Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 17/18, SS 18, WS 18/19)

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1 1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 17/18, SS 18, WS 18/19) Kapitel 4: Matrizen Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 4. Dezember 2017)

2 Matrizen 2 Definition 4.1 Eine m n-matrix ist ein rechteckiges Schema a 1,1 a 1,2 a 1,n A = a 2,1 a 2,2 a 2,n a m,1 a m,2 a m,n mit m Zeilen und n Spalten. Die Menge der m n-matrizen mit Einträgen aus K ist K m n (hier immer K = R oder K = C).

3 Bemerkungen 3 a i,j ist also der Eintrag in Zeile i und Spalte j. Schreibweisen: A = (a i,j ) = (a i,j ) i = 1,..., m j = 1,..., n Menge R m n der reellen Matrizen: a i,j R für alle i, j Menge C m n der komplexen Matrizen: a i,j C für alle i, j Hier: Beschränkung auf reelle Matrizen (komplexe Matrizen analog)

4 Beispiele 4 A = (a i,j ) = ( ) R 2 3 Z.B.: a 1,1 = 1, a 2,3 = 4 Die Matrix I n = = (c i,j) (mit c i,j = 1 für i = j und c i,j = 0 für i j) heißt die n n-einheitsmatrix.

5 Beispiele 5 Die Matrix O = O m,n K m n mit lauter Nullen ist die m n-nullmatrix. B = (b 1,1 ) K 1 1 ist eine 1 1-Matrix; wir können K 1 1 mit K identifizieren. Vektoren aus K k kann man als einspaltige k 1-Matrizen oder als einzeilige 1 k-matrizen auffassen. Konvention: Im Kontext der Matrizenrechnung identifizieren wir K k mit K k 1 (Spaltenvektoren)

6 Transponierte 6 Definition 4.2 Die Transponierte einer Matrix A = (a i,j ) K m n ist die Matrix A T = (b k,l ) K n m mit b k,l = a l,k für alle k {1,..., n}, l {1,..., m} (Vertauschung der Rollen von Zeilen und Spalten). A = ( ) R 2 3 A T = R

7 Addition und skalare Multiplikation 7 Definition 4.3 Für A = (a i,j ) K m n, B = (b i,j ) K m n und λ K definieren wir A + B := (a i,j + b i,j ) K m n (Matrizenaddition) und λa := (λa ij ) K m n (skalare Multiplikation).

8 Beispiele 8 ( ) ( ) = ( ) ( ( 2) ) = ( )

9 Rechenregeln 9 Für A, B, C K m n und λ, µ K gelten: (A + B) + C = A + (B + C) A + B = B + A A + O = A λ(µa) = (λµ)a λ(a + B) = λa + λb (λ + µ)a = λa + µa Wie K k bildet auch K m n einen Vektorraum.

10 Zeilen und Spalten Für A K m n : A i, K n ist der aus der i-ten Zeile von A gebildete Vektor (der Länge n). 10 i A,j K m ist der aus der j-ten Spalte von A gebildete Vektor (der Länge m). j

11 Matrizenmultiplikation Definition 4.4 Für zwei Matrizen A = (a i,j ) K m n und B = (b j,k ) K n p definiere AB = (c ik ) K m p mit n c i,k = a i,j b j,k (= A i,, B,k, falls K = R) j=1 für alle i {1,..., m}, k {1,..., p}. 11 k k i Länge: n Länge: n * = i

12 Beispiel = ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) =

13 Formate müssen passen 13 A = und B = kann man nicht multiplizieren (A hat 2 Spalten, aber B hat 3 Zeilen).

14 Weitere Beispiele ( ) = ( ) =

15 Weitere Beispiele 15 ( ( ) ) ( ( ) = ) = ( ( ) ) Bemerkung 4.5 Matrizenmultiplikation ist i.a. nicht kommutativ!

16 Rechenregeln Für Matrizen A, B, C jeweils passender Formate und λ K gelten: (AB)C = A(BC) 16 A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC A(λB) = (λa)b = λ(ab) (AB) T = B T A T AI n = A = I m A O m,m A = O m,n = AO n,n

