Lineare Abbildungen und Matrizen

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1 Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 31. Mai 2016 Stefan Ruzika 9: Lineare Abbildungen und Matrizen 31. Mai / 16

2 Gliederung 1 Schulstoff 2 Körper 3 Vektorräume 4 Basis und Dimension 5 Skalarprodukt, Norm und Metrik 6 Lineare Abbildungen 7 Bild, Faser, Kern 8 Lineare Gleichungssysteme 9 Lineare Abbildungen und Matrizen Erzeugung linearer Abbildungen Koordinatensystem Matrizenmultiplikation Invertierbare Matrizen Stefan Ruzika 9: Lineare Abbildungen und Matrizen 31. Mai / 16

3 Erzeugung linearer Abbildungen Motivation Frage Gibt es eine lineare Abbildung F : R 2 R 2 mit F (2, 0) = (0, 1), F (1, 1) = (5, 2), F (1, 2) = (2, 1)? Beobachtung 1 Bei allgemeinen Abbildungen kann man die Bilder verschiedener Argumente völlig unabhängig voneinander wählen. Bei einer linearen Abbildung F legt man durch die Festlegung eines Bildes F (v) die Abbildung für alle Werte λ v, λ K fest. Gibt man auch den Wert F (w) vor, so ist die Abbildung sogar für alle Werte λ v + µ w, λ, µ K, festgelegt. Frage: Durch wieviele solcher Vorgaben ist eine lineare Abbildung festgelegt? Stefan Ruzika 9: Lineare Abbildungen und Matrizen 31. Mai / 16

4 Erzeugung linearer Abbildungen Satz über die Erzeugung linearer Abbildungen In diesem Abschnitt: Sei K ein Körper. Seien V und W K-Vektorräume. Satz 2 Seien v 1,..., v r V und w 1,..., w r W. Dann gilt: a) Sind v 1,..., v r linear unabhängig, so gibt es mindestens eine lineare Abbildung F : V W mit F (v i ) = w i für i = 1,..., r. b) Ist (v 1,..., v r ) eine Basis, so gibt es genau eine lineare Abbildung F : V W mit F (v i ) = w i für i = 1,..., r. Dieses F hat folgende Eigenschaften: 1 Im F = span K (w 1,..., w r ) 2 F injektiv w 1,..., w r linear unabhängig. Beweis. Tafel Stefan Ruzika 9: Lineare Abbildungen und Matrizen 31. Mai / 16

5 Koordinatensystem Erzeugung linearer Abbildungen Folgerungen Korollar 3 Ist B = (v 1,..., v n ) eine Basis von V, so gibt es genau einen Isomorphismus Φ B : K n V mit Φ B (e j ) = v j für j = 1,..., n. wobei (e 1,..., e n ) die kanonische Basis von K n bezeichnet. Diesen Isomorphismus Φ B nennen wir Koordinatensystem. Stefan Ruzika 9: Lineare Abbildungen und Matrizen 31. Mai / 16

6 Koordinatensystem Erzeugung linearer Abbildungen Folgerungen Korollar 4 Zu jeder linearen Abbildung F : K n K m gibt es genau eine Matrix A M(m n; K), so dass F (x) = A x für alle Spaltenvektoren x K n. Beweis. Betrachte die kanonische Basis des K n. Schreibe F (e 1 ),..., F (e n )) als Spaltenvektoren nebeneinander und erhalte die Matrix A. Man braucht in diesem Fall nicht mehr zwischen linearen Abbildungen und Matrizen zu unterscheiden. Zwischen Matrizen und Homomorphismen gibt es auch in allgemeinen Vektorräumen einen Zusammenhang: Stefan Ruzika 9: Lineare Abbildungen und Matrizen 31. Mai / 16

7 Koordinatensystem Zusammenhang zw. Homomorphismen und Matrizen Satz 5 Sei A = (v 1,..., v n ) Basis von V und sei B = (w 1,..., w m ) Basis von W. Dann gibt es zu jeder linearen Abbildung F : V W genau eine Matrix A = (a ij ) M(m n; K), so dass F (v j ) = und die so erhaltene Abbildung m a ij w i für j = 1,..., n, i=1 M A B : Hom(V, W ) M(m n; K), F A = M A B (F ) ist ein Isomorphismus von K-Vektorräumen. Insbesondere gilt: M A B (F + G) = M A B (F ) + M A B (G) und M A B (λf ) = λm A B (F ) Stefan Ruzika 9: Lineare Abbildungen und Matrizen 31. Mai / 16

8 Koordinatensystem Zusammenhang zw. Homomorphismen und Matrizen Merke: Nach Wahl fester Basen kann man lineare Abbildungen durch Matrizen ersetzen. Man bezeichnet MB A (F ) als die Matrix, die F bzgl. der Basen A und B darstellt (Darstellungsmatrix). Beweis. Tafel Stefan Ruzika 9: Lineare Abbildungen und Matrizen 31. Mai / 16

