Finanzmathematik. Über Kapital sollte man viel wissen. Besonders über sein eigenes.

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1 1 Finanzmathematik TU Bergakademie Freiberg Fakultät für Mathematik und Informatik Institut für Numerische Mathematik und Optimierung Dr.rer.nat. H. Schreier Sommersemester 2012 Die Finanzmathematik ist ein Gebiet der angewandten Mathematik. Sie stellt das quantitative Instrumentarium für die Bewertung zukünftiger oder vergangener Zahlungsströme und eignet sich damit für die vielfältigen Probleme des Bank- und Kreditwesens. Im Mittelpunkt der Lehrveranstaltung Finanzmathematik steht das Geld in Form des Geldkapitals als Ware. So wie auch bei jeder anderen Ware hat seine Benutzung seinen Preis, die sogenannten Zinsen, die man erhält, wenn man Geld verleiht, oder die man bezahlen muss, wenn man Geld borgt. Neben dem Zinssatz spielt der Faktor Zeit bei allen Berechnungen eine wesentliche Rolle. Die Hauptgebiete der klassischen Finanzmathematik Zinsrechnung, Rentenrechnung, Tilgungsrechnung und Kursrechnung werden in je einem Kapitel vorgestellt. Im Vordergrund sollen aber auch Anwendungsmöglichkeiten stehen. Beispiele dafür sind u.a. die Untersuchung angebotener Sparanlagen, Wertpapiere des Bundes und Kredite hinsichtlich ihrer Effektivverzinsung, sowie die finanzmathematischen Methoden der Investitionsrechnung und der Abschreibung. Die Finanzmathematik weist einen beträchtlichen Formelapparat auf. Für das Verständnis finanzmathematischer Denkweisen ist es notwendig, die Entwicklung der teilweise umfangreichen Formeln nachzuvollziehen und nicht nur rezeptartig mit ihnen umzugehen. Das eigentliche Gerüst der klassischen Finanzmathematik wird aber nur aus einigen wenigen prägnanten Formeln gebildet. Viele praktische Aufgaben sind in Lehrbüchern zur Finanzmathematik zu finden, deren Bearbeitung ratsam ist. Das Spektrum reicht dabei von einfachen Aufgaben, bei denen es genügt, entsprechende Formeln abzurufen, bis hin zur Modellierung von verbal formulierten komplexeren Fragestellungen und deren Lösung. Über den Rahmen der klassichen Finanzmathematik hinaus gehen stochastische Aspekte, die ihren Niederschlag vor allem in der Versicherungsmathematik, aber auch bei der Prognose von Kursen für Aktien, Wertpapiere, Optionen und anderer Derivate finden. Sie sind nicht Gegenstand dieser Lehrveranstaltung. Über Kapital sollte man viel wissen. Besonders über sein eigenes.

2 2 Neu: Prüfungen werden durch die Beschreibung der Module Finanz- und Versicherungsmathematik (9 LP) Finanzmathematik (6 LP) geregelt. Alt: Bedingungen für den Erwerb eines Übungsscheines für den Studiengang Angewandte Mathematik Entweder: oder: oder: Bearbeitung von Belegaufgaben Gespräch zu einem ausgewählten Teilgebiet Teilnahme an einer Klausur Zugelassene Hilfsmittel zu Klausuren Vorlesungs- und Übungsmitschriften gewöhnliche Taschenrechner

3 3 Literaturempfehlung A. Pfeifer: Praktische Finanzmathematik Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt am Main, 2000 J. Tietze: Einführung in die Finanzmathematik Vieweg Verlag, Wiesbaden, 2003 J. Tietze: Übungen zur Finanzmathematik Schriftenreihe Übungen zur Betriebs- und Volkswirtschaftslehre Bd. 3 Alano Verlag, Aachen, 1992 B. Luderer: Starthilfe Finanzmathematik B. G. Teubner GmbH, Stuttgart/Leipzig/Wiesbaden, 2002 E. Kahle, D. Lohse: Grundkurs Finanzmathematik R. Oldenbourg Verlag, München Wien, 1989 H. Köhler: Finanzmathematik Carl Hanser Verlag, München Wien, 1992 K. Bosch: Finanzmathematik R. Oldenbourg Verlag, München Wien, 1991 H. Locarek: Finanzmathematik Lehr- und Übungsbuch R. Oldenbourg Verlag, München Wien, 1991 J. Kober, H.-D. Knöll, U. Rometsch: Finanzmathematische Effektivzinsberechnungsmethoden BI-Wissenschaftsverlag, Mannheim Leipzig Wien Zürich, 1992 C. Sievi: Grundlagen zur Beurteilung von Geldgeschäften GILLARDON Publishing GmbH, Bretten, 1996 E. Kosiol: Finanzmathematik Gabler Verlag, Wiesbaden, 1973 Quellen zur zusätzlichen Information: Die Bank - Zeitschrift Capital - Das Wirtschaftsmagazin DM - Das private Wirtschaftsmagazin FinanzTest - Stiftung Warentest WiSt - Wirtschaftswissenschaftliches Studium Zeitschrift für Ausbildung und Hochschulkontakt

