2. Dezember Lineare Algebra II. Christian Ebert & Fritz Hamm. Skalarprodukt, Norm, Metrik. Matrizen. Lineare Abbildungen

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1 Algebra und Algebra 2. Dezember 2011

2 Übersicht Algebra und Algebra I Gruppen & Körper Vektorräume, Basis & Dimension Algebra Norm & Metrik Abbildung & Algebra I Eigenwerte, Eigenwertzerlegung Singulärwertzerlegung

3 Das Skalarprodukt I Algebra und Definition (Skalarprodukt) Sei K {R, C} und V ein K-Vektorraum. Eine Abbildung, : V V K, (v, w) v, w heißt wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt: S1 v + v, w = v, w + v, w λv, w = λ v, w S2 v, w + w = v, w + v, w v, λw = λ v, w S3 v, w = w, v S4 v, v > 0 R für alle v 0 V Hierbei ist λ die zu λ konjugiert komplexe Zahl: (a + ib) = a ib

4 Das Skalarprodukt Algebra und Ein Skalarprodukt ist eine positiv definite (S4) hermitesche (S3) Sesquilinearform, d.h. linear im ersten Argument (S1) und semilinear im zweiten Argument (S2) Ist K = R, dann ist λ = λ und das Skalarprodukt damit eine positive definite symmetrische Bilinearform Wegen (S3) ist v, v R (also insbes. auch für K = C) Ein R-Vektorraum mit Skalarprodukt heißt euklidischer Vektorraum, ein C-Vektorraum mit Skalarprodukt unitärer Vektorraum

5 Norm & Metrik I Algebra und Definition (Norm) Sei V ein reeller oder komplexer Vektorraum. Eine Abbildung : V R, v v heißt Norm auf V, falls für alle v, w V und alle λ K gilt: N1 λv = λ v N2 v + w v + w (Dreiecksungleichung) N3 v = 0 K gdw. v = 0 V Ein Vektorraum mit einer Norm heißt normierter Vektorraum Für alle v V gilt: v 0

6 Norm & Metrik Algebra Bemerkung Für einen euklidischen bzw. unitären Vektorraum V definiert man eine Norm mittels und v := v, v für alle v V Für einen normierten Vektorraum V definiert man eine Metrik mittels d(v, v ) := v v für alle v V Euklidischer/unitärer VR normierter VR metrischer VR

7 Orthonormalbasis Algebra und Definition Sie V ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum. Zwei Vektoren v, w V heißen orthogonal falls v, w = 0. Eine Familie von Vektoren (v i ) i I aus V heißt orthogonal, falls je zwei Vektoren v i, v j ; i, j I, i j orthogonal sind. Eine Familie von Vektoren (v i ) i I aus V heißt orthonormal, falls sie orthogonal ist und v i = 1 für alle i I. Eine Familie von Vektoren (v i ) i I aus V heißt Orthonormalbasis, falls sie Basis von V und orthonormal ist. Jeder endlich-dimensionale euklidische bzw. unitäre Vektorraum besitzt eine Orthonormalbasis

8 Hilbertraum Algebra und Definition Ein Vektorraum mit Skalarprodukt heißt Prähilbertraum/Skalarproduktraum/Innenproduktraum. Ein Prähilbertraum heißt Hilbertraum, wenn er bzgl. der induzierten Metrik vollständig ist. Definition Sei (M, d) ein metrischer Raum mit Metrik d. (M, d) heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge konvergiert, d.h. ihr Grenzwert in M liegt. Eine Folge (a i ) i N heißt Cauchy-Folge, wenn zu jedem ε > 0 ein N N existiert, sodass d(a n, a m ) < ε für alle n, m N

9 Der Begriff der Matrix I Algebra und A = A ist eine m n-matrix. a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n..... a m1 a m2 a m3... a mn Kurzschreibweise: (a ij ), i = 1,..., m und j = 1,..., n

10 Der Begriff der Matrix Algebra und 1. Spalte 2. Reihe Reihen und Spalten a 11 a 21.. a m1 (a 21, a 22,..., a 2n ) a ij ist die ij-te Komponente der Matrix.

11 Der Begriff der Matrix I Algebra A i = (a i1, a i2,..., a in ) und A j = a 1j a 2j. a mj

12 Der Begriff der Matrix IV Algebra und Beispiel ( )

13 Spezielle I Algebra und Ein (Reihen-)Vektor ist eine 1 n Matrix. Ein (Spalten-)Vektor ist eine n 1 Matrix. (x 1,..., x n ) x 1. x n

14 Spezielle Algebra und Falls n = m wird die Matrix quadratische Matrix genannt. Beispiele sind: Beispiel ( )

15 Spezielle I Algebra und Für die Nullmatrix O gilt a ij = 0 für alle i, j O =

16 Addition von I Algebra und Seien A = (a ij ) und B = (b ij ) zwei m n-. A + B ist diejenige Matrix, die die Komponente a ij + b ij in der i-ten Reihe und der j-ten Spalte besitzt.

