Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra II, SoSe 2016,

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1 Klausur zur Vorlesung Lineare Algebra II, SoSe 6, Vokabelbuch In diesem Teil soll getestet werden, inwieweit Sie in der Lage sind, wichtige Definitionen und Sätze aus der Vorlesung korrekt zu formulieren bzw. zu interpretieren. Für jede richtig gelöste Teilaufgabe bekommen Sie einen Punkt. Sie können in diesem Teil insgesamt Punkte erwerben. Aufgabe. Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und sei F End K (V ). (a) Geben Sie die Definitionen der geometrischen und der algebraischen Vielfachheiten eines Eigenwerts λ von F. Antwort: Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwerts λ ist die Vielfachheit der Nullstelle λ des charakteristischen Polynoms χ F von F. Die geometrische Vielfachheit ist die Dimension des Eigenraums E λ = Kern(λid F ). (b) Formulieren Sie ein hinreichendes und notwendiges Kriterium für die Diagonalisierbarkeit von F mit Hilfe der Eigenwerte von F. Antwort: F ist genau dann diagonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt und für alle Eigenwerte λ von F die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten übereinstimmen. Aufgabe. Sei im Folgenden K = R C. Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum. (a) Formulieren Sie die Definition eines Skalarprodukts auf einem K-Vektorraum. Was unterscheidet den Fall K = R vom Fall K = C? Antwort: Ein Skalarprodukt auf V ist eine Abbildung, : V V K mit (a) (v, w) v, w ist linear in der ersten Variablen; (b) für alle v, w V gilt v, w = w, v ; (c) für alle v V gilt v, v und v, v = v =. Ist K = R, so gilt für alle v, w V : v, w = w, v, da x = x für alle x R. In diesem Fall ist das Skalarprodukt also symmetrisch! Im Fall K = C gilt dies nicht. (b) Sei, ein Skalarprodukt auf V und sei B = {v,..., v n } eine ONB von V. Geben Sie eine möglichst einfache Formel für die Einträge a ij der Darstellungsmatrix A = A B F. Antwort: Es gilt a ij = F (v j ), v i. (c) Sei, ein Skalarprodukt auf V und seien v, w V. Geben Sie eine Formel für die orthogonale Projektion P G (v) von v auf die Gerade G = K w. Antwort: Es gilt P G (v) = v,w w w. Aufgabe 3. Sei K = R C und sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum versehen mit einem Skalarprodukt. (a) Sei {v,..., v n } ein Orthogonalsystem in V. Was besagt der Satz von Pythagoras für n i= λ iv i? Antwort: Es gilt n i= v i = n i= v i. (b) Sei U V ein Untervektorraum von V und sei {u,..., u l } eine ONB von U. Geben Sie Formeln für die othogonalen Projektionen P U : V U und P U : V U an. Antwort: Es gilt P U (v) = l i= v, u i u i und P U (v) = v l i= v, u i u i.

2 (c) Formulieren Sie die Sätze über die Diagonalisierbarkeit normaler Endomorphismen und normaler Matrizen A M(n n, K) (mit allen Voraussetzungen). Antwort: Ist V ein endlich-dimensionaler C-Vektorraum und ist F End(V ) normal, so ist F diagonalisierbar und es existiert eine ONB aus Eigenvektoren. Ist A M(n n, C) normal, so existiert eine unitäre Matrix U, so dass U AU eine Diagonalmatrix ist. Ist V ein endlich dimensionaler R-Vektorraum, so gilt eine analoge Aussage (genau) dann, wenn alle Eigenwerte von F reell sind. Ist A M(n n, R) normal und sind alle Eigenwerte von A reell, so existiert eine orthogonale Matrix O mit O T AO ist Diagonalmatrix. Anmerkung: Wenn die Antwort nur für den komplexen Fall richtig gegeben wird, geben wir hier schon den ganzen Punkt! Aufgabe 4. Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und sei F End K (V ). (a) Wann heißt F nilpotent? Antwort: F heißt nilpotent, wenn ein k N existiert mit F k =. (b) Sei λ K ein Eigenwert von F. Wie ist der Hauptraum V λ von λ definiert? Antwort: Sei k N mit Kern(F λid) k = Kern(F λid) k+. Dann heißt V λ = Kern(F λid) k der Hauptraum von F zum Eigenwert λ. (c) Sei K = R und sei µ = α + iβ ein komplexer Eigenwert von F C mit β. Wie sieht ein reeller Jordan-Kasten zum Eigenwertpaar µ, µ aus? Antwort: Ein reeller Jordan-Kasten zum Eigenwertpaar µ, µ ist von der Form α β β α α β β α α β β α