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5 Inhaltsverzeichnis 1 Zinsrechnung Einfache Verzinsung Verzinsung mit Zinseszins Vorschüssige Verzinsung Gemischte Verzinsung Unterjährige und stetige Verzinsung Zinsintensität Äquivalenzprinzip und Effektivverzinsung 19 3 Rentenrechnung Nachschüssige endliche Renten Vorschüssige endliche Renten Ewige Renten Rentendauer Aufgeschobene, abgebrochene und unterbrochene Renten Dynamische Renten Unterjährige Renten- und Zinstermine Tilgungsrechnung Tilgungsformen Ratentilgung Annuitätentilgung Ratenkreditgeschäft Kursrechnung Der Begriff des Kurses Kurs einer gesamtfälligen Schuld Kurs einer Zinsschuld Kurs einer Annuitäten- und Ratenschuld Effektivzinsberechnung für Bundeswertpapiere 49 7 Investitionsrechnung 51 8 Abschreibung 53 5

6 6 INHALTSVERZEICHNIS

7 Kapitel 1 Zinsrechnung Unter Kapital versteht man eine Geldbetrag, der angelegt oder jemand anderem überlassen wird. Der Zins oder Zinsbetrag ist der Preis für die leihweise Überlassung und wirtschaftliche Nutzung eines Kapitals über eine vereinbarte Laufzeit. Die Angabe des Zinssatzes wird dabei auf eine Zeiteinheit, die sogenannte Zinsperiode bezogen. Die Zinsrechnung untersucht die Auswirkung der Zinszahlung auf die Änderung des Kapitals. Dabei muss unterschieden werden, ob anfallende Zinsen mitverzinst werden oder nicht. Wesentlich ist auch, zu welchen Terminen ein Zinszuschlag erfolgt und welche Bezugsgröße zur Zinsbildung herangezogen wird. 1.1 Einfache Verzinsung Definition 1.1 Werden die Zinsen Z für ein Kapital K 0 am Ende einer Zinsperiode oder Laufzeit gezahlt, so spricht man von nachschüssiger oder dekursiver Verzinsung. Wird nichts anderes vereinbart, so soll im folgenden stets unter dem allgemeinen Begriff Verzinsung die nachschüssige Verzinsung vereinbart sein. Definition 1.2 Wird ein Kapital K 0 für eine Laufzeit t zur Verfügung gestellt, so sind bei einfacher Verzinsung die zu zahlenden Zinsen Z proportional zum Kapital K 0 und proportional zur Laufzeit t. Der Proportionalitätsfaktor heißt Zinsfuß p oder Zinssatz i. Dabei gibt p den Betrag an Zinsen an, der für K 0 = 100 zu zahlen ist und i den Betrag, der für K 0 = 1 zu zahlen ist. Bei der im kaufmännischen Bereich üblichen einfachen Verzinsung hat man es definitionsgemäß mit Kapitalüberlassungszeiträumen zu tun, innerhalb derer grundsätzlich kein Zinsverrechnungstermin liegt. Wird nichts anderes vereinbart, dann bezieht sich im folgenden der Zinssatz i immer auf ein Jahr als Zeiteinheit. 7

8 8 KAPITEL 1. ZINSRECHNUNG Satz 1.1 Wird mit K t der Zeitwert des mit Laufzeit t angelegten Kapitals K 0 bezeichnet, so gilt bei einfacher Verzinsung mit Zinsfuß p die Formel K t = K 0 (1 + t p 100 ). (1.1) Die einfache Verzinsung wird in der Praxis selten für Laufzeiten größer als ein Jahr verwendet und deshalb in Abhängigkeit von der Anzahl der Zinstage T und der Jahreslänge in Tagen T Basis angeben. Für die Laufzeit t gilt dann t = T T Basis. (1.2) Die Berechnung der Zinstage und der Basistage hängt von der gewählten Berechnungsmethode ab. Gebräuchlich sind folgende Konventionen (Day Count Convention): A Ein Jahr wird zur rechnerischen Vereinfachung mit 360 Tagen angenommen. Dabei werden für jeden Monat 30 Tagen vereinbart. B Die tatsächliche Laufzeit wird auf 360 Tage bezogen. C Die tatsächliche Laufzeit wird auf 365 Tage bezogen. D Die tatsächliche Laufzeit wird auf die tatsächliche Jahreslänge in Tagen bezogen. Beim Auszählen der Zinstage T wird entweder der erste Tag (Einzahlung von K 0 ) mitgezählt und der letzte Tag nicht oder umgekehrt. Bei Verwendung der lange in Deutschland üblichen Variante A gilt bei einfacher Verzinsung für die in T Tagen anfallenden Zinsen z T = K 0 T 360 K0 T p 100 = p. (1.3) Der Zähler des Doppelbruches heißt Zinszahl, der Nenner Zinsteiler. Beispiel 1.1 Ein Kapital von 5.000,00 e wird vom bis einfach zu 3 % verzinst. Welche Zinsen erhält man in Abhängikeit von der gewählten Konvention? A) 67 Zinstage: 67 Z A = , 03 = 27, B) 66 Zinstage: 66 Z B = , 03 = 27, C) 66 Zinstage: 66 Z C = , 03 = 27, D) entspricht C) (kein Schaltjahr)

