Vorlesung Mathematik für Ingenieure 3 (Wintersemester 2009/10)

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1 1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure 3 (Wintersemester 2009/10) Kapitel 14: Vektorräume und lineare Abbildungen Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 6. Oktober 2009) Vektorräume 2 Definition 14.1 Eine Menge V mit einem ausgezeichneten Element O V (Nullvektor), einer Additionsoperation v + w (für v, w V ) und einer skalaren Multiplikationsoperation λ v = λv (für v V, λ K) ist ein K-Vektorraum, wenn folgende Axiome für alle v, w, u V und λ, µ K erfüllt sind:

2 Vektorraumaxiome 3 1. v + w V, λv V (Abgeschlossenheit) 2. (u + v) + w = u + (v + w) (Assoziativität) 3. v + O = v (Neutrales Element) 4. Es gibt v V mit v + v = O. (Inverses Element) 5. v + w = w + v (Kommutativität) 6. λ(v + w) = λv + λw (Distributivität) 7. (λ + µ)v = λv + µv (Distributivität) 8. (λµ)v = λ(µv) (Assoziativität) 9. 1v = v (Neutrales Element) Unterräume 4 Definition 14.2 Ein Unterraum (linearer Unterraum, Untervektorraum) eines K-Vektorraums V ist eine Teilmenge U V mit 1. O U 2. v + w U für alle v, w U 3. λv U für alle v U, λ K Bemerkung 14.3 Untervektorräume sind selber Vektorräume.

3 Linearkombinationen 5 Definition 14.4 Ist X V eine beliebige Teilmenge eines K-Vektorraumes V, so heißt die Menge span(x ) = X := { r λ i v (i) : v (1),..., v (r) X, i=1 λ 1,..., λ r K, r N} aller K-Linearkombinationen von endlich vielen Elementen aus X der von X erzeugte/aufgespannte Unterraum von V. Affine Unterräume 6 Definition 14.5 Ein affiner Unterraum eines K-Vektorraums V ist eine Teilmenge der Form v + U = {v + u u U} mit einem Vektor v und einem Unterraum U von V.

4 Linear unabhängige Vektoren 7 Definition 14.6 Paarweise verschiedene Vektoren v (1),..., v (r) V in einem K-Vektorraum V heißen linear unabhängig, wenn jede echte Teilmenge X {v (1),..., v (r) } einen kleineren Unterraum erzeugt als {v (1),..., v (r) }, d.h. es gilt span(x ) span({v (1),..., v (r) }) für alle X {v (1),..., v (r) }. Kriterium für lineare Unabhängigkeit 8 Bemerkung 14.7 Die Vektoren v (1),..., v (r) V sind genau dann linear unabhängig, wenn r λ i v (i) = O i=1 (mit λ 1,..., λ r K) nur für λ 1 = = λ r = 0 gilt.

5 Lineare Unabhängigkeit von Teilmengen 9 Definition 14.8 Eine (möglicherweise unendliche) Teilmenge X V eines K-Vektorraums V ist linear unabhängig, falls jede endliche Teilmenge von X linear unabhängig ist. Erzeugendensysteme / Basen 10 Definition 14.9 Ein Erzeugendensystem eines K-Vektorraums V ist eine Teilmenge X V mit V = span(x ). Eine Basis von V ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von V.

6 Existenz von Basen 11 Satz Jeder K-Vektorraum V hat (wenigstens) eine Basis. Bemerkung Es gilt sogar für jeden K-Vektorraum V : Jedes Erzeugendensystem von V enthält eine Basis. Jede linear unabhängige Teilmenge kann zu einer Basis von V ergänzt werden. Dimension 12 Satz Hat ein K-Vektorraum V ein endliches Erzeugendensystem, so haben alle Basen von V die gleiche Kardinalität dim(v ) (Dimension von V ). Bemerkung In einem n-dimensionalen Vektorraum bilden n linear unabhängige Vektoren immer eine Basis.

7 Koordinaten 13 Definition Ist B V eine Basis des K-Vektorraums und v V, so heißen die eindeutig bestimmten λ b K (b B) (genauer: die durch b λ b definierte Abildung) mit v = b B λ bb die Koordinaten von v bzgl. B. Koordinatenvektoren 14 Definition Ist B = (b (1),..., b (n) ) eine geordnete Basis von V (d.h. die Menge {b (1),..., b (n) } ist eine Basis von V ), so heißt für jeden Vektor v V das eindeutig bestimmte n-tupel Bv = (λ 1,..., λ n ) K n mit v = i=1 λ iv (i) der Koordinatenvektor von v (bzgl. der geordneten Basis (b (1),..., b (n) )).

