Erweiterte Koordinaten

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1 Erweiterte Koordinaten Sei K n ein n dimensionaler affiner Raum Die erweiterten Koordinaten des Punktes x x n K n sind x x n Kn+ (Das ist für alle K sinnvoll, weil in jedem Körper K wohldefiniert ist In dieser Vorlesung kann man K = R annehmen) Rechnen ( ) ( Sie ) selbst: ( ) Was sind die erweiterten Koordinaten von 5,, 2 6 Antwort 2, 5 6, Zuerst sieht der Begriff Erweiterte Koordinaten künstlich aus: Wozu sollte man eine unten hinzufügen? Wir werden in der Theorie der Quadriken sehen, dass diese Schreibweise doch nützlich ist Hier werde ich zeigen, dass in einigen bereits erlernten Begriffen erweiterte Koordinaten ganz natürlich vorkommen

2 Bsp: Affine Kombinationen in erweiterten Koordinaten Wiederholung Der Punkt x K n ist eine affine Kombination der Punkte x,,x k K n, wenn es Zahlen λ,,λ k K gibt mit λ +λ 2 ++λ k = sodass x = λ x ++λ k x k ( ) Hier, in der affinen Kombination ( ), kann man statt x und statt x,,x k die erweiterten Koordinaten von x bzw x i einsetzen: ( ) ( Die ) Gleichung ( bleibt richtig: x x xk = λ ++λ k ), weil unten λ ++λ k = steht

3 Affinitäten Wiederholung Def Wiederholung Eine Affinität von K n ist eine Abbildung F : K n K n der Form F(x) = Bx +b, wobei B GL n (K) eine nichtausgeartete quadratische n n-matrix ist Eine wichtige Klasse von Affinitäten vom euklidischen Raum (R n,, ) bilden die Isometrien, also Affinitäten der Form F(x) = Ox +b, wobei O eine orthogonale Matrix ist

4 Bsp Affinitäten in erweiterten Koordinaten Man kann jede Affinität Bx + b (eigentlich jede affine Abbildung, wir werden aber nur Affinitäten benutzen) in der erweiterten Form schreiben: x = x n b B B B b n x = x n F Bx +b Erklärung: Ausrechnen ZB ist es einfach zu sehen, dass auf der letzten n+-ten Stelle des Produktes steht, weil die letzte Zeile von der erweiterten Matrix gleich ( ) ist Auf dem ersten Platz des Produktes steht (b b n b ) Bx +b Analog für jede Zeile x x n = (b b n ) x x n +b wie in

5 Abschnitt: Quadriken (im R n ) Wir arbeiten im R n mit Standard-Skalarprodukt und Standardkoordinaten x x n Def Die Lösungsmenge der Gleichung n n a ij x i x j + a i x i +a = i,j= i= heißt Quadrik (a ij,a i,a R A = (a ij ) wird vorausgesetzt ) Fragen: In welche beste Form kann man die Gleichung der Quadrik mit Hilfe einer Isometrie bzw einer affinen Transformation bringen? Gegeben eine Quadrik, wie kann man die beste Form der Quadrik finden, ohne die Transformation explizit anzugeben?

6 Gleichung einer Quadrik in Matrix-Form Die Gleichung n n a ij x i x j + a i x i +a = i,j= i= kann man in der Matrix-Form a a n x x (x x n) + (a a n) a n a nn x n x n + a = schreiben Ferner gilt: Man kann immer voraussetzen (obda), dass die Matrix A := (a ij ) smmetrisch isttatsächlich, wenn wir die Matrix A durch die Matrix 2 (A+At ) ersetzen (die offensichtlich smmetrisch ist), wird die Gleichung und deswegen die Lösungsmenge nicht geändert: x t Das ist Matrix Ax = (x t Ax) t Rechenregeln = x t A t x, und deswegen ist die ursprüngliche Gleichung dieselbe wie a a n a a n t x x (x x n) (a a n) + a = a n a nn a n a nn x n x n