9 1.2. VERZINSUNG MIT ZINSESZINS 9 Ein Kapital K 0 werde zum Zeitpunkt 0 bei einfacher Verzinsung mit Zinssatz i angelegt. Die Kapitalwertfunktion K 1 (t) beschreibe den Zeitwert des Kapitals zum Zeitpunkt t. Dann ist K 1 (t) = K 0 (1 + ti), t 0 (1.4) eine lineare Funktion, weshalb man auch von linearer Verzinsung spricht. Schränkt man den Definitionsbereich dieser Kapitalwertfunktion auf die Menge der natürlichen Zahlen ein, dann liegt eine arithmetische Folge vor. Definition 1.3 Ein Kapital B, das in einem Zinsmodell nach einer Laufzeit t bei einem Zinssatz i den Zeitwert K t erzielt, heißt Barwert. Der Barwert ist der augenblickliche Wert einer zu zukünftigen Leistung. Den Vorgang zur Bestimmung eines Barwertes aus einem vorgegebenen Endwert nennt man Abzinsen oder auch Diskontieren. Satz 1.2 Der Barwert B t einer Schuld S, die nach einer Laufzeit t bei einfacher Verzinsung mit Zinssatz i fällig wird, beträgt B t = S 1 + ti. (1.5) Man erhält außerdem aus (1.1) mittels einfacher Umformung die Beziehungen p = 100 t t = 100 p ( K t K 0 1), ( K t K 0 1). (1.6) (1.7) 1.2 Verzinsung mit Zinseszins Definition 1.4 Werden Zinsen nach einem gewissen Zeitraum dem Kapital zugeschlagen und anschließend mitverzinst, so spricht man von Zinseszinsen. Zeitpunkte, zu denen kapitalisiert wird, heißen Zinszuschlagstermine. Der Zeitraum zwischen zwei Zinszuschlagsterminen heißt Zinsperiode. Werden Zinsen jeweils nach einem Jahr dem Kapital zugeschlagen und im folgenden Jahr mitverzinst, wird von jährlicher Verzinsung gesprochen. Bezogen auf den Jahreszinssatz i heißt die Größe q = 1 + i Aufzinsungsfaktor und der Reziprokwert v = 1/q heißt Diskontierungsfaktor. Bei der nachschüssigen oder dekursiven Verzinsung mit Zinseszins beziehen sich die Zinsen auf das Kapital zu Beginn der Zinsperiode und werden am Ende der Zinsperiode dem Kapital hinzugefügt und in den Folgeperioden mitverzinst.

10 10 KAPITEL 1. ZINSRECHNUNG Satz 1.3 Wird ein Kapital K 0 jährlich n Jahre lang nachschüssig mit Zinseszins verzinst, dann gilt für das Endkapital K n die Formel K n = K 0 (1 + i) n = K 0 q n, n = 1, 2,... (1.8) Diese Formel ist auch unter dem Namen Leibnizsche Zinseszinsformel bekannt. Sie beschreibt eine geometrische Folge. Beispiel 1.2 Wie erst kürzlich bekannt wurde, legte August der Starke, Kurfürst von Sachsen, anlässlich seiner Krönung zum König von Polen im Jahre 1697 bei der Dresdner Hofbank 1000 Taler zu 3% p.a. an. Über welches Kapital können seine Erben im Jahr 2008 verfügen, wenn mit gleichbleibenden Zinssatz und einfachen Zinsen bzw. Zinseszinsen gerechnet wird? K lin = 1000 ( , 03) = 9.360, 00 K zz = , = , 88 Formel (1.8) kann auch auf nichtganzzahlige Laufzeiten übetragen werden. Man spricht dann von exponentieller Verzinsung. K 2 (t) = K 0 (1 + i) t, t 0 (1.9) Die Kapitalwertfunktion K 2 (t) beschreibt den Zeitwert des zum Zeitpunkt 0 angelegten Kapitals K 0 zum Zeitpunkt t bei nachschüssiger exponentieller Verzinsung mit Zinssatz i. Satz 1.4 Für 0 < t < 1 gilt K 1 (t) > K 2 (t) und für t > 1 gilt K 1 (t) < K 2 (t). Fragt man nach dem Barwert K 0 eines in n Jahren fälligen Kapitals K n bei Verzinsung mit Zinseszins, dann muss nur Formel (1.8) entsprechend umgestellt werden: K 0 = K n (1 + i) n = K n q n = K nv n (1.10) Definition 1.5 Unter Inflation versteht man die Änderung (meist Anstieg) des allgemeinen Preisniveaus. Die Inflationsrate i infl ist derjenige Prozentsatz, der in einer Volkswirtschaft die Veränderung des allgemeinen Preisniveaus gegenüber dem Vorjahr angibt. Bezeichnet man mit G t den Wert eines Warenkorbes zur Zeit t und mit G t+1 den inflationsbereinigten Geldbetrag ein Jahr später (entspricht erneut dem Wert des Warenkorbes), dann gilt G t+1 = G t (1 + i infl ) (1.11) Damit lassen sich frühere Beträge (hier G t ) in kaufkraftgleiche (inflationsbereinigte) spätere Beträge (hier G t+1 ) umrechnen.

