Menge der natürlichen Zahlen = {1, 2, 3,...} Aber: a + x = b ist nur lösbar, falls b > a

Transkript

1 Komplexe Zahlen. Bedarfsfrage Menge der natürlichen Zahlen = {,, 3,...} Aber: a + x = b ist nur lösbar, falls b > a (Peano-Axiome). Erweiterung: Menge der ganen Zahlen = {..., -3, -, -, 0,,, 3,...} a + x = b ist lösbar in, nämlich x = b + (-a) = b a Aber: a x = b nur lösbar, falls a ein Teiler von b ist. p. Erweiterung: Menge der rationalen Zahlen = {x І x =, p, q } q b a x = b lösbar in, nämlich x = b = a a p Aber: x = c nur lösbar, falls c = q 3. Erweiterung: : Menge der reellen Zahlen (mit Hilfe von Intervallschachtelungen) Aber: x = c nur lösbar, falls c 0 4. Erweiterung: : Menge der komplexen Zahlen x = c lösbar in, nämlich?? Es gilt:. Also soll auch gelten:. Die Menge Definition: = { І = (x,y), x, y }, d.h. ist die Menge aller geordneten Paare von reellen Zahlen. x: Realteil von : x = Re() y: Imaginärteil von : y = Im() (Beachte also: Im() ) (,0) := reelle Einheit (0,) := i imaginäre Einheit Man kann (mit Hilfe der Definition von + und in, s. später) eigen: kann in der Form = x + i y geschrieben werden (sog. Normalform oder kartesische Form) = (0,) = 0 + i = i Re(-4 + 5i) = -4, Im(-4 + 5i) = 5, Re(i) = 0, Im(i) = (B.Berchtold)

2 3. Das Rechnen mit den komplexen Zahlen Seien nun = x + i y und = x + i y wei komplexe Zahlen Definition der Addition: + = x + i y + x + i y := x + x + i (y + y ) Man addiert also Realteil und Imaginärteil Definition der Multiplikation: = (x + i y ) (x + i y ) := x x - y y + i (x y + x y ) Definition der Gleichheit: =, falls x = x und y = y (Realteile und Imaginärteile müssen gleich gross sein) (s. auch Applet auf ) (3 + 4i) + (- + i) = + 5i ) (3 + 4i) (- + i) = -7 - i 3) (0 + i) (0 + i ) := i = - 4) (a + 0i) (b + 0i) = ab 5) (y + 0i) (0 + i) = yi 6) (x + 0i) + (0 + yi) = x + yi Berücksichtigt man das Resultat i = - in der Definition der Multiplikation so erkennt man: Komplexe Zahlen können multipliiert werden, indem man das Distributivgeset anwendet und i = - sett. Beispiel: (5 7i) (8 + 3i) = i + 5 3i - 7 8i = i Subtraktion: = - := + (- ) Ist also = x + i y und = x + i y, so gilt - = x + i y - x - i y = x - x + i (y - y ) Beispiel: (5 7i) - (8 + 3i) = -3 0i Division: Was ist = :? ( 0) Ist = a + bi, so sucht man also eine Zahl = x + iy so, dass (x + iy) (a + bi) = ist. (x + iy) (a + bi) = ax by + (ay + bx)i = + 0i. Wegen der Gleichheit von wei komplexen Zahlen hat man daher das Gleichungssystem ax by = bx + ay = 0 u lösen. (B.Berchtold)

3 Die Lösung dieses Systems ist: x = a a + b, y = a b + b (a, b 0) Rechnet man a + bi a bi = a + bi a bi a bi = a + b, so erhält man dasselbe Resultat! Definition: Die ur Zahl = a + bi gehörende Zahl = a bi heisst konjugiert komplex. Man dividiert also komplexe Zahlen, indem man den Quotienten mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners erweitert! 8 + i 8 + i 4 + i 3 + 6i i 30 6 ) = = = = + i 4 i 4 i 4 + i (5 + 5i) (5-5i) 0i ) = = i (+ i)(- i) 5 Eigenschaften von konjugiert komplexen Zahlen: ( = a + bi). = a + b, 0. + = +, = 3. =, = + i 4. Re() = ( ), Im() = ( ) (Beweise als Aufgabe) Lösen von Gleichungen Da die algebraische Struktur ; +, ein Körper ( ; + kommutative Gruppe, \ {0}; kommutative Gruppe, Distributivgeset gilt) ist, so kann man Gleichungen analog wie in der Menge auflösen: ) ( + i) (5 + i) = 8 3i 3 i 3 i i = = = 5 3i + i + i i ) = - 50 = 50 i = 5 i, = 5 i (B.Berchtold) 3

