Finanzwirtschaft. Teil II: Bewertung. Zinssätze und Renten

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1 Zinssätze und Renten 1 Finanzwirtschaft Teil II: Bewertung Zinssätze und Renten

2 Agenda Zinssätze und Renten 2 Effektivzinsen Spot-Zinsen Forward-Zinsen Bewertung Kennziffern Zusammenfassung

3 Zinssätze und Renten 3 Lineare Unterjährige Verzinsung und Effektivzins I Wenn der Zinssatz quotiert ist als 16%, mit halbjährlichen Zahlungen, dann ist der tatsächliche Zins 8% für 6 Monate. Sind 8% über 6 Monate das gleiche wie 16% pro Jahr? Wenn für ein Jahr zu 16% investiert werden, dann haben Sie am Ende des Jahres. Wenn Sie 8% pro Periode für zwei Perioden investieren, dann haben Sie ZW = (1,08) 2 = ,1664 = 1.166,40, oder 6,40 mehr. Die 16% mit halbjährlichen Zahlungen sind der quotierte Zinssatz und nicht der effektive Zins. Der Effektivzins beträgt 16,64%.

4 Zinssätze und Renten 4 Lineare Unterjährige Verzinsung und Effektivzins II Eine Bank verlangt 1% Zinsen pro Monat auf Autokredite. Was ist der Effektivzins? Der Jahreszins ist 1% 12 = 12%. Der Effektivzins ist = (1,01) 12-1 = 1, = 12,6825%

5 Zinssätze und Renten 5 Lineare Unterjährige Verzinsung und Effektivzins III Nehmen wir an r n =5% k Wert von 1 Effektivzins in 1 Jahr 1 (jährlich) 1, ,0000% 2 (halb-jährlich) 1, ,0625% 12 (monatlich) 1, ,1162% 365 (täglich) 1, ,1268% (stündlich) 1, ,1271%

6 Lineare unterjährige Anpassung Zinssätze und Renten 6 Sei r n der Nominalzins und k die Anzahl der unterjährigen Zinsperioden. Unter Annahme, dass sich der Zinssatz in jeder unterjährigen Zeitperiode durch lineare Anpassung des Nominalzinses bezüglich der Länge der Zeitperiode berechnet, ergibt sich hier als Zins für jede der k unterjährigen Zeitperioden. Ein Euro, der heute investiert wird, entspricht dann (1+ ) k Euros in einem Jahr. Dies entspricht einem jährlichen Effektivzins wobei (1+ ) = (1+ ) k oder = (1+ ) k -1

8 Zinsstrukturkurve Zinssätze und Renten 8 Unser Ziel ist die Bewertung risikoloser Zahlungsflüsse. Dazu werden Informationen über Zinssätze und Zinsfaktoren benötigt. Diese Informationen werden durch die Zinsstrukturkurve wiedergegeben. Die Information ist abhängig vom betrachteten Markt in unterschiedlichen Formen verfügbar.

9 Spot (Kassa-) Zinssätze Zinssätze und Renten 9 Definition: Der Spot Zinssatz r t ist die (annualisierte) Rendite am Markt, um einmalige, risikolose Zahlungen zum Zeitpunkt t zu bewerten. Wichtig r t wird nur auf die Zahlungen zum Zeitpunkt t angewandt. r t ist der durchschnittliche Zinssatz zwischen heute und t. r t ist verschieden für verschiedene Zeitpunkte t. Definition: Die Menge der Spot Zinssätze für verschiedene Zeitpunkte (r 1 ; r 2 ; ; r t ; ) ergibt die Zinsstrukturkurve; Diese beschreibt die Verbindung zwischen Spot Zinssätzen und Laufzeiten.

