ANHANG A. Matrizen. 1. Die Definition von Matrizen

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1 ANHANG A Matrizen 1 Die Definition von Matrizen Wir haben bereits Vektoren kennen gelernt; solche Paare reeller Zahlen haben wir benutzt, um Punkte in der Ebene zu beschreiben In der Geometrie brauchen wir auch Matrizen Matrizen eignen sich besonders gut, um etwa Drehungen oder Spiegelungen zu beschreiben Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema Zunächst einige Beispiele: BEISPIELE A ist eine 23-Matrix ist eine 22-Matrix ist eine 21-Matrix ist eine 13-Matrix Eine Matrix mit m Zeilen und n Spalten bezeichnen wir als eine mn-matrix Wenn A eine mn-matrix ist, und i 1, 2,, m und j 1, 2,, n, so bezeichnen wir mit Ai, j, Ai, j oder A i, j den Eintrag, der bei A in der i-ten Zeile und j-ten Spalte steht Für A gilt zum Beispiel A 2,1 7 Die Menge aller mn-matrizen kürzen wir mit mn ab Wir müssen noch den Begriff rechteckiges Zahlenschema klären Man kann eine mn-matrix A mit Einträgen ausals Funktion von1, 2,, m1, 2,, n nach definieren Der Eintrag, der in der 2 Zeile und 4 Spalte steht, ist dann der Funktionswert A2, 4 Diese Sichtweise gibt auch recht gut wieder, was eine Implementation des abstrakten Datentyps Matrix können muss Es muss möglich sein, eine FunktionLiefereEintrag zu schreiben, sodassliefereeintrag (A, i, j) den Eintrag von A an der i-ten Zeile und j-ten Spalte, also den Funktionswert Ai, j, zurückgibt 0 Unterlagen zur Vorlesung Algebra von Erhard Aichinger, Peter Mayr Alle Rechte vorbehalten

2 84 A MATRIZEN In Mathematica geben wir die Matrix wie folgt ein In[90]:= A 1,2,3,4,5,6 Out[90]= 1,2,3,4,5,6 In[91]:= MatrixFormA Out[91]= In[92]:= A 5,7,8,2,3,5 Out[92]= 5,7,8,2,3,5 In[93]:= MatrixFormA Out[93]= In[94]:= A21 Out[94]= 2 A Die Addition von Matrizen Zwei Matrizen kann man addieren, wenn sie gleich viele Zeilen und gleich viele Spalten haben Wie man zwei Matrizen von gleichem Format addiert, erklären wir mit folgenden Beispielen AUFGABEN A Wir fassen zusammen, wie diese Addition funktioniert: Zwei Matrizen A mk, B nl lassen sich genau dann addieren, wenn m n und k l gilt, dh wenn die Matrizen von gleichem Format sind Wenn C die Matrix AB ist, dann hat auch C das Format mk, und für alle i 1, 2,, m und j 1, 2, k berechnet man den Eintrag C i, j durch C i, j A i, j B i, j

3 In[95]:= A 1,4,3,0,1,0 In[96]:= B 7,5,0,23,7,16 In[97]:= AB Out[97]= 6,9,3,23,6,16 In[98]:= MatrixForm% Out[98]= DIE MULTIPLIKATION VON MATRIZEN 85 3 Die Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl Eine Matrix A wird mit einer reellen Zahl multipliziert, indem jeder Eintrag mit der Zahl multipliziert wird Wir geben dazu wieder ein Beispiel: AUFGABE A Wir formulieren wieder allgemein, wie man eine reelle Zahl mit einer Matrix A multipliziert Wenn t eine reelle Zahl, und A eine mn-matrix ist, so ist die Matrix C ta ebenfalls eine mn-matrix Die Einträge von C sind dadaurch gegeben, dass für alle i 1, 2,, m, j 1, 2,, n gilt: In[99]:= A 2,5,3,4,10,2 Out[99]= 2,5,3,4,10,2 In[100]:= MatrixForm10 A Out[100]= C i, j t A i, j 4 Die Multiplikation von Matrizen Zwei Matrizen A, B können genau dann miteinander multipliziert werden, wenn A genausoviele Spalten wie B Zeilen hat Eine kl-matrix ist also mit einer mn-matrix multiplizierbar, wenn l m Das Ergebnis dieser Multiplikation ist eine kn-matrix Wir erklären die Matrixmultiplikation zunächst anhand eines Beispiels AUFGABE A