17 Multiplikation von Matrizen mit Vektoren Sei A = (a i,j ) K m n. Fasse x K n mit Komponenten x 1,..., x n als n 1-Matrix auf (Spaltenvektor). Definiere Ax K m als den Vektor mit m Komponenten, der als m 1-Matrix aufgefasst x 1 a 1,1 x a 1,n x n A. =..... x n a m,1 x a m,n x n A 1,, x =., falls K = R A m,, x ist. 17

18 Lineare Abbildungen Bemerkung 4.6 Die mittels einer Matrix A K m n definierte Abbildung ϕ A : K n K m, x Ax ist eine lineare Abbildung. 18 Bemerkung 4.7 Wir werden später sehen: Zu jeder linearen Abbildung f : K n K m gibt es auch eine Matrix A K m n mit f (x) = Ax für alle x K n.

19 Beispiel 19 f : R 2 R 3 mit f (x) = ( x1 x 2 ) = für alle x = (x 1, x 2 ) R 2, also 2x 1 + 3x 2 5x 1 + 0x 2 0x 1 + ( 1)x 2 f (x 1, x 2 ) = (2x 1 + 3x 2, 5x 1, x 2 ).

20 Bildmenge (Bild f (R) des Rechtecks R = [ 1, 1] [ 2, 2] unter f.)

21 Koordinatenprojektion 21 g : R 3 R 2 mit g(x 1, x 2, x 3 ) = ( ) x ( ) 1 x 2 x1 = x x 2 3 (Projektion auf die ersten beiden Koordinaten.)

22 Drehungen 22 Für einen Winkel Φ [0, 2π]: ( ) ( x cos(φ) sin(φ) = ỹ sin(φ) cos(φ) ) ( x y ) entsteht durch Drehung (gegen Uhrzeigersinn) um den Winkel Φ um den Ursprung.

23 23 Beispiel mit Φ = π

24 Mit anschließender x-streckung ( ) ( 2 cos(φ) 2 sin(φ) x sin(φ) cos(φ) y )

25 m = 1 und n = 1 Lineare Funktionen f : R R mit 25 für eine Konstante a R. f (x) = (a) (x) = ax Graph der Funktion f (x) = 1 3 x Die Graphen von linearen Funktionen R R sind Geraden durch den Ursprung.

26 m = 1 und n beliebig 26 Lineare Funktionen f : K n K mit f (x) = f (x 1,..., x n ) = (a 1,..., a n ) x 1. x n = a 1 x a n x n = a, x (= A i,, B,k, falls K = R) für einen konstanten Vektor a = (a 1,..., a n ) K n.

27 Graphen f : R 2 R mit f (x, y) = 2x + 4y Die Graphen von linearen Funktionen R n R sind (Hyper-)Ebenen im R n+1 durch den Ursprung.

28 Kerne von Matrizen 28 Definition 4.8 Der Kern einer Matrix A K m n ist ker(a) = {x K n Ax = O m } = ker(ϕ A ) (also der Kern der linearen Abbildung x A).

29 Zeilen- vs. Spaltenvektoren 29 Im Kontext von Matrizenmultiplikationen sind Vektoren v K q immer als Spaltenvektoren v 1 v =. K q 1 v q aufzufassen. Der zugehörige Zeilenvektor ist v T = (v 1,..., v q ) K 1 q.

30 Lineare Gleichungssysteme Definition 4.9 Ein lineares Gleichungssystem (LGS) in den Variablen x 1,..., x n hat die Form 30 a 11 x a 1n x n = b 1... a m1 x a mn x n = b m mit (konstanten) Koeffizienten a ij K und (konstanten) rechten Seiten b i K (für i {1,..., m} und j {1,..., n}). Es heißt homogen, wenn b 1 = = b m = 0 ist, sonst heißt es inhomogen.

