Prüfungsklausur Wirtschaftsmathematik I Studiengang Wirtschaftsinformatik, (180 Minuten)

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1 HTW Dresden 9. Februar 2012 FB Informatik/Mathematik Prof. Dr. J. Resch Prüfungsklausur Wirtschaftsmathematik I Studiengang Wirtschaftsinformatik, (180 Minuten) Name, Vorname: Matr.-nr.: Anzahl der abge- Unterschrift: gebenen Blätter: A Aufg Note a b a b c d a b c d e a b c d a b a b c d Soll: Ist: Allgemeine Hinweise: Die Lösung jeder Aufgabe bitte auf einer neuen Seite (oben) beginnen. Erstreckt sich die Lösung einer Aufgabe über mehrere Seiten, so ist auf jeder Seite oben anzugeben, zu welcher Aufgabe/Teilaufgabe die folgenden Lösungen gehören. Alle Aussagen sind zu begründen, falls Sie komplexere Terme mit dem Taschenrechner berechnen bzw. Gleichungen mit dem Taschenrechner lösen, so sind die verwendeten Formeln/Gleichungen anzugeben, so dass der Lösungsweg nachvollziehbar ist. Bei Pivot-Verfahren (Simplex-Meth., Gauß-Alg., AT-Verf.) sind alle Tableaus anzugeben. 1. Herr A. liest von einem Kreditangebot, in dem Kredite bis zu e angeboten werden, wobei für eine Kreditlaufzeit von vier Monaten nur 3.5% Zinsen berechnet werden. Allerdings wird bei Vertragsabschluss eine Bearbeitungsgebühr von 50 e fällig. (a) Herr A. benötigt dringend e und überlegt, ob er dieses Angebot wahrnehmen soll. Welchem Effektivzins (p.a.) entspricht das Angebot in diesem Fall? (b) Auf welchen Effektivzins käme er insgesamt, wenn er von der Möglichkeit Gebrauch macht, sein Konto um e zu überziehen, wobei für diesen Überziehungskredit ein Zinssatz von 12.5% (p.a.) berechnet wird? Er müsste sich dann nur noch die fehlenden e über das o.g. Kreditangebot besorgen. 2. Herr B. hat einen Kredit in Höhe von e aufgenommen. Mit der Bank wurde ein Zinssatz von 4.2% für 15 Jahre fest vereinbart und die Tilgung sollte 2% (zzgl. ersparter Zinsen) betragen. (a) Wie hoch ist die jährlich nachschüssig zu zahlende Annuität und wie hoch wäre die Restschuld nach 15 Jahren? (b) Wie hoch wäre eine äquivalente, monatliche (nachschüssige) Zahlung? (c) Welche Tilgungsdauer ergibt sich, wenn davon ausgegangen wird, dass der Zinssatz von 4.2% auch nach den ersten 15 Jahren weiterhin gilt? Bestimmen Sie die letzten beiden Zeilen des Tilgungsplanes mit einer verminderten Abschlussannuität! (d) Welche Tilgungsdauer ergibt sich insgesamt, wenn nach den ersten 15 Jahren der Zinssatz auf 6% steigt (weiterhin gleiche Annuität wie unter (a) bestimmt, Tilgung wieder mit verminderter Abschlussannuität)?

