8.2 Invertierbare Matrizen

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1 Invertierbare Matrizen Die Division ist als Umkehroperation der Multiplikation definiert. Das heisst, für reelle Zahlen a 0 und b gilt b = a genau dann, wenn a b =. Übertragen wir dies von den reellen Zahlen a 0, b auf quadratische Matrizen A 0, B, dann müssen wir feststellen, dass es nicht zu jeder quadratischen Matrix A 0 eine quadratische Matrix B mit AB = E gibt (nach der 3. Eigenschaft, Seite 36, übernimmt ja die Einheitsmatrix E die Rolle der ). ( ) Gesucht sind reelle Zahlen a,b,c,d, so dass die Matrix ( ) a b B = c d die Gleichung AB = E erfüllt. Für diese Matrix A gibt es also keine 2 2-Matrix B mit AB = E (analog auch keine Matrix B mit B E). Definition Sei A eine quadratische Matrix. Gibt es eine Matrix A mit AA = A E so heisst A invertierbar und die Matrix A nennt man Inverse von A (sie ist eindeutig bestimmt durch A). Invertierbar ist die Matrix ( ) mit A = ( ) Für die Inverse einer invertierbaren 2 2-Matrix gibt es eine einfache Formel. Satz 8. Die Matrix ( ) a b c d ist invertierbar genau dann, wenn ad bc 0. In diesem Fall gilt ( ) A d b =. ad bc c a

2 39 Sind die Matrizen invertierbar? ( ) und B = ( ) Bevor wir weitere e von Inversen betrachten, kehren wir nochmals zur Eigenschaft zurück, dass Matrizen im Allgemeinen nicht gekürzt werden dürfen. Es gilt nun nämlich das Folgende. Kürzungsregel: Für Matrizen A, B, C gilt: AB = AC und A invertierbar = B = C Diese Kürzungsregel gilt, da die Gleichung AB = AC von links mit A multipliziert werden kann: Weiter gelten die folgenden zwei Eigenschaften für invertierbare Matrizen. Satz 8.2 Seien A und B zwei invertierbare Matrizen. Dann gilt () (A ) = A (2) (AB) = B A Warum wird bei der Eigenschaft (2) die Reihenfolge der Matrizen vertauscht? Nun, sei C die Inverse von AB. Dann gilt E = C(AB). Multiplizieren wir diese Gleichung von rechts mit B, dann erhalten wir wegen BB = E B = EB = C(AB)B = CA(BB ) = CAE = CA. Nun multiplizieren wir diese Gleichung von rechts mit A und finden B A = CAA = CE = C.

3 40 Bestimmung der Inversen Um die Inverse einer Matrix von beliebiger Grösse zu bestimmen, kann der Gaußsche Algorithmus (in leicht veränderter Form) benutzt werden. Wie dies funktioniert, soll an einem erklärt werden. Gegeben ist die 3 3-Matrix Gesucht ist x u v A = x 2 u 2 v 2 x 3 u 3 v 3 mitaa = E (fallsainvertierbarist). WennwirdieMatrixmultiplikation AA ausführen, erhalten wir aus der Matrixgleichung AA = E das folgende lineare Gleichungssystem: 4x + 5x 3 = x 2 6x 3 = 0 3x + 4x 3 = 0 4u + 5u 3 = 0 u 2 6u 3 = 3u + 4u 3 = 0 4v + 5v 3 = 0 v 2 6v 3 = 0 3v + 4v 3 = Dies sind 9 Gleichungen in den 9 Unbekannten, doch die Gleichungen 3, 4 6 und 7 9 unterscheiden sich nur durch die Zahlen auf der rechten Seite. Wir haben also drei lineare Gleichungssysteme, die wir gleichzeitig mit Hilfe des Gauß-Algorithmus lösen können! Wir schreiben dazu die erweiterte Matrix der ersten drei Gleichungen hin und dahinter hängen wir die rechten Seiten der Gleichungen 4 6 und 7 9 an: = (A E) Nun führen wir den Gauß-Algorithmus durch, und zwar bis wir die Matrix A auf die reduzierte Zeilenstufenform gebracht haben, welches die Einheitsmatrix E ist, falls A invertierbar ist. Wir starten also mit (A E), führen elementare Zeilenumformungen durch (eine Zeile besteht hier aus 6 Einträgen), bis wir die Form (E B) erreichen. Die Matrix B ist dann die gesuchte Inverse A = B!

