10.2 Linearkombinationen

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1 147 Vektorräume in R 3 Die Vektorräume in R 3 sind { } Geraden durch den Ursprung Ebenen durch den Ursprung R 3 Analog zu reellen Vektorräumen kann man komplexe Vektorräume definieren. In der Definition des Vektorraums bedeutet die Skalarmultiplikation dann Multiplikation mit einer komplexen Zahl k (anstelle einer reellen Zahl k. Das typische Beispiel eines komplexen Vektorraums ist die Menge C n der Vektoren mit Komponenten z 1,...,z n in C. Komplexe Vektorräume treten zum Beispiel in der Quantenmechanik auf oder als Lösungsmengen von homogenen linearen Gleichungssystemen mit Koeffizienten in den komplexen Zahlen. 1.2 Linearkombinationen Im Folgenden beschränken wir uns auf Vektorräume, die Teilmengen von R n sind (zur Veranschaulichung kann dabei stets n = 2 oder 3 gewählt werden. Jedoch können alle hier gemachten Aussagen von R n auf einen beliebigen reellen (oder komplexen Vektorraum übertragen werden. Gegeben sind Vektoren v 1,..., v r in R n. Ein Vektor w in R n ist eine Linearkombination der Vektoren v 1,..., v r, wenn es reelle Zahlen c 1,...,c r gibt, so dass w geschrieben werden kann als w = c 1 v 1 + +c r v r. Die Zahlen c 1,...,c r nennt man Koeffizienten. Beispiel Ist der Vektor w = ( 5 6 eine Linearkombination von v 1 = ( 1 2 und v 2 = ( 2? Die Antwort ist ja, denn w = 3 v 1 + v 2. Nun sei V die Menge aller Linearkombinationen der Vektoren v 1,..., v r in R n. Dann ist V ein Vektorraum in R n. Man schreibt V = v 1,..., v r (oder V = Lin( v 1,..., v r oder V = span( v 1,..., v r. Man sagt auch, dass v 1,..., v r den Vektorraum V aufspannen oder erzeugen.

2 148 Beispiele Gegeben sind die Vektoren v 1 = ( 1 1, v 2 = ( 1 1. Sei V 1 = v 1 der von v 1 aufgespannte Vektorraum in R 3. 1 Dann besteht V 1 aus allen Vielfachen von v 1, V 1 = { c v 1 c R }. ( 2 ( 1, v 3 = und v 4 = Also ist V 1 die Gerade durch den Ursprung mit Richtungsvektor v Sei V 2 = v 1, v 2 der von den Vektoren v 1 und v 2 aufgespannte Vektorraum. Das heisst, V 2 = { c 1 v 1 +c 2 v 2 c 1,c 2 R }. Insbesondere sind e 1 = 1 2 v v 2 und e 3 = 1 2 v v 2 in V 2. Der Vektorraum V 2 ist also die xz-ebene. 3. Sei V 3 = v 1, v 2, v 3. Der Vektor v 3 ist eine Linearkombination der Vektoren v 1 und v 2, v 3 = v 1 + v 2 Also ist v 3 V 2 und damit ist V 3 = V 2 = v 1, v 2.

3 Sei V 4 = v 1, v 2, v 4. Nun ist v 4 keine Linearkombination der Vektoren v 1 und v 2. Da v 4 = e 2, sehen wir sofort, dass V 4 = R 3. Man möchte nun einen Vektorraum V = v 1,..., v r in R n mit möglichst wenigen Vektoren erzeugen. Wir haben im 3. Beispiel gesehen, dass man einen Vektor v i weglassen kann, wenn man ihn als Linearkombination der anderen Vektoren schreiben kann. Man nennt für r 2 die Vektoren v 1,..., v r in R n linear abhängig, wenn sich einer der r Vektoren als Linearkombination der anderen r 1 Vektoren schreiben lässt. Ist dies nicht möglich, dann nennt man die Vektoren v 1,..., v r linear unabhängig. Beispiel ( 2 1 ( 12 ( 7 1 Sind die Vektoren v 1 =, v 2 = und v 3 = linear abhängig? 5 5 Wie überprüft man aber nun, dass gewisse Vektoren linear unabhängig sind? Dazu benutzt man eine äquivalente Definition von linear (un-abhängig. Und zwar sind die Vektoren v 1,..., v r in R n linear unabhängig, falls die Gleichung nur die (triviale Lösung c 1 v 1 + +c r v r = c 1 = c 2 = = c r = hat. Andernfalls nennt man v 1,..., v r linear abhängig. Beschränken wir uns jedoch auf Vektoren in R 2 und R 3, dann kann die Frage nach der linearen (Un-Abhängigkeit mit Hilfe von geometrischen Betrachtungen beantwortet werden. Vektoren in R 2 2 Vektoren sind linear abhängig einer ist ein Vielfaches des anderen sie liegen auf der gleichen Geraden durch den Ursprung