7 Erweiterte Matrix der Gleichung Man kann die Gleichung einer Quadrik auch in folgender Form schreiben: (x x n ) a a n a /2 x a n a nn a n/2 x n a /2 a n/2 a }{{} Erweiterte (smmetrische) Matrix Erw Q = ) Beweis: Einfach nachrechnen und die Gleichung a a n x x (x x n) +(a a n) a n a nn x n x n +a = bekommen (Oder die äquivalente Gleichung n i,j= a ijx i x j + n i= a ix i +a = )

8 Rechnen Sie selbst: Schreiben Sie bitte die Gleichung x 2 2x x +6 + = in (a) Matrixform, (b)( der erweiterten )( ) Matrixform ( ) x x Antwort (a) (x ) +(4 6) 5 = 2 2 x (b) (x ) 2 3 = 2 3 5

9 Beispiele in dim 2: Ausgeartete Quadriken ist eine Quadrik: Die entsprechende Gleichung (eine von mehreren) x ) + = (x ) + = (x ) x = ( )( x Ein Punkt ist eine Quadrik: ZB ist ( ) 2 die Lösungsmenge der Gleichung (x ) 2 +( 2) 2 = Und diese Gleichung ist x x 4 +5 = (x ) (x ) 2 x 2 5 = ( )( x Eine Gerade ist eine Quadrik: ZB ist die Gerade ) ( x +( 2 4) { (x ) +5 = ) sodass x = } die Lösungsmenge der Gleichung (x ) 2 = Und diese Gleichung ist x 2 2x + 2 ) = (x ) = (x ) x = ( )( x (Die { Vereinigung von) Zwei Geraden ist eine Quadrik: ZB ist (x ) } (x ) } sodass x= { sodass x=- die Lösungsmenge der Gleichung (x )(x +) = Und diese Gleichung ist x 2 2 ) = (x ) = (x ) ( )( x x =

10 Nichtausgeartete Quadriken in dim 2 Ellipse: ax 2 +b 2 = c, wobei a >, b >, c > ) (x ) c = (x ) a b x = ( a b)( x c Hperbel: ax 2 b 2 = c, wobei a >, b > c ) (x ) c = (x ) a b x = ( a b)( x c Parabel: ax 2 +b =, wobei a, b ) +b = (x ) (x ) ( a )( x a b/2 x b/2 =

11 Quadriken als Kegelschnitte

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13 Ein Doppel-Kegel ist eine Quadrik mit der Gleichung x tan 2 (θ)z 2 = Die { Schnittmenge dieses Kegels mit der Ebene x } + sx + tx 2 sodass ( ) s R 2 ist (als Punktmenge in der Ebene mit + s + t 2 z + sz + tz 2 t den Koordinaten s, t) die Menge (x +sx +tx 2 ) 2 +( +s +t 2 ) 2 tan 2 (θ)(z +sz +tz 2 ) 2 = (x tan 2 (θ)z) 2 t 2 +2(x x tan 2 (θ)z z 2 ) ts + }{{}}{{} a a 2=a 2 (x tan 2 (θ)z2) 2 ( s 2 +2 x x + tan 2 ) (θ)z z t + }{{}}{{} a 22 a 2 ( x 2 x + 2 tan 2 ) 2 (θ)z 2 z s +(x + 2 tan 2 (θ)z) 2 = }{{}}{{} a 2 a Wir sehen, dass die Menge eine Quadrik ist Man kann zeigen, dass man jede nichtausgeartete Quadrik bekommen kann, indem man eine geeignete Ebene (also, x, x, x 2 R 3 ) wählt z z 2 z 2

14 Was machen Affinitäten mit Quadriken? Sei F eine Affinität, sei Q eine Quadrik (in R n ) Frage Was ist Bild F (Q) einer Quadrik Q? Antwort (Lemma 6) Es ist eine Quadrik Beweis Da F eine Affinität ist, ist die Umkehrabbildung F auch eine Affinitätund hat deswegen die Form F (x) = Bx +b ( ) für ein b R n und eine nichtausgeartete n n Matrix B (In Vorl 8 haben wir sogar B und b ausgerechnet) Ist x Bild F (Q), so ist F (x) Q, also a a n x b ((b b n) + (x x t) n)b B + + }{{} (F (x)) t =(Bx+b) t a n a nn x n b n }{{} x b (a a n) B + x n b n }{{} x t B t AB }{{} A ( x + + a =, und deswegen F (x)=bx+b 2B t Ab + B t ) t t t a x + a b + b Ab + a }{{}}{{} a a F (x)=bx+b = ( ) Bemerkung Dies ist die Formel für die Gleichung der Quadrik Bild F (Q)