2 3. In einem Unternehmen wurden in einer zweistufigen Fertigung bisher aus drei Rohteilen R 1, R 2 und R 3 zunächst die drei Zwischenprodukte Z 1, Z 2 und Z 3 und aus diesen die vier Endprodukte E 1, E 2, E 3 und E 4 hergestellt. Die Stücklisten für die in den beiden Fertigungsstufen hergestellten Zwischen- und Endprodukte sind in den folgenden beiden Tabellen zusammengestellt. Z 1 Z 2 Z 3 R R R R E 1 E 2 E 3 E 4 Z Z Z (a) Die Fertigung soll auf eine einstufige Fertigungsstruktur umgestellt werden. Stellen Sie die Stücklisten für die Endprodukte auf Basis der Rohteile auf! (b) Wie viele der Rohteile R 1, R 2, R 3 und R 4 müssen für die Produktion bereitgestellt werden, wenn von E 1 20 Teile sowie von E 2, E 3 und E 4 je 10 Teile gefertigt werden sollen? (c) Wie hoch sind die Materialkosten für die Zwischen- und Endprodukte (beide in e /Stück), wenn die Rohteile zu Preisen von 5 e (R 1 ), 4 e (R 2 ), 7 e (R 3 ) und 1 e (R 4 ) je Stück eingekauft werden? (d) Könnte ein Lagerbestand z (L1) = (50, 30, 40) (Zwischenprodukte) vollständig zu Endprodukten verarbeitet werden? Wenn ja, geben Sie die Menge aller möglichen Produktionsvektoren an, bei denen der Lagerbestand vollständig aufgebraucht wird! (e) Formulieren Sie ein lineares Optimierungsproblem, mit dem man berechnen kann, wie der Lagerbestand z (L2) = (2 000, 2 400, 3 000) (Zwischenprodukte) so zu Endprodukten verarbeitet werden kann, dass mit diesen Endprodukten ein maximaler Erlös erzielt werden kann, wenn die Endprodukte zu Preisen von 400, 60, 300, 330 e/stück verkauft werden. Der Lagerbestand ist dabei nicht unbedingt vollständig aufzubrauchen, nicht verbrauchte Zwischenprodukte können aber später nicht mehr verarbeitet werden, sie können nur noch unter Wert für einen Schrottpreis von 10 e/stück verkauft werden. Hinweis: Nur das mathematische Modell aufstellen!!! 4. Gegeben ist das folgende lineare Optimierungsproblem: z = 3x 1 7x 2 + 5x 3 min 4x 1 + 3x 2 4x 3 70 x 1 + 7x 2 + x 3 = 40 5x 1 + x 2 + 2x 3 50 x 1 0 x 2 0 Stellen Sie ein Anfangstableau für die 2-Phasen-Methode/Simplex-Methode auf und markieren Sie alle möglichen Pivot-Elemente!

3 5. Gegeben ist das folgende lineare Optimierungsproblem (Produktionsplanung) mit den Restriktionen R1 bis R4 (verfügbare Materialmengen): z = 12x x x x 4 max 3x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x (R1) 3x 1 + 5x 2 + 6x 3 + 6x (R2) 5x 1 + 4x 2 + 5x 3 + 4x (R3) 2x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 4x (R4) x 1, x 2, x 3, x 4 0 Dabei steht die Zielfunktion für den Erlös, die Koeffizienten der Zielfunktion sind Verkaufspreise in e/me und die Variablen x j stehen für die Produktionsmengen der Produkte P j in ME. Während der Lösung des obigen LOP hat sich das folgende Simplextableau ergeben x 1 x 4 x 6 x 8 1 x x x x z Dabei sind x 5,..., x 8 die Schlupfvariablen der Restriktionen R1,..., R4. (a) Bestimmen Sie alle optimalen Lösungen und den optimalen Zielfunktionswert. (b) Welche Änderungen des Verkaufspreises von P 1 (des Zielfunktionskoeffizienten von x 1 ) hätten keinen Einfluss auf die Optimalität der Lösung(en)? Wie würden die Menge der optimalen Lösungen und der optimale Zielfunktionswert aussehen, wenn der Verkaufspreis von P 1 auf 26 e/me steigt? (c) In welchem Bereich dürfte der Verkaufspreis von P 2 (Zielfunktionskoeffizient von x 2 ) variieren, so dass die in Teilaufgabe (a) bestimmte(n) Lösung(en) noch optimal ist bzw. sind? Würde sich dies auf den optimalen Zielfunktionswert auswirken? Wenn ja, wie? (d) Geben Sie den Schattenpreis für die Restriktion R3 an und bestimmen Sie seinen Gültigkeitsbereich. Was bedeutet dieser Schattenpreis? Welche optimale Lösung und welcher maximale Zielfunktionswert ergeben sich, wenn in Restriktion R3 die rechte Seite (verfügbare Materialmenge) um 3 (auf 703) erhöht wird?

