Mathematik-Klausur vom und Finanzmathematik-Klausur vom

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1 Mathematik-Klausur vom und Finanzmathematik-Klausur vom Studiengang BWL DPO 2003: Aufgaben 2,3,4 Dauer der Klausur: 60 Min Studiengang B&FI DPO 2003: Aufgaben 2,3,4 Dauer der Klausur: 60 Min Studiengang Int. Bus. (Ba) PO 2004: Aufgaben 2,3,4 Dauer der Klausur: 60 Min Studiengang BWL (Ba) PO 2007: Aufgaben 1,2,3 Dauer der Klausur: 60 Min Studiengang B&FI (Ba) PO 2007: Aufgaben 1,2,3 Dauer der Klausur: 60 Min Studiengang Int. Bus. (Ba) PO 2007: Aufgaben 1,2,3 Dauer der Klausur: 60 Min Studiengang Int. Bus. (Ba) PO 2010: Aufgaben 1,2,3 Dauer der Klausur: 60 Min Studiengang BWL (Ba) PO 2007: Aufgaben 5,6 Dauer der Klausur: 45 Min Studiengang B&FI (Ba) PO 2007: Aufgaben 5,6 Dauer der Klausur: 45 Min Studiengang WRE DPO 2004: Aufgaben 5,6 Dauer der Klausur: 45 Min Studiengang WRE (Ba) PO 2007: Aufgaben 5,6 Dauer der Klausur: 45 Min Die Lösungen sind ein Lösungsvorschlag. Aus dem Lösungsvorschlag ergeben sich keine rechtlichen Ansprüche. Aufgabe 1 4x x + 36 a) Bestimmen Sie den folgenden Grenzwert: lim x 3 3x 2 + 6x 9. b) Es bezeichnen x=me von Gut I und y = ME von Gut II. Berechnen und interpretieren Sie für die Mengenkombination x = 5 und y = 6 die Grenzkosten von Gut I und die Grenzkosten von Gut II der folgenden Kostenfunktion: K(x, y) = 3x 2 + 2y 2 + xy ; x, y 0 c) Bestimmmen Sie die Sattelstelle der Funktion f(x) = (x 7) 3 ; x IR. Aufgabe 2 a) Gegeben sind die folgenden Matrizen: 3 4 ( A = ; B = Berechnen Sie, falls möglich: 1. A B 2. A C + D 3. B A ) ; C = ( 2 4 ) ; D = b) Bei einem Industrieunternehmen werden aus den beiden Materialien S (gemessen in Liter) und T (gemessen in Kilogramm) die drei Endprodukte E 1, E 2, E 3 hergestellt. Der Gesamtbedarf (in Liter bzw. in Kilogramm) an Materialien zur Herstellung je eines Liters der Endprodukte lässt sich aus der folgenden Matrix ablesen:

2 ( 6 9 ) Von Material S stehen 114 Liter und von Material T 206 Kilogramm zur Verfügung. 1. Ermitteln Sie für die drei Endprodukte alle ökonomisch sinnvollen Produktionsprogramme, die sich aus dem Vorrat herstellen lassen. Dabei ist ein Produktionsprogramm ökonomisch sinnvoll, wenn es nicht negativ ist. Zur Lösung dieser Fragestellung gehen Sie wie folgt vor: ˆ Stellen Sie das Gleichungssystem auf. ˆ Geben Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems an. ˆ Geben Sie alle nicht negativen Lösungen an. 2. Wie lauten die ökonomisch sinnvollen Produktionsprogramme, wenn aufgrund handelsüblicher Vorgaben nur Verkaufsmengen und Verpackungsgrößen für die Endprodukte von 1, 2, 5 oder 10 Litern möglich sind? Aufgabe 3 Gegeben sei die Funktion f(x, y) = 1 2 x2 2 ln(y) ; x > 5, y > 0. Zeigen Sie, dass diese Funktion ihr globales (absolutes) Minimum unter der Nebenbedingung x + y = 1 an der Stelle (x; y) = ( 1; 2) annimmt. Aufgabe 4 Für einen Hauskauf wird ein Kredit über Euro aufgenommen. a) Der Kredit soll bei 4,8% Jahreszinsen zurückgezahlt werden durch Annuitäten jeweils am Ende eines Jahres in Höhe von Euro. Die erste Annuität ist fällig ein Jahr nach Kreditaufnahme. Wie viele volle Annuitäten sind zu leisten? b) Der Kredit soll binnen zwanzig Jahren zurückgezahlt werden. Die Rückzahlung erfolgt durch gleich hohe Annuitäten jeweils am Ende eines Jahres. Die erste Annuität ist fällig ein Jahr nach Kreditaufnahme. Wie hoch sind bei einem Jahreszins von 4,8% die Annuitäten? Aufgabe 5 Der Betrag von Euro wird zwölf Jahre lang zu einem nominellen Jahreszins von 1,2 % auf einem Konto angelegt. a) Wie hoch ist das Guthaben am Ende der Laufzeit bei 1. einfacher Verzinsung? 2. jährlich nachschüssiger Verzinsung mit Zinseszins? 3. vierteljährlicher Verzinsung mit Zinseszins zum relativen Zins? b) Wie hoch ist in den zwölf Jahren der effektive Jahreszins (d.h. der Jahreszins, der nach zwölf Jahren zu nachschüssiger Verzinsung mit Zinseszins zum selben Guthaben führen würde) bei 2

3 1. einfacher Verzinsung? 2. jährlich nachschüssiger Verzinsung mit Zinseszins? 3. vierteljährlicher Verzinsung mit Zinseszins zum relativen Zins? c) Die ursprünglich geplante Laufzeit von zwölf Jahren wird verkürzt. Wann beträgt der Kontostand erstmals mindestens Euro bei 1. einfacher Verzinsung? 2. jährlich nachschüssiger Verzinsung mit Zinseszins? 3. vierteljährlicher Verzinsung mit Zinseszins zum relativen Zins? Aufgabe 6 Ein Bauherr möchte eine Immobilie über einen Kredit finanzieren. Seine Hausbank unterbreitet ihm die beiden folgenden Angebote. Angebot 1: Auszahlungsbetrag: Euro Zinssatz: 3,25% p.a. Zinsbindungsdauer: 10 Jahre Tilgungs- und Zinszahlung: monatlich nachschüssig Euro Weitere Kosten: 0 Euro Angebot 2: Auszahlungsbetrag: Euro Zinssatz: 3,75% p.a. Zinsbindungsdauer: 15 Jahre Tilgungs- und Zinszahlung: monatlich nachschüssig Euro Weitere Kosten: 0 Euro a) Um welchen Betrag übersteigt die Restschuld nach zehn Jahren bei Angebot 2 die Restschuld nach zehn Jahren bei Angebot 1? b) Der Bauherr geht davon aus, dass in der Zukunft die Zinsen für Baukredite steigen werden. Er rechnet damit, dass er bei der Entscheidung für Angebot 1 nach Ablauf der Zinsbindungsfrist von zehn Jahren von seiner Bank folgendes Angebot zur Fortführung des Kredits unterbreitet bekommt: Kredithöhe: Restschuld von Angebot 1 nach 10 Jahren Zinssatz: 5,5% p.a. Zinsbindungsdauer: 5 Jahre Tilgungs- und Zinszahlung: monatlich nachschüssig Euro Weitere Kosten: 0 Euro 3