31 Äquivalenz von LGS 31 Die Lösungsmenge von Ax = b ist {z K n Az = b}. Zwei lineare Gleichungssysteme Ax = b und Ãx = b (mit A K m n, b K m, Ã K m n, b K m ) heißen äquivalent, wenn sie die gleiche Lösungsmenge haben.

32 Zeilenoperationen 32 Die folgenden elementaren Zeilenoperationen überführen ein LGS Ax = b in ein äquivalentes LGS Ãx = b: (a) Vertauschung von Zeilen (b) Addition des λ-fachen einer Zeile A i, zu einer anderen Zeile A k, (mit k i) für ein λ K Das gleiche gilt für die Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar λ 0 (Skalierung). Strategie: Bringe Ax = b durch elementare Zeilenoperationen (und evtl. Skalierung) in eine Form, an der man die Lösungen leicht ablesen kann.

33 Köpfe 33 Definition 4.10 Sei A K m n eine Matrix und i {1,..., m}. Falls A i, O n, so heißt (i, j) mit a i,1 = = a i,j 1 = 0 und a ij 0 der Kopf der i-ten Zeile von A; die Zahl a ij K ist dann die Kopfzahl der i-ten Zeile. Ist A i, = O n, so hat die i-te Zeile keinen Kopf.

34 Zeilenstufenform 34 Definition 4.11 Eine Matrix A R m n hat Zeilenstufenform (ZSF) wenn für ein p {1,..., m} A 1,,..., A p, O n und A p+1, = = A m, = O n gilt und für alle i, k {1,..., p} mit i < k der Kopf der k-ten Zeile weiter rechts als der Kopf der i-ten Zeile steht (insbesondere stehen unter jedem Kopf nur Nullen).Die Spalten, die Köpfe enthalten, heißen Basis-Spalten. Sind zusätzlich alle Kopfzahlen gleich 1 und stehen auch über allen Köpfen nur Nullen, so hat die Matrix A normierte Zeilenstufenform (NZSF).

35 Zeilenstufenform 35 (#: Zahl 0, : beliebige Zahl) 0 0 # 0 0 # 0 0 # #

36 Normierte Zeilenstufenform

37 Gauß-Algorithmus für ZSF 37 Eingabe: Ausgabe: A R m n à R m n in ZSF, die durch elementare Zeilenoperationen aus A entstanden ist (1) Falls A = O : à A (fertig) (2) Sonst suche eine Zeile, deren Kopf am weitesten links steht und vertausche diese Zeile mit der ersten Zeile.

38 Gauß-Algorithmus für ZSF 38 (3) Ist (1, j) der Kopf der ersten Zeile, so addiere für alle i {2,..., m} das ( a ) ij -fache der ersten zur i-ten Zeile a 1j (unter (1, j) stehen in der j-ten Spalte jetzt nur noch Nullen). (4) Sei à R (m 1) (n j) die entstandene Matrix ohne die erste Zeile und die ersten j Spalten; wende das Verfahren rekursiv auf à an.

39 ZSF-Transformation 39 Bemerkung 4.12 Mit dem Gauß-Algorithmus kann man jede Matrix A in eine Matrix à in ZSF transformieren. Diese ZSF-Matrix à ist aber durch A i. A. nicht eindeutig bestimmt (wegen der Wahlmöglichkeiten in Schritt 2). Die Anzahl der Rechenoperationen ist dabei beschränkt durch const mn min{m, n}.

40 Gauß-Algorithmus für NZSF 40 Eingabe: Ausgabe: à K m n in ZSF à K m n in NZSF, die durch elementare Zeilenoperationen und Skalierung aus à entstanden ist. (1) Dividiere jede Nicht-Null-Zeile durch ihre Kopfzahl. (2) Für i = m, m 1,..., 1 (falls à i, O n ): Subtrahiere geeignetes Vielfaches der i-ten Zeile von den Zeilen 1,..., i 1, so dass über dem Kopf der i-ten Zeile nur noch Nullen stehen.

