Probeklausur zu Mathematik 2 für Informatik

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1 Gunter Ochs Wintersemester 4/5 Probeklausur zu Mathematik für Informatik Lösungshinweise wie immer ohne Garantie auf Fehlefreiheit. Gegeben sei das Dreieck im R mit den Eckpunkten A a Berechnen Sie die Seitenlängen des Dreiecks. Die Seiten werden durch die Vektoren x B A, y C A 4, B und z C B und C dargestellt und haben somit die Längen x 9, y 5 5 und z 6. b Berechnen Sie den Winkel zwischen den Seiten AB und AC Angabe des Kosinus genügt. Winkel α zwischen x und y mit cos α x,y 4 4 α arccos 4 x y o c Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks mit Hilfe des Vektorprodukts. Dazu ist das Vektorprodukt von zwei beliebigen der drei Seitenvektoren zu berechnen, z. B. v x y 4 Die Dreiecksäche ist dann gleich v 9.. a Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des linearen Gleichungssystems x x x Mit dem GauÿAlgorithmus erhält man die erweiterten Koezientenmatrizen 4 4 und somit die eindeutige Lösungx, x + 4x und x + x x. Da es keine weitere Lösung gibt, ist dies die allgemeine Lösung. b Wie viele Lösungen hat das homogene LGS Ax mit A aus a? Da das LGS in a eindeutig lösbar ist, ist auch das zugehörige homogene LGS eindeutig lösbar der Rang der Koezientenmatrix ist, so dass die Nulllösung die einzige Lösung ist. 4

2 . Bestimmen Sie den Rang der Matrix A rg rg rg Im ersten Schritt wurden von allen anderen Zeilen Vielfache der. Zeile subtrahiert, im.schritt wurden Zeilen vertauscht und Vielfache der. Zeile subtrahiert bzw. addiert- Sind die Spaltenvektoren von A linear unabhängig? Nein, da der Rang kleiner ist als die Zahl der Spalten. Wie viele Lösungen hat das lineare Gleichungssystem Ax? Es gibt 4 Unbekannte, von denen durch das LGS nur rga festgelegt werden. Es gibt somit unendlich viele Lösungen, die mit Hilfe von freien Parametern dargestellt werden können. 4. Invertieren Sie, falls möglich, die Matrix Mit dem GauÿAlgorithmus erhält man 4, 5 5, 5, 5 4 5, 5 4, 5, 5, 5, 5 5, 5, , 5 Die Matrix ist invertierbar mit Inverser, 5 4 5, 5

3 5. a Bestimmen Sie alle Werte p R, für die die Vektoren p, p und linear abhängig sind. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Determinante der Matrix mit den drei Vektoren als Spalten ist. ZT. B. durch Entwicklung nach der. Spalte erhält man det p p det p p + det p 4 p p p p +. Dieser Ausdruck wird, wenn p +p p ± + ± 9 ±. 4 Also sind p und p die einzigen Werte, bei denen die Vektoren linear abhängig sind. b Stellen Sie im Fall p einen der Vektoren als Linearkombination der beiden anderen dar. Man löst die Gleichung a + a + a Mit t erhält man daraus z. B. / Alternativ erhält man mit t nach Umstellung mit t. + a a a a a a t a a t a t R bzw. 6. Zeigen Sie: Ist V ein Vektorraum und sind U und U Unterräume von V, so ist auch der Durchschnitt U U ein Unterraum von V. Da U und U Unterräume sind, liegt der Nullvektor sowohl in U als auch in U und somit in U U. Für beliebige x, y U U gilt x, y U und x, y U. Da U und U Unterräume sind, folgt x + y U sowie x + y U und somit x + y U U. Für einen Skalar a gilt ax U und ax U ax U U. Damit erfüllt U U die Eigenschaften eines Unterraums.

4 7. Sei v und w a Zerlegen Sie w in eine Komponente w in Richtung von v und eine Komponente w senkrecht zu v. w w,v v,v v v, 5, 5 und w w w, 5, 5 b Bestimmen Sie eine Orthonormalbasis des von v und w aufgespannten Unterraums U des R. Mit dem Verfahren vongramschmidt erhält man den ersten Basisvektor x v v Den zweiten Basisvektor erhält man durch ˆx w und x ˆx ˆx 6, einen normierten senk- c Finden Sie einen normierten Vektor z, der senkrecht auf v und w steht. Einen senkrechten Vektor erhält man durch ẑ v w rechten Vektor als z ẑ ẑ. Berechnen Sie alle Eigenwerte mit ihren algebraischen Vielfachheiten und mindestens einen Eigenvektor der Matrix A Das charakteristische Polynom ist p A λ deta λ I λ λ λ λ λ λ + λ λ λ Berechnung mit der Regel von Sarrus. P A λ hat λ als einfache und λ als doppelte Nullstelle, d. h. A hat den Eigenwert λ mit der algebraischen Vielfachheit und λ mit der algebraischen Vielfachheit. Die Eigenvektoren zu λ sind die Lösungen des homogenen LGS Ax x t mit t R. Bemerkung: Gefragt war nur ein Eigenvektor, d. h. es würde ausreichen, z. B. t zu setzen. Alternativ kann ein Eigenvektor zum Eigenwert λ bestimmt werden. Dazu betrachtet man das LGS A Ix x t mit t R.

5 8. L : R R sei eine lineare Abbildung. Zeigen Sie: Sind die Vektoren L Lx. und L linear abhängig, so gibt es ein x R mit x und Nach Voraussetzung gibt es Skalare a und a, die nicht beide sind, mit a L + a L L a + L a a L + a a Somit hat x a L a a. L a + L a die gewünschte Eigenschaft. In der Rechnung wurden die allgemeinen Eigenschaften einer linearen Abbildung benutzt. 9. Gegeben seien drei lineare Abbildungen, 8, 6 L : R R mit L L : R R x, L x L : R R, L x x x und L, 6, 8, 8, 6 x x sowie x x x, 6, 8 a Geben Sie eine Matrix A an mit L x Ax. Die Bilder der Standardeinheitsvektoren sind die Spalten der Abbildungsmatrix. Damit, 8, 6 hat diese die Form A., 6, 8 b Prüfen Sie bei L, L und L, ob es sich bei um orthogonale Abbildungen handelt. Bei welchen dieser Abbildungen handelt es sich um eine Drehung? A T A, 96, 96 Mit B I. Also ist L nicht orthogonal und somit auch keine Drehung. ist B T B I. Es folgt, dass die Abbildung L orthogonal ist. Wegen det B handelt es sich um eine Drehung. Analog ist L orthogonal, da C T C I ist mit C Z. B. mit LaplaceEntwicklung nach der. Zeile erhält man det C, 6, 8, 8, 6, 6, Somit handelt es sich auch bei L um eine Drehung.,, 6, 8, 8, 6 c Wie ändern sich Flächeninhalte geometrischer Objekte bei Anwendung der linearen Abbildungen L bzw. L? Durch L werden Flächen um den Faktor det A, 64, 6, 8 verkleinert, unter L bleiben sie gleich, da es sich um eine orthogonale Abbildung handelt und somit det B ist.