4 4 (A E) = Wir erhalten also die Inverse A = Bei diesem Verfahren muss man von einer gegebenen Matrix A nicht im Voraus wissen, ob sie invertierbar ist oder nicht. Ist A invertierbar, dann führt das eben beschriebene Vorgehen automatisch zur Inversen. Ist A jedoch nicht invertierbar, dann ist die reduzierte Zeilenstufenform von A nicht die Einheitsmatrix E; das heisst, es ist nicht möglich, durch Zeilenumformungen zur Matrix E zu gelangen. Gegeben ist die Matrix ( )

5 42 Dann gilt (A E) = ( ) ( 2 z = 4 z ) ( 2 z 2 =z 2 2z Die Zeilenstufenform der Matrix A hat eine Nullzeile. Die reduzierte Zeilenstufenform von A kann also nicht E sein. Das heisst, dass A nicht invertierbar ist. Man kann dies auch mit Hilfe des Ranges ausdrücken. Satz 8.3 Sei A eine n n-matrix. Dann gilt ) A ist invertierbar rg(a) = n 8.3 Potenzen einer Matrix und die Transponierte Für eine quadratische Matrix A definiert man A 0 = E und A n = AA A }{{} n Faktoren für n. Ist A ausserdem invertierbar, so ist A n = (A ) n = A } A A {{}. n Faktoren Es gelten die üblichen Potenzgesetze, das heisst für ganze Zahlen r und s gilt gilt Für eine Diagonalmatrix Insbesondere ist A r A s = A r+s und (A r ) s = A rs. d 0 D =... 0 d n d r 0 D r =... für r in Z. 0 d r n D = d d n Mit Diagonalmatrizen lässt es sich also sehr leicht rechnen. Wir werden im nächsten Semester sehen, wie man quadratische Matrizen diagonalisiert..

6 43 Sei weiter A eine m n-matrix, a a 2 a n a 2 a 22 a 2n.... a m a m2 a mn Dann ist die Transponierte A T von A die n m-matrix a a 2 a m a 2 a 22 a m2 A T = a n a 2n a mn, das heisst, die Zeilen werden mit den Spalten vertauscht. e ( ) 0 3, B = = A T = 0 5, B T = 3 ( ) 3, C = ( ) 2, C T = ( 0 2 ) 3 6 Man nennt eine (quadratische) Matrix A symmetrisch, wenn gilt A T = A. e Symmetrisch sind ( ) und B = Satz 8.4 Für Matrizen entsprechender Grössen gilt: () (A T ) T = A (2) (A+B) T = A T +B T (3) (AB) T = B T A T (4) Ist A invertierbar, so auch A T und (A T ) = (A ) T.

7 Determinanten Die Determinante ordnet jeder n n-matrix A eine bestimmte reelle Zahl zu. Man bezeichnet sie mit det(a). Erledigen wir als erstes den Spezialfall n = : Eine -Matrix A besteht nur aus einem Eintrag a, das heisst, (a) und es gilt det(a) = a. n = 2 ( a a 2 a 2 a 22 ) det(a) = a a 22 a 2 a 2 Diesen Ausdruck haben wir schon bei der Inversen von A angetroffen (Satz 8.). Das heisst, die Matrix A ist invertierbar, genau dann wenn det(a) 0. n = 3 a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 det(a) = a a 22 a 33 +a 2 a 23 a 3 +a 3 a 2 a 32 a 3 a 22 a 3 a a 23 a 32 a 2 a 2 a n 2 a a 2... a n a 2 a a 2n a n a n2... a nn Für allgemeines n 2 kann det(a) rekursiv definiert werden. Sei A ij diejenige (n ) (n )-Matrix, die man aus A durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte erhält. Entwicklung nach der ersten Zeile: det(a) = a det(a ) a 2 det(a 2 )+ +( ) n+ a n det(a n )

8 45 Die Determinante kann nach einer beliebigen Zeile oder Spalte entwickelt werden. Entwicklung nach der i-ten Zeile: det(a) = Entwicklung nach der j-ten Spalte: n ( ) i+j a ij det(a ij ) j= det(a) = n ( ) i+j a ij det(a ij ) i= Die reelle Zahl ( ) i+j det(a ij ) heisst Kofaktor von a ij. Das Vorzeichen ( ) i+j des Kofaktors kann sich mit Hilfe des folgenden Schemas gemerkt werden: e. Entwickeln wir eine 3 3-Matrix nach der ersten Zeile, so erhalten wir die obige Definition: a a 2 a 3 ) ( ) ( ) det a 2 a 22 a 23 a22 a = a det( 23 a2 a a a a 3 a 32 a 32 a 2 det 23 a2 a +a 33 a 3 a 3 det a 3 a = a a 22 a 33 a a 23 a 32 a 2 a 2 a 33 +a 2 a 23 a 3 2. Sei +a 3 a 2 a 32 a 3 a 22 a Da die letzte Spalte zwei Nullen enthält, entwickeln wir nach dieser Spalte und erhalten 3. Sei Entwicklung nach der ersten Spalte ergibt B =

