Analytische Geometrie

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1 21 Vorlesungen über Analytische Geometrie für Lehramtstudierende der Schulformen Grund-, Mittel- und Realschule Jens Jordan Universität Würzburg, Wintersemster 2015/16 Hier kommt noch ein schönes Bildchen hin

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3 Inhaltsverzeichnis Kapitel 1. Euklidische Räume 4 1. Skalarprodukte 4 2. SPD Matrizen 5 3. Exkurs über Blockmatrizen 6 4. Induzierte Normen 7 5. Winkel 8 6. Orthonormalbasis 9 7. Projektionen und orthogonales Komplement Affine Hyperebenen und Geraden 11 Kapitel 2. Euklidische Bewegungen Isometrien Isometrien bezüglich des Standard-Skalarproduktes Exkurs: Eigenwerte Spiegelungen Exkurs: Ähnlichkeit und Diagonalisierbarkeit Drehungen Affine Äquivalenz, Ähnlichkeit und metrische Äquivalenz Euklidische Bewegungen in der Ebene 19 3

4 KAPITEL 1 Euklidische Räume 1. Skalarprodukte Definition 1.1. Es sei V ein reeller Vektorraum. Eine Abbildung φ : V V R heißt a) Bilinearform (oder bilinear), falls (i) für alle y V die Abbildung x φ(x, y) linear ist, und (ii) für alle x V die Abbildung y φ(x, y) linear ist. b) symmetrisch, falls für alle x, y V die Gleichung φ(x, y) = φ(y, x) gilt. c) positiv definit, falls für alle x V {0}, φ(x, x) 0 ist und φ(x, x) = 0 nur für x = 0 gilt. Eine Abbildung φ : V V R heißt Skalarprodukt, wenn sie eine symmetrische positiv definite Bilinearform ist. Das Skalarprodukt φ : R n R n R, (x, y) x y nennt man kanonisches Skalarprodukt auf R n bzw. Standardskalarprodukt. Definition 1.2. Einen reellen Vektorraum versehen mit einem Skalarprodukt nennt man Euklidischen Vektorraum. Satz 1.3. Es sei A R n n. Die Abbildung φ : R n R n R, (x, y) x Ay ist genau dann ein Skalarprodukt, wenn A symmetrsich positiv definit ist. 4

5 2. SPD Matrizen Satz 1.4. Sind A, B R n n symmetrisch positiv definit, so gilt a) A + B SP D b) λa SP D falls λ R + c) A ist invertierbar und es gilt A 1 SP D Satz 1.5 (Hurwitz Test). Zu A = (a i,j ) i,j=1,...,n R n n sei ( ) a 1,1... a a1,1 a 1,k A 1 := (a 1,1 ), A 2 := 1,2,..., A k :=......,..., A n = A. a 2,1 a 2,2 a k,1... a k,k Eine symmetrische Matrix A ist genau dann positiv definit, wenn für alle k = 1,..., n gilt det(a k ) > 0.

6 Definition 1.6 (Blockmatrizen). Sind 3. Exkurs über Blockmatrizen A R m 1 n 1, B R m 1 n 2, C R m 2 n 1 und D R m 2 n 2 so nennt man die Matrix ( ) A B X = R (m 1+m 2 ) (n 1 +n 2 ) C D eine Blockmatrix und die Matrizen A, B, C, D Blöcke von X. Analog kann man Matrizen mit beliebig vielen Blöcken definieren, sofern die entsprechenden Größen der Matrizen zusammenpassen. Satz 1.7 (Produkt von Blockmatrizen). Es seien ( ) ( ) A B X = R (m 1+m 2 ) (n 1 +n 2 ) K L und Y = R (n 1+n 2 ) (p 1 +p 2 ) C D M N Blockmatrizen mit A R m 1 n 1, B R m 1 n 2, C R m 2 n 1, D R m 2 n 2 und K R n 1 p 1, L R n 1 p 2, M R n 2 p 1, N R n 2 p 2. dann ist ( ) AK + BM AL + BN XY = R (m 1+m 2 ) (p 1 +p 2 ). CK + DM CL + DN Satz 1.8 (Eigenschaften von quadratischen oberen Dreiecksblockmatrizen). Es sei ( ) A B X = R n n O C eine quadratische Blockmatrix mit Blöcken A R n 1 n 1, B R n 1 n 2, C R n 2 n 2 und O die Nullmatrix im R n 2 n 1. Dann gilt: a) X ist invertierbar, genau dann wenn A und C invertierbar sind. b) Falls X invertierbar ist, gilt ( X 1 A 1 A 1 BC 1 ) = 0 C 1 c) det(x) = det(a) det(c) d) χ X = χ A χ C e) Spektrum(X) = Spektrum(A) Spektrum(C) Korollar 1.9. Für obere Dreiecksmatrizen D = (d i,j ) i,j=1,...,n mit d i,j = 0 falls i > j gilt a) det(d) = n i=1 d i,i b) Spektrum(D) = {d 1,1,..., d n,n }.