10 Zinssätze und Renten 10 Beispiel: Normale Zinsstrukturkurve Laufzeit 1/12 1/4 1/ Zins r t (%) 3,00 3,10 3,25 3,50 4,00 4,85 5,50 6,20 7,00 7,50 Zinssatz (in %) 8,00 7,00 6,00 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0, Jahre

11 Zinssätze und Renten 11 Beispiel: Inverse Zinsstrukturkurve Laufzeit 1/12 1/4 1/ Zins r t (%) 7,50 7,00 6,20 5,50 4,85 4,00 3,50 3,25 3,10 3,00 8,00 7,00 Zinssatz (in %) 6,00 5,00 4,00 3,00 2,00 1,00 0, Jahre

12 Zinssätze und Renten 12 Wie erhalten wir die Zinsstrukturkurve? Im Markt sind Informationen über den Zeitwert des Geldes in vielfältiger Form gegeben, z.b. Anleihen mit verschiedenen Laufzeiten. Annahme: Eine hinreichend dichte Anzahl von Anleihen wird im Markt gehandelt. Diese Preise geben uns dann hinreichend Informationen, um andere risikolose Zahlungsflüsse zu bewerten.

13 Nullkuponanleihen Zinssätze und Renten 13 Nullkuponanleihen (NKA, im Englischen Zerobonds ) sind die einfachsten Rentenmarktpapiere. Definition: Eine Nullkuponanleihe mit Laufzeit t ist eine Anleihe, die 1 zum Zeitpunkt t zahlt. Wir bezeichnen deren Preis mit B t Alternativ erfolgt die Quotierung in Bruchteilen des Nennwertes.

14 Zinssätze und Renten 14 Nullkuponanleihen (Beispiel) Der aktuelle Preis einer 3-Jahres Nullkuponanleihe sei B 3 = 0,85. Der 3-Jahres Spot Zinssatz ist dann Preise von Nullkuponanleihen geben Informationen über Spot Zinssätze, d.h. anstelle quotierter Zinssätze können wir quotierte Preise von Nullkuponanleihen benutzen.

16 Zinssätze und Renten 16 Forward Zinssätze ( Forward Rates ) t... Forward Zins in einer Periode für 2 Perioden Forward Zins in einer Periode für t-1 Perioden Spot Zins r t Der Forward Zinssatz ist ein heutiger Marktzins für eine Zeitperiode bestimmter Länge, die in der Zukunft beginnt. Dies ist zu unterscheiden vom Spot-Zinssatz: Der Spot- Zinssatz ist ein heutiger Marktzins für eine Zeitperiode bestimmter Länge, die heute beginnt.

17 Zinssätze und Renten 17 Kurzfristiger Forward Zinssatz t... Kurzfristiger Forward Zins in Periode 2 Kurzfristiger Forward Zins in Periode 3 Spot Zins r t Wir bezeichnen kurzfristige (einperiodige) Forward Zinssätze zwischen t-1 und t mit f t

18 Zinssätze und Renten 18 Beispiel zu Zinsänderungen und NKA Nehmen Sie an, die jährlichen Zinssätze für Ihr Bankkonto seien wie folgt: Zinssatz 3% 3% 4% Dann ist der BW von 1 erhalten am Ende von: 2012: 1 / 1,03 = 0, : 1 / (1,03 1,03)= 0, : 1 / (1,03 1,03 1,04) = 0,906 Dies sind die Preise der NKA. Gleichzeitig sind dies die Diskontfaktoren für Barwerte!

19 Zinssätze und Renten 19 Beispiel: Forward Zinssatz Spot Zins r 1 Forward Zins f 2 Spot Zins r 2 Die Spot Zinssätze seien r 1 = 4,0% und r 2 = 4,6%. Wenn Sie 1000 für zwei Jahre investieren, wie viel Geld haben Sie dann in 2 Jahren? Um wie viel wächst Ihr Geld im zweiten Jahr? Die Investition ergibt über 1 Jahr: ,04 = 1.040,00 Die Investition ergibt über 2 Jahre: ,046 2 = 1.094,12 Die darin enthaltene implizite Rendite für das zweite Jahr ist: f 2 = 1.094,12 / 1.040,00 1 = 5,2%

20 Zinssätze und Renten 20 Zinssätze und Nullkuponanleihen Gegeben seien Forward Zinssätze f t und Spot Zinssätze r t-1, r t D.h. Nullkuponanleihen haben den Preis Wir diskontieren 1 vom Zeitpunkt t auf den Zeitpunkt t-1 und erhalten 1/(1+f t ) Diese Zahlung hat heute einen Wert von B t-1 /(1+f t ) Sie hat aber auch den Wert B t Damit muss gelten: B t-1 /(1+f t ) = B t oder