4 86 A MATRIZEN Daher gilt Wenn man eine km-matrix A mit einer mn-matrix B multipliziert, so ist das Produkt C eine kn-matrix Für i 1, 2,, k und j 1, 2,, n ist der Eintrag C i, j das Skalarprodukt aus der i-ten Zeile von A und der j-ten Spalte von B Wir rechnen noch einige Beispiele: AUFGABEN A ist nicht definiert, da die erste Matrix 3 Spalten und die zweite Matrix 2 Zeilen hat, und 2 nicht gleich 3 ist Wenn A eine 23 und B eine 31-Matrix ist, dann ist das Produkt AB eine 21- Matrix Das Produkt BA ist nicht definiert Selbst dann, wenn beide Produkte AB und BA definiert sind, müssen die Ergebnisse nicht gleich sein Dazu rechnen wir folgende Beispiele: AUFGABEN A Das erste Beispiel noch einmal in Mathematica In[101]:= A 3,1,2,2,5,4 B 3,9,3,1,8,5,7,1, In[102]:= MatrixFormAB Out[102]=

5 6 DIE MULTIPLIKATION VON VEKTOREN UND MATRIZEN 87 5 Rechenregeln für die Addition und Multiplikation von Matrizen Wir haben bereits gesehen, dass nicht für alle Matrizen AB BA gelten muss Einige Rechenregeln, die wir vom Rechnen mit Zahlen kennen, gelten aber auch für Matrizen SATZ A7 (Assoziativität der Matrizenmultiplikation) Seien k, l, m, n, und seien A kl, B lm, C mn Dann gilt AB C AB C SATZ A8 (Rechtsdistributivität der Matrizenmultiplikation) Seien k, l, m, und seien A, B kl, C lm Dann gilt AB C A CB C SATZ A9 (Linksdistributivität der Matrizenmultiplikation) Seien k, l, m, und seien A kl, B,C lm Dann gilt AB C ABA C Es ist nicht schwierig, die Assoziativität der Matrizenmultiplikation zu beweisen, wenn A, B, C alle 22-Matrizen sind Man berechnet a b c d e f g h i j k l und a b c d e f g h i j k l, und stellt fest, dass beide Ergebnisse gleich sind Für Matrizen von beliebigem Format braucht man folgende Definition der Matrixmultiplikation: Wenn A eine km-matrix, B eine mn-matrix, und C AB ist, so gilt für alle i 1, 2,, k und alle j 1, 2,, n m Ci, j Ai, rbr, j r 1 6 Die Multiplikation von Vektoren und Matrizen 3 4 Sei v 2 4 und A 1 0 Dann ist der Vektor Av gegeben durch 1 1 Av Das Ergebnis ist ein Vektor im

6 88 A MATRIZEN Die Multiplikation sieht also genauso aus wie die Multiplikation der 32-Matrix mit der 21-Matrix 2 4 Bei der Matrizenmultiplikation ist das Ergebnis 1 1 aber eine 31-Matrix Mit Mathematica wird der Unterschied deutlich: In[103]:= A 3,4,1,0,1,1 v 2,4 x Av Out[103]= 22,2,6 In[104]:= A 3,4,1,0,1,1 v 2,4 x Av Out[104]= 22,2,6 In[105]:= A 3,4,1,0,1,1 v 2,4 x Av Hier liefert Mathematica eine Fehlermeldung Out[105]= 3,4,1,0,1,12,4 Sei v 4, 3, 2 und A 4, 3, Das Ergebnis ist ein Vektor im 2 Dann ist der Vektor va gegeben durch 1232,202 13,18 Die Multiplikation sieht also genauso aus wie die Multiplikation der 13-Matrix mit der 32-Matrix 1 0 Bei der Matrizenmultiplikation ist das Ergebnis aber eine Matrix Wenn man diese Multiplikation Matrix mal Vektor verwendet, lassen sich lineare Gleichungssysteme kürzer anschreiben