11 1.2. VERZINSUNG MIT ZINSESZINS 11 Satz 1.5 Wird ein Kapital K 0 jährlich n Jahre lang nachschüssig mit Zinseszins mit Zinssatz i nom verzinst und wirkt gleichzeitig die Inflationsrate i infl, dann gilt für die Kaufkraft K n des Kapitals nach n Jahren die Formel K n = K 0 ( 1 + inom 1 + i infl ) n, n = 1, 2,.... (1.12) Beispiel 1.3 WelcheKaufkraft haben 100 e in 10 Jahren bei einer Verzinsung von 3,5% und einer jährlichen Inflation von 1,2%? ( 10 K 10 = 100 1, ,035 = 141, 06 K10 = 100 1,012) = 125, 20 Fragt man bei nachschüssiger Verzinsung mit Zinseszins nach dem jährlichen Zinssatz i, so erhält man durch Umformen von (1.8) die Formel i = n Kn K 0 1. (1.13) Beispiel 1.4 Wie hoch muss ein konstanter Zinssatz sein, wenn aus e heute in 25 Jahren e bei Verzinsung mit Zinseszins werden sollen? i = = 0, p = 6, 65 Für die Laufzeit t, die für die Entstehung eines Kapitals K t aus dem Anfangskapital K 0 bei gegebenen Zinssatz i notwendig ist, gilt t = ln K t ln K 0 ln (1 + i). (1.14) Satz 1.6 Für den Zeitpunkt t vd der Kapitalverdopplung bei nachshüssiger exponentieller Verzinsung gilt bei gegebenen Zinsfuß p die Näherung t vd 70 p. (1.15)

12 12 KAPITEL 1. ZINSRECHNUNG 1.3 Vorschüssige Verzinsung Definition 1.6 Werden die Zinsen aus dem Kapital am Ende der Zinsperiode berechnet und am Anfang der Zinsperiode verrechnet, so spricht man von vorschüssiger oder antizipativer Verzinsung. Für dekursive Zinsen gilt: Endkapital = Anfangskapital + Zinsen vom Anfangskapital Für antizipative Zinsen gilt: Anfangskapital = Endkapital Zinsen vom Endkapital Satz 1.7 Wird ein Kapital K 0 jährlich n Jahre lang vorschüssig mit Zinseszins mit dem Zinssatz 0 < i < 1 verzinst, dann gilt für das Endkapital K n die Formel K n = K 0, n = 1, 2,.... (1.16) (1 i) n Auch hier kann der Bereich der möglichen Laufzeiten erweitert werden. Dann beschreibt die Kapitalwertfunktion K 3 (t) = K 0 (1 i) t, t 0 (1.17) den Zeitwert des zum Zeitpunkt 0 angelegten Kapitals K 0 zum Zeitpunkt t bei vorschüssiger exponentieller Verzinsung mit Zinssatz i. Satz 1.8 Für t > 0 gilt K 2 (t) < K 3 (t). Sind vor- und nachschüssiger Zinssatz bei Verzinsung mit Zinseszins gleich, dann ergibt die vorschüssige Verzinsung ein höheres Endkapital als die nachschüssige Verzinsung. Beispiel 1.5 Jemand hat für 5 Jahre e geliehen und einen festen Zins von 5,5% vereinbart. Wieviel muss der Schuldner mehr zahlen als erwartet, wenn vorschüssig gerechnet wird und er nachschüssige Berechnung für vereinbart hält? K diff = , , 40 = 299, 23 Definition 1.7 Liefern dekursiver und antizipativer Zinssatz bei gleichem Ausgangskapital und gleicher Laufzeit auch gleiche Endwerte, so heißen die Zinssätze zueinander konform.

