Eine Kurzanleitung zu Mathematica

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1 MOSES Projekt, GL, Juni 2003 Eine Kurzanleitung zu Mathematica Wir geben im Folgenden eine sehr kurze Einführung in die Möglichkeiten, die das Computer Algebra System Mathematica bietet. Diese Datei selbst ist eine sogenannte Notebook Datei und kann mit Mathematica bearbeitet werden. Fühlt euch aufgefordert dies zu tun, die Beispiele zu variieren und neue Beispiele auszuprobieren, um so einen Zugang zu diesem sehr komplexen Softwarepaket zu bekommen. Symbolische, numerische und graphische Funktionalitäten Mathematica ist ein Softwarepaket mit dem man symbolisch, d. h. ohne Zahlen einzusetzen, rechnen kann. Wollen wir zum Beispiel (a+b)^2 ausmultipliziert haben, so müssen wir Mathematica diesen Ausdruck geben und sagen was damit geschehen soll. Dazu geben wir Expand[(a+b)^2] ein und schliessen die Eingabe mit SHIFT+RETURN ab. Mathematica gibt die Antwort aus. Das sieht dann so aus: In[]:= Expand a b ^2 Out[]= a 2 2 a b b 2 Als mathematische Klammernsymbole sind ausschließlich runde Klammern zu verwenden! Als Klammernsymbole, die ein Argument eines Befehls kennzeichnen sind ausschließlich eckige Klammern zu verwenden! Mathematica kann auch numerisch, d. h. mit Zahlen, rechnen. Diesen Wunsch müssen wir aber extra angeben. Der Befehl N[ausdruck] stellt den Ausdruck ausdruck numerisch dar, falls das möglich ist. Als Beispiel lassen wir die Quadratwurzel von 2 approximativ berechnen (die Eingabe muss wieder mit SHIFT+RETURN abgeschlossen werden): In[2]:= N Sqrt 2 Out[2]=.442 Außerdem ist Mathematica gut geeignet zur grafischen Darstellung. Als Beispiel lassen wir den Graphen der Sinusfunktion zeichnen: In[3]:= Plot Sin x, x, Pi, Pi, AxesLabel "x", "sin" sin x -0.5 Out[3]= Graphics -

2 Definitionen und Gleichungen in Mathematica Gleichheit kommt in Mathematica in mehreren Bedeutungen vor. Die zwei wichtigsten Typen von Gleichheit sind die definitorische Gleichheit und die Gleichheit im Aussagensinne. Definitorische Gleichheit ":=" Diese Gleichheit wird dazu benutzt, die linke Seite durch die rechte Seite zu definieren. Taucht die linke Seite der Definition in einem anderen Ausdruck auf, dann wird sie automatisch durch die rechte Seite ersetzt. Beispiel: In[4]:= Clear a, b, x x : a b; Wir fragen nun nach dem Wert von x^2 (Eingabe mit SHIFT+RETURN abschliessen): In[6]:= x^2 Out[6]= a b 2 Hierbei ist zu beachten, dass bei einer Definition mit ":=" die alten Definitionen nicht vergessen werden, was zu Widersprüchen führen kann. Vor einer Definition mit ":=" sollte also immer, wie oben geschehen, ein entsprechender Clear Befehl stehen. Bemerkung: Als definitorische Gleichheit kann auch das einfache Gleichheitszeichen "=" verwenden. Da hierbei gewisse Vereinfachungen von Mathematica automatisch gemacht werden, ist davon aber eher abzuraten. Die Gleichheit im Aussagensinne "==" Wenn man zwei Ausdrücke mit dem "==" Symbol verbindet, dann fasst Mathematica den entstehenden Ausdruck als Gleichung auf. Läßt sich ihr Wahrheitsgehalt feststellen, dann tut Mathematica dies (andernfalls wird die Gleichung unverändert zurückgegeben). In[7]:= Sin Pi 0 Out[7]= True In[8]:= Sin Out[8]= False Wie man sieht ist Mathematica hierbei ziemlich pingelig... ganz wie es sich für Mathematiker gehört. Eine andere Möglichkeit ist, Mathematica dazu zu veranlassen eine Gleichung nach einer Variablen aufzulösen, z. B.: In[9]:= Clear x Solve x^2 3 x 0, x Out[0]= x 3 2 5, x Die Lösung der quadratischen Gleichung x^2+3*x+==0 wird als eine Liste von Ersetzungsregeln (sog. rules, siehe Handbuch) gegeben.

3 Definition von Funktionen mit Hilfe von Pattern Funktionen definiert man in Mathematica mit Hilfe von Platzhaltern, sogenannten "pattern" (engl. Muster). Diese pattern werden auf der linken Seite der Definition durch einen Bodenstrich gekennzeichnet. (Das Argument einer Funktion steht immer in eckigen Klammern.) Zum Beispiel In[]:= Clear f, x f x_ : x^2; Mathematica weiss nun, dass jedes Vorkommen von f[audruck] durch ausruck^2 zu ersetzen ist, ganz egal, welche Form ausdruck hat. Beispielsweise haben wir: In[3]:= f 2 Out[3]= 4 In[4]:= f knirps Out[4]= knirps 2 Wenn man den Bodenstrich vergißt, dann wird wirklich nur der Ausdruck auf der linken Seite erkannt und entsprechend ersetzt: In[5]:= Clear g Dann haben wir: g x : x^2; In[7]:= g x Out[7]= x 2 Aber g[] wird nicht erkannt: In[8]:= Out[8]= g g Ableitung, Integration und Taylorentwicklung: Wir betrachten wieder die Funktion f : In[9]:= Clear f f x_ : x^2; Ableitung nach x: In[2]:= Out[2]= D f x, x 2 x

