A w w f f B w f w f A B w f w w A B A B A B. z = a 2 + b 2 =: r. c+id = ac+bd. 2 c 2 +d 2. z 2. z n = z. z = r cos(x) + ir sin(x) = reix

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1 Formelsammlung Aussagenlogik Für beliebige Aussagen A, B gilt: Konjunktion Disjunktion Implikation Äquivalenz A B w f f f A B w w w f A B w f w w A B w f f w Mengenlehre Für beliebige Mengen A, B gilt: Schnittmenge A B Vereinigungsmenge A B Dierenzmenge A \ B A B A B A B Komplexe Zahlen C := {z : z = a + ib, a, b R} i 2 := 1 z = a 2 + b 2 =: r z 1 + = (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d) z 1 = (a + ib) (c + id) = (a c) + i(b d) z 1 = (a + ib)(c + id) = (ac bd) + i(ad + bc) = a+ib c+id = ac+bd c 2 +d + i bc ad 2 c 2 +d 2 z = a ib z 1 + = z 1 + und z 1 = z 1 z 1 = z 1 z n = z ( n z1 ) = z 1 für 0 z = z Re(z 1 ) = 1 2 (z + z) und Im(z) = 1 2i (z z) z 1 = r 1 e ix1 r 2 e ix2 i(x1+x2) = r 1 r 2 e z1 = r1eix 1 r 2e ix 2 z n = (re ix ) n = r n e inx für n N 0 e ix = e ix z 1 z = r cos(x) + ir sin(x) = reix = r1 r 2 e i(x1 x2) für 0 Abbildungen Es seien M, N nichtleere Mengen f : M N Injektiv f(x 1 ) f(x 2 ) x 1, x 2 M mit x 1 x 2 f : D R mit D R n Surjektiv Bijektiv y N x M : f(x) = y injektiv und surjektiv Konvex (λ (0, 1)) f(λx 1 + (1 λ)x 2 ) λf(x 1 ) + (1 λ)f(x 2 ) x 1, x 2 D mit x 1 x 2 Konvexe Menge Konkav (λ (0, 1)) f(λx 1 + (1 λ)x 2 ) λf(x 1 ) + (1 λ)f(x 2 ) x 1, x 2 D mit x 1 x 2 M R n heiÿt konvex, wenn aus a 1, a 2 M und λ [0, 1] λa 1 + (1 λ)a 2 M λ [0, 1] gilt 1

2 Vektoren (x, y R n ) Skalarprodukt Norm Abstand Winkel x, y := n i=1 x iy i x := n i=1 x2 i x y := ( ) n i=1 (x i y i ) 2 (x, y) := arccos x,y x y des euklidischen Skalarprodukts, x, x 0 x, x = 0 x = 0 λ R x, y = y, x x, y + z = x, y + y, z x, λy = λx, y = λ x, y x, y 2 x, x y, y der euklidischen Norm, x 0 x = 0 x = 0 λ R λx = λ x x + y x + y Orthogonalität x y x, y = 0 Orthonormalität x, y = 0 x = y = 1 Lineare Abbildungen Es sei U eine nichtleere Teilmenge des R n Linearer Unterraum Vektoraddition skalare Multiplikation Lineare Abbildung f : U V, U R n, V R m lineare Unterräume Additivität Homogenität x + y U für alle x, y U λx U für alle x U, λ R f(x + y) = f(x) + f(y) für alle x, y U f(λx) = λf(x) für alle x U, λ R einer linearen Abbildung f : U V einer m n-matrix A Kern Kern(f):= {x U : f(x) = 0} Kern(A):= {x R n : Ax = 0} Bild Bild(f):= {y V : es gibt ein x U mit y = f(x)} Bild(A):= {y R m : es gibt ein x R n mit y = Ax} Rang rang(a) := dim(bild(a)) Zusammenhänge rang(a) = rang(a T ) rang(a) min{m, n} dim(kern(f) + dim(bild(f)) = dim(u) dim(kern(a)) + rang(a) = n Kern(A) = {0} rang(a) = n 2

