lineare-algeba.wxmx 1 / 7 Mathematik in wxmaxima Haftendorn Dez 2010

Transkript

1 lineare-algeba.wxmx / Lineare Algebra Mathematik in wxmaxima Haftendorn Dez. Handling Achtung: Durch Anklicken der linken Zellmarkierung kann man die Abschnitte und auch einzelne Zellen aufklappen und auch wieder zuklappen. Endung *.wxmx ist komfortabel. Ist die Endung *.wxm muss man erst noch alle Ausgaben neu erzeugen. Mit Strg r werden alle aufgeklappten Z Zum Lernen ist es besser die Zellen einzeln (mit Shift+Enter) auszuwerten. Werte einzelne Zellen aus mit Shift-Enter. Auswertung in einem Rutsch: Falte alle Abschnitte auf, werte alle Zellen mit Strg r aus ( auch Menu Cell Alle Zellen auswerten). wxmaxima ist über Maxima und Macsyma ein Lisp-Abkömmling. Die Sprache Lisp ist Listenorientiert. Daher spielt auch bei wxmaxima das Listenkonzept eine große Rolle.. Inhalt Matrizen und Vektoren. Definition von Matrizen. Verändern von Matrizen.3 Rechnen mit Matrizen Lineare Gleichungssysteme. Betrachung der Koeffizientenmatrix. Gleichungen, bei denen die Varablen genannt werden.3 Gleichungen, bei deren Lösung Variable belegt werden. Lineare Gleichungen mit Matrizen lösen.5 Automatisches Aufstellen des Gleichungssystems 3 Affine Abbildungen Matrizen und Vektoren. Definition von Matrizen Direkte Eingabe zeilenweise in Listen: (%i) cc:matrix([,,3,],[5,,,],[x,b,c,d]); bb:matrix([,],[-,],[3,-]); 3 (%o) (%o) 5 x - 3 b - c d der Doppelpunkt ist in Maxima das Zuweisungszeichen

2 lineare-algeba.wxmx / Interaktive Eingabe, Achtung: nach jeder Zeile shift+enter Erst /* und */ löschen, eigefügt, damit automatische Auswertung klappt (%i) /* aa:entermatrix(,3) */; (%o) (%i) aa:matrix([,,-],[-3,-,]); (%o) - Wenn man sich bei dieser Methode verschrieben hat, markiert man die Ausgabe, kopiert sie mit strg c. Verändern von Matrizen Anfügen einer Zeile (%i5) aaa:addrow(aa,[,-,]); (%o5) - - (%i) bv:transpose(matrix([,-,])); (%o) - transpose sorgt für die Spaltenform (%i) aae:addcol(aaa,[,-,]); (%o) Mit addcol kann man aber auch eine einfache Liste als Spalte anfügen, bv hätte man auch schreiben können statt [,-,]. So erhält man also die erweiterte Matrix.3 Rechnen mit Matrizen (%i) aaa.bb; (%o) 3 -

3 lineare-algeba.wxmx 3 / Achtung, Multiplikation mit Punkt statt mit dem mal-* Transponieren einer Matrix (%i) bbt:transpose(bb); (%o) (%i) aa+5*aa; (%o) Anfügen einer Zeile (%i) bbb:addrow(bbt,[,-,-3]); (%o) Addition, Subtraktion (%i) [aaa+bbb,aaa-bbb]; (%o) [ 5 -, ] Wie erwartet komponentenweise, in einer Zeile notiert zum Platzsparen. Gleichungssysteme. Betrachtung der Koeffizienzenmatix Beispiel das auch am TI Nspire vewendet ist Fassen wir aae als lineares Gleichungssystem auf. Drei Variabe, drei Gleichungen mit rechter Seite. (%i3) aae; (%o3) (%i) triangularize(aae); (%o) 3

4 lineare-algeba.wxmx / (%i5) echelon(aae); (%o5) Dieser Befehl entspricht ref(m) beim TI Nspire. (%i) rank(aae); (%o) 3 Dieses kann man dann entsprechend deuten.. Gleichungen, bei denen die Varablen genannt werden (%i) g:*r+*s-*t=; g:-3*r-*s+*t=-; g3:-*s+*t=; (%o) t+ s+ r= (%o) t- s-3 r=- (%o) t- s= Den nachfolgenden Eintrag erhält man interaktiv mit dem Menü Gleichunegen->löse lineares System. Man trägt dann g, g und g3 ein, bei Variablen trägt man r,s,t ein, mit Kommata getrennt. (%i3) linsolve([g, g, g3], [r,s,t]); (%o3) [r =,s=,t=] (%i) linsolve([g,g,g3],[r,s,t]); (%o) [r =,s=,t=] (%i5) [r,s,t]; (%o5) [r,s,t ] Hier werden die Ergebnisse nur angezeigt..3 Gleichungen, bei deren Lösung Variable belegt werden (%i) globalsolve:true$ (%i) linsolve([g,g,g3],[r,s,t]); (%o) [r :,s :,t :]

5 lineare-algeba.wxmx 5 / (%i) [r,s,t]; (%o) [,,] Nun sind r,s und t belegt und nicht mehr frei. (%i) [g, g,g3]; (%o) [ t+ s+ r=, t- s-3 r=-, t- s=] (%i3) linsolve([g,g,g3],[r,s,t]); Unacceptable variable to `solve': -- an error. To debug this try: debugmode(true); Man kann das Gls nicht mehr lösen. Darum stelle ich leber wieder die Globale Option zurück auf den voreingestellten Wert false (%i3) globalsolve:false$ (%i) remvalue(r,s,t)$ [r,s,t]; (%o) [r,s,t ] Die Variablen sollen wieder freigegeben werden. Lineare Gleichungen mit Matrizen lösen (%i3) xv:transpose(matrix([xx,yy,zz])); (%o3) xx yy zz (%i33) aaa; (%o33) - - Wenn die Koeefizientenmatrix ein Inverses hat, dann ist die Lösung ds Sytem aaa.xv=bv zu haben: (%i3) ainv:invert(aaa); (%o3)

6 lineare-algeba.wxmx / (%i35) xv=ainv.bv; (%o35) xx yy zz = (%i3) xv[,]; (%o3) xx Hier finden keine Zuweisungen statt.5 Automatisches Aufstellen des Gleichungssystems (%i) angl:3 /*Anzahl der Glaichungen*/$ (%i) glsli:makelist((aaa.xv) [i,]=bv[i,],i,,angl); (%o) [ zz + yy + xx =, zz - yy xx = -, zz - yy = ] (%i) linsolve(glsli,[xx,yy,zz]); (%o) [xx =,yy =,zz = ] (%i3) solve(glsli,[xx,yy,zz]); (%o3) [[xx =,yy =,zz = ]] 3 Affine Abbildungen, rechnerisch (%i) aaa; (%o) - - (%i) tx:$ ty:$ tz:-$ (%i) tv:transpose(matrix([tx,ty,tz])); (%o) - (%i5) f(xv):=aaa.xv+tv; (%o5) f( xv ):=aaa. xv + tv

7 lineare-algeba.wxmx / (%i) f(xv); zz + yy + xx + (%o) zz - yy xx + zz - yy - (%i) aaa.aaa; 3 - (%o) 35 3 (%i) aaa; (%o) - - (%i) tvm(tv):=addcol(tv,tv,tv); (%o) tvm( tv ):= addcol( tv,tv,tv ) (%i) fm(xv):=aaa.xv+tvm(tv); (%o) fm( xv ):=aaa. xv + tvm( tv ) (%i) fm(aaa); 3 - (%o) 3 35