4 15 3 oder mehr Vektoren sind stets linear abhängig. Machen wir nämlich den Ansatz c 1 v 1 +c 2 v 2 +c 3 v 3 = für die drei Vektoren v 1, v 2, v 3 in R 2, dann ist dies ein homogenes lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen in den 3 Unbekannten c 1, c 2, c 3. Nach Satz 8.2 hat dieses unendlich viele Lösungen, insbesondere eine nichttriviale Lösung. Vektoren in R 3 2 Vektoren sind linear abhängig einer ist ein Vielfaches des anderen sie liegen auf der gleichen Geraden durch den Ursprung 3 Vektoren sind linear abhängig sie liegen auf der gleichen Ebene durch den Ursprung z z u u v y v y w w linear abhängige Vektoren linear unabhängige Vektoren x x 4 und mehr Vektoren sind stets linear abhängig Die letzte Aussage bei Vektoren in R 2 und R 3 gilt allgemeiner. Satz 1.1 Seien v 1,..., v r Vektoren in R n. Ist r > n, dann sind v 1,..., v r linear abhängig. Begründen kann man dies wie in R 2 mit Hilfe von Satz 8.2 über homogene lineare Gleichungssysteme (man hat n Gleichungen und r > n Unbekannte. Wie können wir konkret überprüfen, ob drei Vektoren in R 3 linear unabhängig sind oder nicht? Nun, drei Vektoren v 1, v 2, v 3 in R 3 spannen genau dann ein Parallelepiped auf, wenn sie linear unabhängig sind (d.h. nicht in einer Ebene liegen. In diesem Fall (und nur in diesem ist das Volumen dieses Parallelepipeds eine Zahl ungleich Null. Wir haben gesehen, dass dieses Volumen gleich det(a ist, wenn A die 3 3-Matrix mit den Spaltenvektoren v 1, v 2, v 3 ist. Es gilt also: Auch dies gilt allgemeiner. v 1, v 2, v 3 linear unabhängig det(a

5 151 Satz 1.2 Seien v 1,..., v n Vektoren in R n und A die n n-matrix mit v 1,..., v n als Spaltenvektoren. Dann gilt Beispiele v 1,..., v n linear unabhängig det(a 1. Sind die Vektoren v 1 = ( 2 3 und v2 = ( 1 8 linear abhängig? ( 1 2 ( 2 ( 1 2. Sind die Vektoren v 1 =, v 2 = und v 3 = linear abhängig? Basis und Dimension Im letzten Abschnitt haben wir versucht, einen Vektorraum mit so wenigen Vektoren wie möglich zu erzeugen. Wird ein Vektorraum V = v 1,..., v r in R n mit linear abhängigen Vektoren v 1,..., v r erzeugt, so kann mindestens ein Vektor (derjenige, der sich als Linearkombination der anderen schreiben lässt weggelassen werden, ohne dass sich der Vektorraum V verkleinert. Optimal ist also, einen Vektorraum mit linear unabhängigen Vektoren zu erzeugen. Man nennt diese Vektoren dann eine Basis des Vektorraums. Vektoren v 1,..., v n bilden also eine Basis eines Vektorraums V, wenn sie die folgenden zwei Bedingungen erfüllen: (1 V = v 1,..., v n, das heisst, v 1,..., v n erzeugen V (2 v 1,..., v n sind linear unabhängig Man nennt v 1,..., v n Basisvektoren von V. Basen sind wegen der folgenden Tatsache sehr wichtig und nützlich. Satz 1.3 Bilden v 1,..., v n eine Basis des Vektorraums V, so kann jeder Vektor v in V eindeutig geschrieben werden als mit reellen Zahlen c 1,...,c n. v = c 1 v 1 + +c n v n

