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1 =LQVUHFKQHQ Für jeden Kaufmann unentbehrlich und vielseitig einsetzbar ist die Zinsrechnung. :DVVLQG=LQVHQ" =LQV =LQVVDW]=LQVIX =HLW -DKU 0RQDW der Preis für die Nutzung eines Kapitals während einer bestimmten Zeitdauer die Höhe der Zinsen; er gibt den Preis der Zinsen für die Nutzung von ¼-- Kapital für die Dauer eines Jahres an. Dauer der Kapitalnutzung in Jahren, Monaten oder Tagen ein Jahr wird in der Zinsrechnung einheitlich zu 12 Monaten oder Tagen gerechnet entsprechend dem Jahr wird in der Zinsrechnung jeder Monat einheitlich zu 30 Tagen gerechnet Mit Hilfe des 'UHLVDW]HV kann man jede der vier in der Zinsrechnung relevanten Größen: =LQVHQ.DSLWDO=HLW=LQVVDW]=LQVIX berechnen, wenn die anderen drei Größen bekannt sind. Die Zinsrechnung ähnelt aufgrund ihrer Eigenarten der Prozentrechnung. Einziger Unterschied ist die Einbeziehung der Zeit: 3UR]HQWUHFKQXQJ =LQVUHFKQXQJ Grundwert J Kapital N Prozentwert 3 Zinsen ](für 1 Jahr) Prozentsatz S Zinssatz S Zeit Jahr Monat Tag W (time) D (anno) P (month) G (day) Die DOOJHPHLQHQ=LQVIRUPHOQ berechnen die Zinsen grundsätzlich auf das anfängliche Kapital k für die gesamte Nutzungszeit t ohne Berücksichtigung von Zinseszinsen. Die Zinsen werden daher erst am Ende der Nutzungszeit dem Kapital hinzugerechnet.

2 %HUHFKQXQJGHU=LQVHQ -DKUHV]LQVHQ Jahreszinsen sind die Zinsen für die ganzjährige Nutzung eines Kapitals. Die allgemeine Zinsformel lautet: N * S% * W D ] = oder 100 -DKUHV]LQV HQ =.DSLWDO * =LQVVDW] * -DKUH 100 0RQDWV]LQVHQ N * S% * W P ] = oder 100*12 7DJHV]LQVHQ N * S% * W G ] = oder 100* 0RQDWV]LQV HQ = 7DJHV]LQVH Q =.DSLWDO * =LQVVDW] * 0RQDWH 100*12.DSLWDO * =LQVVDW] * 7DJH 100 * Aufgrund der besseren Teilbarkeit wird bei der =LQVUHFKQXQJI U.DXIOHXWH das Jahr zu Tagen, jeder Monat einheitlich zu 30 Tagen gerechnet. Nach der E UJHUOLFKUHFKWOLFKHQ=LQVUHFKQXQJ hat das Jahr 365 bzw. 366 Tage. Jeder Monat wird dabei nach seiner tatsächlichen Länge (28/29, 30 bzw. 31 Tage) gerechnet. Die bürgerlich-rechtliche Zinsrechnung wird bei Privatpersonen (Nicht- Kaufleuten) und Behörden angewendet. Wieviel Tage sind es vom 16. Januar bis zum 25. Mai 2002? a) Bürgerlich-rechtliche Zinsrechnung: Tage ( einschließlich) Tage Tage Tage Tage ( einschließlich) 130 Tage b) Kaufmännische Zinsrechnung: Tage ( einschließlich) Tage Tage Tage Tage ( einschließlich) 130 Tage

3 oder Tage (=4*30 Tage) Tage ( einschließlich) 130 Tage %HUHFKQHQYRQ.DSLWDO=HLWXQG=LQVVDW] 'DV.DSLWDOLVWJHVXFKW Z*100 K = bzw. p%*t a Z*100*12 K = bzw. p%*t m Z*100* K = p%* t d 'LH=HLWLVWJHVXFKW ] *100 N * S% ] *100*12 N * S% W [ D] = bzw. W [ P] = bzw. [ D] W = ] *100 * N * S% 'HU=LQVVDW]LVWJHVXFKW ] *100 S% = bzw. N * W [ D] ] *100 *12 S% = bzw. N * W [ P] S% = ] *100* N * W [ G] 5HFKQHQPLWGHPXPGLH=LQVHQYHUPHKUWHQRGHUYHUPLQGHUWHQ.DSLWDO %HUHFKQHQGHVDQJHSDVVWHQ=LQVVDW]HV Normalerweise wird der Zinssatz immer auf ein volles Jahr bezogen. Man kann ihn aber auch jeder anderen Zeitdauer anpassen: H S% * W [ P] S % P = oder %[ G] 12 Jahreszinssatz: z = 6% S% * W S = [ D] 6 a. auf ein halbes Jahr bezogen: S % = = 3% 2 6*5 12 b. auf 5 Monate bezogen: S %[ P] = = 2,5% 6 *147 c. auf 147 Tage bezogen: S %[ G] = = 2,45%

