Rentenrechnung und Annuitätentilgung

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1 Rentenrechnung und Annuitätentilgung Wiederholung: Zinseszinsen Es soll ein Kaital K0) von 0 e zu einem jährlichen Zinssatz a ) von 3,5 % angelegt werden Nach einem Jahr kommen zu den 0 e also Zinsen von 0 3,5 e = 0 0,035 e = 35 e hinzu Da diese zu dem angelegten Kaital hinzukommen, hat man also nach dem ersten Jahr K1) = 0 e + 0 0,035 e = 0 0,035) e Nach dem zweiten Jahr kommen hierzu wieder 3,5 % hinzu: K2) = K1) 0,035) e = 0 0,035) 2 e Ganz analog berechnet sich das Kaital nach n Jahren zu Kn) = Kn ) 0,035) e = 0 0,035) n e Verallgemeinerung: Zinseszinsformel Wird ein Anfangskaital K0) zu einem jährlichen Zinssatz von % angelegt, dann lässt sich das Kaital nach n Jahren durch folgende Formel berechnen Kn) = K0) ) n 1) 1 Weise die Richtigkeit der folgenden, umgestellten Formeln nach und erläutere ihre Anwendung Kn) K0) = ) n ) = n Kn) K0) n = ) Kn) log 1+ K0) n = logkn)/k0))/ log /) TI83-Eingabe 2 Ein Betrag in Höhe von 6000 e wurde am zu 4,5 % angelegt Welche Summe steht dem Anleger am zur Verfügung? 3 Ein Vater möchte, dass seinem Sohn am ein Betrag von e ausgezahlt wird Welche Summe muss er am anlegen, wenn er mit einer Verzinsung von 5,5 % rechnet? 4 In wie vielen Jahren verdoelt bzw verdreifacht sich ein Kaital bei einem Zinssatz von 4%? 5 Zu welchem Zinssatz müssen 3325,29 e für 7 Jahre angelegt werden, damit am Ende des 7 Jahres 5000 e zur Verfügung stehen? 6 Ein Betrag in Höhe von 6000 e wurde am zu 4,5 % angelegt Welche Summe steht dem Anleger am zur Verfügung? 7 Ein Guthaben von 3500 e soll in 8 Jahren auf einen Betrag von 5000 e anwachsen Welcher Prozentsatz ist hierzu nötig? 1

2 8 Eine junge Frau hat die Wahl zwischen folgenden Kaitalien: e, Auszahlung sofort, oder e, Auszahlung in 10 Jahren, oder e, Auszahlung in 20 Jahren Welches Kaital ist bezogen auf einen gemeinsamen Stichtag am höchsten, wenn man von einer 6 %igen Verzinsung ausgeht? 9 Der Käufer eines Hauses macht dem Verkäufer 3 alternative Angebote: e sofort oder 000 e sofort und e in 5 Jahren oder 3 Raten in Höhe von je e, und zwar die erste Rate sofort, die zweite Rate nach 3 Jahren und die dritte Rate nach 6 Jahren Welches Angebot ist unter Berücksichtigung einer 6 %igen Verzinsung das günstigste? 10 Ein Sarer legt e für 4 Jahre zu 4,8 % ro Jahr an, wobei die Zinsen halbjährlich zugeschlagen werden a) Welchen Betrag hat der Sarer nach 4 Jahren auf seinem Konto? b) Mit welchem Zinssatz Effektivzinssatz ) hätte der Sarbetrag verzinst werden müssen, um bei jährlichem Zinszuschlag den gleichen Endbetrag zu erreichen? Rentenrechnung 1 In der Finanzmathematik werden jährlich gleich hohe Ein- oder Auszahlungen als Rente bezeichnet Diese Jahresrente unterliegt im Zeitablauf der Verzinsung Was hier Rente genannt wird, ist keine Altersrente oder Rente aus einer Lebensversicherung; bei solchen Renten im versicherungsmathematischen Sinne muss die durchschnittliche Lebenserwartung des Rentennehmers berücksichtigt werden Jemand zahlt jeweils am Ende eines jeden Jahres 0 e auf ein Sarkonto ein Das Guthaben wird mit 4% verzinst Dann ist am Ende des ersten Jahres das Guthaben R1) = 0 e, denn der Betrag wurde erst am Ende des Jahres eingezahlt, so dass keine Zinsen anfallen Am Ende des zweiten Jahres kommen die ersten Zinsen hinzu siehe Formel 1), aber außerdem werden erneut 0 e auf das Konto eingezahlt, und so geht das in