8 Lineare Abbildungen 15 Definition Eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen V und W ist eine Abbildung ϕ : V W mit: ϕ(v + w) = ϕ(v) + ϕ(w) für alle v, w V ϕ(λv) = λϕ(v) für alle v V, λ K Lineare Fortsetzung 16 Satz Ist B V eine Basis des K-Vektorraums V und σ : B W eine beliebige Abbildung von B in einen K-Vektorraum W, so gibt es genau eine lineare Abbildung ϕ : V W mit ϕ(b) = σ(b) für alle b B.

9 Kern und Bild 17 Definition Für eine lineare Abbildung ϕ : V W zwischen zwei K-Vektorräumen V und W heißen ker (ϕ) := ϕ 1 ({O W }) = {v V ϕ(v) = O W } V der Kern und im (ϕ) := ϕ(v ) = {ϕ(v) v V } W das Bild von ϕ. Kern und Bild sind Unterräume 18 Bemerkung Kern und Bild einer linearen Abbildung ϕ : V W sind Untervektorräume von V bzw. W ; insbesondere enthalten sie O V bzw. O W.

10 Kerne von Matrizen 19 Definition Der Kern einer Matrix A K m n ist ker(a) = {x K n Ax = O m } = ker(ϕ A ). Zeilen- vs. Spaltenvektoren 20 Im Kontext von Matrizenmultiplikationen sind Vektoren v K q immer als Spaltenvektoren v 1 v =. K q 1 v q aufzufassen. Der zugehörige Zeilenvektor ist v T = (v 1,..., v q ) K 1 q.

11 Injektive lineare Abbildungen 21 Satz Eine lineare Abbildung ϕ : V W ist genau dann injektiv (d. h. ϕ(v) ϕ(w) für alle v w), wenn ker (ϕ) = {O V } ist. Die Dimensionsformel 22 Satz Ist V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und ϕ : V W eine lineare Abbildung, so gilt die Dimensionsformel dim (ker ϕ) + dim (im ϕ) = dim (V ).

12 Der Rang 23 Definition Der Rang rang(a) einer Matrix A K m n ist: Die Dimension des von den Zeilen bzw. Spalten erzeugten Unterraums von K n bzw. K m. Die Anzahl der Nicht-Nullzeilen in einer NZSF von A. n dim (ker A). Bemerkung Für jede Matrix A K m n ist rang(a) = rang(a T ). Darstellungsmatrizen Definition Seien V und W zwei endlich-dimensionale K-Vektorräume mit zwei geordneten Basen B = (b (1),..., b (n) ) von V und C = (c (1),..., c (m) ) von W. Die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung ϕ : V W bzgl. B und C ( ) CM(ϕ) B = Cϕ(b (1) ),..., C ϕ(b (n) ) K m n hat als Spalten die Koordinatenvektoren der Bilder ϕ(b (1) ),..., ϕ(b (n) ) der Basis B bzgl. der Basis C.

13 ... stellen lineare Abbildungen dar 25 Satz Sind V und W endlich-dimensionale K-Vektorräume mit zwei geordneten Basen B von V und C von W, so gilt für jede lineare Abbildung ϕ : V W für alle v V : Cϕ(v) = C M(ϕ) B Bv Verkettung linearer Abbildungen 26 Satz Sind V, W, U endlich-dimensionale K-Vektorräume mit geordneten Basen B, C bzw. D, so gilt DM(ψ ϕ) B = D M(ψ) C CM(ϕ) B für alle linearen Abbildungen ϕ : V W, ψ : W U.

14 Darstellungsmatrizen und Basiswechsel 27 Satz Sind B und C zwei geordnete Basen des endlich-dimensionalen K-Vektorraumes V, so gilt für jede lineare Abbildung ϕ : V V CM(ϕ) C = S 1 BM(ϕ) B S mit S = B M(id V ) C (die Matrix, deren Spalten die Koordinatenvektoren von C bzgl. B sind). Wechsel von der Standardbasis 28 Bemerkung Ist A K n n und ist C = (c (1),..., c (n) ) eine geordnete Basis von K n, so gilt für ϕ A : K n K n mit ϕ A (v) = Av: CM(ϕ A ) C = S 1 AS, wobei S K n n die Matrix mit Spalten c (1),..., c (n) ist.