7 7 DAS TRANSPONIEREN VON MATRIZEN 89 3 x4 y2 z 1 2 x5 y8 z 2 läßt sich dann als x y 1 2 z schreiben Im allgemeinen erhält man bei m Gleichungen und n Unbekannten die Form Ax b, wobei A eine mn-matrix ist, x ein Vektor im n und b ein Vektor im m Die Funktion LinearSolve[A,b] liefert eine Lösung des linearen Gleichungssystems Ax b Wir lösen zum Beispiel 2 x3 y 5 In[106]:= LinearSolve2,3,5 Out[106]= 5 2,0 Später werden wir sehen, wie man alle Lösungen erhält 7 Das Transponieren von Matrizen Beim Transponieren einer Matrix wird die Matrix an der Hauptdiagonale gespiegelt T Wenn A eine mn-matrix ist, so ist A T eine nm-matrix, und für alle i 1, 2,, n und j 1, 2,, m gilt A T i, j A j, i In[107]:= A 1,4,3,2,5,3 In[108]:= MatrixFormA Out[108]= In[109]:= B TransposeA Out[109]= 1,2,4,5,3,3 In[110]:= MatrixFormB 1 2 Out[110]=

8 90 A MATRIZEN SATZ A10 Haben die Matrizen passendes Format, sodass Addition bzw Multiplikation ausführbar sind, so gilt: (1)AB T B T A T (2)AB T A T B T ÜBUNGSAUFGABEN A11 (1) Berechnen Sie für die Matrix die Matrix B A T A (2) Berechnen SieAB C T für die Matrizen A A , B ,C (3) Finden Sie eine Matrix X, sodaß AX B, wobei A , B (Hinweis: Bestimmen Sie jede Spalte von X durch Lösen eines linearen Gleichungssystems) 8 Die Einheitsmatrizen Die Matrix E n heißt Einheitsmatrix vom Format nn Man sieht leicht, daß für jede mn-matrix A und jede nk-matrix B gilt: AE n A, E n B B Besonders einfach zu lösen sind Gleichungssysteme mit der Einheitsmatrix: Das Gleichungssystem x y 4 2 hat die Lösung x 4, y 2, und daher die Lösungsmenge L 4, 2

9 In[111]:= A 24 IdentityMatrix5 MatrixFormA Out[111]= DAS INVERTIEREN VON MATRIZEN 91 9 Das Invertieren von Matrizen Betrachtet man die Gleichung 5 x 7, so erhält man die Lösung x 7 durch Multiplikation beider Seiten mit 1 (des Inversen von 5) Wir betrachten das Gleichungssystem x y Seien wir nun optimistisch, und stellen wir uns vor, wir haben eine Matrix A a c sodass a b c d b d, Für die Lösungen des Gleichungssystems muss dann auch gelten: A x y A x y A Wie bestimmen wir so eine Matrix A? Wir suchen eine Matrix A a c folgende Eigenschaft besitzt: a b c d Durch Ausmultiplizieren erhalten wir folgendes Gleichungssystem: 2 a5 b 1 3 a5 b 0 2 c5 d 0 3 c5 d 1 b d die