7 4. Induzierte Normen Satz 1.10 (Induzierte Normen). Ist V ein euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt φ, so ist φ : V R, x φ(x, x) eine Norm die durch φ induzierte Norm auf V. Lemma 1.11 (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung). Ist V ein euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt φ, so gilt für alle x, y V : φ(x, y) 2 φ(x, x)φ(y, y). Gleichheit besteht genau dann, wenn x und y linear abhängig sind. Insbesondere gilt x y x 2 y 2 für alle x, y R n. Satz 1.12 (Parallelogrammgleichung). Ist V ein euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt φ, so gilt für alle x, y V : x + y 2 φ + x y 2 φ = 2 x 2 φ + 2 y 2 φ. Insbesondere gilt für ein Parallelogramm in der Ebene: Die Summe der Quadrate der Diagonalen ist gleich der Summe der Quadrate der vier Seiten.

8 5. Winkel Zur Erinnerung: Die Gleichung cos(x) = y hat für y [ 1, 1] genau eine Lösung x [0, π]. Definition Es sei V ein euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt φ. Der Winkel φ (x, y) zwischen zwei Vektoren x, y V \ {0} ist die Zahl α [0, π], welche die Gleichung cos α = φ(x,y) x φ y φ löst. Man sagt x und y stehen senkrecht aufeinander (orthogonal zueinander) (bezüglich φ), falls α = π 2 (also wenn φ(x, y) = 0). Satz Es sei V ein euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt φ. Für alle x, y V \ {0} gilt: a) φ (x, y) = φ (y, x). b) φ (λ 1 x, λ 2 y) = φ (x, y) für λ 1, λ 2 > 0. c) φ (x, y) = 0 genau dann wenn x = λy für ein λ 0. d) φ (x, y) = π φ (y, x). Satz 1.15 (Satz des Pythagoras). Es sei V ein euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt φ. Für alle x, y V gilt x y 2 φ = x 2 φ + y 2 φ 2 x φ y φ cos φ (x, y). Zur Erinnerung: Die eindimensionalen affinen Unterräume nennen wir Geraden. Schreibweise: g = x + U := {x + u u U} mit U eindimensionaler Unterraum von V. Alternativ, g = x + Ru mit u U \ {0}. Lemma In jedem reellen Vektorraum gilt: Zwei Geraden haben entweder keinen, einen oder alle Punkte gemeinsam. Definition Es seien g 1 = x 1 +Rv 1 und g 2 = x 2 +Rv 2 (mit x 1, x 2 V und v 1, v 2 V \{0}) zwei Geraden in einem euklidischen Raum V (mit Skalarprodukt φ) die genau einen gemeinsamen Punkt haben. Der Winkel β zwischen g 1 und g 2 ist definiert durch β = min{ φ (v 1, v 2 ), φ (v 1, v 2 )}.