6 152 Basen von R 2 In Kapitel 7 haben wir bemerkt, dass die Schreibweise v = ( 1 v 2 bedeutet ( ( 1 v = v 1 +v 2 = v 1 1 e 1 +v 2 e 2. Die beiden Vektoren e 1 und e 2 bilden eine Basis von R 2, die sogenannte Standardbasis. Die Vektoren e 1 und e 2 spannen den ganzen Raum R 2 auf, denn wie gerade gezeigt ist jedes v in R 2 als Linearkombination von e 1 und e 2 schreibbar. Zudem sind e 1 und e 2 linear unabhängig. Ebensogut könnte man jedoch die Vektoren u 1 = ( 1 1 und u 2 = ( 1 1 als Basis des R 2 wählen. Denn jeder Vektor v = ( v 1 v 2 von R 2 lässt sich als Linearkombination von u 1 und u 2 schreiben v = 1 2 (v 1 +v 2 u (v 1 v 2 u 2. Das heisst, die Vektoren u 1 und u 2 erzeugen R 2. Zudem sind u 1 und u 2 linear unabhängig. Die Wahl einer Basis von R 2 (bzw. R n ist nichts anderes als die Wahl eines Koordinatensystems für R 2 (bzw. R n. Die Richtungen der Basisvektoren definieren die positiven Koordinatenachsen und ihre Längen legen die Masseinheiten fest. Können drei Vektoren in R 2 eine Basis für R 2 bilden? Nein, denn drei Vektoren in R 2 sind stets linear abhängig (Satz 1.1. Kann ein einziger Vektor in R 2 eine Basis für R 2 sein? Nein, denn ein einzelner Vektor spannt nur eine Gerade auf, der R 2 ist jedoch eine Ebene. Es folgt, dass eine Basis für R 2 immer aus zwei Vektoren besteht. Satz 1.4 Hat ein Vektorraum endlich viele Basisvektoren, so ist die Anzahl der Basisvektoren für alle Basen gleich. Die Anzahl der Basisvektoren hängt also nur vom Vektorraum V ab. Man nennt diese Anzahl die Dimension von V und schreibt dim(v. Man legt zusätzlich fest, dass dim({ } =. Der Vektorraum R 2 hat also die Dimension 2.

7 153 Basen von R 3 Schon in Kapitel 7 haben wir festgehalten, dass die Schreibweise v = 1 v = v 1 +v 2 1 +v 3 = v 1 e 1 +v 2 e 2 +v 3 e 3. 1 ( v1 2 bedeutet v 3 Die Vektoren e 1, e 2 und e 3 bilden die sogenannte Standardbasis von R 3. Die Dimension von R 3 ist also 3. Wie für R 2 können wir auch andere Basisvektoren für R 3 wählen. Wir wissen mit Satz 1.4, dass eine Basis immer aus drei Vektoren besteht. Mit Hilfe der Determinante können wir schnell feststellen, ob drei gegebene Vektoren in R 3 linear unabhängig sind oder nicht. Ob die drei Vektoren auch den ganzen Raum R 3 erzeugen, ist mühsamer einzusehen (lineares Gleichungssystem lösen. Dank des folgenden Satzes bleibt uns dieser letzte Punkt jedoch erspart. Satz 1.5 Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum und v 1,..., v n Vektoren in V. Dann gilt Beispiele v 1,..., v n bilden eine Basis von V v 1,..., v n = V v 1,..., v n sind linear unabhängig 1. Bilden die Vektoren v 1 = ( 2 4 und v 2 = ( 3 5 eine Basis von R2? ( 2. Welche Dimension hat der Vektorraum V = v 1, v 2, v 3 von R 3 1 ( 1 1 mit v 1 = 2, v 2 = 1 3 und v 3 =? ( 5 8 3