3 3 Rechnen In den folgenden Aufgaben soll getestet werden, inwieweit Sie die in der Vorlesung besprochenen Rechenverfahren beherrschen. Bitte geben Sie nur die Ergebnisse und die wichtigsten Rechenschritte an. Sie können in diesem Teil insgesamt 9 Punkte erwerben. Aufgabe. (3 Punkte) Sei A = M(4 4, R). Berechnen Sie das charakteristische Polynom χ A von A und die Eigenwerte λ R von A. Bestimmen Sie für jeden Eigenwert λ von A die algebraische und geometrische Vielfachheit von λ. Ist A diagonalisierbar? Antwort: Es gilt χ A (T ) = (λ ) ((λ + )(λ ) ) = (λ ) (λ ) = (λ ) (λ )(λ + ). Die reellen Nullstellen von χ A (und damit die Eigenwerte von A) sind,,. Die algebraischen Viefachheiten der Eigenwerte ± sind jeweils. Dies sind auch die geometrischen Vielfachheiten dieser Eigenwerte. Die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts λ = ist. Die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ = ist. Die Matrix A ist nicht diagonalisierbar. Aufgabe. ( Punkte) Seien v = und w = R4. Berechnen Sie den Winkel α =<)(v, w) [, π] zwischen v und w. Berechnen Sie dazu zunächst cos(α). (Gesucht ist hier eine konkrete Zahl!) Antwort: Es gilt cos(α) = v,w v w =. Damit folgt α = π 3. Aufgabe 3. (3 Punkte) Sei U = LH{v, v, v 3 } R 4 mit v =, v =, v 3 =. Berechnen Sie eine ONB von U bezüglich des Standard-Skalarprodukts auf R 4. Antwort: Wenden wir das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren an, so erhalten wir die ONB {u, u, u 3 } von U mit u = v = =, u 3 = 6 Aufgbabe 4. (6 Punkte) Sei A die normale Matrix A = nachprüfen, dass A normal ist). (sie müssen nicht (a) Berechnen Sie das charakteristische Polynom χ A von A und die komplexen Eigenwerte λ, λ, λ 3 von A. (b) Berechnen Sie eine unitäre Matrix U U(3) mit U AU = λ λ. λ 3

4 4 (c) Berechnen Sie eine orthogonale Matrix O O(3), so dass O T AO die Standardform für reelle normale Matrizen annimmt. Geben Sie auch diese Standardform an. Antwort: (a) Es gilt χ A (T ) = T (T + ). Dieses Polynom hat die komplexen Nullstellen, i, i. (b) Es gilt Kern(A E 3 ) = C, Kern(A i E 3 ) = C Damit ist U = i i i, Kern(A + i E 3 ) = C eine unitäre Matrix mit U AU = (c) Ist O =, so ist O orthogonal mit O T AO =. i i i Aufgabe 5. ( Punkte) Sei A = 4 4 M(4 4, R). Untersuchen Sie, ob A positiv 4 definit ist. Antwort: A ist nicht positiv definit, da det(a) = 3 <. Aufgabe 6. (3 Punkte) Sei A = M(4 4, C). Berechnen Sie die Jordan- Normalform J von A. Antwort: Es gilt χ A (T ) = (T ) 4, und damit ist λ = der einzige Eigenwert von A. Es gilt Kern(A E 4 ) = C + C und damit besitzt die Jordan-Normalform von A genau zwei Jordan-Kästen. Wegen (A E 4 ) und (A E 4 ) 3 = muss einer der Jordan-Kästen von A die Länge 3 haben. Für den anderen bleibt dann die Länge übrig. Damit folgt J =...