4 3) = 0 4 ± ± d, = =, wobei d = -4. Also d :=d = i, d = -i Die Lösung d = -i ist wegen ± bereits enthalten. = - + i, = - - i 4) = i Der Ansat = x + iy führt wegen = x y + xyi auf das Gleichungssystem x y = -3 xy = 4 Dieses führt auf die biquadratische Gleichung x 4 + 3x 44 = 0 in. Da x = 4 und x = -36, so sind in (!) nur die Lösungen x = und x = - ulässig. Die daugehörigen y-werte heissen y = 6 und y = -6. Die Lösungen der ursprünglichen Gleichung sind daher: = + 6i, = - - 6i = - (eine einfachere Lösungsmöglichkeit: s. später mit Polarformdarstellung von ) 4. Die geometrische Darstellung der komplexen Zahlen in der Gauss-Ebene Jede komplexe Zahl = x + iy kann durch einen Punkt Z(x/y) in der Ebene dargestellt werden. In diesem Fall nennt man die Ebene die Gauss'sche Zahlenebene. Imaginäre Achse y r ϕ Z()=Z(x/y) x Reelle Achse Jede komplexe Zahl ist auch bestimmt durch die Polarkoordinaten (r, ϕ) des Punktes Z(x/y). Gemäss den Umrechnungsformeln gilt: 0 ϕ < π ( bw. 0 ϕ < 360 ) Betrag von := := r = y x + y, tan ϕ = (x 0) x (für Bestimmung des Argumentes ϕ: Quadrantenlage beachten!) x = r cos ϕ, y = r sin ϕ (nach Definitionen der trigonometrischen Funktionen für beliebige Winkel) Es gilt also: = x + iy = r cos ϕ + i r sin ϕ := r cis ϕ := r e iϕ (B.Berchtold) 4

5 Gleichheit von komplexen Zahlen in Polarform: r cis ϕ = r cis ϕ r = r und ϕ = ϕ + k π 0 cis ϕ = 0 cis ϕ = 0 für beliebige ϕ, ϕ (k ) 4. Die Rechenoperationen in der Gauss-Ebene Sei = r cis ϕ, = r cis ϕ und = r cis ϕ a) Addition = + = r cis ϕ + r cis ϕ = (r cos ϕ + r cos ϕ ) + i(r sin ϕ + r sin ϕ ) Die Addition erfolgt also 'komponentenweise' (vergleiche "Vektoraddition" von Vektoren in der Grundebene) Das Resultat in Polarform r = und ϕ = ist kompliiert! b) Multiplikation = = r cis ϕ r cis ϕ = (r cos ϕ + i r sin ϕ ) (r cos ϕ + i r sin ϕ ) = = r r (cos ϕ cos ϕ - sin ϕ sin ϕ ) + i r r (sin ϕ cos ϕ + cos ϕ sin ϕ ) = = r r (cos (ϕ + ϕ ) + i sin (ϕ + ϕ ) ) = r r (cis(ϕ + ϕ )) = r cis ϕ Bei Multiplikationen komplexer Zahlen in Polarform werden also die Beträge multipliiert und die Argumente addiert: r = r r, ϕ = ϕ + ϕ Dies rechtfertigt auch die Schreibweise für = r e iϕ : = r e iϕ r e iϕ = r r e i(ϕ+ϕ) c) Subtraktion = = + (- ) "Vektorsubtraktion" d) Division = = = Da also =, so muss gelten: r = cis (ϕ - ϕ ) r = 5 cis 30, = cis 0 (s. auch Applet auf ) = + = 5 cos 30 + cos 0 + i (5 sin 30 + sin 0 ) i 6.93 cis (4.3 ) (B.Berchtold) 5

