist,. Wir bezeichnen diese Spalte mit a j. Für jeden Wert x j > 0 gilt dann x B = b B - x j a j 0 Das heißt alle Punkte (x N, x B ) mit x k = 0 für k N außer x j >0 und x B = b B - x j a j erfüllen die Vorzeichenbedingungen. Sie erfüllen sogar alle Nebenbedingungen, denn es gilt auch: A BN x N + x B = x j a j + b B - x j a j = b B E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 31

32 Für die Zielfunktion dieser zulässigen Lösungen erhält man aber: F = -f + c N T x N = -f + c j x j für x j, da c j > 0. Die Zielfunktion ist also unbeschränkt. Zur Terminierung des Algorithmus Der Simplexalgorithmus terminiert auf jeden Fall, wenn sich bei jedem Basistausch die Zielfunktion tatsächlich vergrößert, denn es gibt nur endlich viele Basislösungen, die sich dann nicht wiederholen können. Der Algorithmus endet also entweder mit Kriterium 1 oder 2. Falls sich die Zielfunktion nicht vergrößert, was der Fall ist, wenn entartete Ecken auftreten, kann es zur Wiederholung von Basislösungen beim Basisaustausch kommen. Der Simplex-Algorithmus terminiert aber auch in diesem Fall, wenn folgende Regel zur Wahl des Pivotelements eingehalten wird: Wähle unter den Spalten mit c j >0 diejenige mit dem kleinsten Index j als Pivotspalte und, falls der minimale Quotient b j /a ij in mehreren Zeilen auftritt, diejenige mit dem kleinsten Index i als Pivotzeile. E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 32