4 Integration über x von a nach b: In[22]:= Out[22]= Integrate f x, x, a, b a3 3 b3 3 Taylorentwicklung der Sinusfunktion um 0 bis zur 0 ten Ordnung: In[23]:= Out[23]= Series Sin x, x, 0, 0 x x3 6 x5 20 x x O x Achtung: Mathematica überprüft nicht, ob die Taylorreihe tatsächlich gegen die Funktion konvergiert! Lösen von gewöhnlichen Differenzialgleichungen (DGL) Symolisches Lösen von DGLen Einige einfache Typen von gewöhnlichen Differenzialgleichungen kann Mathematica lösen. Dazu verwendet man den Befehl DSolve. Zum Beispiel: In[24]:= Clear y, t DSolve y t y t, y t, t Out[25]= y t C 2 Cos t C Sin t Wichtig: Die Differenzialgleichung y [t]== y[t] muss mit "==" angegeben werden! Die auftauchenden Konstanten C[] und C[2] müssen aus den Anfangsdaten bestimmt werden. Auch das kann man automatisch erledigen lassen, indem man die Anfangsdaten als zusätzliche Gleichungen angibt: In[26]:= Out[26]= DSolve y t y t, y 0 0, y 0, y t, t y t Sin t Numerisches Lösen von DGLen Manche DGLen können nur numerisch, d. h. approximativ, gelöst werden. In[27]:= DSolve y t Log y t, y 0, y 0, y t, t Solve::tdep : The equations appear to involve transcendental functions of the variables in an essentially non algebraic way. Out[27]= y t Solve K$64 t, y t 3 2 K$64 2 K$64 Log K$64 Dazu benutzt man den Befehl NDSolve:

5 In[28]:= Clear yy, y, t yy t_ y t. NDSolve y t Log y t, y 0, y 0, y t, t, 0, 5 Out[29]= InterpolatingFunction 0., 5., t Die Funktion yy ist jetzt die approximative Lösung der Differenzialgleichung y [x]== Log[y[x]] im Intervall [0,5] zu den Anfangswerten y[0]== und y [0]==. (Wer die obige Syntax genau verstehen will, muss ins Handbuch schauen.) Sie ist eine sogenannte Interpolationsfunktion, deren funktionale Form nicht bekannt ist. Aber man kann ihre Werte ausrechnen lassen. In[30]:= yy Out[30]= Man kann auch ihren Graphen zeichnen lassen. (Beachte, dass die Werte von yy nur im Bereich [0,5] berechnet wurden!) In[3]:= Plot yy t, t, 0, 5, AxesLabel "t", "yy" 20 yy Out[3]= Graphics t Vektor und Matrizenrechnung Vektoren werden in Mathematica als geordnete Listen (in geschweiften Klammern) angegeben, Matrizen als geschachtelte geordnete Listen. Wir definieren den Vektor x und die Matrix M : In[32]:= Clear x, a, b, c, d, M x, 2 ; M a, b, c, d ; Der Befehl MatrixForm ermöglicht es, diese Objekte in der gewohnten Form darzustellen. In[34]:= MatrixForm x MatrixForm M Out[34]//MatrixForm= 2 Out[35]//MatrixForm= a b c d Die Matrixform von x und M ist nur zur Darstellung gut, es kann damit nicht weitergerechnet werden.

6 Natürlich gibt es Befehle um das Matrixprodukt oder die inverse Matrix auszurechnen, nämlich den Befehl Dot, abgekürzt mit einem Punkt, und den Befehl Inverse. In[36]:= MatrixForm M. x Out[36]//MatrixForm= a 2 b c 2 d In[37]:= MatrixForm Inverse M Out[37]//MatrixForm= d b b c a d b c a d c a b c a d b c a d Will man ein lineares Gleichungssytem lösen lassen, dann benutzt man dazu ebenfalls den Befehl Solve. Das Gleichungssystem muss als eine Liste von Gleichungen angegeben werden. In[38]:= Clear x, y Solve x 2 y, 2 x y 2, x, y Out[39]= x, y 0 Übrigens kann man den Befehl Thread benutzen um ein LGS, welches in Matrixform gegeben ist, in eine Liste von Gleichungen zu verwandeln (siehe Handbuch). Wie bekommt man mehr Information über Mathematica? Zum Einen gibt es ein hervorragendes Handbuch, welches sicherlich in den meißten Bibliotheken ausgeliehen werden kann. Außerdem gibt es einen sogenannten "Help Browser" (siehe Menüpunkt "Help") in dem alle Informationen des Handbuchs abgefragt werden können. Kurze Informationen zu den einzelnen Befehlen (oder selbst definierten Funktionen) bekommt man mit dem? Operator. Zum Beispiel: In[40]:=? D D f, x gives the partial derivative of f with respect to x. D f, x, n gives the nth partial derivative of f with respect to x. D f, x, x2,... gives a mixed derivative. In[4]:=? Series Series f, x, x0, n generates a power series expansion for f about the point x x0 to order x x0 ^n. Series f, x, x0, nx, y, y0, ny successively finds series expansions with respect to y, then x. In[42]:=? f Global f f x_ : x^2