13 1.3. VORSCHÜSSIGE VERZINSUNG 13 Satz 1.9 Bei Verzinsung mit Zinseszins gelten zwischen dem konformen dekursiven Zinssatz i und dem konformen antizipativen Zinssatz i a folgende Beziehungen: i = i a, i a = i 1 i a 1 + i (1.18) Für konforme Zinssätze gilt i > i a. Für den Barwert eines in n Jahren realisierten Kapitals K n gilt bei vorschüssiger Verzinsung mit Zinseszins mit Zinssatz i die Formel K 0 = K n (1 i) n. (1.19) Die vorschüssige Verzinsung wird oft beim Diskontieren von Wechseln (schuldrechtliches Wertpapier) angewandt. Allerdings wird hier nicht mit Zinseszins, sondern mit einfacher vorschüssiger Verzinsung gerechnet. Man spricht auch vom sogenannten kaufmännischen Diskont oder kurz Bankdiskont. Beim Diskontieren eines zum Zeitpunkt t fälligen Wechsels der Höhe S wird ein durch den Zinssatz i bestimmter Prozentsatz des Wechselbetrages einbehalten und damit ein Barwert realisiert. B t = S t S i = S(1 ti), t 0 (1.20) Finanzmathematisch ist diese Methode der Ermittlung eines Barwertes nur für kurze Laufzeiten sinnvoll. Für t > 1 i gilt stets B t < 0. Satz 1.10 Für kleine Laufzeiten t beträgt der Barwert einer gesamtfälligen Schuld S bei einfacher Verzinsung näherungsweise B t = S 1 + ti S (1 ti) = B t. (1.21) Beispiel 1.6 Ein Kunde bezahlt eine Ware mit einem Wechsel über e mit einem Zahlungsziel von 90 Tagen. Der Besitzer löst den Wechsel sofort bei einer Bank ein. Welchen Betrag erhält er ausgezahlt, wenn die Bank einen Zins von 6% zugrunde legt und die Methode actual/360 anwendet? B 1.200, 00 18, 00 = 1.182, 00 B = 1.182, 27

14 14 KAPITEL 1. ZINSRECHNUNG 1.4 Gemischte Verzinsung Fällt bei jährlich nachschüssigen Zinszuschlag der Beginn oder das Ende der Kapitalüberlassung (oder beides) nicht auf einen Zinszuschlagtermin, dann wird in der Bankpraxis häufig eine End- oder Barwertbestimmung mit Hilfe der gemischten Verzinsung vorgenommen. Definition 1.8 Eine gemischte Verzinsung liegt vor, wenn ein unterjähriger Zeitraum am Anfang einfach verzinst wird, anschließend eine nachschüssige Verzinsung mit Zinseszins erfolgt und ein unterjähriger Zeitraum am Ende wiederum einfach verzinst wird. Mit t sei die größte ganze Zahl kleiner oder gleich t und mit t die kleiste ganze Zahl größer oder gleich t bezeichnet. Satz 1.11 Legt man den Betrag K 0 zum Zeitpunkt t a > 0 an und hebt ihn zum Zeitpunkt t e > t a ab, dann gilt für den Endwert K(t a, t e ) bei gemischter Verzinsung die Formel K(t a, t e ) = K 0 (1 + t 1 i) (1 + i) n (1 + t 2 i) (1.22) mit t 1 = t a t a, t 2 = t e t e und n = t e t a. Für konstante Differenzen t a t e bleibt K(t a, t e ) nicht konstant! Beispiel 1.7 Für Sparbücher mit gesetzlicher Kündigungsfrist werde bei einer Sparkasse 1.4 % Zinsen bei kalenderjährlicher Verzinsung nach der 30/360 Tage-Methode gezahlt. Die Verzinsung beginnt mit dem Tag der Einzahlung. Jemand eröffnet am ein Sparbuch mit 2.000,00 e. Welcher Auszahlung erhält er nach Auflösung des Sparvertrages am ? K Ende = ( , 014) (1 + 0, 014) = 2.018, K Ende , = 2.018, 39 Wird das Kapital K 0 zum Zeitpunkt 0 angelegt und gemischt verzinst, so entsteht zum Zeitpunkt t ein Kapital K 4 (t) mit dem Wert K 4 (t) = K 0 (1 + i) t (1 + (t t ) i), t 0 (1.23) Durch diese Kapitalwertfunktion wird eine gewisse Standardform der gemischten Verzinsung beschrieben, bei der n = t Jahre eine nachschüssige Verzinsung mit Zinseszins und für die restliche Zeit mit einfachem Zins erfolgt. Satz 1.12 Die Kapitalwertfunktion K 4 (t) ist konvex und stückweise linear. Es gilt K 2 (t) K 4 (t) und für alle nichtganzzahligen Zeitpunkte t die echte Ungleichung.