15 Formel ( ) für erweiterte Matrizen Erw Q = B t b b n a a n a n a nn a /2 a n/2 a /2 a n/2 a B B B b b n t Beweis: Z B Ausrechnen Man kann dies auch direkt sehen

16 Hauptsätze der Theorie der Quadriken (Normalformen) Satz 6 Man kann jede Quadrik mit Hilfe einer Isometrie in eine Quadrik mit der Gleichung λ (x x n) λ k x x + ( a }{{} k+ a n) + a = x n k x n überführen, sodass höchstens eines der a k+,,a n,a ungleich ist Satz 6 Man kann jede Quadrik mit Hilfe einer Isometrie in eine Quadrik mit der erweiterten Matrix rechts überführen (Höchstens eines der a k+,,a n,a ist ungleich ) Erw Q = λ λ k a k+ 2 an a 2 k+ an 2 2 a Bemerkung Da die Gleichungen f(x) = und λ f(x) = für λ gleiche Lösungsmengen haben, kann man noch eine Zahl gleich setzen, zb λ

17 Folgerung Bis auf Isometrien ist jede Quadrik in R 2 (mit dem Standard-Skalarprodukt) eine Ellipse, Hperbel, Parabel, ein Punkt, eine Gerade, ein Geradenpaar oder Beweis der Folgerung: Nach Satz 6 sieht die Gleichung einer Quadrik nach einer geeigneten Isometrie wie folgt aus (λ >, µ > ): ( λ (x ) µ )( x ) + c = λx 2 + µ 2 = c entspricht ( )( λ x (x ) + c = λx µ ) 2 µ 2 = c entspricht ( )( λ x (x ) + c = λx µ ) 2 = c entspricht c = c > c < c = c > c < ( )( λ x (x ) + µ ) ( c )( ) x = λx 2 = c entspricht c c = Punkt Ellipse Hperbel zwei nichtparallele Geraden Punkt zwei parallele Geraden { c = Gerade c Parabel

18 Satz 7 Man kann jede Quadrik mit Hilfe einer Affinität in eine Quadrik der Form ± (x x n) ± x x + ( a }{{} k+ a n) + a = x n k x n überführen, sodass höchstens eines der a k+,,a n,a ungleich ist (Man kann es sogar auf ± bringen) Man kann jede Quadrik mit Hilfe einer affinen Abbildung in eine Quadrik mit der rechts stehenden erweiterten Matrix überführen (wobei höchstens eines der a k+ a ungleich ist) Erw Q = a k+ 2 an a 2 k+ an 2 2 a

19 Folgerung Bis auf Anwendung einer affinen Abbildung ist jede Quadrik in R 2 ein Kreis, die Standard-Hperbel x 2 2 =, die Standard-Parabel = x 2, ein Punkt, eine Gerade, ein Geradenpaar [(x )(x +) = oder x 2 = ], oder (Beweis wie bei der Folgerung aus dem Satz 6)

20 Wiederholung: Diagonalisierung smmetrischer Matrizen über R Wiederholung: A heißt smmetrisch, falls A t = A Wiederholung Satz 37 Vorl 2 LA I Ist A smmetrisch, so gibt es eine orthogonale Matrix O, sodass O AO diagonal ist (Smmetrische Matrizen über R sind diagonalisierbar mit Hilfe von orthogonalen Transformationen) In Vorl 2 LAAG I haben wir gesehen, dass man auch die Reihenfolge der Diagonalelemente der Diagonalmatrix O AO beliebig wählen kann Für eine geeignete Matrix O gilt also: O AO = λ λ k Bemerkung: Nicht vergessen, dass für orthogonale Matrizen O = O t gilt

