OPERATIONS-RESEARCH (OR)

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "OPERATIONS-RESEARCH (OR)"

Transkript

1 OPERATIONS-RESEARCH (OR) Man versteht darunter die Anwendung mathematischer Methoden und Modelle zur Vorbereitung optimaler Entscheidungen bei einem Unternehmen. Andere deutsche und englische Bezeichnungen: Unternehmensforschung, Optimalplanung, Management Science, Decision Analysis, Quantitative Analysis for Business. Unternehmensbereiche, in denen OR-Problemstellungen auftreten: Produktionsplanung, Logistik, Lagerhaltung, Gerätewartung, Projektplanung und abwicklung usw. Zu optimierende wirtschaftlichen Größen: Kosten, Gewinne, Zeitaufwand, Arbeitsaufwand und Verbrauch von Ressourcen jeglicher Art. E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 1

2 Die mathematischen Methoden und Modelle Viele Methoden stellen reine mathematische Disziplinen dar und lassen apriori keinen Bezug zum unternehmerischen Anwendungsbereich erkennen. Dazu zählen vor allem die lineare Optimierung, die nichtlineare Optimierung, die ganzzahlige Optimierung, die Spieltheorie, die Simulation, die Graphentheorie und die Netzplantechnik. Andere Methoden wie z.b. die Warteschlangentheorie und die Lagerhaltungstheorie tragen in ihren Bezeichnungen noch das konkrete Anwendungsgebiet, in dem sie entstanden sind. Von den genannten OR-Gebieten werden in dieser Vorlesung die Grundlagen der folgenden behandelt werden, sofern dies zeitlich möglich ist: Lineare Optimierung Ganzahlige Optimierung Nichtlineare Optimierung Transportaufgaben Lagerhaltungsmodelle Warteschlangenmodelle Netzplantechnik E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 2

3 I. Lineare Optimierung 1. Das Standardproblem der linearen Optimierung 2. Beispiele mit graphischer Darstellung 3. Das Standard-LOP mit Nebenbedingungen in Gleichungsform 4. Lösungen und Basislösungen von Ax + y = b, Basistausch 5. Basistausch bei vorzeichenbeschränkten Variablen 6. Die Berücksichtigung der Zielfunktion beim Basistausch 7. Der Simplex-Algorithmus 8. Die Algorithmische Durchführung 9. Die 2-Phasenmethode 10. Variablen ohne Vorzeichenbeschränkung 11. Dualität 12. Dualität bei gemischten Nebenbedingungen und freien Variablen 13. Weitere Sätze zur Dualität 14. Komplexität E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 3

4 I. Lineare Optimierung 1. Das Standardproblem der linearen Optimierung Gegeben a) Eine lineare Funktion, die sogenannte Zielfunktion F(x 1,x 2,...,x n ) = c 1 x 1 + c 2 x c n x n wobei die Koeffizienten c i beliebige relle Zahlen sind. b) Nebenbedingungen, bestehend aus m Ungleichungen a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m, wobei für die rechten Seiten b i 0 gilt und die a ij beliebig sind, und Vorzeichenbeschränkungen x j 0 für j = 1,2,...,n. E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 4

5 Gesucht Werte der Variablen x 1, x 2,..., x n, welche die Nebenbedingungen (Ungleichungen und Vorzeichenbeschränkungen) erfüllen und für welche die Zielfunktion einen maximalen Wert annimmt. Aufgabenstellung in Vektor- und Matrix-Schreibweise Maximiere F = c T x unter Ax b und x 0 wobei b 0 gilt. Bezeichnungen Menge der zulässigen Punkte: alle Vektoren x mit Ax b und x 0 nicht zulässige Punkte: alle Vektoren x, für die eine der Nebenbedingungen nicht erfüllt ist Lösungen des LOPs oder optimale Lösungen: zulässige Punkte x*, für die F(x*) F(x) für alle zulässigen x gilt E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 5

6 Bemerkungen x =(0, 0,..., 0) ist immer ein zulässiger Punkt des Standard-LOP, weil damit Ax = 0 gilt und 0 b vorausgesetzt wurde Ein Lineares Optimierungs-Problem (LOP) kann auch in anderer Form auftreten, z.b. - mit Minimierung von F statt Maximierung - oder mit Ax = b statt Ax b - oder ohne die Vorzeichenbeschränkungen x 0 - oder ohne die Voraussetzung b 0 u.s.w Jedes LOP kann mit mehr oder weniger Aufwand auf das Standard- LOP zurückgeführt werden. E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 6

7 2. Beispiele mit graphischer Darstellung Beispiel 1 Maximiere F(x 1, x 2 ) = 5 x x 2 unter 6x 1 + 3x x 1 - x 2 6 -x 1 + 4x 2 8 und x 1, x 2 0 Dimensionen, Vektor- und Matrixkomponenten für dieses Beispiel: m=3, n=2; x T = (x 1, x 2 ), c T = (c 1, c 2 ) = (5, 4) a 11 a b 1 12 A = a 21 a 22 = 4-1 b = b 2 = 6 a 31 a b 3 8 E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 7

8 5x 1 + 4x 2 = x 2 6x 1 + 3x 2 = 12 5x 1 + 4x 2 = 4 - x 1 + 4x 2 = 8 5x 1 + 4x 2 =0 Menge der 4x 1 - x 2 = 6 zulässigen Punkte 0 x 1 An der graphischen Darstellung liest man ab: a) Die Menge der zulässigen Punkte ist konvex und beschränkt b) Die optimale Lösung wird in einer Ecke angenommen E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 8

9 Beispiel 2 Maximiere F(x 1, x 2 ) = 5 x x 2 unter 4x 1-20x 2 6 -x 1 + 4x 2 8 und x 1, x 2 0 Dimensionen, Vektor- und Matrixkomponenten für dieses Beispiel: m=2, n=2; x T = (x 1, x 2 ), c T = (c 1, c 2 ) = (5, 4) a 11 a b 1 6 A = = b = = a 21 a b 2 8 E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 9

10 x 2 5x 1 + 4x 2 = 40 5x 1 + 4x 2 = 4 - x 1 + 4x 2 = 8 5x 1 + 4x 2 =0 Menge der zulässigen Punkte 4x 1-20x 2 = 6 0 x 1 An der graphischen Darstellung liest man ab: a) Die Menge der zulässigen Punkte ist konvex und unbeschränkt. b) Die Zielfunktion ist unbeschränkt. E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 10

11 Beispiel 3 Maximiere F(x 1, x 2 ) = - 5 x 1 + 5x 2 unter 4x 1-20x 2 6 -x 1 + 4x 2 8 und x 1, x 2 0 Dimensionen, Vektor- und Matrixkomponenten für dieses Beispiel: m=2, n=2; x T = (x 1, x 2 ), c T = (c 1, c 2 ) = (-5, 5) a 11 a b 1 6 A = = b = = a 21 a b 2 8 E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 11