15 1.5. UNTERJÄHRIGE UND STETIGE VERZINSUNG Unterjährige und stetige Verzinsung Definition 1.9 Erfolgt der Zinszuschlag an mehreren Zeitpunkten im Jahr zu jeweils gleichen Zeitabständen, dann spricht man von unterjähriger Verzinsung. Mit m > 1 wird die Anzahl der gleichlangen Zinsperioden bezeichnet. Bei gegebenen nominellen Jahreszinssatz i heißt i m = i/m unterjähriger oder relativer Zinssatz. Satz 1.13 Wird ein Kapital K 0 mit einer Laufzeit von n Jahren unterjährig nachschüssig in m Zinsperioden mit dem relativen Zinssatz i m verzinst, so erhält man das Endkapital K n,m = K 0 ( 1 + i m) mn, n = 1, 2,.... (1.24) Satz 1.14 Die Zahlenfolge {( 1 + i m ) m } m N ist streng monoton wachsend. Aus dem letzten Satz ergeben sich zwei Schlussfolgerungen: - Die unterjährige nachschüssige Verzinsung mit relativen Zinssatz i m ergibt bei gleichem Startkapital K 0 und gleicher Laufzeit n einen höheren Endwert als die jährlich nachschüssige Verzinsung mit dem nominellen Zinssatz i. - Je öfter innerhalb eines Jahres mit dem entsprechenden relativen Zinssatz kapitalisiert wird, um so höher fällt der Endwert aus. Beispiel 1.8 Ein Kapital von e werde nominell zu 8% angelegt. Gesucht ist der Kontenstand nach 5 Jahren bei jährlicher, halbjährlicher, vierteljährlicher, monatlicher und täglicher Verzinsung! K 5,1 = , 81 K 5,2 = , 43 K 5,4 = , 74 K 5,12 = , 57 K 5,360 = , 84 Will man erreichen, dass bei unterjähriger Verzinsung gerade der Kapitalwert erzielt wird, den die jährliche nominelle Verzinsung mit Zinssatz i ergibt, dann muss der relative Zinssatz i m durch den konformen relativen Zinssatz i kon m = m (1 + i) 1 (1.25) ersetzt werden. Definition 1.10 Im Falle unendlich vieler unendlich kleiner Verzinsungszeiträume liegt stetige oder kontinuierliche Verzinsung vor.

16 16 KAPITEL 1. ZINSRECHNUNG Stetige Verzinsung bedeuted, dass in jedem Moment proportional zum augenblicklichen Kapital Zinsen gezahlt werden. Satz 1.15 Wird ein Kapital K 0 mit einer Laufzeit von n Jahren stetig mit nominellen Zinssatz i verzinst, dann erhält man das Endkapital K n = K 0 e in, n = 1, 2,.... (1.26) Für Beispiel 1.8 wäre folgendes zu ergänzen: K 5, = , 47 Die zur stetigen Verzinsung gehörige Kapitalfunktion hat die Gestalt K 5 (t) = K 0 e it, t 0. (1.27) Satz 1.16 Für t > 0 gilt K 2 (t) < K 5 (t) < K 3 (t). Außerdem ist K 1 (t) Tangente an K 5 (t) an der Stelle t = 0. Das Modell der stetigen Verzinsung stellt eine nützliche theoretische Konstruktion dar. Bei der Berechnung des Wertes von Optionen wird sie häufig benutzt. Für die Umrechnung einer nachschüssigen Verzinsung mit Zinseszins mit Zinssatz i in die stetige Verzinsung mit dem niedrigeren konformen Zinssatz i kon gilt i kon = ln (1 + i). (1.28) Sucht man bei der stetigen Verzinsung bei gegebenen Endkapital K t das Startkapital K 0, bzw. den nominellen Zinssatz i, bzw. die Laufzeit t, dann gilt: K 0 = K t e it i = 1 t ln K t K 0 t = 1 i ln K t K 0 (1.29) (1.30) (1.31) Beispiel 1.9 Nach 4 1 Jahren erwartet ein Unternehmer einen Kapitaleingang von e. Gesucht 2 ist der Barwert dieses Betrages bei einer stetigen Verzinsung mit nominellen Jahreszinssatz von 6,5%! K 0 = e 0,065 4,5 = , 15

17 1.6. ZINSINTENSITÄT Zinsintensität Die betrachteten Kapitalwertfunktionen K 1 (t) = K 0 (1 + ti) K 2 (t) = K 0 (1 + i) t K 3 (t) = K 0 (1 i) t K 4 (t) = K 0 (1 + i) t (1 + (t t ) i) K 5 (t) = K 0 e it besitzen einen nichtnegativen Definitionsbereich und einen positiven Wertevorrat. Sie sind stetig und es existieren die rechtsseitigen Ableitungen K,+ j (t), j = 1,..., 5. Definition 1.11 Es sei K(t) eine stückweise differenzierbare Kapitalwertfunktion mit existierender rechtsseitiger Ableitung K,+ (t), die von R + 0 nach R + abbildet. Die Funktion I(t) = (lnk(t)),+ = K,+ (t) K(t) (1.32) heißt Zinsintensität zur Kapitalwertfunktion K(t). Der adäquade Begriff für Zinsintensität ist das sogenannte Wachstumstempo, wie es zur Charakterisierung von ökonomischen Funktionen verwendet wird. Satz 1.17 Für die Zinsintensitäten zu den Kapitalfunktionen K j (t), j = 1,..., 5, gilt I 1 (t) = i 1 + ti, t 0 (1.33) für die einfache Verzinsung, I 2 (t) = ln(1 + i), t 0 (1.34) für die nachschüssige exponentielle Verzinsung, I 3 (t) = ln(1 i), t 0 (1.35) für die vorschüssige exponentielle Verzinsung, I 4 (t) = i 1 + (t t ) i, t 0 (1.36) für die gemischte Verzinsung, I 5 (t) = i, t 0 (1.37) für die stetige Verzinsung.