6 (Die Addition erfolgt also in Normalform mit anschliessender Umrechnung in Polarform!) ) = = 0 cis 40 3) = =.5 cis 0 4) = = 0.4 cis (-0 ) = 0.4 cis 340 (Argument wischen 0 und 360 ) e) Potenieren = r cis ϕ (wegen Multiplikation) n = r n cis (nϕ) für n. cis 0 (wegen Division) = = cis (-nϕ) für n. n n n r cis(nϕ) r Zusammengefasst: = r cis ϕ k = r k cis(kϕ) für k. (Formel von Moivre) Speialfall: r = = : (cis ϕ) k = (cos ϕ + i sin ϕ) k = cos(kϕ) + i sin(kϕ) ) ( cis 30 ) 5 = 3 cis 50 ) ( 3 + i) 6 = mit binomischem Lehrsat selber! ( 3 + i) 6 = ( cis 30 ) 6 = 64 cis 80 = ) ( + i) 0 = ( cis 45 ) 0 = 5 cis 450 = 3 cis 90 = 3 i 4) sin 3ϕ =? cos 3ϕ =? Formel von Moivre für r = = und k = 3: (cos ϕ + i sin ϕ) 3 = cos 3ϕ + i sin 3ϕ Nach binomischem Lehrsat: (cos ϕ + i sin ϕ) 3 = cos 3 ϕ + 3 i cos ϕ sin ϕ + 3 i cos ϕ sin ϕ + i 3 sin 3 ϕ = = (cos 3 ϕ - 3 cos ϕ sin ϕ) + i (3 cos ϕ sin ϕ - sin ϕ) Also gilt wegen Gleichheit komplexer Zahlen in Normalform: cos 3ϕ = cos 3 ϕ - 3 cos ϕ sin ϕ ; sin 3ϕ = 3 cos ϕ sin ϕ - sin ϕ (B.Berchtold) 6

7 f) Radiieren Lösungen der Gleichung n = a = r cis ϕ für n, a? Sei = s cis ψ s =?, ψ =? Potenieren: n = s n cis(nψ) = a = r cis ϕ Gleichheit in Polarform: s n = r und nψ = ϕ + k π (k ) Daher gilt: s = n ϕ π r und ψ = + k n n Es gibt aber nicht beliebig viele ψ, sondern genau n: ψ 0, ψ,, ψ n- für k = 0,,, n- Die Gleichung n = a = r cis ϕ (n ) hat genau n Lösungen := n a, nämlich k = n ϕ π r cis( + k ), wobei k = 0,,, n- n n Bemerkungen:. Diese Lösungen haben alle denselben Betrag k = n r, unterscheiden sich also nur durch das Argument (den Winkel).. In den reellen Zahlen gilt für a (a 0): n a ist eindeutig! In ist die Schreibweise n a nicht mehr eindeutig! Speialfall: Die n Lösungen der Gleichungen n = (n ) heissen n-te Einheitswureln. ) Wie heissen die vierten Einheitswureln? 0 =, = cis 90 = i, = cis 80 = -, 3 = cis 70 = -i ) Berechne sämtliche Lösungen von 6 = -. a = - = cis 80, d.h. a = r =, ϕ = 80 k = cis( + k ) = cis(30 + k 60 ), wobei k = 0,,, = cis 30, = cis 90 = i, = cis 50, 3 = cis 0, 4 = cis 70 = -i, 5 = cis 330 Je wei Lösungen sind konjugiert komplex: 0 = 5, = 4, = 3 Aufgabe: Stelle die sechs Lösungen in der Gauss-Ebene dar! (B.Berchtold) 7

8 3) Bestimme die Lösungsmenge L der Gleichung = 3 4i a = 3 4i = 5 cis k = 5 cis( + k ) = 5 cis( k 80 ), wobei k = 0, 0 = 5 cis = - + i, = 5 cis = - i L = {- + i, i} Die reinquadratische Gleichung = a hat folglich (wegen Addition von 80 ) immer wei Lösungen 0 und, wobei = Gleichungen weiten und höheren Grades a) Die quadratische Gleichung mit komplexen Koeffiienten Gegeben sei die quadratische Gleichung ax + bx + c = 0 mit komplexen Koeffiienten a, b und c (a 0). Division mit a und quadratische Ergänung liefert: b b 4ac b b 4ac x + + = 0, also x + = : = a 4a 4a a 4a 4a Ist also d eine der beiden Lösungen der Gleichung = b 4ac (vgl. auch oben, Beispiel 3)), so gilt: b d b d + = bw. x + =, also a a a a x b d x = + bw. x a a b = a Zusammengefasst: d a Die Lösungen der quadratischen Gleichung ax + bx + c = 0 mit a, b, c b ± d heissen x, =, wobei d eine Lösung der Gleichung = b 4ac ist. a Man beachte die Ähnlichkeit ur Lösungsformel von quadratischen Gleichungen in. Hier wird allerdings die Wurelschreibweise vermieden. ) x + ( + 4i)x 3 = 0 (a =, b = + 4i, c = -3) := ( + 4i) + = 4 + 6i 6 + = 6i = 6 cis 90 d = 4 cis 45 = + i 4i + + i x = = + + i( + (B.Berchtold) 8 )