12 x 2 - x 1 + 4x 2 = 8-5x 1 + 5x 2 = 10 Menge der zulässigen Punkte 4x 1-20x 2 = 6-5x 1 + 5x 2 = 0 0 x 1 An der graphischen Darstellung liest man ab: a) Die Menge der zulässigen Punkte ist konvex und unbeschränkt. b) Die Zielfunktion ist beschränkt. Die optimale Lösung wird in einer Ecke angenommen. E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 12

13 Fazit aus den 3 Beispielen Die Menge der zulässigen Punkte eines LOP ist eine konvexe Menge, die beschränkt oder unbeschränkt sein kann. Auch wenn die Menge der zulässigen Punkte unbeschränkt ist, kann die Zielfunktion trotzdem beschränkt sein und damit das LOP eine optimale Lösung besitzen. Falls das LOP eine einzige optimale Lösung besitzt, dann ist dies ein Eckpunkt. Besitzt das LOP mehrere optimale Lösungen, dann ist mindestens eine davon eine Ecke und die Menge aller optimalen Lösungen ist eine konvexe Menge. Ansatz für einen Algorithmus zur Bestimmung einer optimalen Lösung: Berechne alle Eckpunkte (z.b. als Schnittpunkte von je zwei Geraden) und suche die Ecke mit dem größten Wert der Zielfunktion aus. E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 13

14 3. Das Standard-LOP mit Gleichungen als Nebenbedingungen Beispiel mit Ungleichungen als Nebenbedingungen (m=3, n=2) 6x 1 + 3x x 1 - x 2 6 -x 1 + 4x 2 8 und x 1, x 2 0 Jedem 2-dimensionalen Punkt x T = (x 1, x 2 ), der diese Nebenbedingungen erfüllt, entspricht ein 5-dimensionaler Punkt x T = (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 ) der die folgenden Nebenbedingungen erfüllt 6x 1 + 3x 2 + x 3 = 12 4x 1 - x 2 + x 4 = 6 -x 1 + 4x 2 + x 5 = 8 und x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 und umgekehrt. E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 14

15 Folgerung: Das LOP Maximiere F(x 1, x 2 ) = 5 x x 2 unter 6x 1 + 3x x 1 - x 2 6 -x 1 + 4x 2 8 mit x 1, x 2 0 ist gleichwertig mit dem LOP Maximiere F(x 1, x 2 ) = 5 x x 2 unter 6x 1 + 3x 2 + x 3 = 12 4x 1 - x 2 + x 4 = 6 -x 1 + 4x 2 + x 5 = 8 mit x 1, x 2, x 3, x 4, x 5 0 Unterscheide Problemvariablen x 1, x 2 und Schlupfvariablen x 3, x 4, x 5. E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 15

16 Matrix-Schreibweise und allgemeine Betrachtung LOP mit Ungleichungen: Maximiere F = c T x unter Ax b und x 0 wobei b 0 gilt. LOP mit Gleichungen: Maximiere F = c T x unter Ax + y = b, x 0 und y 0 wobei b 0 gilt, und y die Komponenten y T = (y 1, y 2,..., y m ) = (x n+1, x n+2,..., x n+m ) hat. Die beiden LO-Probleme sind gleichwertig. Das ergibt sich daraus, dass aus der Aussage Ax b die Aussage y = b - Ax 0 folgt und umgekehrt. E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 16

17 4. Lösungen und Basislösungen von Ax + y = b, Basistausch Betrachte die Nebenbedingungen unseres Beispiels in der Form: 6x 1 + 3x 2 + x 3 = 12 4x 1 - x 2 + x 4 = 6 -x 1 + 4x 2 + x 5 = 8 Das ist ein System mit 3 Gleichungen für 5 Unbekannte. Man sagt, das System sei in einer kanonischen Form, da die Matrix A = die kanonische Basis des 3-dimensionalen Raums enthält. E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 17

18 Hinsichtlich der Lösungen des Systems stellen wir fest: Es gibt 2 Freiheitsgrade, z.b. kann man x 1 und x 2 beliebig vorgeben, dann sind x 3, x 4 und x 5 eindeutig bestimmt. Der Spezialfall x 1=0 und x 2=0 Dann ist x T = (0, 0, 12, 6, 8) eine Lösung des Gleichungssystems. Sie heißt Basislösung, x 3, x 4 und x 5 heißen Basisvariablen. Unter dem Gesichtspunkt der Suche nach Lösungen des Gleichungssystems mit vorzeichenbeschränkten Variablen x i 0 ist x T auch eine zulässige Basislösung. Man stellt auch fest, dass x T der Ecke (x 1, x 2 ) = (0, 0) in der graphischen Darstellung entspricht. Verallgemeinernd kann man den Satz formulieren: Eine zulässige Basislösungen der Nebenbedingungen des Standard-LOPs in Gleichungsform entspricht einer Ecke der zulässigen Punktmenge. E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 18

19 Bestimmung einer weiteren Basislösungen Ausgangssituation: 6x 1 + 3x 2 + x 3 = 12 4x 1 - x 2 + x 4 = 6 -x 1 + 4x 2 + x 5 = 8 Wir führen folgende Operationen durch: Division der 1. Zeile durch 3 Addition der neuen 1. Zeile zur 2. Zeile Subtraktion des 4-fachen der neuen 1. Zeile von der 3. Zeile Das Ergebnis ist eine neue kanonische Form der Nebenbedingungen: 2x 1 + x / 3 x 3 = 4 6x / 3 x 3 + x 4 = 10-9x 1-4 / 3 x 3 + x 5 = -8 mit der Basislösung x T = (0, 4, 0, 10, -8) E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 19

20 Die Umrechnung der kanonischen Form 6x 1 + 3x 2 + x 3 = 12 4x 1 - x 2 + x 4 = 6 -x 1 + 4x 2 + x 5 = 8 in die neue kanonische Form 2x 1 + x / 3 x 3 = 4 6x / 3 x 3 + x 4 = 10-9x 1-4 / 3 x 3 + x 5 = -8 heißt Basistausch der Variablen x 3 gegen x 2. Der Koeffizient a 12 =3 heißt Pivotelement des Basistauschs. Bemerkungen zur Basislösung nach dem Basistausch - Die Basislösung x T = (0, 4, 0, 10, -8) ist nicht zulässig, denn die x 5 -Komponente ist negativ. - (x 1, x 2 ) = (0, 4) ist keine Ecke der zulässigen Punktmenge sondern der Schnittpunkt zweier Geraden, außerhalb der zulässigen Punktmenge. E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 20