41 NZSF-Transformation 41 Bemerkung 4.13 Mit dem Gauß-Algorithmus kann man jede Matrix à Km n, die in ZSF ist, in eine Matrix in NZSF transformieren. Die Anzahl der Rechenoperationen ist dabei beschränkt durch const mn min{m, n}.

42 Erweiterte Koeffizientenmatrix 42 Definition 4.14 Für ein LGS Ax = b mit A K m n, b K m heißt (A, b) K m (n+1) die erweiterte Koeffizientenmatrix von Ax = b. Das LGS Ax = b hat NZSF, wenn (A, b) NZSF hat.

43 Lösungsstruktur bei NZSF Satz 4.15 Sei Ax = b ein LGS in NZSF; sei r die Anzahl der Nicht-Null-Zeilen von A. (1) Falls b r+1 0 (oder b i 0 für i r + 1), so hat Ax = b keine Lösung. (2) Ansonsten (d. h. b r+1 = = b m = 0): (a) Falls r = n (jede Spalte ist Basisspalte): Ax = b hat die eindeutige Lösung x 1 = b 1,..., x n = b n. (b) Falls r < n: Ax = b hat unendlich viele Lösungen, die man erhält, indem man den Nicht-Basis-Variablen beliebige Werte zuweist und die Werte der Basis-Variablen anschließend jeweils mit Hilfe der Zeile ausrechnet, deren Kopf in der zugehörigen Spalte steht. 43

44 Lösungen von allgemeinen LGS 44 Bemerkung 4.16 Ein allgemeines LGS Ax = b kann man also lösen, indem man es zunächst via Gauß-Algorithmus in NZSF bringt und dann Satz 4.15 anwendet. Hat man eine beliebige Lösung z mit Az = b, so erhält man alle anderen Lösungen von Ax = b, indem man zu z beliebige Lösungen des homogenen Systems Ax = O addiert.

45 Der Rang 45 Definition 4.17 Der Rang rang(a) einer Matrix A K m n ist: Die Dimension des von den Zeilen bzw. Spalten erzeugten Unterraums von K n bzw. K m. Die Anzahl der Nicht-Nullzeilen in einer NZSF von A. n dim (ker A). Bemerkung 4.18 Für jede Matrix A K m n ist rang(a) = rang(a T ).

46 Quadratische Matrizen Definition 4.19 Eine Matrix heißt quadratisch, wenn sie genau so viele Zeilen wie Spalten hat. 46 Definition 4.20 Eine Matrix A = (a ij ) K n n hat obere bzw. untere Dreiecksform, wenn a ij = 0 für alle j < i bzw. für alle j > i gilt. Definition 4.21 Die Hauptdiagonale einer n n Matrix besteht aus den Positionen (i, i) (für i {1,..., n}).

47 Dreiecksmatrizen und LGS 47 Bemerkung 4.22 Sei A = (a ij ) K n n eine obere oder untere Dreiecksmatrix. 1. Ist a ii 0 für alle i, so sind für alle b, c K n die Systeme Ax = b und y T A = c T eindeutig lösbar. 2. Ist a ii = 0 für irgendein i, so ist Ax = e i nicht lösbar.

48 Invertierbarkeit 48 Definition 4.23 Eine quadratische Matrix A K n n heißt invertierbar (oder regulär), falls eine Matrix B K n n existiert mit AB = I n.eine solche Matrix B ist eindeutig bestimmt (wenn sie existiert); sie wird mit A 1 (Inverse von A) bezeichnet.eine nicht invertierbare quadratische Matrix heißt singulär. Korollar 4.24 Eine Dreiecksmatrix ist genau dann invertierbar, wenn sie auf der Hauptdiagonalen keine Null hat.

49 Rechenregeln 49 Seien A, B K n n invertierbar. Dann gelten: AA 1 = A 1 A = I n (A 1 ) 1 = A (A T ) 1 = (A 1 ) T (AB) 1 = B 1 A 1 Sind A 1,..., A k K n n invertierbar, so ist A 1 A 2 A k invertierbar mit (A 1 A 2 A k ) 1 = A 1 k A 1 2 A 1 1.

