Einführung in die Mathematik für Informatiker

Transkript

1 Einführung in die Mathematik für Informatiker Prof. Dr. baumann

2 9. Vorlesung Eigenschaften linearer Abbildungen Beschreibung linearer Abbildungen durch Matrizen... Eigenschaften von Determinanten Berechnung von Determinanten für 2-reihige und 3-reihige Matrizen

3 Eigenschaften linearer Abbildungen Sei f : V W eine lineare Abbildung. {b 1,b 2,...,b n } sei eine Basis von V. w i := f(b i (i = 1,2,...,n seien die Bilder der Basisvektoren. 1 f ist injektiv {w 1,w 2,...,w n } ist linear unabhängig 2 f ist surjektiv Span({w 1,w 2,...,w n } = W 3 f ist bijektiv {w 1,w 2,...,w n } ist eine Basis von W

4 Lineare Abbildungen f : R 2 R 2 : v Av ( ( ( ( ( ( cos(ϕ sin(ϕ sin(ϕ cos(ϕ ( cos(ϕ sin(ϕ sin(ϕ cos(ϕ Die identische Abbildung bildet jeden Vektor auf sich selbst ab. Die Nullabbildung bildet jeden Vektor auf den Nullvektor ab. Jeder Vektor (a,b wird auf den doppelten Vektor (2a, 2b abgebildet. Senkrechte Projektion auf die x-achse Senkrechte Projektion auf die Winkelhalbierende des ersten Quadranten Linksdrehung um den Koodinatenursprung um den Winkel ϕ Spiegelung an der Geraden, die gegen die x-achse mit dem Winkel ϕ geneigt ist 2

5 Lineare Abbildungen f A : v Av Jede Matrix A K m n induziert eine lineare Abbildung f A vom K-Vektorraum K n in den K-Vektorraum K m : f A : K n K m : v Av Jede lineare Abbildung aus einem n-dimensionalen K-Vektorraum in einen m-dimensionalen K-Vektorraum lässt sich mit einer geeigneten Matrix A K m n in der Form v Av darstellen.

6 Darstellung linearer Abbildungen bezüglich der Standardbasen Es sei f : K n K m eine lineare Abbildung, v = (v 1,...,v n T K n und (e 1,...,e n die Standardbasis von K n. f(v = f(v 1 e 1 + +v n e n = v 1 f(e 1 + +v n f(e n = (f(e 1,...,f(e n }{{} =: A = Av = f A (v v 1. v n

7 Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung Es sei f : V W eine lineare Abbildung eines K-Vektorraums V mit dim(v = n in einen K-Vektorraum W mit dim(w = m. B = (b 1,...,b n sei eine geordnete Basis von V. C = (c 1,...,c m sei eine geordnete Basis von W. Man nennt die Matrix A BC := (f(b 1 C,...,f(b n C die Darstellungsmatrix von f bezüglich der Basen B und C. Die i-te Spalte von A BC ist der Koordinatenvektor bezüglich der Basis C des Bildes des i-ten Basisvektors aus der Basis B. Der Koordinatenvektor f(v C von f(v bezüglich C ist das Produkt der Darstellungsmatrix mit dem Koordinatenvektor v B von v bezüglich B: f(v C = A BC v B

8 Hintereinanderausführung linearer Abbildungen Es sei f 1 : V 1 V 2 eine lineare Abbildung des K-Vektorraums V 1 in den K-Vektorraum V 2 und f 2 : V 2 V 3 eine lineare Abbildung des K-Vektorraums V 2 in den K-Vektorraum V 3. Dann gilt: f 2 f 1 : V 1 V 3 eine lineare Abbildung. B i sei eine geordnete Basis von V i für i = 1,2,3. A B1 B 2 sei die Darstellungsmatrix von f 1 bezüglich der Basen B 1 und B 2. A B2 B 3 sei die Darstellungsmatrix von f 2 bezüglich der Basen B 2 und B 3. Dann ist A B2 B 3 A B1 B 2 die Darstellungsmatrix der linearen Abbildung f 2 f 1 bezüglich der Basen B 1 und B 3.

9 Bijektive lineare Abbildungen Ist f : V W eine bijektive lineare Abbildung, so ist auch f 1 : W V eine bijektive lineare Abbildung. Die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung kann man bezüglich beliebiger Basen bilden. Eine lineare Abbildung f : V W eines K-Vektorraums V ist genau dann bijektiv, wenn die Darstellungsmatrizen für f invertierbar sind.

10 Eigenschaften von Determinanten det : K n n K : A det(a Die Determinante ist eine Abbildung det, die durch folgende Eigenschaften festgelegt ist: det ist multilinear, z 1. d.h. det z i +kzi. z n = det z 1. z i. z n +kdet z 1. z ị. z n det ist alternierend, d.h. hat A zwei gleiche Zeilen, dann gilt det( 0. det ist normiert, d.h. det(e n = 1.

11 Determinante einer 2 2-Matrix ( a11 a Ist 12 K a 21 a 2 2, so wird 22 det(a := a 11 a 22 a 12 a 21 K die Determinante von A genannt. Sind v = ( v1 v 2 so bilden die Punkte und w = ( w1 w 2 Vektoren aus dem R 2, 0, v, w, v +w die Ecken eines Parallelogramms mit dem Flächeninhalt F: ( F = det v1 w 1 v 2 w 2

12 Determinante einer 3 3-Matrix Regel von Sarrus: Ist a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 K 3 3, so wird det(a := a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 21a 32 a 13a 22a 31 a 23a 32a 11 a 33a 12a 21 die Determinante von A genannt. Es gilt ( a22 a 23 det( a 11 det a 32 a 33 ( a12 a 13 a 21 det a 32 a 33 ( a12 a 13 +a 31 det a 22 a 23