5 5 Beweisen In diesem Abschnitt sollen Sie einige Aussagen beweisen. Sie dürfen, sofern in der Aufgabenstellung nichts anderes steht, die Resultate der Vorlesung, aber nicht die der Übungen benutzen. Sie müssen aber auf jeden Fall geeignete Argumente für die zu beweisenden Aussagen in den Aufgaben angeben, auch wenn diese in ähnlicher Form in der Vorlesung behandelt worden sein sollten. Sie können in diesem Teil höchstens 4 Punkte erwerben. Zum Bestehen der Klausur müssen Sie mindestens 4 Punkte in diesem Bereich erzielen! Aufgabe. (4 Punkte) Sei A M(n n, R) mit A T = A. Beweisen Sie: Alle Eigenwerte λ von A sind rein imaginär, d.h. es existiert ein β R mit λ = iβ. Beweis: Sei λ C ein Eigenwert von A und sei v C n ein Eigenvektor zu λ. Dann gilt wegen A = ĀT = A T = A (da A reelle Matrix): λ v, v = λv, v = Av, v = v, A v = v, Av = v, λv = λ v, v. Da v folgt λ = λ. Ist dann λ = α + iβ, so folgt und dann folgt α = und λ = iβ ir. α + iβ = λ = λ = α + iβ Aufgabe. (4 Punkte) Sei V ein endlich-dimensionaler R-Vektorraum mit Basis B = {v,..., v n } und sei, : V V R; (v, w) v, w eine symmetrische Bilinearform, d.h.,, ist linear in beiden Variablen und es gilt v, w = v, w für alle v, w V. Beweisen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen: (), ist ein Skalarprodukt auf V. () Die Matrix A = (a ij ) i,j n mit a ij = v i, v j ist positiv definit. Beweis Zunächst folgt aus der Symmetrie von,, dass A = A T. Ferner folgt aus den Voraussetzungen und der Definition eines Skalarprodukts auf R-Vektoräumen, dass, genau dann ein Skalarprodukt ist, wenn für alle v V gilt: v, v >. Sei nun v = n i= x iv i. Dann gilt n n n n v, v = x i v i, x j v j = x i x j v i, v j = a ij x i x j = Ax, x, i= j= i,j= wobei, das Standard-Skalarprodukt auf R n bezeichnet. Damit folgt: v, v > für alle v V Ax, x > für alle x R n, d.h., wenn A positiv definit ist. Aufgabe 3. (4 Punkte) Sei (V,, ) ein euklidischer R-Vektorraum und seien v, w V. (a) Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen: () v und w sind orthogonal zueinander. () Es gilt v + w = v + w. (b) Zeigen Sie, dass die Richtung () () im unitären Vektorraum V = C mit Standardskalarprodukt z, w = z w im allgemeinen falsch ist! Beweis: (a) Für alle v, w V gilt i,j= v + w = v + w, v + w = v, v + v, w + w, w = v + v, w + w. Hier ist ein Fehler!!!

6 6 Damit folgt: v + w = v + w v, w = v, w = v und w sind orthogonal zueinander. (b) Seien v =, w = i C. Dann gilt v + w = + i = = + i = v + w, aber, v, w =, i = i. Aufgabe 4. (4 Punkte) Sei A M(n n, R) Beweisen Sie: Es gilt Kern(A T ) = Bild(A). Beweis: Wir zeigen zunächst, dass Kern(A T ) Bild(A). Dafür müssen wir zeigen, dass für alle v Kern(A T ) und w Bild(A) gilt: v, w =. Sei also v Kern(A T ) und w Bild(A). Dann gilt w = Au für ein u R n. Dann folgt v, w = v, Au = A T v, u =, da v Kern(A T ). Sei nun umgekehrt v Bild(A). Dann folgt für alle u R n : = v, Au = A T v, u. Setzen wir u = A T v, so folgt Aber dann folgt A T v = und v Kern(A T ). = A T v, A T v = A T v. Aufgabe 5. (4 Punkte) Sei N einzige Eigenwert von N. M(n n, C) nilpotent. Beweisen Sie: Dann ist der Beweis: Da N nilpotent ist, existiert ein k N mit N k =. Ist dann λ ein Eigenwert von N und v ein Eigenvektor zu λ, so folgt mit leichter Induktion nach l N, dass N v = λ l v für alle l N. Damit folgt insbesondere für l = k: = N k v = λ k v. Da v, folgt λ k = und dann auch λ =. Aufgabe 6. (4 Punkte) Sei A M(n n, K) eine Matrix, so dass das charakteristische Polynom χ A in Linearfaktoren zerfällt und sei λ K ein Eigenwert von A. Zeigen Sie, dass die geometrische Vielfachheit von λ kleiner oder gleich der algebraischen Vielfachheit von λ ist. Bemerkung: Die Aussage gilt auch ohne die Voraussetzung an das charakterische Polynom. Wer diese allgemeine Aussage beweist, bekommt Bonuspunkte! Erster Beweis: Da das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt besitzt A eine Jordan-Normalform J. Dann gilt: Die geometrische Vielfachheit eines Eigenwerts λ von A ist genau die Anzahl der λ-jordan-kästen in J. Auf der anderen Seite trägt jeder k k- λ-jordankasten in J den Faktor (T λ) k zum charakteristischen Polynom χ A = χ J bei, und damit den Summanden k zur algebraischen Vielfachheit von λ. Da immer k gilt folgt: Die geometrische Vielfachheit von λ ist immer kleiner oder gleich der algebaischen Velfachheit von λ. Zweiter Beweis: Sei λ ein Eigenwert von A mit geometrischer Vielfachheit k. Sei {v,..., v k } eine Basis des Eigenraums E λ = Kern(λE n A) und seien w,... w m weitere Vektoren in K n, so dass B = {v,..., v k, w,..., w m } eine Basis von K n ist. Ist dann F : K n K n der Endomorphismus F (x) = Ax, so ist die Darstellungsmatrix A B F von F bezüglich B von der

7 Gestalt λ..... A B F = λ b b m.... b m b mm für eine geeignete m m-matrix B = (b ij ) i,j m. Für das charakteristische Polynom χ A gilt dann χ A (T ) = (T λ) k χ B (T ), und damit ist die algebraische Vielfachheit von λ größer oder gleich k. 7

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