4 Soll sich der Bauherr unter dieser Annahme für das Angebot 1 oder das Angebot 2 entscheiden? Beantworten Sie diese Frage, indem Sie für beide Angebote die Restschuld nach 15 Jahren berechnen und die Ergebnisse vergleichen. c) Der Bauherr rechnet damit, dass er nach fünf Jahren bei beiden Angeboten eine Sondertilgung in Höhe von Euro leisten kann. Wie fällt jetzt in b) Ihre Empfehlung aus? Lösung zu Aufgabe 1 4x x + 36 a) lim x 3 3x 2 + 6x 9 = lim 4(x + 3) 2 x 3 3(x + 3)(x 1) = lim 4(x + 3) x 3 3(x 1) = 0 12 = 0. b) K x (x; y) = 6x + y K x (5; 6) = 36 d.h. werden statt 5 ME von Gut I und 6 ME von Gut II jetzt 6 ME von Gut I und 6 ME von Gut II hergestellt, so steigen die Kosten um etwa 36 GE. K y (x; y) = 4y + x K y (5; 6) = 29 d.h. werden statt 5 ME von Gut I und 6 ME von Gut II jetzt 5 ME von Gut I und 7 ME von Gut II hergestellt, so steigen die Kosten um etwa 29 GE. c) 0 = f (x) = (3(x 7) 2 ) = 6(x 7) x = 7 f (7) = 6 0 f (7) = 0 d.h. x = 7 ist eine Sattelstelle. Lösung zu Aufgabe 2: a) 1. A B = A C + D = = 3. B A Dieses Produkt ist nicht erklärt b) e 1 = Liter von E 1, e 2 =Liter von E 2, e 3 =Liter von E 3 1. Gleichungssystem: I 6e 1 + 9e 2 + 3e 3 = 114 II 10e e 2 + 8e 3 = 206 Gaußalgorithmus: Zeile e 1 e 2 e 3 r Operation

5 4 6e e 3 = 96 e 2 = 16 3e 3 3 6e (16 3e 3 ) + 3e 3 = 114 e 1 = 4e 3 5 Lösungsmenge des Gleichungssystems: 4e 3 5 IL = { 16 3e 3 ; e 3 IR} Nicht negative Lösungen: e 3 1.) e 1 = 4e e 3 5 e 3 1,25 2.) e 2 = 16 3e e 3 16 e 3 3 e 3 5,3 3.) e 3 0 Lösungsmenge der nicht negativen Lösungen: 4e 3 5 IL = { 16 3e 3 ; e 3 [1,25; 5,3]} e 3 2. Zunächst muss e 3 ganzzahlig und aus dem Intervall [1,25; 5,3] sein; d.h. e 3 = 2 oder e 3 = 3 oder e 3 = 4 oder e 3 = Fall: e 3 = 2 lässt sich verpacken in zwei 1-Liter-Verpackungen e 2 = 16 6 = 10 lässt sich verpacken in zehn 1-Liter-Verpackungen e 1 = 8 5 = 3 lässt sich verpacken in drei 1-Liter-Verpackungen. 2. Fall: e 3 = 3 lässt sich verpacken in drei 1-Liter-Verpackungen e 2 = 16 9 = 7 lässt sich verpacken in sieben 1-Liter-Verpackungen e 1 = 12 5 = 7 lässt sich verpacken in sieben 1-Liter-Verpackungen. 3. Fall: Fall: e 3 = 4 lässt sich verpacken in vier 1-Liter-Verpackungen e 2 = = 4 lässt sich verpacken in vier 1-Liter-Verpackungen e 1 = 16 5 = 11 lässt sich verpacken in elf 1-Liter-Verpackungen. 4. Fall: e 3 = 5 lässt sich verpacken in fünf 1-Liter-Verpackungen e 2 = = 1 lässt sich verpacken in eine 1-Liter-Verpackung e 1 = 20 5 = 15 lässt sich verpacken in fünfzehn 1-Liter-Verpackungen. Lösungsmenge der ganzzahligen nicht negativen Lösungen: 4e 3 5 IL = { 16 3e 3 ; e 3 {2; 3; 4; 5}} e 3 D.h. die gesuchten Produktionsprogramme lauten: , 7, 4, Lösung zu Aufgabe 3 1. Lösungsweg Lagrange-Methode L(x, y, λ) = 0,5x 2 2 ln(y) + λ(x + y 1) L x (x, y, λ) = x + λ L xx (x, y, λ) = 1 L y (x, y, λ) = 2 y + λ L yy(x, y, λ) = 2 y 2 L λ (x, y, λ) = x + y 1 L xy (x, y, λ) = 0 Notwendige Bedingung: 5