3 Matrizen Es sei A eine quadratische n n-matrix Inverse Matrix Symmetrische Matrix Orthogonale Matrix Spur AA 1 = E A = A T AA T = A T A = E spur(a) := n i=1 a ii der Spur spur(e n ) = n spur(λa + µb) = λ spur(a) + µ spur(b) für A, B M(n, n), λ, µ R spur(a) = spur(a T ) spur(ab) = spur(ba) für A M(m, n) und B M(n, m) inverser Matrizen (A 1 ) 1 = A (A T ) 1 = (A 1 ) T (AB) 1 = B 1 A 1 (ra) 1 = 1 r A 1 Berechnungsformeln für invertierbare Matrizen Determinanten ( ) a b 2 2-Matrix c d A 1 = 1 ad bc n n-matrix A 1 = 1 Es seien A, B quadratische n n-matrizen von Determinanten Berechnungsformeln ( d ) b c a A 11 A 21 A n1 A 12 A 22 A n2, A 1n A 2n A nn wobei A ij := ( 1) i+j det(a ij ) die Kofaktoren der Matrix A sind det(ab) = det(b) A invertierbar det(a 1 ) = 1 det(ra) = r n A orthogonal = 1 = det(a T ) n n-matrix := { a 11 für n = 1 n j=1 ( 1)1+j a 1j det(a 1j ) für n > 1 ( ) a11 a 2 2-Matrix det 12 = a a 21 a 11 a 22 a 12 a a 11 a 12 a Matrix det a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 Dreiecksmatrix nach Laplace, mit Untermatrix A ij = n i=1 a ii = n j=1 ( 1)i+j a ij det(a ij ) Entwicklung nach Zeile i = n i=1 ( 1)i+j a ij det(a ij ) Entwicklung nach Spalte j 3

4 Lineare Gleichungssysteme Für die Lösungsmenge L = {x R n : Ax = b} von Ax=b der Ordnung m n gilt: Lehrstuhl für BWL, insb Mathematik und Statistik keine Lösung genau eine Lösung unendlich viele Lösungen rang(a) < rang(a, b) rang(a) = rang(a, b) und rang(a) = n rang(a) = rang(a, b) und rang(a) < n Cramersche Regel Es sei A eine invertierbare n n-matrix a 11 b 1 a 1n Mit A (j) := ist die eindeutige Lösung x = (x 1,, x n ) T von Ax = b gegeben durch: a n1 b n a nn Eigenwerttheorie x j = det(a (j)) für j = 1,, n Für eine n n-matrix A heiÿt eine Zahlt λ R, für die das lineare Gleichungssystem Ax = λx eine Lösung x R n \{0} besitzt, reeller Eigenwert von A und der Vektor x wird als reeller Eigenvektor von A zum Eigenwert λ bezeichnet a 11 λ a 12 a 1n a 21 a 22 λ a 2n λ ist Eigenwert von A det(a λe) = det = 0 a n1 a n2 a nn λ λ 1,, λ n seien Eigenwerte von A, dann gilt: λ m 1,, λ m n sind Eigenwerte von A m A invertierbar λ i 0 für alle i = 1,, n A invertierbar 1 λ 1,, 1 λ n Eigenwerte von A 1 A und A T besitzen die gleichen Eigenwerte A orthogonal λ i = 1 für alle i = 1,, n 4

5 Diagonalisierbarkeit Es seien A, B quadratische n n-matrizen Ähnlichkeit B = T 1 AT mit invertierbarer n n-matrix T p A (λ) = p B (λ) = det(b) spur(a) = spur(b) A und B haben die gleichen Eigenwerte A invertierbar B invertierbar rang(a) = rang(b) Diagonalisierbarkeit Es existiert eine invertierbare n n-matrix X mit D = X 1 AX bzw A = XDX 1 mit n n-diagonalmatrix D A diagonalisierbar A besitzt n linear unabhängige Eigenvektoren x 1,, x n Für die Matrix X := (x 1,, xn) gilt dann D = X 1 AX Kriterien für Diagonalisierbarkeit A besitzt n verschiedene Eigenwerte = A ist diagonalisierbar A symmetrisch A besitzt n normierte orthogonale Eigenvektoren x 1,, x n Die Matrix X := (x 1,, x n ) ist dann orthogonal und es gilt D = X T AX Quadratische Formen Die zur symmetrischen n n-matrix A gehörende quadratische Form ist die reellwertige Funktion: Denitheitseigenschaften Es sei eine symmetrische n n-matrix A q : R n R, x q(x) := x T Ax = a ii x 2 i + i=1 i=1 a ij x i x j Quadratische Form reelle Eigenwerte Hauptminoren q(x) = x T Ax λ 1,, λ n det(h 1 ),, det(h n ) A positiv denit x T Ax > 0 x R n \{0} λ i > 0 i = 1,, n det(h k ) > 0 k = 1,, n A negativ denit x T Ax < 0 x R n \{0} λ i < 0 i = 1,, n ( 1) k det(h k ) > 0 k = 1,, n A indenit x, y R n \{0} mit x T Ax > 0 es gibt positive und weder det(h k ) 0 noch und y T Ay < 0 negative Eigenwerte ( 1) k det(h k ) 0 k = 1,, n j=1 i j 5