21 Basistausch x 5 gegen x 2 Ausgangssituation: 6x 1 + 3x 2 + x 3 = 12 4x 1 - x 2 + x 4 = 6 -x 1 + 4x 2 + x 5 = 8 Wähle als Pivotelement a 32 = 4 Division der 3. Zeile durch 4 Addition der neuen 3. Zeile zur 2. Zeile Subtraktion des 3-fachen der neuen 3. Zeile von der 1. Zeile Die neue kanonische Form ist 27 / 4 x 1 + x 3-3 / 4 x 5 = 6 15 / 4 x 1 + x / 4 x 5 = 8-1 / 4 x 1 + x / 4 x 5 = 2 Die neue Basislösung x T = (0, 2, 6, 8, 0) ist zulässig und entspricht der Ecke (x 1, x 2 ) = (0, 2) der zulässigen Punktemenge. E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 21

22 Wieviel Basislösungen bzw. wieviel kanonische Formen gibt es? Antwort mit Hilfe der Kombinatorik: Jede kanonische Form entspricht einer Auswahl von 3 (Basisvariablen) bzw. von 2 (Nichtbasisvaribalen) aus 5 (Variablen). ( 5 3) = ( 5 2) = 5!/(3!*2!) = 10 Bemerkungen: - Nicht jede kombinatorische Auswahl ergibt eine neue Basislösung. - Alle Basislösungen können mit der Methode des Basistauschs gefunden werden. Ansatz für einen Algorithmus zur Bestimmung einer optimalen Lösung: Berechne alle Basislösungen und bestimme diejenige, die den größten Zielfunktionswert besitzt und zulässig ist. E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 22

23 5. Die Berücksichtigung der Vorzeichenbeschränkungen beim Basistausch Ausgehend von der Anfangssituation 6x 1 + 3x 2 + x 3 = 12 4x 1 - x 2 + x 4 = 6 -x 1 + 4x 2 + x 5 = 8 fassen wir die Ergebnisse noch einmal unter Berücksichtigung der Vorzeichenbeschränkungen x i 0 zusammen. Pivotelement a 12 = 3 ergab (0, 4, 0, 10, -8), -> nicht zulässig Pivotelement a 32 = 4 ergab (0, 2, 6, 8, 0), -> zulässig Pivotelement a 22 = -1 ergibt -6 auf der rechten Seite -> nicht zulässig Folgerung: Es gibt in Spalte 2 nur ein geeignetes Pivotelement (a 32 =4), das beim Basistausch auf eine neue zulässige Basislösung führt. E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 23

24 Untersuchung der ersten Spalte von 6x 1 + 3x 2 + x 3 = 12 4x 1 - x 2 + x 4 = 6 -x 1 + 4x 2 + x 5 = 8 Pivotelement a 31 = -1 Pivotelement a 11 =6 Pivotelement a 21 =4 -> nicht zulässig -> nicht zulässig -> zulässig Folgerung: Es gibt auch in Spalte1 nur ein geeignetes Pivotelement (a 21 =4). Eigenschaften der geeigneten Pivotelemente in beiden Spalten: a) sie sind positiv b1) Quotient b 2 /a 21 = 6 / 4 = 1,5 ist kleiner als b 1 /a 11 = 12 / 6 = 2 b2) Quotient b 3 /a 32 = 8 / 4 = 2 ist kleiner als b 1 /a 12 = 12 / 3 = 4 E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 24

25 Um sicher zu stellen, dass beim Basistausch mit vorzeichenbeschränkten Variablen wieder eine zulässige Basislösung entsteht, ist also das folgende, allgemeine Kriterium für die Wahl eines Pivotelements zu berücksichtigen: - Wähle eine Spalte j, die wenigstens ein a ij > 0 enthält, als Pivotspalte - Berechne in dieser Spalte j die Quotienten b i /a ij für alle positiven a ij - Wähle als Pivotzeile i diejenige, in der b i /a ij am kleinsten ist E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 25

26 6. Die Berücksichtigung der Zielfunktion beim Basistausch Im Beispiel lautet die Zielfunktion: Maximiere F(x 1, x 2 ) = 5x 1 + 4x 2 Gleichwertige Forderung ist: Maximiere F unter 5x 1 + 4x 2 - F = 0. F ist eine weitere Variable in einer zusätzlichen Nebenbedingung kanonische Form des Standard-LOPs: Maximiere F unter 6x 1 + 3x 2 + x 3 = 12 4x 1 - x 2 + x 4 = 6 -x 1 + 4x 2 + x 5 = 8 5x 1 + 4x 2 - F = 0 und x 1, x 2,..., x 5 0 x T =(0, 0, 12, 6, 8) mit Zielfunktionswert F = 0 ist zulässige Basislösung. E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 26

27 Jede zulässige Lösung mit x 1 > 0 oder x 2 > 0 führt zu einer Vergrößerung des Zielfunktionswerts, da die Zielfunktionskoeffizienten c 1 =5 und c 2 =4 positiv sind: F neu = 0 + 5x 1 neu > 0 falls x 1 > 0 neue Basisvariable wird. F neu = 0 + 4x 2 neu > 0 falls x 2 > 0 neue Basisvariable wird. Wir wählen x 1 als neue Basisvariable, d.h. j=1 als Pivotspalte. Pivotelement wird dann a 21 = 4: 4.50 x 2 + x x 4 = 3 x x x 4 = x x 4 + x 5 = x x 4 - F = -7.5 neue Basislösung: x T =(1.5, 0, 3, 0, 9.5), neuer Zielfunktionswert: F=7.5 Beachte: Bei der Umformung zur neuen kanonischen Form wird die Nebenbedingung mit der Zielfunktionsvariablen F wie die anderen umgerechnet. Bei einem Basistausch mit x 2 ist wiederum eine Vergrößerung der Zielfunkton zu erwarten, bei einem Basistausch mit x 4 allerdings nicht. E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 27

28 Basistasuch mit x 2, Pivotelement a 12 = 4.5 x x x 4 = x x x 4 = x x 4 + x 5 = x x 4 - F = Basislösung x T =(1.666, 0.666, 0, 0, 7.0), Zielfunktionswert F=11.0 Basistausch mit x 4. Pivotelement a 34 = 1.5 x x x 5 = x x x 5 = x 3 + x x 5 = x x 5 - F = Basislösung x T =(0.888, 2.222, 0, 4.666, 0), Zielfunktionswert F= Verfahrensende, da keine Vergrößerung der Zielfunktion mehr möglich ist. E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 28