9 6. Orthonormalbasis Definition Es sei V ein euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt φ. Zwei Vektoren x, y V \ {0} heißen orthogonal zueinander, wenn φ(x, y) = 0 gilt. Schreibweise: x φ y. Definition Es sei V ein endlich dimensionaler euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt φ. Eine Basis B von V heißt Orthonormalbasis (bezüglich φ), wenn alle Elemente der Basis paarweise orthogonal zueinander und normiert sind. Das heißt, für alle a, b B gilt φ(a, b) = 0 falls a b (orthogonal) und φ(a, b) = 1 falls a = b (normiert). Satz 1.20 (Orthogonalisierungsverfahren von Gram-Schmidt). Jeder endlichdimensionale euklidische Vektorraum besitzt eine Orthonormalbasis bezüglich φ). Eine solche kann man mit dem Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren bestimmen. (i) Wähle ṽ 1 V \ {0} und normiere v 1 := ṽ1 ṽ 1 φ. (ii) Sind die Vektoren v 1,..., v k schon orthogonal und normiert zueinander und ist k < n := dim(v ), so wähle v V \ span{v 1,..., v k } und berechne und normiere ṽ k+1 = v φ(v, v 1 )v φ(v, v k )v k v k+1 := ṽk+1 ṽ k+1 φ. Die so entstehende Menge {v 1,..., v n } ist eine Orthonormalbasis von V. Korollar Ist V ein endlich dimensionaler euklidischer Vektorraum und ist {v 1,..., v k } eine lineare unabhängige Menge aus paarweise orthogonalen normierten Vektoren, so kann man {v 1,..., v k } zu einer Orthonormalbasis von V ergänzen. Satz Ist {b 1,..., b n } eine Orthonormalbasis eines euklidischen Vektorraumes V mit Skalarprodukt φ, so errechnet sich die eindeutige Darstellung eines Vektors v V als Linearkombination der Basiselemente mit n v = λ i b i mit λ i = φ(v, b i ). i=1

10 7. Projektionen und orthogonales Komplement Definition Es sei V ein euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt φ und U ein Unterraum von V. Die Menge U := {x V φ(x, u) = 0 für alle u U} heißt orthogonales Komplement von U. Satz Es sei V ein euklidischer endlich dimensionaler Vektorraum mit Skalarprodukt φ und U ein Unterraum von V. Es gilt: a) U ist ein Unterraum von V. b) U U = V. c) dim U + dim U = dim V. Satz Es sei V = R n versehen mit einem Skalarprodukt φ und U ein Unterraum von V. a) Zu jedem x V gibt es ein eindeutiges u x U, so dass x u x φ minimal ist und es gilt x u x U. b) Ist b 1,..., b K eine Orthonormalbasis von U, so gilt u x = k j=1 φ(x, b j)b j. Definition Es sei V ein euklidischer Vektorraum versehen mit einem Skalarprodukt φ und U ein Unterraum von V. Die Abbildung π U : V V, x u x, heißt (φ-)orthogonale Projektion auf U. wobei u x U den Term x u x φ minimiert, Satz Es sei V ein endlich dimensionaler euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt φ und U ein Unterraum von V. Es gilt a) π U ist eine lineare Abbildung. b) π 2 U = π U. c) Bild(π U ) = U und Kern(π U ) = U.

11 8. Affine Hyperebenen und Geraden Lemma Es sei V ein euklidischer Vektorraum mit Standardskalarprodukt φ. Ist H eine affine Hyperebene, d.h. H = v + U mit U Unterraum von V und dim U = n 1, so gilt H = {x V φ(z, x) = α} mit z U \ {0} und α = φ(z, v). Bemerkung: Ist z U normiert (also z φ = 1), so nennt man die Darstellung H = {x V φ(c, x) = α} Hesse- Normalform. Definition Es sei V = R n, A ein affiner Unterraum von V und x V. Der Abstand von x zum affinen Unterraum A ist definiert als d(x, A) := min{ x a φ a A}. Satz Es sei V ein euklidischer Vektorraum mit Skalarprodukt φ, H = v + U eine affine Hyperebene in V und z U \ {0}, dann gilt für alle p V : d(p, H) = φ(z, (v p)) z φ. Ist H als Hesse-Normalform {x V φ(x, z) = α} mit z U, z φ = 1 gegeben, so ist d(p, H) = α φ(z, p). Bemerkung: Auf V a, b R 3 durch definiert. Es gilt: = R 3 wird das Vektorprodukt zwischen Vektoren a 2 b 3 a 3 b 2 a b := a 3 b 1 a 1 b 3 a 1 b 2 a 2 b 1 a) x y = 0 genau dann wenn x und y linear abhängig sind. b) Sind x und y linear unabhängig, so ist x y span{x, y} (bezüglich des Standardskalarproduktes). c) Ist x 2 = 1, y 2 = 1 und x y = 0. Dann ist x, y, x y eine Orthonormalbasis.

