Lineare Programmierung. Beispiel: Wahlkampf. Beispiel: Wahlkampf. Mathematische Schreibweise. Lineares Programm. Datenstrukturen & Algorithmen

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1 Datenstrukturen & Algorithmen Einführung Standard- und Schlupfformen Simplex Algorithmus Matthias Zwicker Universität Bern Frühling Beispiel: Wahlkampf Ziel: mit möglichst wenig Werbung eine gewisse Anzahl Stimmen gewinnen Bekannt Anzahl Stimmen (in tausend), die gewonnen (verloren) werden je $1000 Werbung Werbung aufgeteilt nach Themen und Gebieten Beispiel: Wahlkampf Ziel: Gewinne Stimmen in urbanen Gebieten Stimmen in suburbanen Gebieten Stimmen in ländlichen Gebieten Werbeausgaben Wahlkampfthema Urban Suburban Ländlich Strassenbau Sicherheit Landwitschaftsbeihilfe Mineralölsteuer Strassenbau $20 000, Sicherheitspolitik $0, Landwirtschaft $4 000, Mineralölsteuer $9 000 Stimmengewinne Urban: 20(-2)+0(8)+4(0)+9(10)=50 Suburban: 20(5)+0(2)+4(0)+9(0)=100 Ländlich: 20(3)+0(-5)+4(10)+9(-2)=82 Würde es auch billiger gehen? 4 Mathematische Schreibweise Variablenx 1, x 2, x 3, x 4 : Dollar in tausend für Werbung für jedes Thema Ziele für Stimmengewinne Urban-2x 1 + 8x 2 + 0x x 4 >= 50 Suburban 5x 1 + 2x 2 + 0x 3 + 0x 4 >= 100 Ländlich 3x 1-5x x 3-2x 4 >= 25 Minimiere Werbeaufwand x 1 + x 2 + x 3 + x 4 Lineares Programm Minimiere x 1 + x 2 + x 3 + x 4 Unter den Nebenbedingungen 2x 1 + 8x 2 + 0x x 4 >= 50 5x 1 + 2x 2 + 0x 3 + 0x 4 >= 100 3x 1-5x 2 +10x 3-2x 4 >= 25 x 1, x 2, x 3, x 4 >= 0 Lösung liefert optimale Wahlkampfstrategie Negative Kosten nicht erlaubt x 1, x 2, x 3, x 4 >=

2 Lineare Funktion Lineare Funktion Reelle Koeffizienten a 1, a 2,..., a n Variablen x 1, x 2,..., x n Reelle Koeffizienten a 1, a 2,..., a n Variablen x 1, x 2,..., x n f(x 1,...,x n )=a 1 x 1 + a 2 x a n x n = P n a j x j f(x 1,...,x n )=a 1 x 1 + a 2 x a n x n = P n a j x j Lineare Gleichung f(x 1,...,x n )=b Lineare Ungleichung f(x 1,...,x n ) b, f(x 1,...,x n ) b Lineare Nebenbedingung Lineare Gleichung f(x 1,...,x n )=b Lineare Ungleichung f(x 1,...,x n ) b, f(x 1,...,x n ) b Lineare Nebenbedingung Lineare Gleichung oder Ungleichung Keine strengen Ungleichungen erlaubt Minimiere (maximiere) lineare Funktion unter endlicher Menge von linearen Nebenbedingungen 7 Lineare Gleichung oder Ungleichung Keine strengen Ungleichungen erlaubt Lineares Programmierungproblem Minimiere (maximiere) lineare Funktion unter endlicher Menge von linearen Nebenbedingungen 8 Graphische Darstellung in 2D Beispiel mit zwei Variablen Graphische Darstellung in 2D x 1 x 1 Maximiere Zielfunktion x 1 + x 2 Unter den Nebenbedingungen 4x 1 - x 2 <= 8 2x 1 + x 2 <= 10 5x 1-2x 2 >= -2 x 1, x 2 >= 0 Zulässiger Bereich Werte von x 1, x 2 die alle Nebenbedingungen erfüllen 9 x 2 x 2 10 Anwendungen Standardthema in Wirtschaftswissenschaften Operations research Beispiel: Planung von Crews für Fluggesellschaften Ziel: möglichst kleine Anzal Mitarbeiter, um gegebene Flüge zu betreuen Beschränkung der Stundenzahl pro Mitarbeiter Beschränkung auf Flugzeugtyp Etc. Anwendungen Kürzeste Pfade in Graphen Kürzester Pfad von s nach t habe Länge d[t] Bellman-Ford-Algorithmus Bei Terminierung gilt für jeden Knoten v d[v] d[u]+w(u, v) Lineares Programmierungsproblem Maximiere d[t] Nebenbedinungen d[v] d[u] +w(u, v), d[s] =0 für alle Knoten v V Variablen d[v] für jeden Knoten v E +1 Nebenbedingungen