10 92 A MATRIZEN Lösen wir dieses, so erhalten wir a b c d 0, 2 0, 12 0, 2 0, Nun können wir auch die Lösung des ursprünglichen Systems berechnen: x y Somit ist0, 4 der einzige Kandidat für eine Lösung des Systems Da0, 4 auch wirklich Lösung ist, ergibt sich als Lösungsmenge L 0, 4 DEFINITION A12 Sei A eine nn-matrix über A heißt invertierbar, falls es eine nn-matrix B mit AB BA E n gibt SATZ A13 Seien A 1, A 2 invertierbare Matrizen in nn Dann ist auch A 1 A 2 invertierbar Beweis Seien A 1, A 2 nn invertierbar Es gibt daher Matrizen B 1, B 2, sodass A 1 B 1 B 1 A 1 E n und A 2 B 2 B 2 A 2 E n Dann gilta 1 A 2 B 2 B 1 A 1 A 2 B 2 B 1 A 1 E n B 1 A 1 B 1 E n Somit ist A 1 A 2 invertierbar SATZ A14 Sei A eine invertierbare Matrix in nn, und sei B so, dass AB BA E n Sei C eine Matrix mit A C E n Dann gilt B C Beweis Es gilt C E n C BA C BA C BE n B Zu jeder invertierbaren Matrix A gibt es also genau eine Matrix B mit AB E n Diese Matrix B kürzen wir mit A 1 ab DEFINITION A15 Sei A eine nn-matrix A ist regulär genau dann, wenn A invertierbar ist A ist singulär genau dann, wenn A nicht invertierbar ist ÜBUNGSAUFGABEN A16 (1) Zeigen Sie, dass für a, b, c, d mit ad bc die Matrix a c d b invertierbar ist, und dass a c d b 1 1 d b ad bc c a gilt (2) Sei A eine mm- Matrix, für die es ein n mit A n 0 gibt, und sei E die mm-einheitsmatrix Zeigen Sie, dass E A invertierbar ist Hinweis: Denken Sie beim Auffinden der inversen Matrix an 1 1x i 0 x i SATZ A17 Seien A, B nn invertierbare Matrizen Beweis (1) A 1 ist invertierbar, und es gilta 1 1 A (2) A T ist invertierbar, und es gilta T 1 A 1 T (3) AB ist invertierbar, und es giltab 1 B 1 A 1

11 9 DAS INVERTIEREN VON MATRIZEN 93 (1) Es gilt A 1 A AA 1 E n Also ist A 1 invertierbar, und B A ihre inverse Matrix (2) Es gilt AA 1 A 1 A E n Durch Transponieren erhält mana 1 T A T A T A 1 T E n Folglich ist A T invertierbar, und die inverse Matrix zu A T ist A 1 T (3) Es giltabb 1 A 1 E n undb 1 A 1 AB E n Folglich ist AB invertierbar, und die inverse Matrix von AB ist B 1 A 1 Den folgenden Satz werden wir erst später (als Satz??) beweisen: SATZ A18 Sei A nn, und sei B nn so, dass AB E n Dann ist A invertierbar Ausserdem ist dann B die zu A inverse Matrix Wir berechnen jetzt die inverse Matrix von In[112]:= A 1,3,2,4 Out[112]= 2 5,1 5 Also a 04, c 02 LinearSolveA,1,0 In[113]:= A 1,3,2,4 Out[113]= 3 10, 1 10 Also b 03, d 01 LinearSolveA,0, a b c d durch den Ansatz 91 Das Berechnen von A 1 Seien A, B nn sodass AB E n Für die i- te Spalte b i von B und die i-te Spalte e i von E n (dem i-ten Einheitsvektor) gilt dann Ab i e i Zum Bestimmen der Inversen einer nn-matrix A müssen wir also n lineare Gleichungssysteme Ax e i für i 1,, n lösen Weil die linke Seite dieser Gleichungssysteme immer gleich ist, brauchen wir das Eliminationsverfahren nur einmal anzuwenden, wenn wir alle verschiedenen rechten Seiten gleichzeitig behandeln Wie das geht, zeigen wir an folgendem Beispiel:

12 94 A MATRIZEN Sei A Um Vektoren b 1, b 2, b 3 3 zu finden, sodass Ab i e i für i 1, 2, 3, bringen wir die Matrix A durch Zeilenumformungen in Zeilenstaffelnormalform Wir erhalten e 1 e 2 e b 1 b 2 b 3 Jetzt können wir die Lösungen aus der 4, 5 und 6 Spalte ablesen Die Inverse von A existiert, und es gilt A In Mathematica berechnet die Funktion Inverse die inverse Matrix; die Funktion ^(-1) macht leider etwas ganz anderes In[114]:= A 1,3,2,4 B InverseA MatrixFormB

13 2 Out[114]= 5 In[115]:= AB Out[115]= 1,0,0,1 In[116]:= BA Out[116]= 1,0,0,1 In[117]:= Aˆ1 Out[117]= 1, 1 3,1 2,1 4 In[118]:= AAˆ1 Out[118]= 5 2, 5 12,0,5 3 9 DAS INVERTIEREN VON MATRIZEN 95