21 Zinssätze und Renten 21 Beispiel: Nullkuponanleihen und Forward Zinssätze I Gegeben seien folgende Preise für NKA: t B t 0,9615 0,9140 0,8614 0,8072 0,7543 Welche Spot und Forward Zinssätze beinhaltet dies? Für das zweite Jahr:

22 Zinssätze und Renten 22 Beispiel: Nullkuponanleihen und Forward Zinssätze II Insgesamt ergibt sich: t B t 0,9615 0,9140 0,8614 0,8072 0,7543 r t 4% 4,6% 5,1% 5,5% 5,8% f t 5,20% 6,11% 6,71% 7,01%

24 Struktur Eine Anleihe zahlt Kupons (K 1 ;K 2 ; ; K T ) und zusätzlich zum Zeitpunkt T den Nennwert N. Zinssätze und Renten T Zeit K K K+N Kupons K: Die versprochenen Zinszahlungen je Periode Laufzeit T: Die Anzahl der Jahre (bisher Perioden) bis der Nennwert zurück gezahlt wird. Nennwert N: Der Betrag, der am Ende der Laufzeit zurück gezahlt wird. K K ZF

25 Zinssätze und Renten 25 Anleihen Wie werden Anleihen bewertet? Eine Anleihe ist ein Portfolio aus Nullkuponanleihen Eine Anleihe besteht aus K t Einheiten einer Nullkuponanleihe, die zum Zeitpunkt t=1,,t ausläuft, N Einheiten einer Nullkuponanleihe, die zum Zeitpunkt T ausläuft. Der Preis der Anleihe muss sein

26 Zinssätze und Renten 26 Warum ist dies der Preis? Wir können die Preise von Anleihen durch das Prinzip der Arbitrage-Freiheit bestimmen. Der Preis einer Anleihe sollte gleich dem eines Portfolios mit gleichen Zahlungsflüssen sein. Der Preis der Anleihe ist dann gleich den Kosten der Erstellung des Portfolios (Summe der Preise der Bestandteile). Viele Preise werden bestimmt, indem ein Portfolio mit gleichen Zahlungsflüssen gebildet wird.

27 Zinssätze und Renten 27 Beispiel einer Anleihebewertung Nehmen Sie an, Preise von Nullkuponanleihen seien wie folgt t B t 0,952 0,898 0,863 0,807 0,757 Betrachten Sie eine Anleihe mit Nennwert 1.000, einer Laufzeit von 5 Jahren und Kuponzahlungen von 50 zu den Zeitpunkten t=1,2,3,4,5. Was sollte der Preis der Anleihe sein? Preis = 50 0, , , ,807 + ( ) 0,757 = 970,85

29 Zinssätze und Renten 29 Kennziffern einer Anleihe Laufender Yield : Der jährliche Kupon geteilt durch den aktuellen Preis der Anleihe. Der Yield-to-Maturity (YTM) (Deutsch: Verfallrendite) einer Anleihe ist der Term y T, für den gilt T K t N Preis t T (1 y ) (1 y t 1 T T ) Kuponrate: Der jährliche Kupon geteilt durch den Nennwert der Anleihe.

30 Illustration des YTM Zinssätze und Renten 30 Zins Zinsstrukturkurve YTM Fristigkeit Beachte: YTM ist für eine bestimmte Anleihe Eine andere Anleihe wird i.d.r. einen anderen YTM haben

31 Zinssätze und Renten 31 Beispiel YTM (Problemstellung) Ein Unternehmen habe Anleihen mit Restlaufzeit von 10 Jahren, Nennwert 1.000, YTM 8% zu aktuellem Preis von 850. Die Anleihen zahlen jährlich mit erster Zahlung in genau einem Jahr. Was ist die Kuponrate der Anleihen?