9 Koordinatensystem Spezialfall: V = W Wenn V = W, dann ist Hom(V, V ) = End(V ), die Menge der Endomorphismen von V. Setzt man A = B, so motiviert dies, die vereinfachende Notation M B := M B B. Der Vektorraumisomorphismus M B : End(V ) M(n n; K) ist dann durch die Gleichungen n F (v j ) = a ij v i für j = 1,..., n, i=1 wenn B = (v 1,..., v n ) und A = (a ij ) = M B (F ). Stefan Ruzika 9: Lineare Abbildungen und Matrizen 31. Mai / 16

10 Matrizenmultiplikation Multiplikation von Matrizen Bemerkung 5.1 Sind G : U V und F : V W lineare Abbildungen, so ist F G : U W auch linear. Betrachte den Spezialfall: U = K r, V = K n, W = K m und die isomorphe Darstellung der linearen Abbildungen F und G durch Matrizen A und B. Frage: Welche Matrix C repräsentiert dann den Homomorphismus F G? Stefan Ruzika 9: Lineare Abbildungen und Matrizen 31. Mai / 16

11 Matrizenmultiplikation Matrizenmultiplikation Definition 6 Seien A = (a ij ) M(m n; K) und B = (b jk ) M(n r; K). Dann definieren wir das Produkt von A und B durch wobei c ik := n j=1 a ijb jk A B = (c ik ) M(m r; K) Beispiel 7 Tafel Stefan Ruzika 9: Lineare Abbildungen und Matrizen 31. Mai / 16

12 Matrizenmultiplikation Rechenregeln für Matrizen Satz 8 Seien A, A M(m n; K) und B, B M(n r; K), C M(r s; K) und λ K. Dann gelten folgende Rechenregeln: a) A (B + B ) = A B + A B b) (A + A )B = AB + A B c) A(λB) = (λa)b = λ(ab) d) (AB)C = A(BC) e) (AB) = B A f) E m A = AE n = A Beweis. Tafel Stefan Ruzika 9: Lineare Abbildungen und Matrizen 31. Mai / 16

13 Matrizenmultiplikation Rang der Produktmatrix Lemma 9 Seien A M(m n; K) und B M(n r; K). Dann gilt folgende Beziehung zwischen den Rängen der Matrizen A, B und A B: rang A + rang B n rang A B min{rang A, rang B} Beweis. Tafel Stefan Ruzika 9: Lineare Abbildungen und Matrizen 31. Mai / 16

14 Invertierbare Matrizen Die allgemeine lineare Gruppe GL(n; K) Wir wissen: Matrizen beschreiben eindeutig lineare Abbildungen. Betrachte Hom(K n, K n ) M(n n; K) Zu manchen Abbildungen existieren Umkehrabbildungen... daher folgende Frage: Welche quadratischen Matrizen beschreiben lineare Abbildungen mit Umkehrabbildungen (oder gleichwertig: Welche quadratischen Matrizen beschreiben Isomorphismen in K n?) Erinnerung: Sei F : K n K n eine lineare Abbildung und F 1 die Umkehrabbildung zu F, dann gilt F F 1 = F 1 F = id K n. Stefan Ruzika 9: Lineare Abbildungen und Matrizen 31. Mai / 16

15 Invertierbare Matrizen Die allgemeine lineare Gruppe GL(n; K) Definition 10 Eine Matrix A M(n n; K) heißt invertierbar, wenn es ein A M(n n; K) gibt mit A A = A A = E n Bemerkung 10.1 Die Menge GL(n; K) := {A M(n n; K) : A ist invertierbar } mit der Matrizenmultiplikation ist eine Gruppe mit neutralem Element E n. Die Gruppe GL(n; K) heißt allgemeine lineare Gruppe (general linear, daher GL). Beweis. Übung Stefan Ruzika 9: Lineare Abbildungen und Matrizen 31. Mai / 16

16 Invertierbare Matrizen Die allgemeine lineare Gruppe GL(n; K) Lemma 11 Das Inverse A einer Matrix A ist eindeutig bestimmt und es gilt: 1 (A 1 ) 1 = A, 2 (AB) 1 = B 1 A 1 und 3 (A ) 1 = (A 1 ) Bemerkung 11.1 Für eine Matrix A M(n n; K) sind folgende Aussagen äquivalent: a) A ist invertierbar. b) A T ist invertierbar. c) Spaltenrang A = n. d) Zeilenrang A = n. Stefan Ruzika 9: Lineare Abbildungen und Matrizen 31. Mai / 16