18 18 KAPITEL 1. ZINSRECHNUNG Die Zinsintensitäten zu den Kapitalwertfunktionen mit exponentiellem Wachstum sind konstant und es gilt I 2 (t) < I 5 (t) < I 3 (t). Die Zinsintensität zur Kapitalwertfunktion der linearen Verzinsung ist eine steng monoton fallende Funktion. Sie besitzt mit der Zinsintensität zur Kapitalwertfunktion der nachschüssigen exponentiellen Verzinsung genau einen Schnittpunkt in der Nähe von t = 1/2. Die Zinsintensität zur Kapitalwertfunktion der gemischten Verzinsung ist eine periodische Funktion. Satz 1.18 Sind die Zinsintensität I(t), t 0, als integrierbare Funktion und das Startkapital K 0 > 0 vorgegeben, dann gilt K(t) = K 0 e t 0 I(τ)dτ, t 0. (1.38)

19 Kapitel 2 Äquivalenzprinzip und Effektivverzinsung Das Äquivalenzprizip ist eines der wichtigsten Begriffe der Finanzmathematik. So verlangt man intuitiv, dass die Leistungen des Schuldners den Leistungen des Gläubigers entsprechen oder der Wert aller Einzahlungen gleich dem Wert aller Auszahlungen ist. Das Äquivalenzprizip ist ein Hilfsmittel zur Durchführung von vergleichenden Berechnungen und stellt die Grundlage der Effektivzinsberechnung dar. Der Effektivzins soll die einem Geschäft tatsächlich zugrunde liegende Verzinsung bei geeignet gewähltem Zinsmodell sein. Es ist gesetzliche Pflicht, ihn bei finanziellen Vereinbarungen auszuweisen. Definition 2.1 Ein Zahlungsstrom ist die Gesamtheit von Zahlungen Z 1, Z 2,..., Z n zu unterschiedlichen Zeitpunkten t 1 < t 2 <... < t n. Mit Zahlungen können Ein- und Auszahlungen gemeint sein. Sie können durch unterschiedliche Vorzeichen markiert werden. Ein Zahlungsstrom mit unterschiedlichen Vorzeichen der Zahlungen kann durch zwei Zahlungsströme mit je gleichen Vorzeichen repräsentiert werden, ein Zahlungsstrom für die Leistungen und ein Zahlungsstrom für die Gegenleistungen. Um Zahlungsströme vergleichen zu können, müssen sie auf einen Bezugszeitpunkt transformiert werden. Der dabei verwendete Zinssatz heißt Kalkulationszinssatz. Wird als Bezugszeitpunkt der Zeitpunkt der letzten auftretenden Zahlung eines Zahlungsstroms, dann ist der Endwert als zukünftiger Wert zu berechnen. Ist der Bezugszeitpunkt die Gegenwart, so ist der Barwert als Gegenwartswert zu ermitteln. Definition 2.2 Zwei Zahlungsströme heißen bezüglich eines festgelegten Zinsmodells äquivalent zum Zeitpunkt t, wenn die beiden Zahlungsströme zum Zeitpunkt t den gleichen Wert aufweisen. Für eine Äquivalenzprüfung muss das Zinsmodell, der Zinssatz und der Vergleichszeitpunkt vorgegeben werden. Für beide Zahlungsströme ist die gleiche Methode anzuwenden. 19

