Stefan Ruzika. 24. April 2016

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1 Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 24. April 2016 Stefan Ruzika 2: Körper 24. April / 21

2 Gliederung 1 1 Schulstoff 2 Körper Definition eines Körpers Beispiele von Körpern Polynome Der Fundamentalsatz der Algebra 1 In diesem Kapitel behandeln wir nur das Notwendigste. Eine detailliertere Einführung in die Theorie der Körper bieten z. B. die Vorlesungen Grundlagen der Mathematik C oder Diskrete algebraische Strukturen Stefan Ruzika 2: Körper 24. April / 21

3 Erinnerung: Die reellen Zahlen R Hier: keine formale Einführung der reellen Zahlen ( Analysis), aber ein Blick aus struktur-mathematischer Sicht: Auf den reellen Zahlen R gibt es zwei Verknüpfungen: Addition und eine Multiplikation: + : R R R, (a, b) a + b und : R R R, (a, b) a b Für diese Verknüpfungen gelten die folgenden Rechenregeln: 1 a, b, c R : (a + b) + c = a + (b + c) Assoziativgesetz der Addition 2 a R : 0 + a = a Neutrales Element der Addition 3 a R ( a) R : ( a) + a = 0 Inverse Elemente der Addition 4 a, b R : a + b = b + a Kommutativgesetz der Addition 5 a, b, c R \ {0} : (a b) c = a (b c) Assoziativgesetz der Multiplikation 6 a R \ {0} : 1 a = a Neutrales Element der Multiplikation 7 a R \ {0} a 1 R : (a 1 ) a = 1 Inverse Elemente der Multiplikation 8 a, b R \ {0} : a b = b a Kommutativgesetz der Multiplikation 9 a, b, c R : a (b + c) = a b + a c Distributivgesetz I 10 a, b, c R : (a + b) c = a c + b c Distributivgesetz I Stefan Ruzika 2: Körper 24. April / 21

4 Verallgemeinerung Achtung: Großer Abstraktionssprung!!! Alle Mengen zusammen mit zwei Verknüpfungen, die diese Rechenregeln erfüllen, sollen fortan Körper heißen. Das muss man erst mal verdauen! Alle Mengen! Die Verknüpfungen sind beliebig! Wichtig ist nur, dass diese 10 strukturellen Eigenschaften erfüllt werden! Großes Ziel: Studiere ALLE solche Gebilde/Strukturen auf einmal und triff Aussagen, die für ALLE diese Strukturen gelten (und nicht nur für die reellen oder rationalen Zahlen). Eine wahnsinnig cool Idee! Wer sich das überlegt hat, hätte den Nobelpreis verdient... wenn s den denn für Mathematiker gäbe... Stefan Ruzika 2: Körper 24. April / 21

5 Körper Definition: Körper Eine Menge K zusammen mit zwei Verknüpfungen heißt Körper, wenn gilt: + : K K K, (a, b) a + b und : K K K, (a, b) a b 1 K zusammen mit der Addition + ist eine abelsche Gruppe, d.h. es gilt a, b, c K : (a + b) + c = a + (b + c) Assoziativgesetz der Addition 0 K a K : 0 + a = a Neutrales Element der Addition a K ( a) K : ( a) + a = 0 Inverse Elemente der Addition a, b K : a + b = b + a Kommutativgesetz der Addition Stefan Ruzika 2: Körper 24. April / 21

6 Körper Definition: Körper Eine Menge K zusammen mit zwei Verknüpfungen heißt Körper, wenn gilt: : K K K, (a, b) a + b und : K K K, (a, b) a b 2 Für alle a, b K := K \ {0} gilt a b K und K mit der Multiplikation ist eine abelsche Gruppe, d. h. a, b, c K : (a b) c = a (b c) Assoziativgesetz der Multiplikation 1 K a K : 1 a = a Neutrales Element der Multiplikation a K (a 1 ) K : (a 1 ) a = 1 Inverse Elemente der Multiplikation a, b K : a b = b a Kommutativgesetz der Multiplikation 3... Stefan Ruzika 2: Körper 24. April / 21

7 Definition eines Körpers Körper Definition: Körper Eine Menge K zusammen mit zwei Verknüpfungen + : K K K, (a, b) a + b und : K K K, (a, b) a b heißt Körper, wenn gilt: Es gelten die Distributivgesetze, d. h für alle a, b, c K gilt: a (b + c) = a b + a c und (a + b) c = a c + b c Stefan Ruzika 2: Körper 24. April / 21

8 Definition eines Körpers Einfache Eigenschaften Satz 1 Sei K ein Körper und seien a, b, x, x K beliebig. Dann gilt: a) 1 0 b) 0 a = a 0 = 0 c) a b = 0 a = 0 oder b = 0 d) a( b) = (ab) und ( a)( b) = ab e) x a = x a und a 0 x = x Beweis siehe Tafel Stefan Ruzika 2: Körper 24. April / 21

9 Beispiele von Körpern Beispiele Beispiel 2 F 2 = ({0, 1}, +, ) mit den Verknüpfungen ist ein endlicher Körper a. a F steht für field; Verbindung zu den Vorlesungen DAS bzw. Modul 4: F 2 = Z/2Z Beispiel 3 a) (Q, +, ) ist ein Körper. b) (R, +, ) ist ein Körper. c) Man überlege sich, warum (Z, +, ) kein Körper ist. d) (C, +, ) ist ein Körper, den wir jetzt kennenlernen werden. Stefan Ruzika 2: Körper 24. April / 21