4 6. Gegeben ist das nebenstehende Grundtableau eines Transportproblems, wobei Aufwandskoeffizienten M für gesperrte Transportwege stehen. B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 a i A M A A 3 M M A M 40 b j (a) Bestimmen Sie eine Anfangsbasislösung nach der Methode von Vogel und danach mit der Potentialmethode alle optimalen Lösungen dieses mathematischen Problems sowie den minimalen Zielfunktionswert! (b) Gibt es eine optimale Lösung mit x 15 = 20? Wenn ja, geben Sie eine solche Lösung an. 7. Bei der Lösung eines Transportproblems hat sich das folgende, optimale Tableau ergeben, wobei die hochgestellten Werte die Werte der Basisvariablen (Transportmengen auf den entsprechenden Wegen) sind. B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 a i A A A A b j z = 3530 (a) In welchen Grenzen könnte der spezifische Transportaufwand c 32 von A 3 nach B 2 variieren, so dass die vorgegebene optimale Lösung weiterhin gilt? Wie verhält sich dabei der optimale Zielfunktionswert? (b) In welchen Grenzen könnte der spezifische Transportaufwand c 24 von A 2 nach B 4 variieren, so dass die vorgegebene optimale Lösung weiterhin gilt? Wie verhält sich dabei der optimale Zielfunktionswert? (c) Wie würden die allgemeine Lösung (Menge aller optimalen Lösungen) und z min aussehen, wenn sich der Transportaufwand von A 4 nach B 1 um 5 (auf 11) verringert? (d) Wie wäre das Grundtableau des Transportproblems zu modifizieren, wenn die Bedarfsorte B 1 und B 3 vom Aufkommensort A 3 nicht beliefert werden dürfen und von den übrigen Aufkommensorten jeweils nur maximal 20 ME geliefert bekommen sollen? (TP soll nicht gelöst werden!!!)

5 Lösungen: 1. (a) % (b) % 2. (a) A = e, K 15 = e (b) A m = e (c) n = 27.5 d.h. n = 28 Jahre K 26 = , Z 27 = , T 27 = , A 27 = , K 27 = , Z 28 = , T 28 = , A 28 = , (d) n 15 = , d.h. n = 30 Jahre 3. (a) A RZ A ZE = A RE : E 1 E 2 E 3 E 4 (b) r = R R R R (c) p z = (32, 27, 40) p e = (310, 40, 190, 211) (d) e = (e) 400 e e e e z z z 3 max 3 e e e 4 + z 1 = e e 3 + e 4 + z 2 = e 1 + e 2 + e 3 + 3e 4 + z 3 = e 1, e 2, e 3, e 4, z 1, z 2, z x 1 x 2 x 3 x 3 x 6 1 x y y z z

6 5. (a) x opt = (0, 25, 120, 0 110, 0, 0, 40), z max = 4490 (b) c 1 26 bzw. c 1 14 keine Änderungen; Bei c 1 = 26 gilt x opt = (0, 25, 120, 0) + t (1, 15, 13, 0), t [0, 20], 3 mit z max = (c) c 2 = 26 + t z max = t t [ 2, 2] 5 3 (d) 7 = 4, d.h. wenn bei R3 eine ME mehr verfügbar ist, kann der ZFW um 25 max. 4 steigen. Gültigkeitsbereich: b 3 [ 20, ] 6 b3 = = 703 ( b 3 = +3) z max = = 4502, x = (0, 7, 135, 0), 6. (a) X (0) = X (opt) = (b) nein , z min = (a) keine Änderungen bei X opt und z min c 32 4 (b) z min = c 24, c 24 [ 1, 1] (c) X (opt) = 40 t 30 + t 10 + t 40 t 20 t 40 + t t 20 t 30, t [0, 20], z min = 3530 (d) B 1 B 1 B 1 B 2 B 3 B 3 B 3 B 4 B 5 a i A M M M M M M 20 A 02 M M M M M M 10 A 1 12 M M M M A 2 M 25 M 19 M 27 M A 3 M M M 14 M M M A 4 M M 16 8 M M b j