12 KAPITEL 2 Euklidische Bewegungen 1. Isometrien Satz 2.1. Es sei V ein euklidischer Vektorraum. Für eine Abbildung f : V V sind äquivalent: a) Für alle x, y V gilt f(x) f(y) φ = x y φ. b) f(x) = T (x) + b für ein b V und eine lineare Abbildung T : V V, welche φ(x, y) = φ(t (x), T (y)) für alle x, y V erfüllt. c) f(x) = T (x) + b für ein b V und eine lineare Abbildung T : V V, welche T (x) φ = x φ für alle x V erfüllt. Definition 2.2. Erfüllt f eine (und damit alle drei) der Bedingungen aus obigem Satz, so nennt man f eine Isometrie oder eine Euklidische Bewegung. Satz 2.3. Es sei V ein endlich dimensionaler euklidischer Vektorraum. Die Menge der euklidischen Bewegungen in V ist bezüglich Komposition eine Gruppe, die sogenannte euklidische Gruppe oder Gruppe der Isometrien (Schreibweise E(V ) oder ISO(V )). 12

13 2. Isometrien bezüglich des Standard-Skalarproduktes Definition 2.4. Eine Matrix A R n n heißt orthogonale Matrix. Die Menge der orthogonalen Matrizen nennt man orthogonale Gruppe. Satz 2.5. O n (R) := {A R n n AA = E} a) Die orthogonale Gruppe ist eine Gruppe bezüglich des Matrixprodukts. b) A R n n ist orthogonal, genau dann wenn die Spalten von A eine Orthonormalbasis bilden. c) Ist A O n (R), so ist det(a) { 1, 1}. d) Ist A O n (R), so gilt Ax 2 = x 2 für alle x R n. e) Ist A O n (R), so gilt (x, y) = (Ax, Ay) für alle x, y R n \ {0}. Satz 2.6. Es sei R n versehen mit dem Standard-Skalarprodukt. Eine Abbildung f : R n R n ist genau dann eine Isometrie, wenn es ein b R n und ein T O n (R) gibt, so dass für alle x R n : f(x) = b + T x gilt.

14 3. Exkurs: Eigenwerte Definition 2.7 (Eigenwerte und Eigenvektor). a) Es sei V ein Vektorraum über R und f : V V linear. Gibt es ein λ R und ein v V \ {0} mit f(v) = λv so heißt v Eigenvektor von f zum Eigenwert λ. Die Menge der Eigenwerte von f nennt man Spektrum von f. (geschrieben: Spektrum(f)). b) Ist A R n n so nennt man λ R einen Eigenwert von A und v R n \ {0} einen Eigenvektor von R n, falls Ax = λx gilt. Die Menge der Eigenwerte von A nennt man Spektrum von A. Bemerkung: Es sei V ein Vektorraum über R, f : V V linear, B eine geordnete Basis von V und A B die Darstellungsmatrix von f bezüglich B. Dann gilt Spektrum(f) = Spektrum(A B ). Satz 2.8 (Lineare Unabhängigkeit von Eigenvektoren). Es sei V ein Vektorraum über R der Dimension n und f : V V linear, bzw. A R n n. a) Hat f bzw. A verschiedene Eigenwerte λ 1,..., λ k mit Eigenvektoren x 1,..., x k so ist die Menge {x 1,..., x k } linear unabhängig. b) Besteht Spektrum(f) bzw. Spektrum(A) aus n verschiedene Eigenwerte, so gibt es eine Basis aus Eigenvektoren. c) f bzw. A hat höchstens n verschiedene Eigenwerte. Satz 2.9. Zu A R n n nennt man χ A (t) = det(te A) das charakteristische Polynom von A. Es gilt: Die Eigenwerte von A sind genau die Nullstellen von χ A. Korollar a) Ist A K n n, so ist λ ein Eigenwert von A genau dann wenn λ ein Eigenwert von A ist. b) Ist A eine obere Dreiecksmatrix, so sind die Eigenwerte genau die Diagonalelemente der Matrix.