10 Komplexe Zahlen Definition 4 Der Körper der komplexen Zahlen C ist definiert durch: ( {(a, b) : a, b R}, +, ) wobei die Verknüpfungen + und definiert sind durch: (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) (a, b) (c, d) := (ac bd, ad + bc) Beispiel 5 a) (1, 2) + (3, 4) = (4, 6) b) (1, 2) (3, 4) = ( , ) = ( 5, 10) Stefan Ruzika 2: Körper 24. April / 21

11 Real- und Imaginärteil Bemerkung 5.1 Sei z = (a, b) C. Die Notation (a, b) heißt Paarschreibweise. a = Re(z) Realteil von z b = Im(z) Imaginärteil von z Es gilt: R C, d.h. C ist Erweiterung von R (a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0) (a, 0) (c, 0) = (a c, 0) Beachte: Anordnungaxiome gelten in C nicht mehr! Stefan Ruzika 2: Körper 24. April / 21

12 Geometrische Interpretation der Addition Im(z) i Beispiel 6 (3, 1) + (1, 2) = (4, 3) 1 Re(z) Stefan Ruzika 2: Körper 24. April / 21

13 Summenschreibweise a + bi Rechne: (0, 1) (0, 1) = ( , ) = ( 1, 0) = 1 Definition 7 Die Zahl i := (0, 1) nennen wir imaginäre Einheit. Rechne: Beispiel 8 Paarschreibweise 2 3i 3 + 4i (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a + bi = Summenschreibweise 2 (2 3i)(3 4i) 6 8i 9i + 12i = (3 + 4i)(3 4i) = i Stefan Ruzika 2: Körper 24. April / 21

14 Der Betrag z und seine geometrische Interpretation Definition 9 Sei z = (a, b) = a + bi C. Der Betrag von z ist definiert als: z := a 2 + b 2 Im(z) i z = = 5 1 a (4,3) b Re(z) Beispiel 10 Sei z = (4, 3). z = a 2 + b 2 = = 5 Stefan Ruzika 2: Körper 24. April / 21

15 Polarkoordinaten Im(z) z Beobachtung 11 Zahl z = (a, b) eindeutig bestimmt durch i 1 ϕ z a b Re(z) 1 Betrag z ( Abstand ) 2 Argument ϕ ( Drehwinkel ) Stefan Ruzika 2: Körper 24. April / 21

16 Polarkoordinaten Im(z) Beobachtung 12 Es gilt: a = z cos ϕ b = z sin ϕ z Beobachtung 13 i 1 ϕ z a b Re(z) Jeder komplexen Zahl a + bi 0 kann man durch a b = cos ϕ, z z = sin ϕ einen Winkel ϕ [0, 2π[ eindeutig zuordnen. Stefan Ruzika 2: Körper 24. April / 21

17 Polarkoordinaten Definition 14 Sei 0 z C. Das Paar ( z, ϕ) nennt man die Polarkoordinaten von z. Zur Umrechnung von bzw. in Polarkoordinaten (a 0): a = z cos ϕ z = a 2 + b 2 b = z sin ϕ tan ϕ = b a Merke: z = (a, b) = a + i b = z (cos ϕ + i sin ϕ) = z e i ϕ Stefan Ruzika 2: Körper 24. April / 21

18 Geometrische Interpretation der Multiplikation Euler: z = z (cos(ϕ) + i sin(ϕ)) = z e i ϕ Im(z) Beobachtung 15 Es gilt: z 1 z 2 = z 1 z 2 e i (ϕ1+ϕ2) Re(z) Beispiel 16 Sei: z 1 = 3 2 e i π 3, z 2 = 2 e i 3π 4 Dann ist: z 1 z 2 = e i ( π 3 + 3π 4 ) = 3 e i 13π 12 Stefan Ruzika 2: Körper 24. April / 21

19 Konjugiert komplexe Zahl Definition 17 Sei z = a + bi C. Dann heißt die Zahl die zu z konjugiert komplexe Zahl. z = a bi C Satz 18 Es gelten folgende Rechenregeln für x, y C, x = a + bi: i) x + y = x + y ii) x y = x y iii) x R x = x iv) x x = a 2 + b 2 und damit: x x = a 2 + b 2 = x Stefan Ruzika 2: Körper 24. April / 21

20 Polynome Polynome Im Folgenden sei K Körper und t eine Variable. Definition 19 (Polynom) Ein Polynom p mit Koeffizienten a 0,..., a n K, a n 0 ist ein Ausdruck der Gestalt: p(t) = a 0 + a 1 t + a 2 t a n t n. Mit K[t] bezeichnen wir die Menge all solcher Polynome mit Koeffizienten in K. Sind alle Koeffizienten a i = 0, dann nennt man das Polynom Nullpolynom. Definition 20 (Grad eines Polynoms) Der Grad von p ist definiert als { falls p = 0 deg p :=. max{i N : a i 0} sonst Stefan Ruzika 2: Körper 24. April / 21

21 Der Fundamentalsatz der Algebra Der Fundamentalsatz der Algebra Die wichtigste Existenzaussage für Nullstellen von Polynomen macht der folgende Satz 21 (Fundamentalsatz der Algebra) Jedes Polynom p C[t] mit deg p > 0 hat mindestens eine Nullstelle. Dieser Satz wurde von Carl Friedrich Gauß erstmals 1799 bewiesen. Es gibt sehr viele Beweise für diesen Satz, die aber alle Hilfsmittel aus der Analysis oder anderen Bereichen benutzen. Wir wollen daher auf einen Beweis im Rahmen der Vorlesung verzichten. Theorem 22 Jedes Polynom p R[t] mit deg p 1 gestattet eine Zerlegung p = a (t λ 1 )... (t λ r ) g 1... g m, wobei a, λ 1,..., λ r reell sind, a 0 und g 1,..., g m R[t] normierte Polynome vom Grad 2 ohne reelle Nullstellen sind. Stefan Ruzika 2: Körper 24. April / 21