4 .DXIPlQQLVFKHV5HFKQHQ =LQVUHFKQHQ =LQVHQYRPYHUPHKUWHQ.DSLWDO=LQVUHFKQXQJDXI+XQGHUW Will man von einem um die Zinsen vermehrten Kapital das vor einer gegebenen Nutzungsdauer vorhandene Ursprungskapital erfahren, so berechnet man zunächst den angepassten Zinssatz. Anschließend kann dieser angepasste Zinssatz wie ein gewöhnlicher Prozentsatz verwendet werden. N N *100 = ( S% ) N : Ursprungskapital, N : vermehrtes Kapital, S% : angepasster Zinssatz Ein Kaufmann nimmt am 15. August ein Darlehen zu 8% auf. Am 9. April des folgenden Jahres zahlt er einschließlich Zinsen ¼-- zurück. Wie groß war das Darlehen gewesen? 15 August bis 9.April = 234 Tage Bei Tagen ist der Zinssatz 8% bei 234 Tagen ist der Zinssatz x% 8* 234 [ = = 5,2% angepasster Zinssatz. 105,2% sind ¼-- 100% sind ¼[ 8942*100 [ = = ¼8500, Ursprungskapital. 105,2 =LQVHQYRPYHUPLQGHUWHQ.DSLWDO=LQVUHFKQXQJLP+XQGHUW Ebenso verfährt man bei einem um die Zinsen gekürzten Kapital, nur dass der angepasste Zinssatz von 100 abgezogen wird: N N *100 = N : Ursprungskapital, N : vermehrtes Kapital, ( 100 S% ) S% : angepasster Zinssatz Ein Finanzierungsinstitut gewährt am 6. April einem Geschäftsmann ein Darlehen zu 7,5%, rückzahlbar am 31. Dezember. Der Kreditvertrag bestimmt, dass das Darlehen vor der Auszahlung um die Zinsen gekürzt wird. Das Finanzierungsinstitut überweist dem Geschäftsmann daher nur ¼--. Wieviel hat er am 31. Dezember zurückzuzahlen? 6. April bis 31. Dezember = 264 Tage bei Tagen ist der Zinssatz 7,5% bei 264 Tagen ist der Zinssatz x % 15 * 264 [ = = 5,5% angepasster Zinssatz 2 *

5 94,5% sind ¼-- 100% sind ¼[ 1701*100 [ = = ¼1800, Kapital (= rückzahlbarer Betrag). 94,5 'LHNDXIPlQQLVFKH=LQVIRUPHO Müssen für Kredite o.ä. bei gleichem Jahreszinssatz aber unterschiedlichen Laufzeiten die Zinsen berechnet werden, so sind nach den bisherigen Zinsformeln alle Kredite einzeln zu berechnen. Ein Kaufmann erhielt von seiner Bank folgende Darlehen zum Zinssatz von 6%. Berechnen Sie, mit wie viel Zinsen ihn die Bank zum Jahresende (31.12.) belastet! 1860 *305*6 ¼-- am : 305 Tage; ] = = ¼94, * 2340 * 201* 6 ¼-- am : 201 Tage; ] = = ¼78, * 948*75* 6 ¼-- am : 75 Tage; ] = = ¼11, * Zinsen insgesamt: ¼ 184, 79 Mit der Einführung des =LQVWHLOHUV und der =LQV]DKOHQ kann diese Rechnung durch Umwandlung der allgemeinen Zinsformel vereinfacht werden. 'HU=LQVWHLOHU 6 Das Beispiel zeigt, dass der Bruch stets wiederkehrt. Dieser Bruch lässt sich 1 kürzen auf. Bei anderen Zinssätzen lässt sich dieser Bruch ebenfalls kürzen, z.b. 60 bei 4%: 4 1 =. 90 'HUGXUFK. U]XQJGHU=DKOPLWGHP=LQVVDW]HQWVWHKHQGH4XRWLHQWKHL W =LQVWHLOHURGHU=LQVGLYLVRU.DSLWDO * 7DJH 7DJHV]LQVHQ = 100 * =LQVWHLOHU =LQVWHLOHU = =LQVVDW]

6 .DXIPlQQLVFKHV5HFKQHQ =LQVUHFKQHQ 'LH=LQV]DKOHQ Neben dem Zinsteiler enthält der Bruch jetzt noch die veränderlichen Zahlen für Kapital und Tage, die =LQV]DKO:.DSLWDO =LQV]DKO = * 7DJH 100 Damit lässt sich die herkömmliche Zinsformel wie folgt zur NDXIPlQQLVFKHQ =LQVIRUPHO umwandeln: 7DJHV]LQVH Q = =LQV]DKO =LQVWHLOHU $QZHQGXQJGHUNDXIPlQQLVFKHQ=LQVIRUPHOLQGHUVXPPDULVFKHQ =LQVUHFKQXQJ Die oben dargestellte Beispielaufgabe lässt sich mit Hilfe der kaufmännischen Zinsformel wesentlich einfacher gestalten: Der Zinsteiler für alle gewährten Kredite ist gleich, nämlich 60. Lediglich die Zinszahlen für jeden Kredit sind verschieden aufgrund der unterschiedlichen Laufzeiten. Damit ergibt sich der Gesamtzins für alle Kredite aus: *HVDPW]LQV = =LQV]DKO 1 + =LQV]DKO 2 =LQVWHLOHU =LQV]DKO 'LHVHNDXIPlQQLVFKH=LQVIRUPHOJLOWI UPHKUHUH.DSLWDOLHQPLWJOHLFKHP =LQVVDW] Die Lösung der Beispielaufgabe ist somit:.dslwdo DXVJHOLHKHQ =LQVWDJH =LQV]DKOHQ ¼ ¼ ¼ Zinsen insgesamt: = ¼184, $QPHUNXQJ Es gilt folgender Handelsbrauch: Beim Kapital werden Centbeträge nicht berücksichtigt (keine Aufrundung!). 2. Zinszahlen werden stets ganzzahlig angewendet (auf- bzw. ab 0,5 aufrunden).