50 Invertierbarkeit und LGS Bemerkung Ist A K n n invertierbar, so hat für jedes b K n das LGS Ax = b genau eine Lösung: x = A 1 b. Satz 4.26 Eine Matrix A K n n ist genau dann invertierbar, wenn das LGS Ax = O n nur die Lösung x = O n hat. Korollar 4.27 Elementare Zeilen- und Spaltenoperationen ändern die Invertierbarkeit einer Matrix nicht. (Achtung: Die Inverse ändert sich i.a. aber schon.)

51 Kriterien für Invertierbarkeit 51 Korollar 4.28 Eine Matrix A K n n ist genau dann invertierbar, wenn ihre Spalten linear unabhängig sind. Korollar 4.29 Eine Matrix A K n n ist genau dann invertierbar, wenn ihre Zeilen linear unabhängig sind.

52 Invertierbarkeit und lineare Abbildungen 52 Satz 4.30 Eine durch ϕ(x) = Ax (mit A K n n ) definierte lineare Abbildung ϕ : K n K n ist genau dann umkehrbar, wenn A invertierbar ist. Die Umkehrabbildung ist dann definiert durch ϕ 1 (y) = A 1 y für alle y K n.

53 Elementarmatrizen 53 Definition 4.31 Eine Elementarmatrix ist eine Matrix, die aus einer Identitätsmatrix durch eine elementare Zeilenoperation oder eine Zeilenskalierung (mit λ 0) hervorgeht.

54 Invertierung von Elementarmatrizen Bemerkung Elementarmatrizen sind invertierbar. Ihre Inversen sind die Elementarmatrizen, die zu den jeweiligen Umkehroperationen (Vertauschen, Subtraktion des λ-fachen, Multiplikation mit Kehrwert) gehören. Entsteht à aus A K m n durch eine Folge von elementaren Zeilenoperationen und Zeilenskalierungen mit zugehörigen Elementarmatrizen E 1,..., E k K m m, so ist à = PA mit der invertierbaren Matrix P = E k E 2 E 1 K m m.

55 Invertierung mittels Gauß-Algorithmus Sei A K n n. Forme (A, I n ) K n 2n mittels elementarer Zeilenoperationen und Zeilenskalierungen in (Ã, B) um, so dass à in NZSF ist. Ist P K n n das Produkt der zugehörigen Elementarmatrizen (wie in Bem. 4.32), so ist (Ã, B) = P (A, I n ) = (PA, P), also B = P und à = PA = BA. Falls à = I n ist, so ist also I n = BA, folglich A 1 = B. Falls à I n (à hat NZSF), so hat à wenigstens eine Null auf der Hauptdiagonalen, also ist A nicht invertierbar. 55

56 Darstellungsmatrizen Definition 4.33 Seien V und W zwei endlich-dimensionale K-Vektorräume mit zwei geordneten Basen B = (b (1),..., b (n) ) von V und C = (c (1),..., c (m) ) von W. Die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung ϕ : V W bzgl. B und C ( ) CM(ϕ) B = Cϕ(b (1) ),..., C ϕ(b (n) ) K m n hat als Spalten die Koordinatenvektoren der Bilder ϕ(b (1) ),..., ϕ(b (n) ) der Basis B bzgl. der Basis C.

57 ... stellen lineare Abbildungen dar 57 Satz 4.34 Sind V und W endlich-dimensionale K-Vektorräume mit zwei geordneten Basen B von V und C von W, so gilt für jede lineare Abbildung ϕ : V W für alle v V : Cϕ(v) = C M(ϕ) B Bv

58 Verkettung linearer Abbildungen 58 Satz 4.35 Sind V, W, U endlich-dimensionale K-Vektorräume mit geordneten Basen B, C bzw. D, so gilt DM(ψ ϕ) B = D M(ψ) C CM(ϕ) B für alle linearen Abbildungen ϕ : V W, ψ : W U.

