Rentenrechnung 5. unterjhrige Verzinsung mit Zinseszins K n. q m n =K 0. N=m n N= m=anzahl der Zinsperioden n=laufzeit. aa) K 10

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1 Rentenrechnung 5 Kai Schiemenz Finanzmathematik Ihrig/Pflaumer Oldenburg Verlag 50.Am wurde ein Sparkonto von 000 eröffnet. Das Guthaben wird vierteljährlich mit % verzinst. a.wie hoch ist das Guthaben am , wenn aa. alle Gutschriften auf dem Konto bleiben unterjhrige Verzinsung mit Zinseszins K n = K 0 q m n =K 0 q N N=m n N= m=anzahl der Zinsperioden n=laufzeit aa) K 0 = 000, = 488,86Ū

2 ab. an jedem Jahresende 5% des verzinsten Kapitals abgehoben werden? unterjhrige Verzinsung mit Zinseszins mit jhrlicher Ausschttung K n = K 0 q n (Abzinsfaktor) K = 000, 0 4 0,95 K 2 = K, 0 4 0,95 = 000, ,95 2 K 3 = K 2, 0 4 0,95 = 000, , K 0 = K 9, 0 4 0,95 = 000, ,95 0 = 89,44Ū b.nach wie vielen Jahren ist der Kontostand zum ersten Mal geringer als 500 wenn an jedem Jahresende 5 % des verzinsten Kapitals abgehoben werden? K n = K 0 q n (Abzinsfaktor) 500 = 000, 0 4 n 0,95 n = 000 (,0 4 0,95) n Auflsen nach n 2 = (,04 0,95) n ln(2) = 4ln(,0) + ln(0,95) n ln(2) n = 4 ln(,0) + ln(0,95) n = 60,36 n = 6 Jahre 2

3 Effektivzins nach Preisangabenverordnung 50. Ein Kredit über soll in 2 nachschüssigen Monatsraten zu r zurückbezahlt werden. Wie hoch ist der Effektivzins nach PAngV? 5. Ein Kredit über 000 mit einer Laufzeit von 2 Monaten wird gewährt. Wie hoch muß die nachschüssige Monatsrate sein, damit sich der Effektivzins nach PAngV von 20% ergibt? 53. Jemand zahlt alle zwei Jahre nachschüssig auf sein Sparkonto ein, welche jährlich zu 3% verzinst wird. Wie hoch ist der gesparte Beitrag einschließlich Zinseszins am Ende des 0. Jahres? Zweijahresrate wird in Einjahresrate umgerechnet R n = r qn Rentenendwert 2000 = r, , ,03 r =, 03 2 r eingesetzt zur Berechnung des Rentenendwertes R n = r qn 0,03 = 2000, 03 2, 03 0 = 2000, ,03, 03 2 = 294,46Ū 3

4 54. Eine Bevölkerung von 80 Millionen, die aufgrund ihres niedrigen Geburtenniveaus jährlich um % sinkt, wobei der Einfachheit halber diskretes (negatives) Wachstum unterstellt wird, verzeichnet eine Nettozuwanderung von Personen pro Jahr. Die Geburtenraten der Zuwanderer und der einheimischen Bevölkerung seien gleich hoch. Weiter wird unterstellt, dass die Zuwanderung jeweils am Ende eines Jahres erfolgt. a. Wie hoch ist der gesamte Bevölkerungsbestand nach 50 Jahren? P = q P 0 P 2 = q P = P 2 = q 2 P 0 + qr... P n = q n P 0 + q n r qr P n = q n qn P 0 q zinseszinsliche Verzinsung und nachschssiger Rente P 50 = 0, , ,3 = 60,25 (Millionen) 0,99 b. Nach wie viel Jahren hat sich der gesamte Bevölkerungsbestand halbiert? 2 P 0 { Bedingung = q n qn P 23 0 q Abzinsung Re nte 40 = 0,99 n 0,99n ,3 0,99 n = ln0,2 ln 0,99 n = 60,4 (Jahre) 4

5 c. Gegen welche Zahl wird der gesamte Bevölkerungsbestand langfristig streben? P n = q n P 0 qn q lim P n n = r q = 0,3 0,99 = 30 (Millionen) d. Wie hoch müsste der Zuwanderungsstrom jährlich sein, damit die Bevölkerungszahl bei 80 Millionen bleibt? P = 0,99 P 0 80 = 0,99 80 r = 0,8 (Millionen) 5

6 e. Wie hoch müsste der Zuwanderungsstrom jährlich sein, damit die Bevölkerungszahl nach 50 Jahren 70 Millionen beträgt? P n = q n P 0 qn q 70 = 0, r = 0,547 (Milllionen) 0,9950 0,99 Effektivzins nach Preisangabenverordnung 55.Ein Wertpapier, welches 00 kostet, wird nach einem Monat für 0 verkauft. wie hoch ist die Effektivverzinsung nach a. PAngV? b.aibd? 6

7 56.Jemand spart 000 jährlich vorsschüssig 0 Jahre lang. Danach kann aus dem angesammelten Kapital jährlich eine ewige nachschüssige Rente von 000 gezahlt werden. Wie hoch ist der für beide Rentenzahlungen gleich Zinsfuß? Vorschssige Rente (Rentenendwert) R N = r q qn Ewige Rente nachschssig (Barwert) = r q qn nachschssigerente = r { ewig nachschssige Rente r 000q q0 = 000 q =,0683 bzw. p=6,83% 57. Sie wollen alle zwei Jahre einen Preis von (vorschüssig) für außerordentliche Leistungen auf dem Gebiet der Finanzmathematik aussetzen. Welches Kapital müssen Sie bei einem Jahreszinsfuß von 6% bereitstellen? = ( 0000) q n ( 0000), 06 2 ( 0000) = 0000 = 90906,5Ū 7

8 58. Jemand erhält alle 5 Jahre eine Rente in Höhe von Die erste Rentenzahlung fällt in genau drei Jahren an. Berechnen sie den Rentenbarwert dieser Rente, falls diese Zahlung a. 0 mal geleistet werden. Der Zinssatz betrage 5 % p.a. Rentenbarwert = R n (Addieren der Rentenzahlungen) n q = , 05 3, 05 8, = , 05 3, , , Vereinfachung der Rechnung durch Zusammenfassung 9-mal 5-jhrige Rente Nebenrechnung: + q + 5 q q q = + α + α α n (n ) 5 = α n α = n q 5n q 5 q 5n = q 5 5 q 5 = q5 q 5n q 5n q 5 = q 5n q 5n 5 q 5 = 20000, 05 50, 05 3, 05 45, 05 5 = 72850,7Ū 58. Jemand erhält alle 5 Jahre eine Rente in Höhe von Die erste Rentenzahlung fällt in genau drei Jahren an. Berechnen sie den Rentenbarwert dieser Rente, falls diese Zahlung b. ewig geleistet werden. Der Zinssatz betrage 5 % p.a. Ewige Rentenzahlungen lim q 5n n q 5n 5 q 5 = lim q 5n n q 5 q 5n ewige 5-jhrige Rente = 20000, 05 3, 05 5, 05 5 = 79809,89Ū q 5n 5 = q5 q 5 8