32 Zinssätze und Renten 32 Beispiel YTM (Auflösung) Einsetzen in die Bewertungsformel für Anleihen: Preis = K [1-1/(1+y T ) t ]/y T + N/(1+y T ) t 850 = K [1-1/(1+0,08) 10 ]/0, /(1,08) = K 6, ,19 K = 57,65 Daher ist die Kuponrate 57,65 / 1.000= 0,05765 = 5,765%. Der laufende Yield ist 57,65 / 850 = 6,7818%

33 Bezeichnungen Zinssätze und Renten 33 Pari: Zu Pari: Preis eines Wertpapiers, der genau dem Nennwert entspricht Unter Pari: Preis eines Wertpapiers, der unter dem Nennwert liegt Über Pari: Preis eines Wertpapiers, der über dem Nennwert liegt Kurs eines Wertpapiers: Preis als Bruchteil des Nennwertes ausgedrückt

34 Zinssätze und Renten 34 Beispiel einer Anleihe zu Pari Eine Postbank Anleihe A Habe einen Nennwert von Die jährlichen Kupons sind 100. Laufzeit ist 20 Jahre. Der Marktzins für ähnliche Anleihen beträgt 10% p.a. Was ist der Preis der Anleihe? Barwert des Nennwertes = [1/1,10 20 ] = ,14864 = 148,64 Barwert der Kuponzahlungen = 100 [1 - (1/1,10 20 )]/0,10 = 100 8,5136 = 851,36 Wert der Anleihe = 148, ,36 = 1.000

35 Zinssätze und Renten 35 Beispiel einer Anleihe unter/über Pari Zwei weitere Postbank Anleihen B, bzw. C mit Nennwert zahlen Kupons i.h.v. 80, bzw Barwerte: Anleihe B = 829,73 Anleihe C = 1170,27 Warum wird Anleihe B unter Pari und Anleihe C über Pari gehandelt?

36 Zinssätze und Renten 36 Anleihepreise und Zinsen Eine Anleihe, deren Kuponrate gleich dem YTM ist, wird zu Pari bewertet. Begründung: Der Kupon K ist gleich der Kuponrate r Kupon multipliziert mit dem Nennwert N Preis N r Kupon YTM 1 1 YTM T 1 YTM T Wenn die Kuponrate r Kupon = YTM, dann vereinfacht sich diese Gleichung zu: Preis N 1 1 T 1 YTM 1 YTM 1 N T N N

37 Inkonsistenzen in YTM I (Beispiel zur Diskontierung YTM vs. Kassazinsen) Kassazinsen r t für einen Zeithorizont t seien t r t 10% 12% 14% Zinssätze und Renten 37 Eine 2-Jahres Anleihe mit einem 8% Kupon und Nennwert 100 hat den Preis 93,4 und damit YTM von 11,9%. Eine 3-Jahres Anleihe mit einem 10% Kupon und Nennwert 100 hat den Preis 91,3 und damit YTM von 13,7%.

38 Inkonsistenzen in YTM II (Beispiel zur Diskontierung YTM vs. Kassazinsen) Preise durch Kassazinsen ausgedrückt: Zinssätze und Renten 38 Zahlungsflüsse zu gleichen Zeitpunkten werden mit dem gleichen Zinssatz diskontiert. Zahlungsflüsse zu verschiedenen Zeitpunkten werden mit verschiedenen Zinssätzen diskontiert.

39 Inkonsistenzen in YTM III (Beispiel zur Diskontierung YTM vs. Kassazinsen) Preise durch YTM ausgedrückt: Zinssätze und Renten 39 Zahlungsflüsse der gleichen Anleihe zu verschiedenen Zeitpunkten werden mit dem gleichen Zinssatz diskontiert. Zahlungsflüsse von verschiedenen Anleihen zu gleichen Zeitpunkten werden mit verschiedenen Zinssätzen diskontiert.

41 Zinssätze Zinssätze und Renten 41 Zinssätze hängen vom Zeithorizont ab. Wichtig: Für Diskontierungen sollte immer (!) der Zinssatz für die entsprechende Laufzeit genommen werden. Spot-Zinsen können aus der heutigen Zinsstrukturkurve abgelesen werden. Für Perioden, die in der Zukunft beginnen, werden Forward-Zinssätze benutzt. Anleihepreise und Marktzinsen bewegen sich in entgegengesetzte Richtungen. Wenn Kupons größer/gleich/kleiner dem Marktzins sind, dann ist der Marktpreis der Anleihe größer/gleich/kleiner dem Nennwert.

42 Anleihebewertung Zinssätze und Renten 42 K = Kupon, der je Periode gezahlt wird r = Kassa-Zinssatz je Periode T = Anzahl der Perioden N = Nennwert B = Preis der Nullkuponanleihe Yield-to-Maturity (YTM) einer Anleihe ist der Term y T, für den gilt