20 20 KAPITEL 2. ÄQUIVALENZPRINZIP UND EFFEKTIVVERZINSUNG Satz 2.1 Bei exponentieller Verzinsung sind zwei Zahlungsströme genau dann äquivalent, wenn sie zu einem beliebigen Bezugszeitpunkt den gleichen Wert aufweisen. Dagegen ist die Äquivalenz zweier Zahlungsströme bei linearer oder gemischter Verzinsung prinzipiell von der Wahl des Vergleichszeitpunktes abhängig. Man kommt hier also nicht ohne eine Konvention zu dem zu verwendeteten Bewertungsstichtag aus. Definition 2.3 Der Effektivzinssatz zweier Zahlungsströme ist derjenige Jahreszinssatz, bei dem die beiden Zahlungsströme zu einem bestimmten Vergleichszeitpunkt bezüglich eines festgelegten Zinsmodells äquivalent sind. Bei Kapitalanlagen wird dieser Zinssatz als Rendite bezeichnet. Der Effektivzinssatz eines Zahlungsstroms mit unterschiedlichen Vorzeichen der Zahlungen ist demzufolge derjenige Jahreszinssatz, bei dem der Wert des Zahlungsstrom zu einem bestimmten Vergleichszeitpunkt bezüglich eines festgelegten Zinsmodells Null ist. Der Effektivzinssatz ist ein Maß für das Gesamtergebnis einer Anlage über einen festgelegten Zeitraum inklusive aller Zinsen, Dividenten, Kursveränderungen, Gebühren, Boni, Abschläge, ect. Wird dabei die persönliche Steuerprogression einbezogen, spricht man von Rendite nach Steuern, anderenfalls von Rendite vor Steuern. Angaben zu Renditen sollen nicht vom genauen Einzahlungszeitpunkt, sondern nur von der Laufzeit abhängen. Es wäre nicht praktikabel, wenn sich die Renditeangabe täglich ändern würde, ohne das sich die Konditionen geändert haben. Die Methoden der Renditeberechnungen unterscheiden sich durch die Art der Lage und Verrechnung der unterjährigen Zeitanteile. Braess/Fangmeyer-Methode Der Vergleichszeitpunkt ist der Zeitpunkt der letzten auftretenden Zahlung. Unterjährige Zahlungen werden werden bis zum Jahresende linear aufgezinst und dann nachschüssig exponentiell verzinst. Der gebrochene Jahresanteil wird an den Anfang der Laufzeit gelegt. Exponetielle Methode (AIBD-Methode oder ISMA-Methode) Es handelt sich bei dieser Methode um eine von der internationalen Rentenhändlervereinigung (Association of international bond dealers) entwickelten Ansatz, nach Umbenennung ISMA (International Securities Market Association). Bei dieser Methode wird auch im unterjährigen Bereich die nachschüssige exponentielle Zinsmethode angewendet. Unterjährige Laufzeiten werden meist auf der Basis actual/actual berechnet. Der Vergleichszeitpunkt ist unwichtig. In der Europäischen Union ist bei Krediten und Darlehen der Effektivzinssatz nach dieser Methode zu beechnen. In Deutschland ist die entsprechenden EU-Richtlinie in der Preisangabenverordnung PAngV (neu) umgesetzt. Dabei besteht ein Jahr aus 365 Tagen, 52 Wochen oder 12 gleichlangen Monaten. Jeder Monat beitzt also 30, 41 6 Tage.

21 Preisangabenverordnung PAngV (alt) Die in Deutschland von 1985 bis 2000 gültige Verordnung war für die Effektivzinsberechnung von Krediten bindend. Wie bei der Methode nach Braess/Fangmeyer wird als Vergleichszeitpunkt der Zeitpunkt der letzten auftretenden Zahlung festgelegt. Für die anzuwendende gemischte Verzinsung wird der gebrochene Jahresanteil allerdings an das Laufzeitende plaziert. Innerhalb des Jahres wird linear nach der 30/360-Tagemethode gerechnet. Satz 2.2 Bei gegebener Laufzeit t, Anfangskapital K 0, Endkapital K t ist der effektive Zinssatz nach PAngV (alt) eine Lösung der Gleichung (1 + i eff ) t (1 + (t t ) i eff ) K t K 0 = 0. (2.1) Nach PAngV (neu), d.h. ISMA gilt 21 i eff = ( Kt K 0 ) 1 t 1. (2.2) Beispiel 2.1 Aus einer Anlage in Höhe von e entsteht nach 18 Monaten ein Betrag über ,68 e. Es ist der Effektivzins nach PAngV (alt) und ISMA zu bestimmen! PAngV (alt) : , 68 = (1 + i eff )( i eff) i eff = 5, 60% PAngV (neu): , 68 = (1 + i eff ) 1,5 i eff = 5, 63% Ein wesentliche Forderung an einen vernünftigen Effektivzins ist nur bei exponentieller Verzinsung gegeben. Dies wird in folgendem Beispiel deutlich. Beispiel 2.2 Eine einmalige Anlage wird für einen Monat nominell mit 6% verzinst. Nach der PAngV (alt) erhält man aus der Bestimmungsgleichung (1 + 1 i 12 eff) = 1, 005 als Effektivzinssatz auch den Wert i eff = 6%. Nach der ISMA-Methode folgt aus dem exponentiellen Ansatz (1 + i eff ) 1 12 = 1, 005 der Effektivzins i eff = 6, 1678%. Wird die Anlage zwölf Mal wiederholt, so wird ein Zinseszinseffekt erreicht, wenn das vorangegangene Endkapital als Ausgangskapital eingesetzt wird. Für jedes einzelne Geschäft ist der Effektivzinssatz nach PAngV (alt) stets 6%. Beim Gesamtgeschäft erhöht er sich wegen 1 + i eff = 1, auf den Wert i eff = 6, 1678%. Für jedes einzelne Geschäft ist der Effektivzins nach ISMA stets 6,1678%. Für das Gesamtgeschäft ändert sich die Bestimmungsgleichung nicht und ergibt sich gleiche Effektivzinssatz wie nach der PAngV (alt), also auch i eff = 6, 1678%. Nur bei der exponentiellen Methode nach ISMA ist der Effektivzins einer Summe von Geschäften mit gleichem Effektivzins auch wieder dieser Effektivzins.