9 x 4i = i = + i( ) ) x + (-3 + 0i)x + 9 7i = 0 := 69 60i i = i = 5 cis 06.6 d = 5cis 53.3 = 3 + 4i 3 0i i 3 0i 3 4i x = = 8-3i, x = = 5-7i Bem.: TI89 liefert diese Lösungen mit csolve(x + (-3 + 0i)x + 9 7i = 0,x) b) Gleichungen mit reellen Koeffiienten Sat: Ist Lösung einer Gleichung weiten oder höheren Grades mit reellen Koeffiienten, so ist auch die konjugiert komplexe Zahl Lösung dieser Gleichung. Beweis: Eine Gleichung n-ten Grades habe die Form a n n + a n- n- + + a + a 0 = 0 mit a i ( i = 0,,,..n) Da Lösung dieser Gleichung, so gilt: a n n + a n- n- + + a + a 0 = 0. Bildet man links und rechts des Gleichheitseichens die konjugiert komplexe Zahl, so gilt (Eigenschaften der konjugiert komplexen Zahl: s. p. 3) n n n = a + an a 0. Da a a, so folgt: n n an + an a = 0. Wendet man wieder die Eigenschaften der konjugiert komplexen Zahl an, so gilt: n n- n = a + an a 0. Also folgt die Behauptung. Aufgabe: Die Gleichung a + b +7 = 0 hat wei rein imaginäre Lösungen sowie eine reelle Doppellösung. Bestimme a, b. (a, b ) Lösung: =, 3 = α i (α > 0). Nach dem Sat gilt dann 4 = α i = - α i. Es ist also ( ) ( - α i) ( + α i) a + b +7 ( für alle ) ( - + ) ( + α ) = (- ) + (α + ) + (- α ) + α Der Koeffiientenvergleich (reelle Koeffiienten) liefert: =, also = 6; α = 7, also α = ; a = α + = 36; b = - α = -4 (B.Berchtold) 9

10 c) Fundamentalsat der Algebra Fundamentalsat der Algebra In lässt sich jedes Polynom n-ten Grades (mit komplexen Koeffiienten a i ) in Linearfaktoren erlegen: P n () = a n n + a n- n- + + a + a 0 = a n ( ) ( ) ( n ), d.h. jede Gleichung n-ten Grades hat in genau n Lösungen (mehrfache Lösungen werden dabei mehrfach geählt). Diesen Fundamentalsat hat C.F.Gauss 797 in seiner Dissertation bewiesen. Hier wird auf den Beweis verichtet. Man beachte den Gegensat u, wo sich nicht jedes Polynom weiten Grades in Linearfaktoren erlegen lässt. Aufgaben: a) Wie gross ist das Produkt aller fünften Einheitswureln? Die Lösungen der Gleichung 5 = seien,,, 5. Da 5 - = ( ) ( ). ( 5 ), so muss = -, also das Produkt dieser Einheitswureln = sein. b) Die Verallgemeinerung auf die Lösungen der Gleichung n = a (a ) erfolgt sinngemäss und lautet: Ist n ungerade, so ist das Produkt aller Lösungen = a Ist n gerade, so ist das Produkt aller Lösungen = -a. a) Wie gross ist die Summe aller fünften Einheitswureln? Da = ( ) ( ). ( 5 ) = 5 ( ) + -, so muss 0 5 i= i = sein. b) Die Verallgemeinerung auf die Lösungen der Gleichung n = a (a ) erfolgt sinngemäss und lautet: Falls,,, n die n Lösungen der Gleichung n = a sind, so gilt: 0. n i= i = (B.Berchtold) 0