29 7. Der Simplex-Algorithmus Ausgehend von der kanonischen Form des Standard-LOPs erzeugt der Simplexalgorithmus weitere kanonische Formen mittels Basistausch wie bisher am Beispiel beschrieben. Es soll hier auf den Ablauf, die Korrektheit und dieterminierung des Algorithmus für das allgemeine Standard-LOP eingegangen werden. Jede auftretende kanonische Form kann man wie folgt schreiben: Dabei ist A BN x N + x B = b B mit b B 0 c N T x N - F = f N die Indexmenge der n nicht-basisvariablen B die Indexmenge der m Basisvariblen N B = {1, 2,..., n + m}, N B = A BN eine mxn -Matrix, c N ein Vektor mit n Komponenten (x N, x B ) mit x N = 0 und x B = b B die zugehörige Basislösung F = -f der zugehörige Zielfunktionswert E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 29

30 A BN x N + x B = b B mit b B 0 c N T x N - F = f Ablauf des Algorithmus: 0. Initialisierung: N = {1,2,..,n}, B = {n+1,..., n+m}, A BN = A, b B = b, c N = c, f = 0 1. Auswahl eines Index j N: Falls alle c j 0: ENDE, die zugehörige Basislösung ist optimal. Anderenfalls wählen wir einen Index j mit c j > 0, weiter bei 2 2. Auswahl eines Index i B: Falls alle a ij 0: ENDE, die Zielfunktion ist unbeschränkt. Anderenfalls wähle einen Index i B mit a ij > 0 und minimalem Quotienten b i /a ij, weiter bei 3 3. Führe den Basistausch i gegen j durch, weiter bei 1. E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 30

31 Zur Korrektheit des Algorithmus 1. Angenommen der Algorithmus endet weil alle c j 0. Wir haben dann in der kanonischen Form: c N T x N - F = f mit c N 0 Für eine beliebige zulässige Lösung x N 0, x B 0 gilt deshalb F = -f + c N T x N = -f + c k x k -f k N Das heißt die Basislösung x N = 0, x B = b B ist optimale Lösung des LOP. 2. Angenommen der Algorithmus endet weil in einer Spalte der kanonischen Form, in der es ein c j > 0 gibt, a ij 0 für alle i B ist,. Wir bezeichnen diese Spalte mit a j. Für jeden Wert x j > 0 gilt dann x B = b B - x j a j 0 Das heißt alle Punkte (x N, x B ) mit x k = 0 für k N außer x j >0 und x B = b B - x j a j erfüllen die Vorzeichenbedingungen. Sie erfüllen sogar alle Nebenbedingungen, denn es gilt auch: A BN x N + x B = x j a j + b B - x j a j = b B E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 31

32 Für die Zielfunktion dieser zulässigen Lösungen erhält man aber: F = -f + c N T x N = -f + c j x j für x j, da c j > 0. Die Zielfunktion ist also unbeschränkt. Zur Terminierung des Algorithmus Der Simplexalgorithmus terminiert auf jeden Fall, wenn sich bei jedem Basistausch die Zielfunktion tatsächlich vergrößert, denn es gibt nur endlich viele Basislösungen, die sich dann nicht wiederholen können. Der Algorithmus endet also entweder mit Kriterium 1 oder 2. Falls sich die Zielfunktion nicht vergrößert, was der Fall ist, wenn entartete Ecken auftreten, kann es zur Wiederholung von Basislösungen beim Basisaustausch kommen. Der Simplex-Algorithmus terminiert aber auch in diesem Fall, wenn folgende Regel zur Wahl des Pivotelements eingehalten wird: Wähle unter den Spalten mit c j >0 diejenige mit dem kleinsten Index j als Pivotspalte und, falls der minimale Quotient b j /a ij in mehreren Zeilen auftritt, diejenige mit dem kleinsten Index i als Pivotzeile. E. Oswald/H. Weber, FHW, OR SS06, Teil1, Seite 32

3. Grundlagen der Linearen Programmierung

3. Grundlagen der Linearen Programmierung 3. Grundlagen der linearen Programmierung Inhalt 3. Grundlagen der Linearen Programmierung Lineares Programm Grafische Lösung linearer Programme Normalform Geometrie linearer Programme Basislösungen Operations

Mehr

Simplex-Umformung für Dummies

Simplex-Umformung für Dummies Simplex-Umformung für Dummies Enthält die Zielfunktion einen negativen Koeffizienten? NEIN Optimale Lösung bereits gefunden JA Finde die Optimale Lösung mit dem Simplex-Verfahren! Wähle die Spalte mit

Mehr

Bestimmung einer ersten

Bestimmung einer ersten Kapitel 6 Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung Ein Problem, was man für die Durchführung der Simplexmethode lösen muss, ist die Bestimmung einer ersten zulässigen Basislösung. Wie gut das geht,

Mehr

Schranken für zulässige Lösungen

Schranken für zulässige Lösungen Schranken für zulässige Lösungen Satz 5.9 Gegeben seien primales und duales LP gemäß der asymmetrischen Form der Dualität. Wenn x eine zulässige Lösung des primalen Programms und u eine zulässige Lösung

Mehr

Optimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 3. Vorlesung

Optimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 3. Vorlesung Optimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 3. Vorlesung Rainer Hufnagel / Laura Wahrig 2006 Diese Woche LO - Sensitivitätsanalyse Simulation Beispiel Differenzengleichungen

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Eines der am häufigsten auftretenden Standardprobleme der angewandten Mathematik ist das Lösen linearer Gleichungssysteme, etwa zur Netzwerkberechnung in der Elektrotechnik oder

Mehr

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren

Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der

Mehr

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.

Die Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung. Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,

Mehr

Zeichen bei Zahlen entschlüsseln

Zeichen bei Zahlen entschlüsseln Zeichen bei Zahlen entschlüsseln In diesem Kapitel... Verwendung des Zahlenstrahls Absolut richtige Bestimmung von absoluten Werten Operationen bei Zahlen mit Vorzeichen: Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren

Mehr

Lineare Gleichungssysteme I (Matrixgleichungen)

Lineare Gleichungssysteme I (Matrixgleichungen) Lineare Gleichungssysteme I (Matrigleichungen) Eine lineare Gleichung mit einer Variable hat bei Zahlen a, b, die Form a b. Falls hierbei der Kehrwert von a gebildet werden darf (a 0), kann eindeutig aufgelöst

Mehr

Lineare Programmierung. Beispiel: Wahlkampf. Beispiel: Wahlkampf. Mathematische Schreibweise. Lineares Programm. Datenstrukturen & Algorithmen

Lineare Programmierung. Beispiel: Wahlkampf. Beispiel: Wahlkampf. Mathematische Schreibweise. Lineares Programm. Datenstrukturen & Algorithmen Datenstrukturen & Algorithmen Einführung Standard- und Schlupfformen Simplex Algorithmus Matthias Zwicker Universität Bern Frühling 2009 2 Beispiel: Wahlkampf Ziel: mit möglichst wenig Werbung eine gewisse

Mehr

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung

Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also

Mehr

Basis und Dimension. Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren.