15 Ähnlichkeit von Matrizen 29 Definition Zwei Matizen A, A K n n heißen ähnlich zueinander, wenn es eine invertierbare Matrix S K n n gibt mit A = S 1 AS. Parallelogramm 30

16 Spate/Parallelepipede 31 Streichungsmatrizen 32 Definition Für A R n n und i, j {1,..., n} sei A (i,j) R (n 1) (n 1) die Matrix, die aus A entsteht, wenn man die i-te Zeile und die j-te Spalte heraus streicht.

17 Definition der Determinante Definition Für beliebige n 1 definieren wir die Determinante det(a) R einer quadratischen Matrix A = (a ij ) R n n rekursiv: 33 Falls n = 1: A = (a 11 ) und det(a) := a 11 Falls n 2: det(a) := n i=1 ( 1) i+1 a i1 det(a (i,1) ) = a 11 det(a (1,1) ) a 21 det(a (2,1) ) + + ( 1) n+1 a n1 det(a (n,1)) Permutationen Definition Eine Permutation von {1,..., n} ist ein bijektive Abbildung σ : {1,..., n} {1,..., n}. Eine Permutation σ repräsentiert also eine Reihenfolge (σ(1), σ(2),..., σ(n)) der Zahlen 1, 2,..., n. Eine Fehlstellung von σ ist ein Paar i < j mit σ(i) > σ(j). Das Signum von σ ist 34 sign(σ) := { +1, gerade viele Fehlstellungen 1, ungerade viele Fehlstellungen. Die Menge der Permutationen von {1,..., n} ist Π n.

18 Leibniz-Formel 35 Satz Für die Determinante von A = (a ij ) R n n gilt: det(a) = σ Π n sign (σ) n j=1 a σ(j),j Die Determinante der Transponierten 36 Satz Für jede Matrix A R n n gilt: det(a) = τ Π n sign (τ) n a i,τ(i) = det(a T ) i=1

19 Nullzeilen und Nullspalten 37 Bemerkung Hat A R n n eine Zeile oder eine Spalte mit lauter Nullen, so ist det (A) = 0. Multilinearität der Determinanten 38 Satz Ist A = (a ij ) R n n mit A k, = a + λa (a, a R n, λ R), so ist det(a) gleich A 1, A 1,.. a + λa = det a +λ det det. A n, Analoges gilt für Spalten.. A n, A 1,. a. A n,.

20 Die Determinante ist alternierend Satz Entsteht à Rn n aus A R n n durch Vertauschung zweier Zeilen (oder zweier Spalten), so ist det (Ã) = det(a). 39 Korollar Hat A R n n zwei gleiche Zeilen (oder zwei gleiche Spalten), so ist det (A) = 0. Laplace-Entwicklung Satz Für A = (a ij ) R n n (n 2), k, l {1,..., n} gilt: 40 det (A) = n ( 1) i+l a il det (A (i,l) ) i=1 (Entwicklung nach der l-ten Spalte) det (A) = n ( 1) k+j a kj det (A (k,j) ) j=1 (Entwicklung nach der k-ten Zeile)

21 Zeilen-/Spaltenadditionen 41 Satz Entsteht à R n n aus A R n n durch Addition des λ-fachen der i-ten Zeile zur k-ten Zeile mit i k (oder des µ-fachen der j-ten Spalte zur l-ten Spalte mit j l), so ist det (Ã) = det (A). Determinanten-Berechnung mit Gauß 42 Sei A R n n gegeben. Bestimme mit elementaren Zeilen- und Spaltenoperationen aus A eine Dreiecksmatrix à = (ã ij ) R n n. Sei t die Anzahl der durchgeführten Zeilenund Spaltenvertauschungen. Dann ist det (A) = ( 1) t n ã ii. i=1

22 Determinanten-Multiplikationssatz 43 Satz Für A, B R n n gilt det (AB) = det (A) det (B) Vorsicht: Im Allgemeinen ist aber det (A + B) nicht gleich det (A) + det (B)! Rechenregeln 44 Seien A, B R n n. det (A T ) = det (A) det (A) 0 A invertierbar det (A 1 ) = 1 det (A), falls A invertierbar det (AB) = det (A) det (B) = det (BA) det (A k ) = (det (A)) k für alle k N det (λ A) = λ n det (A) für alle λ R det (I n ) = 1 det (O n n ) = 0

23 Cramers Regel 45 Satz Ist A R n n invertierbar und b R n, so gilt für die eindeutige Lösung von Ax = b für alle j {1,..., n}: x j = 1 det A det ( A,1,..., A,j 1, b, A,j+1,..., A,n )