17 Addition von Algebra und Beispiel A = ( A + B = ) B = ( ( ) ) Es gilt: O + A = A + O = A

18 Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar I Algebra und Sei c eine Zahl und A = (a ij ) eine Matrix. ca ist diejenige Matrix, deren ij-te Komponente gleich ca ij ist. Beispiel ca = (ca ij ) Seien A und B wie oben. Sei c = 2. ( ) A = 2B = ( )

19 Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar Algebra ( 1)A = A = ( ) und Es gilt für alle A: A + ( 1)A = O

20 Der Raum der Algebra und Theorem Die (einer gegebenen Größe m n) mit Komponenten aus einem Körper K bilden einen Vektorraum über K, der mit Mat m n (K) bezeichnet wird.

21 Die transponierte Matrix I Algebra und Sei A = (a ij ) eine m n-matrix. Die n m-matrix B mit b ji = a ij wird die transponierte Matrix von A genannt und durch t A bezeichnet. a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n A =..... a m1 a m2 a m3... a mn a 11 a 21 a a m1 t a 12 a 22 a a m2 A =..... a 1n a 2n a 3n... a mn

22 Die transponierte Matrix Algebra und Beispiel A = ( ) t A =

23 Die transponierte Matrix I Algebra Eine Matrix A wird symmetrisch genannt, falls gilt: t A = A Eine symmetrische Matrix ist immer eine quadratische Matrix. und Beispiel Die Matrix ist symmetrisch

24 Die transponierte Matrix IV Algebra und Sei A = (aij) eine quadratische Matrix. Die Einträge a 11, a 22,..., a nn werden die diagonalen Komponenten von A genannt. Eine quadratische Matrix heißt Diagonalmatrix, falls alle Komponenten außer (möglicherweise) den diagonalen Komponenten gleich 0 sind; also a ij = 0, falls i j. a a a nn

25 Die transponierte Matrix V Algebra und Definition Die Einsmatrix I n ist diejenige n n-diagonalmatrix, deren diagonale Komponenten gleich 1 sind I n =

26 Multiplikation von I Algebra und Definition Sei A = (a ij ), i = 1,..., m und j = 1,..., n eine m n-matrix. Sei B = (b jk ), j = 1,..., n und k = 1,..., s eine n s-matrix. A = a a 1n... a m1... a mn B = b b 1s... b n1... b ns Das Produkt AB ist die m s-matrix, deren ik-te Koordinate durch n a ij b jk = a i1 b 1k + a i2 b 2k a in b nk gegeben ist. j=1

27 Multiplikation von Algebra und Beispiel A = ( AB ist die 2 2-Matrix mit AB = ) B = ( )

28 Multiplikation von I Algebra und Beispiel Sei ( ) 1 3 C = 1 1 und A, B wie oben. BC = 3 4 ( ) = und A(BC) = ( ) 1 5 ( ) =

29 Multiplikation von IV Algebra und Sei A eine m n-matrix und B eine n 1-Matrix; d.h. B ist ein Spaltenvektor. Dann ist das Produkt von A und B: mit a 1... a 1n.. a m1... a mn c i = b 1. b n = c 1. c m n a ij b j = a i1 b a in b n j=1

30 Multiplikation von V Algebra und Sei X = (x 1,..., x m ) ein Reihenvektor; d.h. eine 1 m-matrix. Das Produkt XA wird dann wie folgt gebildet: mit (x 1,..., x m ) a 1... a 1n.. a m1... a mn y k = x 1 a 1k x m a mk = (y 1,..., y n )

31 Multiplikation von VI Algebra und Theorem Seien A, B, C. Angenommen A, B und A, C können multipliziert werden und B, C können addiert werden. Dann können A und B + C multipliziert werden und es gilt: A(B + C) = AB + AC Falls x eine Zahl ist, gilt ferner: A(xB) = x(ab)

32 Multiplikation von V Algebra und Theorem Seien A, B, C. Angenommen A, B und B, C können multipliziert werden. Dann kann A mit BC und AB mit C multipliziert werden und es gilt: (AB)C = A(BC)

33 Multiplikation von VI Algebra und Definition Sei A eine quadratische n n-matrix. A heißt invertierbar oder nicht-singulär falls eine n n-matrix B existiert mit AB = BA = I n B wird die zu A inverse Matrix genannt und durch A 1 bezeichnet.

34 Multiplikation von IX Algebra und Theorem Seien A, B, die multipliziert werden können. Dann können t B und t A multipliziert werden und es gilt: t (AB) = t B t A

35 Der Begriff der n Abbildung I Algebra und Definition Seien V und V Vektorräume über einem Körper K. Eine lineare Abbildung F : V V ist eine Abbildung, die die folgenden Eigenschaften hat: 1 für beliebige Elemente u, v V gilt: 2 für alle c K und v V gilt: F(u + v) = F(u) + F(v) F(cv) = cf(v)

36 Der Begriff der n Abbildung Algebra und Beispiel Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum über K und sei {v 1,..., v n } eine Basis von V. Definiere F : V K n durch Abbildung von v auf den Koordinatenvektor X bezüglich der Basis. Also falls v = x 1 v x n v n ist, mit x i K dann ist F(v) = (x 1,..., x n ) Die Abbildung F ist eine lineare Abbildung.