Basis und Dimension. Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren. Basis und Dimension Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren. Definition. Sei V ein K-Vektorraum und (v i ) i I eine Familie von Vektoren

Mehr

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte

50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte 50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien

Mehr

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen

Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Gleichungen Inhalt: 1. Grundlegendes 2. Lineare Gleichungen 3. Gleichungen mit Brüchen

Mehr

3. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME

3. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 176 3. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 90 Vitamin-C-Gehalt verschiedener Säfte 18,0 mg 35,0 mg 12,5 mg 1. a) 100 ml + 50 ml + 50 ml = 41,75 mg 100 ml 100 ml 100 ml b) : Menge an Kirschsaft in ml y: Menge an

Mehr

V 2 B, C, D Drinks. Möglicher Lösungsweg a) Gleichungssystem: 300x + 400 y = 520 300x + 500y = 597,5 2x3 Matrix: Energydrink 0,7 Mineralwasser 0,775,

V 2 B, C, D Drinks. Möglicher Lösungsweg a) Gleichungssystem: 300x + 400 y = 520 300x + 500y = 597,5 2x3 Matrix: Energydrink 0,7 Mineralwasser 0,775, Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang V B, C, D Drinks Ein gastronomischer Betrieb kauft 300 Dosen Energydrinks (0,3 l) und 400 Liter Flaschen Mineralwasser und zahlt dafür 50, Euro. Einen

Mehr

LU-Zerlegung. Zusätze zum Gelben Rechenbuch. Peter Furlan. Verlag Martina Furlan. Inhaltsverzeichnis. 1 Definitionen.

LU-Zerlegung. Zusätze zum Gelben Rechenbuch. Peter Furlan. Verlag Martina Furlan. Inhaltsverzeichnis. 1 Definitionen. Zusätze zum Gelben Rechenbuch LU-Zerlegung Peter Furlan Verlag Martina Furlan Inhaltsverzeichnis Definitionen 2 (Allgemeine) LU-Zerlegung 2 3 Vereinfachte LU-Zerlegung 3 4 Lösung eines linearen Gleichungssystems

Mehr

Die Verbindung von Linearer Programmierung und Graphentheorie

Die Verbindung von Linearer Programmierung und Graphentheorie Die Verbindung von Linearer Programmierung und Graphentheorie Definition 5.9. Ein kombinatorisches Optimierungsproblem entspricht einem LP, bei dem statt der Vorzeichenbedingungen x i 0 Bedingungen der

Mehr

0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 )

0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 ) Aufgabe 65. Ganz schön span(n)end. Gegeben sei folgende Menge M von 6 Vektoren v, v,..., v 6 R 4 aus Aufgabe P 6: M = v =, v =, v =, v 4 =, v 5 =, v 6 = Welche der folgenden Aussagen sind wahr? span(v,

Mehr

1 Mathematische Grundlagen

1 Mathematische Grundlagen Mathematische Grundlagen - 1-1 Mathematische Grundlagen Der Begriff der Menge ist einer der grundlegenden Begriffe in der Mathematik. Mengen dienen dazu, Dinge oder Objekte zu einer Einheit zusammenzufassen.

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme 1 Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten Es kommt häufig vor, dass man nicht mit einer Variablen alleine auskommt, um ein Problem zu lösen. Das folgende Beispiel soll dies verdeutlichen

Mehr

Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b

Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b Aufgabe 1: Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. (a) Nehmen Sie lineares Wachstum gemäß z(t) = at + b an, wobei z die Einwohnerzahl ist und

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Polynomgleichungen

Vorkurs Mathematik Übungen zu Polynomgleichungen Vorkurs Mathematik Übungen zu en 1 Aufgaben Lineare Gleichungen Aufgabe 1.1 Ein Freund von Ihnen möchte einen neuen Mobilfunkvertrag abschließen. Es gibt zwei verschiedene Angebote: Anbieter 1: monatl.

Mehr

Optimierung. Optimierung. Vorlesung 7 Lineare Programmierung II. 2013 Thomas Brox, Fabian Kuhn

Optimierung. Optimierung. Vorlesung 7 Lineare Programmierung II. 2013 Thomas Brox, Fabian Kuhn Optimierung Vorlesung 7 Lineare Programmierung II 1 Lineare Programme Lineares Programm: Lineare Zielfunktion Lineare Nebenbedingungen (Gleichungen oder Ungleichungen) Spezialfall der konvexen Optimierung

Mehr

Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR)

Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Eine Firma stellt USB-Sticks her. Sie werden in der Fabrik ungeprüft in Packungen zu je 20 Stück verpackt und an Händler ausgeliefert. 1 Ein Händler

Mehr

a n + 2 1 auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert:

a n + 2 1 auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert: Beispiel: Wir untersuchen die rekursiv definierte Folge a 0 + auf Konvergenz. Berechnen der ersten paar Folgenglieder liefert: ( ) (,, 7, 5,...) Wir können also vermuten, dass die Folge monoton fallend

Mehr

Lineare Gleichungssysteme

Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Sei K ein Körper, a ij K für 1 i m, 1 j n. Weiters seien b 1,..., b m K. Dann heißt a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2... a m1

Mehr

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen Austausch- bzw. Übergangsrozesse und Gleichgewichtsverteilungen Wir betrachten ein System mit verschiedenen Zuständen, zwischen denen ein Austausch stattfinden kann. Etwa soziale Schichten in einer Gesellschaft:

Mehr

1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage:

1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Zählen und Zahlbereiche Übungsblatt 1 1. Man schreibe die folgenden Aussagen jeweils in einen normalen Satz um. Zum Beispiel kann man die Aussage: Für alle m, n N gilt m + n = n + m. in den Satz umschreiben:

Mehr

Behörde für Bildung und Sport Abitur 2008 Lehrermaterialien zum Leistungskurs Mathematik

Behörde für Bildung und Sport Abitur 2008 Lehrermaterialien zum Leistungskurs Mathematik Abitur 8 II. Insektenpopulation LA/AG In den Tropen legen die Weibchen einer in Deutschland unbekannten Insektenpopulation jedes Jahr kurz vor Beginn der Regenzeit jeweils 9 Eier und sterben bald darauf.

