Finanzmathematik - Grundlagen

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1 Finanzmathematik - Grundlagen Formelsammlung Zugelassene Formelsammlung zur Klausur im Sommersemester 2005 Marco Paatrifon Institut für Statistik und Mathematische Wirtschaftstheorie

2 Zinsrechnung Symbole Symbol Bezeichnungen Gleichheit K 0 K n n t) Anfangskaital Endkaital ganzzahlige Laufzeit unterjährige Laufzeit in Tagen t Jahr Länge eines Zinsjahres in Tagen f gebrochene Laufzeit f = t) t Jahr m Anzahl Zinserioden ro Jahr x nicht-ganzzahlige Laufzeit Z P eff Zins Prozentzinssatz relativer Periodenzinssatz konformer Periodenzinssatz effektiver Jahreszinssatz i Dezimal-)Zinssatz i = q Aufzinsungsfaktor q = 1 + i ZZ ZD Zinszahl Zinsdivisor Finanzmathematik - Grundlagen 1

3 Zinsrechnung Einfache Verzinsung K n = K 0 + K 0 i n = K n ) K 0 = K n 1 + i n n = 1 ) i Kn 1 = ) K 0 Kn 1 K 0 = ) n Kn 1 K 0 Einfache Verzinsung bei unterjähriger Laufzeit K f = K 0 + K 0 i f Postenmethode und Zinsstaffelrechnung ZZ = K 0 t) ZD = t Jahr Finanzmathematik - Grundlagen 2

4 Zinsrechnung Zinseszinsliche Rechnung K n = K 0 q n K 0 = K n q n q = n Kn K 0 bzw. = n Kn ) 1 K 0 n = ln K n ln K 0 lnq Gemischte Verzinsung K x,t0 = K i ) t i) n 1 + i t Jahr ) t 2 t Jahr Unterjährige Verzinsung [ eff = 1 + ) m ] [ ) m ] 1 = m Unterjährige Verzinsung mit dem konformen Zins ISMA) K f = K eff ) f Stetige Verzinsung eff = e i 1 ) Finanzmathematik - Grundlagen 3

5 Äquivalenzrinzi der Finanzmathematik Äquivalenz zweier Zahlungen A im Zeitunkt m und B im Zeitunkt m A B A q t m = B q t m A q m m = B Zeitwert eines Zahlungsstroms A t ),1,...,n zum Zeitunkt m K m = A t q m t = A t q m q t = q m A t q t = q m A t q t Kaitalwert Barwert) eines Zahlungsstroms A t ),1,...,n K 0 = A t q t = A t q t Endwert eines Zahlungsstroms A t ),1,...,n K n = A t q n t = q n A t q t = q n A t q t = qn K 0 Mittlerer Zinstermin eines Zahlungsstroms A t ),1,...,n m = ) ) ln A t ln A t q t ln q Finanzmathematik - Grundlagen 4

6 Äquivalenzrinzi der Finanzmathematik Kaitalwert eines Zahlungsstroms der Periodenüberschüsse P t ),1,...,n K 0 = P t q t = P t 1 + ) t = E t q t A t q t Interner Zinssatz eines Zahlungsstroms der Periodenüberschüsse P t ),1,...,n 0 = P t q t = P t 1 + ) t Newton-Verfahren 0. Ein Abbruchkriterium ɛ > 0 wird festgelegt. Eine maximale Anzahl i max von Iterationen wird festgelegt. 1. Start: i := 0; Ein Startwert x 0 mit g x 0 ) 0 wird ermittelt 2. Iteration: x i+1 = x i gx i) g x i ) ;i = i Verzweigung: Ist gx i ) < ɛ oder i i max erfüllt, so wird x := x i gesetzt und das Verfahren beendet. Ansonsten weiter bei 2. Finanzmathematik - Grundlagen 5

7 Rentenrechnung Symbol Bezeichnungen Gleichheit r r r e r e n m konstante nachschüssige Rentenrate konstante vorschüssige Rentenrate jährlich nachschüssige Ersatzrentenrate einer nachschüssigen unterjährigen Rentenrate jährlich nachschüssige Ersatzrentenrate einer vorschüssigen unterjährigen Rentenrate Laufzeit der Rente Anzahl der Rentenzahlungen ro Zinseriode Prozentzinssatz i Dezimalzinssatz i = q Zinsfaktor q = 1 + i R 0 R k R n Konformer Prozentzinssatz Barwert der Rente Zeitwert der Rente Endwert der Rente Rentenendwert einer jährlich nachschüssigen Rente r R n = r qn 1 q 1 = r NREF Rentenbarwert einer jährlich nachschüssigen Rente r R 0 = R n q n = r q n 1 q n q 1) = r q n 1 q n+1 q n = r NRBF Finanzmathematik - Grundlagen 6

8 Rentenrechnung Nachschüssige Rente: Auflösung nach der Laufzeit n aus R n : n = ) ln 1 + R n i r ln q aus R 0 : n = ) ln 1 R 0 i r ln q Zusammenhang zwischen nach- und vorschüssigem Rentenbarwertfaktor NRBF q = VRBF 360-Tage-Methode: Konforme jährlich nachschüssige Ersatzrentenrate r e einer nachschüssigen unterjährigen Rentenrate r N [ r e = r N m + i m 1 ] Tage-Methode: Konforme jährlich nachschüssige Ersatzrentenrate r e einer vorschüssigen unterjährigen Rentenrate r V [ r e = r V m + i m + 1 ] 2 ISMA: Konforme jährlich nachschüssige Ersatzrentenrate r e einer nachschüssigen unterjährigen Rentenrate r N r e = r N q 1 q 1 Finanzmathematik - Grundlagen 7

9 Rentenrechnung ISMA: Konforme jährlich nachschüssige Ersatzrentenrate r e einer vorschüssigen unterjährigen Rentenrate r V r e = r V q q 1 q 1 Ewige Rente Nachschüssig: R 0 = r i Vorschüssig: R 0 = r + r i Finanzmathematik - Grundlagen 8

10 Tilgungsrechnung Symbol Bezeichnungen Gleichheit S RS k S k n Kredit Schuldenstand zu Beginn des Jahres k Schuldenstand am Ende des Jahres k Laufzeit der Kredites in Jahren Prozentzinssatz i Dezimalzinssatz i = q Zinsfaktor q = 1 + i i Tilgungssatz der Prozentannuitätentilgung Z k Nachschüssige Zinszahlung für Jahr k Z k = RS k i T k Nachschüssige Tilgungsrate für Jahr k A k Annuität für Jahr k A k = T k + Z k Jährliche Ratentilgung Nachschüssige Tilgungsrate für Jahr k T = S n Schuldenstand zu Beginn des Jahres k RS k = T n k + 1) Annuität für Jahr k A k = S [ ] n 1 + n k + 1) i Finanzmathematik - Grundlagen 9

11 Tilgungsrechnung Jährliche exakte Annuitätentilgung Annuität für Jahr k A k = S qn q 1) q n 1 Nachschüssige Tilgungsrate für Jahr k T k = S qk 1 q 1) q n 1 Nachschüssige Zinszahlung für Jahr k 1 ) Z k = A 1 q n k+1 Schuldenstand zu Beginn des Jahres k RS k = S qn q k 1 q n 1 Prozentannuitätentilgung Annuität für Jahr k k = 1,...,n 1) A = i + i ) S Nachschüssige Tilgungsrate für Jahr k k = 1,...,n 1) T k = S i q k 1 Nachschüssige Zinszahlung für Jahr k k = 1,...,n 1) Z k = i + i ) S i S q k 1 Finanzmathematik - Grundlagen 10