6 I 0 = x + λ II 0 = 2 y + λ III 0 = x + y 1 I II 0 = x + 2 y III 0 = x + y 1 I II III 0 = 2 y y + 1 y 0 = 2 y 2 + y ( 1) 0 = y 2 y 2 pq-formel y = 0,5 ± 0, = 0,5 ± 1,5 y = 2 oder y = 1 } {{ } / Def.bereich III 0 = x x = 1 Der Wert von λ 0 = 1 wird nicht benötigt. Hinreichende Bedingung: D(x; y; 1) = 1 2 y 2 > immer 0 L xx (x; y; 1) = 1 > immer 0 d.h. f(x, y) hat in ( 1; 2) ein glob. Min unter Berücksichtigung der Nebenbedingung. 2. Lösungsweg Einsetzmethode x = 1 y f(y) = 0,5 (1 y) 2 2 ln(y) = 0,5 y + 0,5y 2 2 ln(y) f (y) = 1 + y 2 y f (y) = y 2 Notwendige Bedingung für y = 2: = 0 und x = 1 2 = 1 2 Hinreichende Bedingung: f (y) = y 2 > immer 0 d.h. ( 1; 2) glob. Min unter Berücksichtigung der Nebenbedingung. Lösung zu Aufgabe 4: a) n = ln [ ,048] = 24,7 ln 1,048 d.h. es sind vierundzwanzig volle Annuitäten zu zahlen. b) A = , ,048 = ,49 1, d.h. die Annuitäten betragen ,49 Euro. Lösung zu Aufgabe 5: 6

7 a) 1. K 12 = ( ,012) = d.h. das Guthaben nach zwölf Jahren beträgt Euro. 2. K 12 = , = 1 153,895 d.h. das Guthaben nach zwölf Jahren beträgt 1 153,90 Euro. ( 3. K 12 = ,012 ) 48 = 1 154,635 4 d.h. das Guthaben nach zwölf Jahren beträgt 1 154,64 Euro b) = 1, d.h. der Effektivzins beträgt 1,1274 %. 2. Der Effektivzins beträgt 1,2 % Lösungsweg: ,635 = 1, d.h. der Effektivzins beträgt 1,2054 %. 2. Lösungsweg: ( j = 1 + 0,012 ) 4 1 = 0, =1,2054% 4 c) = (1 + n 0,012) ,1 = 1 + n 0, ,1 = n 0,012 0,012 8,3 = n 0,3 360 = 120 d.h. nach acht Jahren und 120 Tagen wird erstmals der Kontostand von Euro erreicht. 2. n = ln ( ) ln(1,012) = 7, d.h. nach acht Jahren wird erstmals der Kontostand von Euro überschritten. 3. n = ln ( ) ln(1,012054) = 7, d.h. nach acht Jahren wird erstmals der Kontostand von Euro überschritten. Lösung zu Aufgabe 6: a) Angebot 1: K 10 = , (12 + 5,5 0,0325) 1, = ,62 0,0325 Angebot 2: K 10 = , (12 + 5,5 0,0375) 1, = ,02 0, , ,62 = ,40 7

8 d.h. nach zehn Jahren übersteigt die Restschuld von Angebot 2 die Restschuld von Angebot 1 um ,40 Euro. b) Angebot 1: K 15 = ,62 1, (12 + 5,5 0,055) 1, = ,63 0,055 Angebot 2: K 15 = , (12 + 5,5 0,0375) 1, = ,91 0,0375 d.h. Angebot 2 ist günstiger. c) Angebot 1: , , ,055 5 = ,56 Angebot 2: , , = ,16 d.h. Angebot 1 ist günstiger. 8