den folgenden Jahren weiter: R2) = R1) 0,04) + 0 e = 0 0,04) + 0 e R3) = R2) 0,04) + 0 e = 0 0,04) ,04) + 0 e R4) = R3) 0,04) + 0 e = 0 0,04) ,04) ,04) + 0 e Rn) = Rn ) 0,04) + 0 e Taschenrechnereingabe = 0 0,04) n 0 0,04) n ,04) n ,04) ,04) + 0 e 2) Es gibt zwei Möglichkeiten, die Renten mit dem TI83 zu berechnen Für die einfachere gibt man im normalen Rechen-Fenster zunächst die jährliche Rente ein und bestätigt mit ENTER hier: 0) In der nächsten Zeile sagt man dem Rechner, wie er die Zinsen nach dem zweiten Jahr berechnen soll: Ans und bestätigt mit ENTER Ans übernimmt die Rolle des R1) Die Rente nach dem dritten Jahr berechnete sich ganz genau so, es reicht also, einfach nur ENTER zu drücken Der TI83 wertet dann den letzten eingegebenen Befehl noch einmal aus Diesmal setzt er allerdings automatisch für Ans wieder das zuletzt berechnete Ergebnis ein, dieses entsricht dem R2) Durch weiteres Drücken der ENTER -Taste erhält man die Renten für die kommenden Jahre ohne Rundung; dafür wäre eine leichte Modifikation nötig welche?), deren Anzahl wir allerdings selber zählen müssen 1 Hier werden der Einfachheit halber nur nachschüssige Renten betrachtet 2

3 Die zweite Methode geht über Folgen und hat den Vorzug, dass man sie grahisch darstellen kann und sich das n nicht selber zu merken braucht Außerdem kann man mit den Ergebnissen weiterrechnen Zunächst muss der Taschenrechner in den Folgenmodus umgeschaltet werden Dazu drückt man MODE, geht in die vierte Zeile und stellt dort die Einstellung Seq ein Dann drückt man Y = und kann die gewünschte Folge eingeben Oben wurde gezeigt, wie sich Rn) aus dem jeweils vorangehenden Wert Rn ) berechnen lässt, nämlich Rn) = Rn ) 0,04) + 0 e Dieses kann man jetzt unmittelbar in den TI83 eingeben: Zunächst wird nmin = 1 eingegeben, weil die Zeit-Zählung mit dem ersten Jahr beginnt Dann gibt man die Formel für die Berechnung der Rn) ein, was unserer Formel entsricht: un) = un ) 1, Anschließend ist noch der Startwert einzugeben: unmin) = 0, weil am Ende des ersten Jahres die soeben eingezahlten 0 e noch nicht keine Zinsen ergeben Setzt man dann bei 2nd + WINDOW T blstart = 1 und T bl = 1 sowie die beiden folgenden Werte auf Auto, dann kann man mit 2nd + GRAPH die Werte Rn) ansehen Durch geeignete Einstellungen unter WINDOW kann man die Werte auch zeichnen lassen und den Verlauf des Guthaben-Wachstums anschauen Dazu nmin = 1 und nmax wie gewünscht als maximales n eingeben und auf ZOOM + 0:ZoomFit gehen) Anschließend nicht vergessen, den Taschenrechner wieder in den Funktionsmodus umzuschalten! Vereinfachungen der Formeln Die Formel 2 sieht sehr komliziert aus Zum Glück lässt sie sich erheblich vereinfachen, es gilt nämlich für beliebige reelle Zahlen q die folgende Beziehung: q + q 2 + q 3 + q q n 2 + q n 1 = qn q 3) Klammert man also in Formel 2 die 0, die jährliche Rente, aus, dann erhält man: ) Rn) = 0 0,04) n 0,04) n 2 + 0,04) n ,04) 2 + 0,04) + 1 e Nun kann man die Formel 3 für die große Klammer verwenden und erhält: ) Rn) = 0 0,04) n 0,04) n 2 + 0,04) n ,04) 2 + 0,04) + 1 e } {{ } 1,04 n 1 1,04 1 = 0 1,04n 1,04 e = 0 1,04n e 0,04 Verallgemeinerung: Rentenformel Wird eine jährliche Rente R zu einem jährlichen Zinssatz von % angelegt, dann lässt sich das Kaital nach n Jahren durch folgende Formel berechnen Rn) = R ) n 4) 1 Weise die Richtigkeit der folgenden, umgestellten Formeln nach und erläutere ihre Anwendung Achtet auf Klammern bei der Eingabe in den TI83!) R = Rn) ) n 3