3 Anwendungen Kürzeste Pfade in Graphen Kürzester Pfad von s nach t habe Länge d[t] Bellman-Ford-Algorithmus Bei Terminierung gilt für jeden Knoten v d[v] d[u]+w(u, v) Lineares Programmierungsproblem Maximiere d[t] Nebenbedinungen d[v] d[u] +w(u, v), d[s] =0 für alle Knoten v V Variablen d[v] für jeden Knoten v E +1 Nebenbedingungen 13 Standard- und Schlupfform Verschiedene Möglichkeiten ein lineares Programmierungsproblem aufzuschreiben Äquivalent Transformation zwischen Formen möglich : intuitiver Schlupfform: benötigt für 14 Maximiere Zielfunktion (n Variablen) m Nebenbedinungen 1 a ij x j b i, i =1, 2,...,m Nichtnegativitätsbedingungen x j 0 j =1, 2,...,n Matrixschreibweise Zielfunktion c T x, x =(x j ) Ax b, A =(a ij ),b=(b j ) x 0 15 Maximiere Zielfunktion (n Variablen) m Nebenbedinungen 1 a ij x j b i, i =1, 2,...,m Nichtnegativitätsbedingungen x j 0 j =1, 2,...,n Matrixschreibweise Zielfunktion c T x, x =(x j ) Ax b, A =(a ij ),b=(b j ) x 0 16 Allgemeine lineare Programme können verletzen Minimierung statt Maximierung Variablen ohne Nichtnegativitätsbedingung können Gleichungen sein können Ungleichungen mit >= anstatt <= sein 17 Schlupfform Benötigt für Schlupfform sind Gleichungen Einzige Ungleichungen sind Nichtnegativitätsbedingungen Umformung Ungleichungen -> Gleichungen mittels Schlupfvariablen s a ji x j b i Ungleichung s = b i n a ji x j s 0 Gleichung & Nichtnegativitätsbedingung mit Schlupfvariable 18 3

4 Schlupfform Schlupfvariable: Mass für Differenz oder Schlupf zwischen linker und rechter Seite der Ungleichung a ji x j b i Notation: Schlupfvariable für i-te Ungleichung heisst x n+i s = b i n a ji x j Konventionen Variable z für Zielfunktion Maximiere unter Nebenbedingungen ist impliziert Nichtnegativitätsbedingungen sind impliziert x n+i = b i n a ji x j, x n+i Kompakte Schreibweise N Menge der Indizes der Nichtbasisvariablen Immer N = n N ändert während B Menge der Indizes der Basisvariablen Immer B = m B ändert während Schlupfform ist Tupel (N, B, A, b, c, v) z = v + x i = b i a ij x j für i B 21 Kompakte Schreibweise N Menge der Indizes der Nichtbasisvariablen Immer N = n N ändert während B Menge der Indizes der Basisvariablen Immer B = m B ändert während Schlupfform ist Tupel (N, B, A, b, c, v) z = v + x i = b i a ij x j für i B 22 Idee: Forme Schlupfform um, bis Lösung offensichtlich Ähnlich Diagonalisierung bei Gauss Elimination Basislösung Alle Nichtbasisvariablen (rechte Seite) auf 0 setzen Basisvariablen (linke Seite) dadurch bestimmt Ansatz Forme Schlupfform so um, dass Zielfunktionswert der Basislösung nach Umformung grösser wird Umformung soll zu äquivalentem Problem führen 23 Pivotieren/Basisaustausch Wähle Nichtbasisvariable mit positivem Koeffizienten in Zielfunktion Eingangsvariable x e Wähle Basisvariable Ausgangsvariable x l Löse Gleichung für x l nach x e Erhöhe x e so lange, bis x l 0 wird Substituiere neue Gleichung für x e in anderen Gleichungen (Nebenbed., Zielfkt.) 24 4

5 Pivotieren/Basisaustausch Erzeugt äquivalentes lineares Programm Verschiebung von Variablen von linker zu rechter Seite und umgekehrt Substitution von Gleichungen in andere Implementation in Hilfsfunktion ( ˆN, ˆB,Â, ˆb, ĉ, ˆv) =Pivot(N,B,A,b,c,v,l,e) Offene Fragen Wie feststellen, ob lineares Programm lösbar? Kapitel 29.5 (kein Prüfungsstoff) Was tun, wenn Programm lösbar, aber initiale Basislösung nicht zulässig? Zulässige initiale Basislösung kann gefunden werden, Kapitel 29.5 (kein Prüfungsstoff) Liefert garantiert optimale Lösung? Ja, Kapitel 29.4 (kein Prüfungsstoff) Laufzeit Lemma: Menge der Basisvariablen definiert eindeutige Schlupfform Ã! m + n Korrolar: Anzahl Schlupfformen ist m B = m Basisvariablen N = n Nichtbasisvariablen ihb i ibl Pivotieren transformiert eine Schlupfform in eine andere Lemma: Falls nach Schritten nicht terminiert, dann kreiselt er Ã! m + n m Dreht sich im Kreis, terminiert nicht Kann mit etwas Zusatzaufwand vermieden werden Nächstes Mal Prüfung! 29 5