9 46 Satz 8.5 Seien A und B zwei n n-matrizen. Dann gilt (a) det(ab) = det(a) det(b) (b) A invertierbar det(a) 0 (c) det(a ) = det(a), falls A invertierbar ist (d) det(a T ) = det(a) Beim Berechnen von Determinanten sind weiter die folgenden Regeln nützlich:. Vertauscht man in einer Matrix zwei Zeilen(oder zwei Spalten), so ändert die Determinante das Vorzeichen. 2. Sind zwei Zeilen (oder zwei Spalten) einer Matrix gleich, so ist die Determinante gleich Multipliziert man eine Zeile (oder Spalte) einer Matrix mit einer reellen Zahl λ, so multipliziert sich auch die Determinante mit λ. 4. Addiert man in einer Matrix ein Vielfaches einer Zeile (oder Spalte) zu einer anderen, so ändert sich die Determinante nicht. 5. Es gilt a a 2 a n a 0 0 det 0 a = det. a 2 a = a a 22 a nn. 0 0 a nn a n a nn DieRegeln, 3und4zeigen uns,wiesichdiedeterminanteeinermatrixbeieinerelementaren Zeilenumformung verändert. Zur Berechnung der Determinante können wir also elementare Zeilenumformungen durchführen (wie beim Gauß-Algorithmus), um eine obere oder untere Dreiecksmatrix zu erhalten. Mit der Regel 5 ist dann die Berechnung der Determinante einfach. 0 3 det = 2

10 47 Die Determinante hat eine geometrische Bedeutung. Satz 8.6 Sei A eine n n-matrix. Dann ist det(a) gleich dem Volumen des von den Spaltenvektoren von A aufgespannten Parallelepipeds. Welchen Flächeninhalt hat das Parallelogramm in R 2 aufgespannt von den Vektoren u = ( 3 ) und v = ( 2 4 )? Schliesslich bleibt noch zu erwähnen, dass die Determinante einer n n-matrix mit Hilfe von Permutationen, das heisst, bijektiven Abbildungen σ : {,2,...,n} {,2,...,n}, definiert werden kann. Die Determinante ist damit eine Summe von n! Summanden (man summiert über alle Permutationen σ). Diese Definition hat aber nur einen theoretischen Nutzen. Deshalb verzichten wir hier auf die genaue Definition. 8.5 Zwei weitere Lösungsmethoden für lineare Gleichungssysteme Wir betrachten noch einmal ein lineares Gleichungssystem a x + +a n x n = b a 2 x + +a 2n x n = b 2. (G) a m x + +a mn x n = b m Seien a a 2 a n x b a 2 a 22 a 2n..., x = x 2. in Rn, b 2 b =. in Rm. a m a m2 a mn x n b m Dann können wir das System (G) schreiben als Lösung mit Hilfe der Inversen A x = b. Hat das lineare System gleich viele Gleichungen wie Unbekannte, sagen wir n, und ist die zugehörige Koeffizientenmatrix A invertierbar, so gilt rg(a) = rg(a b) = n. Es gibt also genau eine Lösung. Diese kann mit Hilfe der Inversen von A direkt angegeben werden.

11 48 Multiplizieren wir nämlich die Gleichung A x = b von links mit A, dann ist x = A b die eindeutige Lösung des Systems. Gegeben sei das lineare System 3x+ y = 5x+2y = Cramersche Regel Auch die Cramersche Regel, benannt nach dem Schweizer Mathematiker Gabriel Cramer ( ), ist nur anwendbar für lineare Systeme mit invertierbarer Koeffizientenmatrix. Ist A x = b das lineare System, dann ist die Lösung x = (x,...,x n ) T gegeben durch x = det(a ) det(a), x 2 = det(a 2) det(a),..., x n = det(a n) det(a) wobei die Matrix A j dadurch entsteht, dass die j-te Spalte von A durch den Spaltenvektor b ersetzt wird. Gegeben sei das lineare System 3x+ y = 5x+2y = Wie im vorhergehenden ist ( ) ( ) 3 mit det(a) = und b =. 5 2