37 Der Raum der n Abbildung I Algebra und Seien V, V Vektorräume über einem Körper K. Die Abbildung O, die jedem Element v V das Element 0 in V zuordnet ist eine lineare Abbildung. Seien T : V V und F : V V lineare. Definiere die Summe T + F für ein Element u V durch: (T + F)(u) = T(u) + F(u) Die Abbildung T + F ist dann linear.

38 Der Raum der n Abbildung Algebra und Sei a K und T : V V eine lineare Abbildung. Definiere für u V eine Abbildung at durch: (at)(u) = at(u) at ist dann eine lineare Abbildung. Die Menge L der linearen von V nach V bildet bezüglich dieser Operationen einen Vektorraum.

39 Kern und Bild einer n Abbildung I Algebra und Definition Seien V und W Vektorräume über einem Körper K und sei F : V W eine lineare Abbildung. Der Kern von F ist die Menge aller v V mit F(v) = O. Der Kern von F wird durch Ker F bezeichnet. Der Kern von F ist ein Teilraum von V.

40 Kern und Bild einer n Abbildung Algebra und Beispiel Sei L : R 3 R die Abbildung mit L(x, y, z) = 3x 2y + z Falls A = (3, 2, 1) kann L wie folgt geschrieben werden: L(X) = X A Der Kern von L ist die Menge aller Lösungen der Gleichung: 3x 2y + z = 0

41 Kern und Bild einer n Abbildung I Algebra und Lemma Die folgenden Aussagen sind äquivalent. 1 Der Kern von F ist gleich {O}. 2 Falls v, w Elemente von V mit F(v) = F(w) sind, dann ist v = w, d.h. F ist injektiv.

42 Kern und Bild einer n Abbildung IV Algebra und Theorem Sei F : F W eine lineare Abbildung mit Kern gleich {O}. Falls v 1,..., v n linear unabhängige Elemente aus V sind, dann sind F(v 1 ),..., F(v n ) linear unabhängige Elemente von W. Definition Sei F : V W eine lineare Abbildung. Das Bild von F ist die Menge der Elemente w W für die ein Element v V existiert mit F(v) = w. Das Bild von F wird durch Im F bezeichnet. Das Bild von F ist ein Teilraum von W.

43 Kern und Bild einer n Abbildung V Algebra und Theorem Sei V ein Vektorraum. Sei L : V W eine lineare Abbildung von V in einen anderen Raum W. Sei n die Dimension von V, q die Dimension des Kerns von L und s die Dimension des Bildes von L. Dann ist n = q + s. Also: dimv = dim Ker L + dim Im L

44 Die einer Matriz entsprechende Abbildung I Algebra und Definition Sei A = a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n..... a m1 a m2 a m3... a mn eine m n-matrix. Die A entsprechende lineare Abbildung L A : R n R m ist definiert durch: L A (X) = AX für jeden Spaltenvektor X in R n.

45 Die einer Matriz entsprechende Abbildung Algebra Es gilt: A(X + Y) = AX + AY und A(cX) = cax und Beispiel A = ( ) und X = ( 3 7 ) Dann ( ) ( 3 7 ) = ( ) = ( )

46 Die einer Matriz entsprechende Abbildung I Algebra und Theorem Falls A, B m n-matrixen sind und falls L A = L B, dann A = B. Falls also zwei dieselbe lineare Abbildung induzieren, sind sie gleich.

47 Die einer n Abbildung entsprechende Matriz I Algebra und Zuerst ein Spezialfall: Sei L : R n R eine lineare Abbildung. Zu zeigen: Es existiert ein Vektor A in R n mit der Eigenschaft L = L A, d.h. für jedes X gilt: L A (X) = AX

48 Die einer n Abbildung entsprechende Matriz Algebra Generalisierung und Theorem Sei L : K n K m eine lineare Abbildung. Dann gibt es eine (eindeutig bestimmte) Matrix A mit L = L A. a a 1n.. a m1... a mn x 1. x n = a 11 x a 1n x n. a m1 x a mn x n

49 Die einer n Abbildung entsprechende Matriz I Algebra und Beispiel Sei F : R 3 R 2 eine Projektion, d.h. die Abbildung mit: F(x 1, x 2, x 3 ) = (x 1, x 2 ) Die mit F assoziierte Matrix ist dann: ( )

50 Die einer n Abbildung entsprechende Matriz IV Algebra und Beispiel Eine lineare Abbildungh L : R 2 R 2 wir eine Rotation genannt, falls ihre Matrix in der folgenden Form geschrieben werden kann: ( ) cosθ sinθ sinθ cosθ

51 Die einer n Abbildung entsprechende Matriz V Algebra und Es gilt: L A+B = L A + L B und L ca = cl A