59 Darstellungsmatrizen und Basiswechsel 59 Satz 4.36 Sind B und C zwei geordnete Basen des endlich-dimensionalen K-Vektorraumes V, so gilt für jede lineare Abbildung ϕ : V V CM(ϕ) C = S 1 BM(ϕ) B S mit S = B M(id V ) C (die Matrix, deren Spalten die Koordinatenvektoren von C bzgl. B sind).

60 Wechsel von der Standardbasis 60 Bemerkung 4.37 Ist A K n n und ist C = (c (1),..., c (n) ) eine geordnete Basis von K n, so gilt für ϕ A : K n K n mit ϕ A (v) = Av: CM(ϕ A ) C = S 1 AS, wobei S K n n die Matrix mit Spalten c (1),..., c (n) ist.

61 Ähnlichkeit von Matrizen 61 Definition 4.38 Zwei Matizen A, A K n n heißen ähnlich zueinander, wenn es eine invertierbare Matrix S K n n gibt mit A = S 1 AS.

62 Parallelogramm 62

63 Spate/Parallelepipede 63

64 Streichungsmatrizen 64 Definition 4.39 Für A K n n und i, j {1,..., n} sei A (i,j) K (n 1) (n 1) die Matrix, die aus A entsteht, wenn man die i-te Zeile und die j-te Spalte heraus streicht.

65 Definition der Determinante Definition 4.40 Für beliebige n 1 definieren wir die Determinante det(a) K einer quadratischen Matrix A = (a ij ) K n n rekursiv: 65 Falls n = 1: A = (a 11 ) und det(a) := a 11 Falls n 2: det(a) := n i=1 ( 1) i+1 a i1 det(a (i,1) ) = a 11 det(a (1,1) ) a 21 det(a (2,1) ) + + ( 1) n+1 a n1 det(a (n,1))

66 Permutationen Definition 4.41 Eine Permutation von {1,..., n} ist ein bijektive Abbildung σ : {1,..., n} {1,..., n}. Eine Permutation σ repräsentiert also eine Reihenfolge (σ(1), σ(2),..., σ(n)) der Zahlen 1, 2,..., n. Eine Fehlstellung von σ ist ein Paar i < j mit σ(i) > σ(j). Das Signum von σ ist 66 sign(σ) := { +1, gerade viele Fehlstellungen 1, ungerade viele Fehlstellungen. Die Menge der Permutationen von {1,..., n} ist Π n.

67 Leibniz-Formel 67 Satz 4.42 Für die Determinante von A = (a ij ) K n n gilt: det(a) = σ Π n sign (σ) n j=1 a σ(j),j

68 Die Determinante der Transponierten 68 Satz 4.43 Für jede Matrix A K n n gilt: det(a) = τ Π n n sign (τ) a i,τ(i) = det(a T ) i=1

69 Nullzeilen und Nullspalten 69 Bemerkung 4.44 Hat A K n n eine Zeile oder eine Spalte mit lauter Nullen, so ist det (A) = 0.

70 Multilinearität der Determinanten 70 Satz 4.45 Ist A = (a ij ) K n n mit A k, = a + λa (a, a K n, λ K), so ist det(a) gleich A 1, A 1,.. a + λa = det a +λ det det. A n, Analoges gilt für Spalten.. A n, A 1,. a. A n,.

71 Die Determinante ist alternierend Satz 4.46 Entsteht à Kn n aus A K n n durch Vertauschung zweier Zeilen (oder zweier Spalten), so ist det (Ã) = det(a). 71 Korollar 4.47 Hat A K n n zwei gleiche Zeilen (oder zwei gleiche Spalten), so ist det (A) = 0.