21 Idee des Beweises von Satz 6: Wir werden die Gleichung der Quadrik schrittweise (mit Hilfe von Isometrien) verbessern Beweis Man betrachte die Isometrie F, sodass F durch F (x) = +Ox = Ox gegeben ist, wobei O orthogonal ist Nach Lemma 6 ist Q := Bild F (Q) eine Quadrik, deren Gleichung t x t O t AO x + }{{} 2Ot A b +O t a }{{} x + a t b +a = x t O t AO x + a t O x + a = ist }{{}}{{}}{{} A } {{ } }{{} A ( a ) t a a Nach Satz 37 LA I kann man O so wählen, dass λ Dann betrachte man die Affinität F, sodass F die Translation A = F (x) = b + x ist Diese ist auch eine λ k Isometrie Nach Lemma 6 ist Bild F (Q ) eine Quadrik, deren Gleichung x t Id t A Id x + (2Id t A b + Id t a ) t x + ( a }{{} ) t b + a = x t A x + (2A b + (a ) t) t x + a t b + a = A }{{}}{{}}{{}}{{} a a a a ist Da A wie oben ist, können wir b so wählen, dass a = ( }{{} k a k+ a n ) (für i k setze b i = a i 2λ i, sonst b i = )

22 Ist k = n, oder (a k+,,a n ) = ( ), so sind wir fertig Wenn (a k+,,a n ) ( ) ist, betrachte man eine (n k) (n k) orthogonale Matrix O n k, sodass (für ein λ R) gilt λ a k+ O n k = a n Existenz: Mit dem Gram-Schmidt schen Verfahren kann man eine orthonormale Basis (o,,o n k ) finden, sodass o proportional zu a k+ a n ist Dann ist die Matrix O n k mit O n k e i = o i orthogonal (da die Basis orthonormal ist) und sie überführt ein Vielfaches von e in einen Vektor, der zu a k+ a n proportional ist

23 Man betrachte die Isometrie F 2 von R n mit F 2 gegeben durch F 2 (x) = + x x O n n k }{{} Das ist eine orthgonale Matrix, zb O Q 2 := Bild F2 (Q ) eine Quadrik mit der Gleichung (x x n) x t Oa=λx t e k+ =λe k+ t x λ (x x n) λk λ λk On k t x ( a n k a n) + a = On k t x n }{{} Nach Lemma 6 ist x x + ( λ ) }{{}}{{} + a = x n k n k x n x + x O n n k

24 Jetzt betrachten wir die Isometrie F 3, sodass F 3 die Translation F (x) = b +x ist, mit b = ( }{{} b k+ b n ) Ist ein a i, so k können wir b so wählen, dass a = (ZB a b = ( )) b }{{} i i te Stelle Satz 6 ist bewiesen Um Satz 7 zu beweisen, müssen wir noch die passende Skalierung x x n µ x µ n x n wählen, die offensichtlich eine affine Abbildung ist, um die von Null verschiedenen Koeffizienten auf ± zu bringen

25 Bsp zu Beweis von Satz 6 Wir betrachten die Quadrik im R 3 Nach dem Algorithmus im Beweis von Satz 6 sollen wir zuerst die Matrix diagonalisieren (mit Hilfe von orthogonalen Matrizen) In LA I haben wir gelernt, dass die Basis, in welcher die Matrix Diagonalgestalt hat, aus Eigenvektoren besteht Das charakteristische Polnom ist, die Nullstellen davon sind und die entsprechenden Eigenvektoren sind (Sie sind automatisch zueinander orthogonal, da die Eigenwerte verschieden sind Ich habe sie zusätzlich normiert, damit sie eine orthonormale Basis bilden)

26 Als orthogonale Transformationsmatrix erhält man dann O Im neuen Koordinatensstem x = O sieht die Gleichung nach Lemma 6 wie folgt aus: Wir müssen noch den zweiten Eintrag in a auf bringen: Da sehen wir, dass nach der Parallelverschiebung der Quadrik Normalform hat z z 2 = 2 + z 3 3 die Gleichung