Mehr

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema

Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008

Grundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008 1. Aufgabenblatt zur Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008 (Dr. Frank Hoffmann) Lösung von Manuel Jain und Benjamin Bortfeldt Aufgabe 2 Zustandsdiagramme (6 Punkte, wird korrigiert)

Mehr

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen

Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 8. November 2010 http://www.mathematik.uni-trier.de/ schulz/elan-ws1011.html

Mehr

7 Rechnen mit Polynomen

7 Rechnen mit Polynomen 7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn

Mehr

Lernmaterial für die Fernuni Hagen effizient und prüfungsnah

Lernmaterial für die Fernuni Hagen effizient und prüfungsnah Lernmaterial für die Fernuni Hagen effizient und prüfungsnah www.schema-f-hagen.de Sie erhalten hier einen Einblick in die Dokumente Aufgaben und Lösungen sowie Erläuterungen Beim Kauf erhalten Sie zudem

Mehr

Würfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!.

Würfelt man dabei je genau 10 - mal eine 1, 2, 3, 4, 5 und 6, so beträgt die Anzahl. der verschiedenen Reihenfolgen, in denen man dies tun kann, 60!. 040304 Übung 9a Analysis, Abschnitt 4, Folie 8 Die Wahrscheinlichkeit, dass bei n - maliger Durchführung eines Zufallexperiments ein Ereignis A ( mit Wahrscheinlichkeit p p ( A ) ) für eine beliebige Anzahl

Mehr

5. Bildauflösung ICT-Komp 10

5. Bildauflösung ICT-Komp 10 5. Bildauflösung ICT-Komp 10 Was sind dpi? Das Maß für die Bildauflösung eines Bildes sind dpi. Jeder spricht davon, aber oft weiß man gar nicht genau was das ist. Die Bezeichnung "dpi" ist ein Maß, mit

Mehr

1 topologisches Sortieren

1 topologisches Sortieren Wolfgang Hönig / Andreas Ecke WS 09/0 topologisches Sortieren. Überblick. Solange noch Knoten vorhanden: a) Suche Knoten v, zu dem keine Kante führt (Falls nicht vorhanden keine topologische Sortierung

Mehr

4. Dynamische Optimierung

4. Dynamische Optimierung 4. Dynamische Optimierung Allgemeine Form dynamischer Optimierungsprobleme 4. Dynamische Optimierung Die dynamische Optimierung (DO) betrachtet Entscheidungsprobleme als eine Folge voneinander abhängiger

Mehr

Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme

Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Übung Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Diese Übung beschäftigt sich mit Grundbegriffen der linearen Algebra. Im Speziellen werden lineare Abbildungen, sowie

Mehr

Optimierung für Nichtmathematiker

Optimierung für Nichtmathematiker Optimierung für Nichtmathematiker Typische Prüfungsfragen Die folgenden Fragen dienen lediglich der Orientierung und müssen nicht den tatsächlichen Prüfungsfragen entsprechen. Auch Erkenntnisse aus den

Mehr

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt

x 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt - 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +

Mehr

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen

Gleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen Gleichungen Lösen Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Was ist überhaupt eine Gleichung? Eine Gleichung ist, grundsätzlich eine Aussage über zwei mathematische Terme, dass sie gleich sind. Ein Term

Mehr

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen

Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen 1. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen lassen sich immer auf die sog. normierte Form x 2 + px + = 0 bringen, in

Mehr

Jede Zahl muss dabei einzeln umgerechnet werden. Beginnen wir also ganz am Anfang mit der Zahl,192.

Jede Zahl muss dabei einzeln umgerechnet werden. Beginnen wir also ganz am Anfang mit der Zahl,192. Binäres und dezimales Zahlensystem Ziel In diesem ersten Schritt geht es darum, die grundlegende Umrechnung aus dem Dezimalsystem in das Binärsystem zu verstehen. Zusätzlich wird auch die andere Richtung,

Mehr

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt

Lösungen zum 3. Aufgabenblatt SS, Lineare Algebra Die Lösungen wurden erstellt von: Isabel Voigt, Vanessa Lamm und Matthias Rehder Hinweis: Eine Liste der zur Bearbeitung verwendeten Literatur ist unter www.mathematiwelt.com aufrufbar.

Mehr

Anmerkungen zur Übergangsprüfung

Anmerkungen zur Übergangsprüfung DM11 Slide 1 Anmerkungen zur Übergangsprüfung Aufgabeneingrenzung Aufgaben des folgenden Typs werden wegen ihres Schwierigkeitsgrads oder wegen eines ungeeigneten fachlichen Schwerpunkts in der Übergangsprüfung

Mehr

Charakteristikenmethode im Beispiel

Charakteristikenmethode im Beispiel Charakteristikenmethode im Wir betrachten die PDE in drei Variablen xu x + yu y + (x + y )u z = 0. Das charakteristische System lautet dann ẋ = x ẏ = y ż = x + y und besitzt die allgemeine Lösung x(t)

Mehr

Professionelle Seminare im Bereich MS-Office

Professionelle Seminare im Bereich MS-Office Der Name BEREICH.VERSCHIEBEN() ist etwas unglücklich gewählt. Man kann mit der Funktion Bereiche zwar verschieben, man kann Bereiche aber auch verkleinern oder vergrößern. Besser wäre es, die Funktion

Mehr

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5

Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5 Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5 Aufgabe. Man betrachte die Matrix A := über dem Körper R und über dem Körper F und bestimme jeweils die Jordan- Normalform. Beweis. Das charakteristische

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHISCHE UIVERSITÄT MÜCHE Zentrum Mathematik PRF. R.R. JÜRGE RICHTER-GEBERT, VAESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHFER Höhere Mathematik für Informatiker I (Wintersemester 003/004) Aufgabenblatt 1 (4. ktober 003)

Mehr

3.1. Die komplexen Zahlen

3.1. Die komplexen Zahlen 3.1. Die komplexen Zahlen Es gibt viele Wege, um komplexe Zahlen einzuführen. Wir gehen hier den wohl einfachsten, indem wir C R als komplexe Zahlenebene und die Punkte dieser Ebene als komplexe Zahlen

Mehr

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum

Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS Herbstsemester 2015 gehalten von Harald Baum 2. September 2015 Inhaltsverzeichnis 1. Stichpunkte zur Linearen Algebra I 2. Körper 3. Vektorräume

Mehr

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen

Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Das Eigenwertproblem Sei A eine quadratische Matrix vom Typ m,m. Die Aufgabe, eine Zahl λ und einen dazugehörigen Vektor x zu finden, damit Ax = λx ist, nennt

Mehr

Absolute Stetigkeit von Maßen

Absolute Stetigkeit von Maßen Absolute Stetigkeit von Maßen Definition. Seien µ und ν Maße auf (X, Ω). Dann heißt ν absolut stetig bezüglich µ (kurz ν µ ), wenn für alle A Ω mit µ(a) = 0 auch gilt dass ν(a) = 0. Lemma. Sei ν ein endliches