72 Laplace-Entwicklung Satz 4.48 Für A = (a ij ) K n n (n 2), k, l {1,..., n} gilt: 72 det (A) = n ( 1) i+l a il det (A (i,l) ) i=1 (Entwicklung nach der l-ten Spalte) det (A) = n ( 1) k+j a kj det (A (k,j) ) j=1 (Entwicklung nach der k-ten Zeile)

73 Zeilen-/Spaltenadditionen 73 Satz 4.49 Entsteht à K n n aus A K n n durch Addition des λ-fachen der i-ten Zeile zur k-ten Zeile mit i k (oder des µ-fachen der j-ten Spalte zur l-ten Spalte mit j l), so ist det (Ã) = det (A).

74 Determinanten-Berechnung mit Gauß 74 Sei A K n n gegeben. Bestimme mit elementaren Zeilen- und Spaltenoperationen aus A eine Dreiecksmatrix à = (ã ij ) K n n. Sei t die Anzahl der durchgeführten Zeilenund Spaltenvertauschungen. Dann ist det (A) = ( 1) t n ã ii. i=1

75 Determinante und Kern 75 Satz 4.50 Für alle A K n n gilt: det (A) = 0 ker A {O n }

76 Determinanten-Multiplikationssatz 76 Satz 4.51 Für A, B K n n gilt det (AB) = det (A) det (B) Vorsicht: Im Allgemeinen ist aber det (A + B) nicht gleich det (A) + det (B)!

77 Rechenregeln 77 Seien A, B K n n. det (A T ) = det (A) det (A) 0 A invertierbar det (A 1 ) = 1 det (A), falls A invertierbar det (AB) = det (A) det (B) = det (BA) det (A k ) = (det (A)) k für alle k N det (λ A) = λ n det (A) für alle λ K det (I n ) = 1 det (O n n ) = 0

78 Cramers Regel 78 Satz 4.52 Ist A K n n invertierbar und b K n, so gilt für die eindeutige Lösung von Ax = b für alle j {1,..., n}: x j = 1 det A det ( A,1,..., A,j 1, b, A,j+1,..., A,n )

79 Diagonalisierbarkeit 79 Definition 4.53 Eine Matrix A K n n heißt diagonalisierbar, wenn es eine invertierbare Matrix S K n n gibt, so dass D = S 1 AS eine Diagonalmatrix ist.

80 Eigenwerte und -vektoren 80 Definition 4.54 Eine Zahl λ K heißt ein Eigenwert von A K n n, wenn es (wenigstens) einen Vektor v K n \ {O n } gibt mit Av = λv. Diese Vektoren heißen dann Eigenvektoren zum Eigenwert λ.

81 Kriterium für Diagonalisierbarkeit 81 Satz 4.55 Eine Matrix A K n n ist genau dann diagonalisierbar, wenn es eine Basis von K n aus lauter Eigenvektoren von A gibt. Schreibt man diese Basisvektoren als Spalten in eine Matrix S K n n, so ist S 1 AS eine Diagonalmatrix, auf deren Diagonalen die zu den Basisvektoren gehörenden Eigenwerte stehen.

82 Eigenräume 82 Definition 4.56 Für einen Eigenwert λ K von A K n n heißt Eig A (λ) = {v K n Av = λv} der Eigenraum zum Eigenwert λ.

83 Das charakteristische Polynom 83 Definition 4.57 Für eine Matrix A K n n heißt χ A = det(a x I n ) K[x] n das charakteristische Polynom von A. Satz 4.58 Die Eigenwerte von A K n n sind genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms χ A K[x] n von A.

84 Konsequenzen 84 Bemerkung 4.59 Eine Matrix A K n n hat also höchstens n Eigenwerte (weil χ A den Grad n hat). Satz 4.60 Jede Matrix in C n n hat wenigstens einen Eigenwert; wegen R n n C n n hat also jede reelle Matrix wenigstens einen Eigenwert in C.

85 Nicht-reelle Eigenwerte reeller Matrizen 85 Bemerkung 4.61 Die nicht-reellen Eigenwerte reeller Matrizen treten als Paare zueinander komplex-konjugierter komplexer Zahlen auf.