15 4. Spiegelungen Definition Es sei a R n \ {0}. Die Abbildung S H : x (E 2 a a aa )x nennt man Spiegelung an der Hyperebene H = (Ra). Satz Ist S H eine Spiegelung an der Hyperebene H = (Ra), (a 0), so gilt: a) S H O n (R) und S H = SH und S 1 H = S H. b) x H genau dann wenn S H x = x. c) x H genau dann wenn S H x = x. Lemma Ist S H eine Spiegelung an einer Hyperebene H und ist T O n (R), so gilt für die Spiegelung S T (H) an der Hyperebene T (H) = {T x, x H} S T (H) = T S H T. Satz Für jede Spiegelung S H an einer Hyperebene gilt: det S H = 1.

16 5. Exkurs: Ähnlichkeit und Diagonalisierbarkeit Definition 2.15 (Ähnliche Matrizen). Zwei Matrizen A, B R n n heißen ähnlich, wenn es eine invertierbare Matrix S R n n mit AS = SB gibt. Satz 2.16 (Äquivalenzrelation). Ähnlichkeit ist eine Äquivalenzrelation. Das heißt, für alle A, B, C R n n gilt: (i) A ist zu sich selbst ähnlich (Reflexivität) (ii) Ist A ähnlich zu B so ist B ähnlich zu A (Symmetrie) (iii) Ist A ähnlich zu B und B ähnlich zu C so ist A ähnlich zu C (Transitivität). Satz 2.17 (Eigenschaften ähnlicher Matrizen). a) Sind die Matrizen A, B R n n ähnlich, so gilt i) det(a) = det(b) ii) Spur(A) = Spur(B) iii) Rang(A) = Rang(B) iv) χ A = χ B v) Spektrum(A) = Spektrum(B). b) Gilt AS = SB mit S invertierbar und ist x ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ, so ist S 1 x ein Eigenvektor von B zum Eigenwert λ. Definition 2.18 (Diagonalisierbarkeit). Eine Matrix A R n n heißt über R diagonalisierbar, falls Sie ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist. Satz 2.19 (Diagonalisierbarkeit). A R n n ist genau dann diagonalisierbar, wenn es zu A eine Basis aus Eigenvektoren gibt. Ist S eine Matrix, welche als Spalten eine Basis b 1,..., b n aus Eigenvektoren von A hat, so ist die Matrix S 1 AS eine Diagonalmatrix und die Einträge auf der Diagonalen λ 1,..., λ n sind die Eigenwerte von A, so dass Ab i = λ i b i. Korollar Es sei A R n n mit Eigenwerten λ 1,..., λ k. A ist genau dann diagonalisierbar, wenn für die Dimensionen der Eigenräume Eig λi = {x R n Ax = λ i x}, i = 1,..., k die Gleichung gilt. dim(eig λ1 ) +... dim(eig λk ) = n Bemerkung: Hat A R n n n verschiedene Eigenwerte, so ist A über R diagonalisierbar.

17 6. Drehungen Definition 2.21 (Drehung im R 2 ). Abbildungen der Form ( ) f : R 2 R 2 cos α sin α, x sin α cos α nennt man Drehungen im R 2 (um den Drehwinkel α). Satz A O(R 2 ) ist genau dann eine Drehung, wenn det(a) = 1 ist und genau dann eine Spiegelung wenn det(a) = 1 ist. Satz Zu einer Abbildung f A : R 3 R 3, A R 3 3 sind äquivalent: (i) Es gibt ein u R 3 \ {0}, so dass (1) Ax = x für alle x Ru, und (2) die auf H = (ur) eingeschränkte Abbildung f A H : H H, x Ax ist eine Drehung auf H, d.h. die Darstellungsmatrix D R 2 2 von f A H bezüglich einer Orthonormalbasis von H ist eine Drehung. (ii) Es gibt ein T O(R 3 ) und ein α R, so dass A = T 0 cos α sin α T. 0 sin α cos α (iii) A O(R 3 ) und det(a) = 1. Erfüllt f A eine dieser drei Bedingungen, so nennt man f A ein Drehung bzw. A eine Drehmatrix. Satz Ist A R 3 3 eine Drehmatrix. Dann gilt: a) Ist A E, so ist der Eigenraum zum Eigenwert 1 eindimensional. Die Drehachse ist der Eigenraum zum Eigenwert 1, also Kern(A E). b) Ist Ru die Drehachse und ist z (Ru), so gilt für den Drehwinkel cos α = z Az. Alternativ lässt sich α durch 2 cos α = Spur(A) 1 z 2 2 berechnen.