Mehr

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83

9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x

Mehr

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen Kapitel 2 Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen In diesem Abschnitt sollen im wesentlichen Verfahren zur Bestimmung des Minimums von nichtglatten Funktionen in einer Variablen im Detail vorgestellt

Mehr

Einführung in die Algebra

Einführung in die Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 13 Einheiten Definition 13.1. Ein Element u in einem Ring R heißt Einheit, wenn es ein Element v R gibt mit uv = vu = 1. DasElementv

Mehr

Mathematik. UND/ODER Verknüpfung. Ungleichungen. Betrag. Intervall. Umgebung

Mathematik. UND/ODER Verknüpfung. Ungleichungen. Betrag. Intervall. Umgebung Mathematik UND/ODER Verknüpfung Ungleichungen Betrag Intervall Umgebung Stefan Gärtner 004 Gr Mathematik UND/ODER Seite UND Verknüpfung Kommentar Aussage Symbolform Die Aussagen Hans kann schwimmen p und

Mehr

Lineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3

Lineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3 Lineare Funktionen Inhaltsverzeichnis 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition............................... 3 1.2 Eigenschaften............................. 3 2 Steigungsdreieck 3 3 Lineare Funktionen

Mehr

Theoretische Grundlagen der Informatik WS 09/10

Theoretische Grundlagen der Informatik WS 09/10 Theoretische Grundlagen der Informatik WS 09/10 - Tutorium 6 - Michael Kirsten und Kai Wallisch Sitzung 13 02.02.2010 Inhaltsverzeichnis 1 Formeln zur Berechnung Aufgabe 1 2 Hamming-Distanz Aufgabe 2 3

Mehr

Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme

Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Wir befassen uns nun mit der Lösung im allgemeinen nichthomogener linearer Gleichungssysteme in zweifacher Hinsicht. Wir studieren

Mehr

Was meinen die Leute eigentlich mit: Grexit?

Was meinen die Leute eigentlich mit: Grexit? Was meinen die Leute eigentlich mit: Grexit? Grexit sind eigentlich 2 Wörter. 1. Griechenland 2. Exit Exit ist ein englisches Wort. Es bedeutet: Ausgang. Aber was haben diese 2 Sachen mit-einander zu tun?

Mehr

Konzepte der Informatik

Konzepte der Informatik Konzepte der Informatik Vorkurs Informatik zum WS 2011/2012 26.09. - 30.09.2011 17.10. - 21.10.2011 Dr. Werner Struckmann / Christoph Peltz Stark angelehnt an Kapitel 1 aus "Abenteuer Informatik" von Jens

Mehr

Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen

Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Thomas Coutandin (cthomas@student.ethz.ch) 7. November 2 Abbildungsmatrizen Im Folgenden betrachten wir stets endlich dimensionale K-Vektorräume (K irgend

Mehr

Informationsblatt Induktionsbeweis

Informationsblatt Induktionsbeweis Sommer 015 Informationsblatt Induktionsbeweis 31. März 015 Motivation Die vollständige Induktion ist ein wichtiges Beweisverfahren in der Informatik. Sie wird häufig dazu gebraucht, um mathematische Formeln

Mehr

Abschlussprüfung Realschule Bayern II / III: 2009 Haupttermin B 1.0 B 1.1

Abschlussprüfung Realschule Bayern II / III: 2009 Haupttermin B 1.0 B 1.1 B 1.0 B 1.1 L: Wir wissen von, dass sie den Scheitel hat und durch den Punkt läuft. Was nichts bringt, ist beide Punkte in die allgemeine Parabelgleichung einzusetzen und das Gleichungssystem zu lösen,

Mehr

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen.

13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. 13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. Sie heißt linear, wenn sie die Form y (n) + a n 1 y (n 1)

Mehr

Optimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 2. Vorlesung

Optimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 2. Vorlesung Optimierung und Simulation ökonomischer Problemlagen privater Haushalte 2. Vorlesung Rainer Hufnagel / Laura Wahrig 2006 Diese Woche LO - Rechnerische Lösung - Simplex- Algorithmus LO - Auswertung des

Mehr

www.mathe-aufgaben.com

www.mathe-aufgaben.com Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit sin() f() =. Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie das Integral ( )

Mehr

Umgekehrte Kurvendiskussion

Umgekehrte Kurvendiskussion Umgekehrte Kurvendiskussion Bei einer Kurvendiskussion haben wir eine Funktionsgleichung vorgegeben und versuchen ihre 'Besonderheiten' herauszufinden: Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Polstellen

Mehr

1. LINEARE FUNKTIONEN IN DER WIRTSCHAFT (KOSTEN, ERLÖS, GEWINN)

1. LINEARE FUNKTIONEN IN DER WIRTSCHAFT (KOSTEN, ERLÖS, GEWINN) 1. LINEARE FUNKTIONEN IN DER WIRTSCHAFT (KOSTEN, ERLÖS, GEWINN) D A S S O L L T E N N A C H E U R E M R E F E R A T A L L E K Ö N N E N : Kostenfunktion, Erlösfunktion und Gewinnfunktion aufstellen, graphisch

Mehr

Lineare Optimierung Ergänzungskurs

Lineare Optimierung Ergänzungskurs Lineare Optimierung Ergänzungskurs Wintersemester 2015/16 Julia Lange, M.Sc. Literatur Werner, F.; Sotskov, Y.N. (2006): Mathematics of Economics and Business; Routledge; London Bemerkungen Diese Unterlagen

Mehr

6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion)

6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion) 6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion) Scan-Konvertierung ist die Rasterung von einfachen Objekten (Geraden, Kreisen, Kurven). Als Ausgabemedium dient meist der Bildschirm, der aus einem Pixelraster

Mehr

7 Die Determinante einer Matrix

7 Die Determinante einer Matrix 7 Die Determinante einer Matrix ( ) a11 a Die Determinante einer 2 2 Matrix A = 12 ist erklärt als a 21 a 22 det A := a 11 a 22 a 12 a 21 Es ist S 2 = { id, τ}, τ = (1, 2) und sign (id) = 1, sign (τ) =

Mehr

Rekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt

Rekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Georg Anegg 5. November 009 Beispiel. Die Folge {a n } sei wie folgt definiert (a, d, q R, q ): a 0 a, a n+ a n q + d (n 0) Man bestimme eine explizite Darstellung

Mehr

1. Kennlinien. 2. Stabilisierung der Emitterschaltung. Schaltungstechnik 2 Übung 4

1. Kennlinien. 2. Stabilisierung der Emitterschaltung. Schaltungstechnik 2 Übung 4 1. Kennlinien Der Transistor BC550C soll auf den Arbeitspunkt U CE = 4 V und I C = 15 ma eingestellt werden. a) Bestimmen Sie aus den Kennlinien (S. 2) die Werte für I B, B, U BE. b) Woher kommt die Neigung