86 Vielfachheiten von Nullstellen 86 Jedes Polynom p(x) C[x] vom Grad n zerfällt in n Linearfaktoren: p(x) = α (λ 1 x) k1 (λ 2 x) k2 (λ r x) k r mit α C \ {O}, λ i λ j, k 1 + k k r = n λ 1,..., λ r sind genau die Nullstellen von p(x), ihre Vielfachheiten sind k 1,..., k r.

87 Vielfachheiten von Eigenwerten 87 Definition 4.62 Ist λ K ein Eigenwert von A K n n, so ist die algebraische Vielfachheit von λ die Vielfachheit der Nullstelle λ des charakteristischen Polynoms χ A von A; die geometrische Vielfachheit von λ ist dim (Eig A (λ)).

88 Algebraische und geometrische Vielfachheit 88 Satz 4.63 Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts ist höchstens so groß wie seine algebraische Vielfachheit; für jeden Eigenwert gilt also: 1 geom. Vielf. alg. Vielf.

89 Diagonalisierbarkeit und Eigenwerte 89 Satz 4.64 Eine Matrix A K n n ist genau dann (über K) diagonalisierbar, wenn ihr charakteristisches Polynom χ A (über K) in Linearfaktoren zerfällt und für jeden Eigenwert die geometrische Vielfachheit so groß wie die algebraische ist.

90 Determinante und Spur Satz 4.65 Sind λ 1,..., λ r C die Eigenwerte einer Matrix A C n n mit algebraischen Vielfachheiten k 1,..., k r, so ist det (A) = λ k 1 1 λk 2 2 λk r r Spur (A) = k 1 λ 1 + k 2 λ k r λ r (Spur (A) = n A ii ) i=1

91 ... im charakteristischen Polynom 91 Bemerkung 4.66 Für jede Matrix A K n n ist χ A = ( 1) n x n +( 1) n 1 Spur (A)x n 1 + +det (A), Spur und Determinante findet man also in den Koeffizienten des charakteristischen Polynoms.

92 Komplex konjugierte Vektoren/Matrizen 92 Definition 4.67 Für v = (v 1,..., v n ) C n sei v = (v 1,..., v n ) C n der zu v komplex konjugierte Vektor; für A = (a ij ) C n n sei A = (a ij ) C n n die zu A komplex konjugierte Matrix.

93 Symmetrische reelle Matrizen 93 Satz 4.68 Jede symmetrische reelle Matrix A R n n ist über R diagonalisierbar. Satz 4.69 Die Eigenräume zu verschiedenen Eigenwerten einer symmetrischen reellen Matrix stehen orthogonal zueinander (d.h., je zwei Vektoren aus verschiedenen Eigenräumen haben Skalarprodukt Null).

94 Eine Matrix S R n n ist genau dann orthogonal, wenn die Spalten von S eine Orthonormalbasis von R n bilden. Orthonormalbasen, orthogonale Matrizen Definition 4.70 Eine Orthonormalbasis ist eine Basis von R n, deren Vektoren paarweise orthogonal aufeinander stehen und Norm Eins haben. 94 Definition 4.71 Eine Matrix S R n n heißt orthogonal, wenn S T S = I (d. h. S 1 = S T ) gilt. Bemerkung 4.72

95 Reelle symmetrische Matrizen 95 Satz 4.73 Für jede symmetrische Matrix A R n n gibt es eine orthogonale Matrix S R n n, so dass S T AS = D Diagonalgestalt hat. Die Eigenwerte von A stehen dabei mit ihren (algebraischen, geometrischen) Vielfachheiten auf der Diagonalen von D. Die Spalten von S bilden eine Orthonormalbasis von R n aus Eigenvektoren von A.

96 Hermitesche Matrizen 96 Definition 4.74 Eine Matix A C n n heißt hermitesch, wenn A T = A ist. Satz 4.75 Jede hermitesche Matrix A C n n ist diagonalisierbar und hat nur reelle Eigenwerte.