8 154 Standardbasis von R n Analog zu R 2 und R 3 hat R n für beliebige n in N die Standardbasis 1 1 e 1 =, e 2 =,..., e n = Es gilt also dim(r n = n. Die Vektorräume R n und alle darin enthaltenen Vektorräume sind alles Beispiele von endlich-dimensionalen Vektorräumen, das heisst von Vektorräumen mit endlich vielen Basisvektoren. Hat eine Basis eines Vektorraums V unendlich viele Vektoren, so nennt man V unendlich-dimensional. Zum Beispiel ist der Vektorraum aller reellen Funktionen unendlichdimensional. 1.4 Anwendungen auf Matrizen und lineare Gleichungssysteme Mit Hilfe der neuen Erkenntnisse über Vektorräume können wir sowohl den Rang einer Matrix als auch die freien Parameter des Lösungsraums eines linearen Gleichungssystems besser verstehen. Der Rang einer Matrix SeiAeinem n-matrix. DiemZeilenvektoren sindvektoreninr n undspannendeshalbeinen Vektorraum in R n auf, den sogenannten Zeilenraum. Nun gilt der folgende Zusammenhang mit dem Rang rg(a der Matrix A: rg(a = maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren = Dimension des Zeilenraums Bringen wir nämlich die Matrix A auf Zeilenstufenform, dann ersetzen wir bei einer elementaren Zeilenumformung eine Zeile durch eine Linearkombination dieser Zeile mit einer anderen; das heisst, der Zeilenraum wird dabei nicht verändert. Die Nichtnullzeilen in der Zeilenstufenform sind schliesslich linear unabhängig (wegen den Nullen unten links. Betrachten wir nun die Spaltenvektoren der Matrix A. Die n Spaltenvektoren sind Vektoren in R m, spannen deshalb einen Vektorraum in R m auf, den sogenannten Spaltenraum. Erstaunlicherweise spielt es überhaupt keine Rolle, ob wir die Zeilen oder die Spalten der Matrix A betrachten, um den Rang zu bestimmen. Satz 1.6 Es gilt: rg(a = maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren = maximale Anzahl linear unabhängiger Spaltenvektoren In anderen Worten: Die Dimension des Zeilenraums ist gleich der Dimension des Spaltenraums.

9 155 Beispiel Sei A = ( Der Rang einer Matrix ist also tatsächlich unabhängig vom Vorgehen, die Matrix auf Zeilenstufenform zu bringen. Dies war in Kapitel 8 (Seite 127 noch unklar. An dieser Stelle wollen wir einmal zusammenfassen, was der Rang einer n n-matrix alles aussagt. Satz 1.7 Sei A eine n n-matrix. Dann gilt: rg(a = n A ist invertierbar det(a die Spaltenvektoren sind linear unabhängig die Spaltenvektoren sind eine Basis von R n die Zeilenvektoren sind eine Basis von R n die Zeilenvektoren sind linear unabhängig Parameter der Lösungsmenge eines linearen Systems Sei A eine m n-matrix. Wir betrachten das homogene lineare Gleichungssystem A x = für x in R n. Seien x 1 und x 2 zwei Lösungen dieses Systems. Dann gilt, dass auch die Summe dieser beiden Lösungen eine Lösung ist und die Vielfachen dieser Lösungen auch Lösungen sind: In anderen Worten: Der Lösungsraum ist ein Vektorraum in R n!