Mehr

2 Lineare Gleichungen mit zwei Variablen

2 Lineare Gleichungen mit zwei Variablen 2 Lineare Gleichungen mit zwei Variablen Die Klasse 9 c möchte ihr Klassenzimmer mit Postern ausschmücken. Dafür nimmt sie 30, aus der Klassenkasse. In Klasse 7 wurden lineare Gleichungen mit einer Variablen

Mehr

W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 11

W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 11 W-Rechnung und Statistik für Ingenieure Übung 11 Christoph Kustosz (kustosz@statistik.tu-dortmund.de) Mathematikgebäude Raum 715 Christoph Kustosz (kustosz@statistik.tu-dortmund.de) W-Rechnung und Statistik

Mehr

Güte von Tests. die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei der Testentscheidung, nämlich. falsch ist. Darauf haben wir bereits im Kapitel über

Güte von Tests. die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art bei der Testentscheidung, nämlich. falsch ist. Darauf haben wir bereits im Kapitel über Güte von s Grundlegendes zum Konzept der Güte Ableitung der Gütefunktion des Gauss im Einstichprobenproblem Grafische Darstellung der Gütefunktionen des Gauss im Einstichprobenproblem Ableitung der Gütefunktion

Mehr

Wie löst man Mathematikaufgaben?

Wie löst man Mathematikaufgaben? Wie löst man Mathematikaufgaben? Manfred Dobrowolski Universität Würzburg Wie löst man Mathematikaufgaben? 1 Das Schubfachprinzip 2 Das Invarianzprinzip 3 Das Extremalprinzip Das Schubfachprinzip Verteilt

Mehr

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis

Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis Das komplette Material finden Sie hier: Download bei School-Scout.de

Mehr

2. Negative Dualzahlen darstellen

2. Negative Dualzahlen darstellen 2.1 Subtraktion von Dualzahlen 2.1.1 Direkte Subtraktion (Tafelrechnung) siehe ARCOR T0IF Nachteil dieser Methode: Diese Form der Subtraktion kann nur sehr schwer von einer Elektronik (CPU) durchgeführt

Mehr

Klassenarbeit zu linearen Gleichungssystemen

Klassenarbeit zu linearen Gleichungssystemen Klassenarbeit zu linearen Gleichungssystemen Aufgabe : Bestimme die Lösungsmenge der Gleichungssysteme mit Hilfe des Additionsverfahrens: x + 4y = 8 5x y = x y = x y = Aufgabe : Bestimme die Lösungsmenge

Mehr

Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung

Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Klaus-R. Löffler Inhaltsverzeichnis 1 Einfach zu behandelnde Sonderfälle 1 2 Die ganzrationale Funktion dritten Grades 2 2.1 Reduktion...........................................

Mehr

Repetitionsaufgaben Wurzelgleichungen

Repetitionsaufgaben Wurzelgleichungen Repetitionsaufgaben Wurzelgleichungen Inhaltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Theorie mit Aufgaben D) Aufgaben mit Musterlösungen 4 A) Vorbemerkungen Bitte beachten Sie: Bei Wurzelgleichungen

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1 Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe Für jedes t f t () + t R ist die Funktion f t gegeben durch = mit R. Das Schaubild von f t heißt K t.. (6 Punkte)

Mehr

11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen

11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen .3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen Definition.) komplexe Folgen: z n = x n + j. y n mit zwei reellen Folgen x n und y n.) Konvergenz: Eine komplexe Folge z n = x n + j. y n heißt

Mehr

Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen

Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen mathe online Skripten http://www.mathe-online.at/skripten/ Betragsgleichungen und die Methode der Fallunterscheidungen Franz Embacher Fakultät für Mathematik der Universität Wien E-mail: franz.embacher@univie.ac.at

Mehr

Linearen Gleichungssysteme Anwendungsaufgaben

Linearen Gleichungssysteme Anwendungsaufgaben Linearen Gleichungssysteme Anwendungsaufgaben Lb S. 166 Nr.9 Im Jugendherbergsverzeichnis ist angegeben, dass in der Jugendherberge in Eulenburg 145 Jugendliche in 35 Zimmern übernachten können. Es gibt

Mehr

Repetitionsaufgaben: Lineare Gleichungen

Repetitionsaufgaben: Lineare Gleichungen Kantonale Fachschaft Mathematik Repetitionsaufgaben: Lineare Gleichungen Zusammengestellt von Hannes Ernst, KSR Lernziele: - Lineare Gleichungen von Hand auflösen können. - Lineare Gleichungen mit Parametern

Mehr

Praktische Mathematik: Lineare und Netzwerk-Optimierung (SS 2015) Praktikumsaufgaben

Praktische Mathematik: Lineare und Netzwerk-Optimierung (SS 2015) Praktikumsaufgaben Technische Universität Kaiserslautern Prof Dr Sven O Krumke Dr Sabine Büttner MSc Marco Natale Praktische Mathematik: Lineare und Netzwerk-Optimierung (SS 2015) Praktikumsaufgaben Aufgabe 1 (Konvertieren

Mehr

Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen?

Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen können zwei Ebenen (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Wie heiÿt

Mehr

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN

ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN CHRISTIAN HARTFELDT. Zweiter Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz Satz VI.3.4) lässt sich verallgemeinern zu Satz.. Seien f, g : [a, b] R auf [a,

Mehr

Extrema von Funktionen in zwei Variablen

Extrema von Funktionen in zwei Variablen Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Extrema von Funktionen in zwei Variablen Literatur: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,

Mehr

Wurzeln als Potenzen mit gebrochenen Exponenten. Vorkurs, Mathematik

Wurzeln als Potenzen mit gebrochenen Exponenten. Vorkurs, Mathematik Wurzeln als Potenzen mit gebrochenen Exponenten Zur Einstimmung Wir haben die Formel benutzt x m n = x m n nach der eine Exponentialzahl potenziert wird, indem man die Exponenten multipliziert. Dann sollte

Mehr

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 $Id: jordan.tex,v.6 /6/7 8:5:3 hk Exp hk $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5.4 Die Jordansche Normalform Wir hatten bereits erwähnt, dass eine n n

Mehr

Wir gehen aus von euklidischen Anschauungsraum bzw. von der euklidischen Zeichenebene. Parallele Geraden schneiden einander nicht.

Wir gehen aus von euklidischen Anschauungsraum bzw. von der euklidischen Zeichenebene. Parallele Geraden schneiden einander nicht. 2 Ein wenig projektive Geometrie 2.1 Fernpunkte 2.1.1 Projektive Einführung von Fernpunkten Wir gehen aus von euklidischen Anschauungsraum bzw. von der euklidischen Zeichenebene. Parallele Geraden schneiden

Mehr