18 7. Affine Äquivalenz, Ähnlichkeit und metrische Äquivalenz Definition Abbildungen der Form f : R n R n, x Ax + b mit A R n n und b R n nennt man affine Abbildungen, falls A eine invertierbare Matrix ist. Ähnlichkeitsabbildung, falls A = λt mit λ R \ {0} und T O(R n ) ist. euklidische Bewegung, falls A O(R n ) ist. Die Menge der affinen Abbildungen bezeichnen wir mit A(R n ), die Menge der Ähnlichkeitsabbildungen bezeichnen wir mit H(R n ) und die Menge der euklidischen Bewegungen bezeichnen wir mit E(R n ) oder mit Iso(R n ) (vergleiche Satz 2.11) Satz A(R n ) ist eine Gruppe bezüglich Komposition. H(R n ) ist eine Untergruppe von A(R n ) und E(R n ) ist eine Untergruppe von H(R n ). Definition Zwei Teilmengen M 1, M 2 R m nennt man affin äquivalent falls es ein f A(R n ) gibt, so dass f(m 1 ) = M 2. ähnlich falls es ein f H(R n ) gibt, so dass f(m 1 ) = M 2. metrisch äquivalent (oder auch kongruent) falls es ein f E(R n ) gibt, so dass f(m 1 ) = M 2. Satz Affine Äquivalenz, Ähnlichkeit und metrische Äquivalenz sind jeweils Äquivalenzrelationen auf der Menge der Teilmengen von R n.

19 8. Euklidische Bewegungen in der Ebene Definition Eine euklidische Bewegung (Isometrie) der Ebene (also f E(R 2 ) bzw. f ISO(R n )) nennt man a) Drehung um den Punkt p, falls es eine Drehung D O(R 2 ) gibt, so dass für alle x R 2 : f(x) = D(x p) + p gilt. b) Translation, falls es ein b R n gibt, so dass für alle x R n : f(x) = x + b gilt. c) Spiegelung an der Geraden G = v + Rw falls für alle x R n : f(x) = S a (x v) + v mit a (Rw) \ {0} gilt (S a ist hierbei die Spiegelung an der Geraden Rw). d) Gleitspiegelung, falls f = t s mit einer Spiegelung s an einer Geraden G und einer Translation tx x + b ist, so dass b 0 parallel zur Geraden G ist. Satz Es sei f : x Ax+b, A O 2 (R), b R 2 eine Euklidische Bewegung in der Ebene. Ist A O(R 2 ) eine Drehung (d.h. det(a) = 1), dann ist f : x Ax+b entweder eine Translation (nämlich genau dann wenn A = E) oder eine Drehung um den Punkt p = (E A) 1 b. Ist A O(R 2 ) eine Spiegelung (d.h. det(a) = 1) und b R 2, dann ist f : x Ax + b entweder eine Spiegelung (nämlich wenn b Kern(A E) ) oder eine Gleitspiegelung. Jede euklidisiche Bewegung ist entweder eine Drehung um einen Punkt, eine Translation, eine Spiegelung an einer Geraden oder eine Gleitspiegelung. Satz Es sei f E(R 2 ) und F ix f := {x R 2 f(x) = x}. Es gilt: a) F ix f = R 2 genau dann wenn f = id. b) F ix f ist ein Gerade genau dann wenn f eine Spiegelung an einer Geraden ist. In diesem Fall ist F ix f genau die Spiegelgerade. c) F ix f ist ein Punkt, genau dann wenn f eine Drehung ist. In diesem Fall besteht F ix f genau aus dem Drehpunkt. d) Ist F ix f =, so ist f entweder eine Translation oder eine Gleitspiegelung. Satz Jede Euklidische Bewegung der Ebene lässt sich als Komposition von höchstens drei Spiegelungen darstellen.