4 n = log 1+ Rn) ) + 1 R n = log/ Rn)/R + 1)/ log /) TI83-Eingabe Eine Auflösung der Gleichung nach gelingt nicht algebraisch In solchem Fall hilft nur ein geschicktes, systematisches Probieren oder eine numerische Lösung mit Hilfe des TI83 Z B kann n 0 = Rn) R ) uminterretiert werden als x n 0 = Rn) R ) x Wenn man dann alle bekannten Größen alle außer ) wie gegeben einsetzt, kann man die letzte Formel unter Y = in den TI83 eingeben, zeichnen lassen und mit Hilfe von 2nd + TRACE + 2:zero die Lösungen) für x, also für bestimmen In der Praxis kommen solche Fälle kaum vor, da die Zinssätze durch äußere Umstände Zinsolitik, Marktlage etc) vorgegeben sind 2 Ein Angestellter zahlt bei einer Rentenanstalt 30 Jahre lang jährlich je 1200 e bei einem Zinssatz von 4 % ein Welcher Betrag steht ihm dann zur Verfügung? 3 Ein Geldbetrag aus einer Erbschaft über e soll dazu verwendet werden, dass aus ihm eine jährliche Rente in Höhe von 7358 e gezahlt werden kann Über welchen Zeitraum ist die Rentenzahlung bei einem Zinssatz von 4 % möglich? 4 Anna möchte zu Beginn der nächsten 5 Jahre jeweils 0 e auf ein Konto einzahlen Der Zinssatz, den sie bekommen kann, beträgt 4 % a) Stelle eine Tabelle auf, aus der sie entnehmen kann, wie sich das Geld entwickelt Die Tabelle sollte folgendermaßen aussehen: Kontostand zu Zinsen am Ende Kontostand am Jahr Jahresbeginn des Jahres Ende des Jahres b) Vergleiche diese Art der Rentenzahlung mit der von uns behandelten und stelle eine Formel für diese vorschüssige Rentenzahlung auf 5 Herr Meier möchte für das Studium seiner Tochter Geld anlegen Dafür soll am eine Summe von e bereitstehen Welchen Betrag muss er jährlich auf ein Konto einzahlen, wenn der Zinssatz 5,5 % beträgt und er die Zahlung am beginnt? 6 Ein Sarer zahlt jährlich am Ende des Jahres) 6000 e auf ein Konto ein Nach 6 Jahren erhöht er die jährliche Zahlung auf 8000 e, die er weitere 5 Jahre einzahlt Berechne den angesarten Betrag nach diesen 11 Jahren, wenn der Zinssatz 4 % beträgt 7 Zahlt man bei einem Zinssatz von 4,25 % 20 Jahre lang einen Betrag von e jährlich auf ein Konto, dann sart man einen bestimmten Betrag an Dasselbe Guthaben kann man ersaren, wenn man gleich einen bestimmten Grundbetrag bei gleichem Zinssatz) verzinst Bestimme diesen Grundbetrag 8 Der Kunde einer Lebensversicherung, der in 6 Jahren eine Versicherungssumme von e erwartet, möchte diese einmalige Zahlung in eine nachschüssige Rente umwandeln, die ab jenem Jahr 20 Jahre lang gezahlt wird Zinssatz 4,5 %) Wie hoch wird die jährliche Rente? 4

5 9 Die rivate Rentenversicherung braucht zur Berechnung der Rentenhöhe die Dauer der Zahlung bei festem Grundkaital z B aus einer Lebensversicherung), aus dem die Rente gezahlt werden soll Wie könnten die Überlegungen der Versicherung aussehen? 10 Stiftungen z B die Nobel-Stiftung) brauchen einen festen Betrag, um daraus jährlich für unbegrenzte Zeit Preisgelder ausschütten zu können Wieviel Geld kann man jährlich aus einem Kaital von e bei einem Zinssatz von 3,2 % ausschütten, und zwar für theoretisch unbegrenzte Dauer? Wo liegen in der Praxis Probleme dieser Betrachtung und wie kann man sie evtl bewältigen? Kaitalaufbau Kaitalbewegungen sind selten so beschaffen, dass sie entweder nur den Gesetzmäßigkeiten der Zinseszinsrechnung oder nur den Gesetzmäßigkeiten der Rentenrechnung folgen In der Realität gehorcht der Auf- und Abbau von Kaitalbeträgen