Lineare Algebra für Ingenieure

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1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN SS 4 Fakultät II - Mathematik J Liesen/F Lutz/R Seiler Lineare Algebra für Ingenieure Lösungen zur Juli-Klausur Stand: 4 September 4 Rechenteil Aufgabe (8 Punkte Berechnen Sie die Inverse der Matrix A := und lösen Sie das lineare Gleichungssystem A x = Aufstellen der erweiterten Matrix (A E und Umformen der Matrix A mittels des Gaußschen Algorithmus auf Normierte Zeilenstufenform liefert: Zeile: Z Z 7 4 Zeile: Z Z Zeile: Z Zeile: Z Z Zeile: Z+ Z Zeile: Z Z 6

2 Hieraus lässt sich ablesen, dass die Matrix A invertierbar ist, da wir auf der linken Seite die Einheitsmatrix erhalten haben Die rechte Seite ist die Inverse von A: A = 6 4 Die eindeutige Lösung des linearen Gleichungssystems A x = ist damit x = A = 6 = Aufgabe (8 Punkte Für den Vektorraum R seien die Basen B und B gegeben durch ( ( ( ( B := {, }, B := {, } (i Bestimmen Sie die darstellende Matrix S der Koordinatentransformation von B nach B Mit anderen Worten: Finden Sie diejenige Matrix S, die x B = S x B für jeden Vektor x R erfüllt ( (ii Berechnen Sie die Koordinaten des Vektors x := R bezüglich der Basis B (i Seien K B und K B die Koordinatenabbildungen bzgl der Basen B bzw B, so ist die Basiswechselmatrix S von B nach B gegeben durch S = K B K B Da die Basis B die Standardbasis ist, ist die Koordinatenabbildung K B die identische Abbildung, dh sie ist als Abbildung R R gegeben durch x E x mit der ( - Einheitsmatrix E Für K B als Abbildung R R liest man die entsprechende ( - Matrix aus der Basis direkt ab; in ihr stehen die Basisvektoren als Spalten: ( K B = Wir berechnen ihre Inverse (zb mit dem Gaußalgorithmus: ( K B =

3 Damit erhalten wir für die Basiswechselmatrix: S = K B K B = K B E = K B = (ii Die Koordinaten des Vektors x = gemäß: ( x B = K B ( x = ( ( R bezüglich der Basis B berechnen sich ( ( = Aufgabe ( Punkte Die Vektoren v =, v =, v = bilden eine Basis des euklidischen Raumes R (versehen mit dem Standardskalarprodukt (i Berechnen Sie das Volumen des von den Vektoren v, v, v aufgespannten Spates (ii Berechnen Sie aus v und v nach dem Verfahren von Gram-Schmidt eine Orthonormalbasis w, w von span( v, v (i Das Volumen V des von den Vektoren v, v, v aufgespannten Spates ist gegeben durch V = det( v, v, v = = + = ( = 7 (Entwicklung nach der Spalte (ii Das Gram-Schmidt-Verfahren, angewandt auf die ersten zwei Vektoren v und v, liefert die Vektoren: w = v v = = + ( + sowie w = v v, w w v v, w w

4 Für den zweiten Vektor w berechnen wir zuerst: v v, w w =, = 9 = Die Norm dieses Vektors ist + + =, dh als zweiten Vektor w für die Orthonormalbasis w, w von span( v, v erhalten wir w = v v, w w v v, w w = 4 Aufgabe (4 Punkte Betrachten Sie die Matrix B := ( als lineare Abbildung auf dem Vektorraum R (i Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von B (ii Diagonalisieren Sie B, das heißt, bestimmen Sie eine Diagonalmatrix D und eine invertierbare ( -Matrix S, so dass D = SBS ist (iii Berechnen Sie e tb für t R (iv Lösen Sie das Anfangswertproblem d x(t = B x(t, x( = dt ( (i Das charakteristische Polynom von B ist ( λ det = ( λ =!, λ also hat B die Eigenwerte λ = und λ = 4