10 156 Satz 1.8 Sei A eine m n-matrix. Dann ist die Lösungsmenge von A x = ein Vektorraum in R n der Dimension k = n rg(a. Das heisst, es gibt k linear unabhängige Vektoren x 1,..., x k, so dass jede Lösung x eindeutig geschrieben werden kann als für t 1,...,t k in R. x = t 1 x 1 + +t k x k Die reellen Zahlen t 1,...,t k sind die Parameter der Lösung. Die Vektoren x 1,..., x k sind eine Basis des Lösungsraums. Geometrisch gesehen kommen als Lösungsräume eines homogenen linearen Systems mit 3 Unbekannten also nur der Nullvektorraum { }, eine Gerade durch den Ursprung, eine Ebene durch den Ursprung oder der ganze Raum R 3 in Frage. Von Satz 8.3 wissen wir, dass die Lösungsmenge L(G eines allgemeinen linearen Systems A x = b von der Form L(G = x P +L(hG ist, wobei L(hG die Lösungsmenge des zugehörigen homogenen Systems ist. Der Raum L(G ist also ein um den Vektor x P verschobener Vektorraum. 1.5 Orthogonale Vektoren ( ( u 1 v 1 u1 v1 Seien u = und v = in R u 2 v 2, bzw. u = u 2 und v = v 2 in R 3. 2 u 3 v 3 Definition Das Skalarprodukt von u und v ist definiert durch u v = u 1 v 1 +u 2 v 2, bzw. u v = u 1 v 1 +u 2 v 2 +u 3 v 3. Man nennt dieses Produkt Skalarprodukt, weil das Ergebnis eine reelle Zahl, das heisst ein Skalar ist. Sei ϕ der (kleinere Zwischenwinkel von u und v (d.h. ϕ π. Dann gilt u v = u v cosϕ. Insbesondere stehen zwei Vektoren u und v senkrecht aufeinander (d.h. der Zwischenwinkel ist ein rechter Winkel, wenn u v =. Die Vektoren heissen in diesem Fall orthogonal. Man setzt fest, dass der Nullvektor senkrecht zu jedem Vektor steht. Satz 1.9 Es gilt u und v sind orthogonal u v =.

11 157 Beispiel Sind die Vektoren u = ( 1 3 und v = ( 6 2 orthogonal? Dieses Skalarprodukt kann man auf (Spalten-Vektoren u und v in R n erweitern. Sind u 1,...,u n und v 1,...,v n die Komponenten, dann definiert man u v = u T v = u 1 v 1 + +u n v n. Man nennt die Vektoren u und v orthogonal, wenn u v =. Satz 1.1 Für Vektoren u, v, w in R n und k R gilt: (i u v = v u (ii u ( v + w = u v + u w (iii k( u v = (k u v = u (k v (iv v v = v 2 und v v = v = Oftistespraktisch, einenvektor uineinenzueinemvorgegebenenvektor a parallelen und einen dazu senkrechten Summanden zu zerlegen. Der Vektor w 1 heisst Orthogonalprojektion von u auf a und wird mit proj a ( u bezeichnet. Der zweite Vektor ist dann gegeben durch w 2 = u w 1. Satz 1.11 Für Vektoren u und a in R n gilt proj a ( u = u a a 2 a. Beispiel Seien u = ( 3 1 und a = ( 4 2.

12 158 Wir haben gesehen, dass es viele verschiedene Basen für den Vektorraum R n gibt. Die Standardbasis e 1,..., e n zeichnet sich dadurch aus, dass die Vektoren alle die Länge 1 haben und je zwei Vektoren orthogonal zueinander sind. Manchmal ist es nützlich, eine andere Basis mit diesen beiden Eigenschaften zu verwenden. Sei V ein Vektorraum in R n. Definition Man nennt eine Basis v 1,..., v k eine Orthonormalbasis von V, wenn gilt (1 v 1,..., v k sind paarweise orthogonal und (2 v 1,..., v k haben die Länge 1. Beispiel Eine Orthonormalbasis von R 2 bilden die beiden Vektoren v 1 = 1 2 ( 1 1 und v 2 = 1 2 ( 1 1. Orthonormalbasen haben die folgende wichtige Eigenschaft. Satz 1.12 Sei v 1,..., v k eine Orthonormalbasis von V und v V beliebig. Dann gilt v = c 1 v 1 + +c k v k mit c i = v v i. Dies folgt sofort mit den Eigenschaften aus Satz 1.1. Definition Eine n n-matrix heisst orthogonal, wenn gilt A T A = AA T = E. Zum Beispiel ist die Matrix A = 1 ( orthogonal. Satz 1.13 Sei A eine orthogonale n n-matrix. Dann gilt (1 Die Spalten (bzw. Zeilen bilden eine Orthonormalbasis von R n. (2 A ist invertierbar und A 1 = A T. (3 det(a = ±1.