Lineare Algebra I: Eine Landkarte
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- Horst Solberg
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1 Bild F Algebra I: Eine Landkarte Faser Versuch einer Übersicht der Themen und Zusammenhänge der n Algebra 1. 1
2 Algebra I: Bild F Faser Sei B Basis von V. Jedes v V läßt sich eindeutig aus den Basisvektoren von B linear kombinieren. 2
3 Bild F Algebra I: Unterraum-Summen Faser U, W von V U + W U W falls U W = {0}. 3
4 Bild F Algebra I: Dimensionsformel für Faser U, W von V dim U + W = dim U + dim W dim U W 4
5 Algebra I:, Kern und Bild Faser Bild F Für F : V W sind Ker F und Im F von V bzw. W. 5
6 Faser Algebra I: Durch Basis definiert Bild F Ist B Basis von V und sind F (b i ) W festgelegt, so ist F : V W eindeutig bestimmt. 6
7 Algebra I: Dimensions- und Basissatz Faser Bild F Für F : V W gilt: dim V = dim Ker F + dim Im F. 7
8 Algebra I: Faser Bild F rang F = dim Im F. 8
9 Algebra I: Faser Bild F Rechenregeln, z.b. -Produkt. 9
10 Algebra I: Darstellende Matrix Faser Bild F hängt von ab. 10
11 Algebra I: Darstellende Matrix Definition und Rechengesetz: Die darstellende Matrix M A,B einer linearen Abbildung F : V W bezüglich der A von V und B von W enthält als Spalten die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren aus A bezüglich der Basisvektoren aus B. 11
12 Faser Algebra I: Basiswechsel Bild F Transformationsmatrix T A B = Darstellende Matrix der Identität M A,B (id). 12
13 Faser Algebra I:, Bilder & Dimension Bild F Im A =Spaltenraum A (SR(A)) Zeilenrang A = Spaltenrang A = rang A = dim SR(A) = dim ZR(A) 13
14 Algebra I: Quotientenvektorräume Faser Bild F V/ Ker F. 14
15 Algebra I: Quotientenvektorräume Bild F Faser = Menge der affinen Unterräume zu U. 15
16 Algebra I: Bild F Faser Ax = b 16
17 Algebra I: Homogene lineare Bild F Faser Ax = 0: Lös(A, 0) = KernA. 17
18 Algebra I: Inhomogene lineare Bild F Faser Lös(A, b) = Faser von A zu b. Dies ist ein zum Ker A. 18
19 Algebra I: linearer Bild F Faser Ax = b lösbar rang A = rang(a b) Ax = b eindeutig lösbar rang A = rang(a b) = # Spalten von A rang A = rang(a b) und Ker A = {0}. 19
20 Algebra I: Quadratische Bild F Faser 20
21 Algebra I: Quadratische Wenn A M(n n, ), dann sind äquivalent: Ax = b eindeutig lösbar für jedes b n rang A = n Ker A = {0} A invertierbar det A 0. 21
22 Algebra I: Bild F Faser Codes sind des n 2. 22
23 Algebra I: Bild F Faser C linearer Code C = Ker(F ) für geeignete lineare Abbildung F C = Lös(A, 0) für geeignete Matrix A 23
24 Algebra I: Die Landkarte (ohne Anspruch auf Vollständigkeit) Bild F Faser 24
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