5 Berechnung der Eigenvektoren zum Eigenwert λ = (nach dem Verfahren von Gauß: ( ( (, ( x woraus wir ablesen, dass x = x für jeden Eigenvektor v = zum Eigenwert λ =, also ( v = s für s R, s Eigenvektoren zum Eigenwert λ = 4: ( ( ( 4, 4 ( x woraus wir ablesen, dass x = x für jeden Eigenvektor v = zum Eigenwert λ = 4, also ( v = s (ii Für die linear unabhängigen Eigenvektoren gegeben durch mit der Inversen S = S = ( ( für s R, s (, = S und x ( x ist die S -Matrix [Bestimmung der Inversen S entweder direkt durch explizite Formel, oder mittels Gauß- Algorithmus: ( ( ( ( Die zugehörige Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Diagonalen ist ( SBS = 4 ] (iii Die Berechnung der Exponentialreihe erfolgt in der Diagonalisierung von B: [ e tb = S e t ] ( 4 e S = S t e 4t S = ( ( e t e 4t e t e 4t = ( e t + e 4t e t e 4t e t e 4t e t + e 4t (iv Es ist damit x(t = e tb ( = ( e t + e 4t e t e 4t

6 Verständnisteil Aufgabe (4 Punkte Es sei folgende Matrix gegeben: A := (i Welchen Rang hat die Matrix A? 4 7 (ii Welche Dimension hat der Kern der linearen Abbildung x A x? (iii Für welche Vektoren b = lösbar? b b b b 4 R ist das lineare Gleichungssystem A x = b b (iv Geben Sie die Lösungsmengen der linearen Gleichungssysteme (a A x =, (b A x = an (i Die Matrix A hat den Rang Begründung: Die Matrix ist in Zeilenstufenform und hat drei vom Nullvektor verschiedene Zeilen (ii Es ist dim(kern(a = Rang(A =, (iii Das lineare Gleichungssystem A x = b ist für b 4 = b = lösbar, denn dann (und nur dann ist Rang(A b = Rang(A 4 (iv (a Die Lösungsmenge ist { s t 7 R s, t R} (b Dies Gleichungsystem ist nicht lösbar (L =, da der Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix größer als der Rang von A ist

7 Aufgabe (7 Punkte Die Vektoren w =, w =, w = bilden eine Orthonormalbasis des euklidischen Raumes R (versehen mit dem Standardskalarprodukt (i Geben Sie das Volumen des von den Vektoren w, w, w aufgespannten Spates an (ii Geben Sie die Inverse W der Matrix W an, die die Vektoren w, w, w als Spaltenvektoren hat (iii Geben Sie die Lösung des linearen Gleichungssystems W x = w an (i Das Volumen des Spats ist Da die Vektoren w, w, w eine Orthonormalbasis bilden, ist der Spat ein Würfel mit Kantenlänge (andere Begründungen sind natürlich auch zulässig (ii denn W ist eine orthogonale Matrix W = W T = (iii Die Lösung des linearen Gleichungssystems W x = w x =, denn w ist die erste Spalte der Matrix W ist Aufgabe (9 Punkte Betrachten Sie die Matrix 6 B := 7 4 als lineare Abbildung auf dem Vektorraum R 4 (i Geben Sie die Determinante von B an (ii Hat B reelle Eigenwerte? Falls ja, welche? Welche Dimensionen haben die zugehörigen Eigenräume? (iii Ist B diagonalisierbar? Falls ja, geben Sie eine zugehörige Diagonalmatrix an Falls nein, begründen Sie, weshalb B nicht diagonalisierbar ist

8 (i Die Determinante der Dreiecksmatrix ist das Produkt der Diagonalelemente, also ist det(b = ( 4 = 6 (ii Ja, B hat reelle Eigenwerte Diese sind, da B eine Dreiecksmatrix ist gerade die Diagonalelemente, also λ =, λ =,, λ = und λ 4 = 4 Alle zugehörigen Eigenräume habe die Dimension, denn B hat 4 verschiedene Eigenwerte (iii Ja, Bist diagonalisierbar und eine zugehörige Diagonalmatrix ist D = 4 4 Aufgabe ( Punkte Geben Sie (ohne Begründung an, ob die folgenden Teilmengen des R lineare Teilräume sind Teilmenge ist Teilraum (Ja/Nein {(x, y, z T R xyz = } Nein {(x, y, z T R z = x + y } Ja {(x, y, z T R x } Nein {(x, y, z T R x + y + z = } Nein {(x, y, z T R x = y = z = } Ja