beiden Gesetzmäßigkeiten: Einmalige Zahlungen werden gemäß der Zinseszinsrechnung und gleichbleibende Zahlungen gemäß der Rentenrechnung behandelt Beisiel Ein Sarer zahlt einmalig 5000 e am Anfang eines Jahres auf ein Konto, dessen Guthaben mit 4,5 % verzinst wird, und dann nachschüssig) 8 Jahre lang 0 e Wie hoch ist das Guthaben am Ende des 8 Jahres? Das Guthaben nach 8 Jahren setzt sich aus dem aufgezinsten einmaligen Betrag und dem Rentenendwert zusammen und beträgt K8) = 5000 e 1, e 1,0458 1,045 = 16490, 51 e Verallgemeinerung: Sarkassenformel für den Kaitalaufbau Die Situation im vorangegangenen Beisiel lässt sich nun ganz leicht verallgemeinern, da wir oben die allgemeinen Formeln für Zinseszinsen und Rentenrechnung bereits aufgestellt haben: Wird zu einem Anfangskaital K0) eine jährliche Rente der Höhe R beginnend nach einer Zinseriode hinzugezahlt, so ergibt sich bei einem Zinssatz von % der Kontostand Kn) am Tage der n-ten Rate: Kn) = K0) ) n n + R ) ) 1 Auf einem Sarkonto 10 % a) befindet sich am ein Guthaben von e Der Kontoinhaber zahlt jährlich am e hinzu, insgesamt 12 Raten Wie lautet der Kontostand jeweils am 3112 in den Jahren von 2006 bis 2018? Stelle eine Tabelle wie folgt auf: Kontostand zu Zinsen am Ende Einzahlung am Kontostand am Jahr Jahresbeginn des Jahres Ende des Jahres Ende des Jahres Überrüfe das Ergebnis mit Hilfe der obigen Formel 2 Weise die Richtigkeit der folgenden, umgestellten Formeln nach und erläutere ihre Anwendung Achtet auf Klammern bei der Eingabe in den TI83!) K0) = 1+ Kn) R ) n ) n 1 5

6 ) n R = Kn) K0) 1 + ) n ) ) Kn) + R n = log 1+ K0) + R n = logkn) + R/)/K0) + R/))/ log /) TI83-Eingabe Eine Auflösung der Gleichung nach gelingt wieder nicht algebraisch In solchem Fall hilft nur ein geschicktes, systematisches Probieren oder eine numerische Lösung mit Hilfe des TI83 ähnlich dem Vorgehen bei der Rentenformel 3 Der Vater einer Tochter legt zu 4 % ein Kaital fest, mit dem er das Studium seiner Tochter finanzieren möchte Die Tochter beginnt in 5 Jahren mit ihrem Studium Welches Kaital muss der Vater anlegen, wenn er der Tochter jährlich 00 e auszahlen möchte? 4 Formuliere geeignete Sachkontexte, für deren Bearbeitung man je eine der vorangehenden Formeln heranziehen kann 5 Ein Sarer zahlt durch Dauerauftrag am Jahresanfang einen Betrag von 2000 e auf sein Sarkonto ein, das mit 3,75 % verzinst wird Nach 3 Jahren hebt er am Jahresende 3000 e ab, nach weiteren 2 Jahren zahlt er 5000 e ein Wie hoch ist der Kontostand nach 10 Jahren? 1 Anstatt des Kaitalaufbaus kann man auch den Kaitalabbau betrachten Er geht ganz analog vor sich Eine mögliche Situation ist die folgende: Ein Darlehen von 000 e z B für ein gekauftes Häuschen im Grünen) soll durch am Jahresende zu zahlende Raten auch: Annuitäten ) von 7000 e abbezahlt werden Stelle eine Formel auf, die die Restschuld am Ende des n-ten Jahres angibt Bestimme die Anzahl der Jahre, nach denen das Darlehen abbezahlt ist 2 Stelle wie oben eine allgemeine Formel für den Kaitalabbau auf und modifiziere die umgestellten Formeln geeignet 3 Die höhere Mathematik braucht der normale Mensch in seinem Leben doch niemals Nimm Stellung zu dieser Aussage im Zusammenhang mit dem vorliegenden Text 4 Suche Zeitungsausschnitte, in denen eine Ratenzahlung, ein Leasing-Vertrag oder ein Kreditangebot angeriesen wird und versuche mit Hilfe deiner neu gewonnenen Erkenntnisse die Korrektheit der Aussagen zu rüfen 6