Einführung Im Bereich der komplexen Zahlen ist es möglich die Wurzel aus negativen Zahlen zu ziehen.
|
|
- Stefan Schräder
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Komplexe Zahlen Einführung Im Bereich der komplexen Zahlen ist es möglich die Wurzel aus negativen Zahlen zu ziehen. Komplexe Zahl Unter dem Zahlenkörper der komplexe Zahlen C versteht man die Elemente von R 2 folgenden Rechenoperationen: mit Bemerkungen: { x, y x, y R } a, c, d = a c, d a, c, d = a c d, a d c Die komplexen Zahlen erweitern den Zahlenereich der reellen Zahlen, dass die Gleichung x 2 = 1 lösar wird. Dazu definieren wir die imaginäre Einheit als die Zahl i = 0, 1, deren Quadrat 1 ergit als Lösung der Gleichung x 2 = 1. i 2 = 1 oder i = 1 Alle komplexe Zahlen lassen sich als Summe einer reellen Zahl und einem vielfachen von i darstellen: z = a + i woei a, reellen Zahlen sind und i die Imaginär Einheit ist. Realteil von z : Re(z) = a Imaginärteil von z : Im z = Mit komplexe Zahlen rechnet man wie mit reellen Zahlen, man hat nur i 2 = 1 zu erücksichtigen i 2 = (0, 1)(0, 1) = ( 1, 0) Die Menge C = { z z = a + i mit a, R } heißt Menge der komplexen Zahlen. M. Komasi 1
2 Rechnen in der algeraischen Form a) Addition Zwei komplexe Zahlen = a i und z 2 = c d i werden addiert, indem man ihre reellen und imaginären Anteile jeweils getrennt voneinander addiert: z 2 = a i c d i = a c d i ) Sutraktion Zwei komplexe Zahlen = a i und z 2 = c d i werden sutrahiert, indem man ihre reellen und imaginären Anteile jeweils getrennt voneinander sutrahiert: z 2 = a i c d i = a c d i Grundgesetze der Addition von komplexen Zahlen: Existenz der Summe: Je zwei komplexen Zahlen C ist genau eine komplexe Zahl + z 2 C zugeordnet. Kommutativgesetz: C gilt: + z 2 = z 2 + Assoziativgesetz:, z 3 C gilt: + ( z 2 + z 3 ) = ( + z 2 ) + z 3 Existenz und Eindeutigkeit des neutralen Elements: Es git in C genau eine komplexe Zahl n, so dass für alle z C gilt: z + n = z. Existenz und Eindeutigkeit der inversen Elemente: Zu jeder komplexen Zahl z C git es genau eine komplexe Zahl z ' C mit z + z ' = 0. z ' = z c) Multiplikation Zwei komplexe Zahlen = a i und z 2 = c d i werden miteinander multipliziert, indem man die Rechenregeln der Algera anwendet und daei eachtet, dass i 2 = 1 : z 2 = a i c d i = a c d a d c i d) Division Zur Division einer komplexen Zahl = a i durch eine komplexe Zahl z 2 = c d i erweitern wir zunächst den Bruch mit der komplex konjugierten Zahl des Nenners: z 2 = a + i c + d i = a + i c + d i c d i c d i = a c + d c 2 + d 2 + c a d c 2 + d 2 i M. Komasi 2
3 Grundgesetze der Multiplikation von komplexen Zahlen: Existenz der Summe: Je zwei komplexen Zahlen C ist genau eine komplexe Zahl z 2 C zugeordnet. Kommutativgesetz: C gilt: z 2 = z 2 Assoziativgesetz:, z 3 C gilt: ( z 2 z 3 ) = ( z 2 ) z 3 Existenz und Eindeutigkeit des neutralen Elements: Es git in C genau eine komplexe Zahl e, so dass für alle z C gilt: z e = z. Existenz und Eindeutigkeit der inversen Elemente: Zu jeder komplexen Zahl z C git es genau eine komplexe Zahl z ' C mit z z ' = e. z ' = z 1 = 1 z 1) Sind = 3 + 2i = 7 + 5i, so erhält man: a) + z 2 = (3 + 2i ) + (7 + 5i ) = i ) z 2 = (3 + 2i ) (7 + 5i ) = 4 3i c) z 2 = (3 + 2i) (7 + 5i ) = i + 14i + 10 i 2 1 = i d) z 2 = 3 + 2i 7 + 5i 7 5i 7 5i = i + 14i 10 i = i M. Komasi 3
4 Komplex konjugierte Zahl Ist z C mit z = a i und a, R, dass ezeichnet man z z quer ẕ = a i als die zu z konjugiert komplexe Zahl. Dreht man das Vorzeichen des Imaginärteils einer komplexes Zahl z = a i um, so erhält man die zu z konjugiert komplexe Zahl z = a i. Beispiele: 1) = 3 + 2i ẕ 1 = 3 2i 2) z 2 = 3 + 2i ẕ 2 = 3 2i 3) z 3 = 3 2i ẕ 3 = 3 + 2i 4) z 4 = 3 2i ẕ 4 = 3 + 2i Rechenregeln für die Konjugation Für alle z, C gilt: z = z z z = (Re z) 2 + (Im z) 2 0 z + z = 2 (Re z) z z = 2 (Im z)i + z 2 = + z 2 z 2 = z 2 Komplexe Zahleneene Alle reellen Zahlen lassen sich als Punkte auf einem Zahlenstrahl darstellen. Bei komplexe Zahlen reicht ein Zahlenstrahl nicht mehr aus,man raucht jetzt eine Zahleneene. Der Realteil einer komplexen Zahl wird auf der Waagerechten, Imaginärteil auf der Senkrechten Achse agetragen. M. Komasi 4
5 Betrag einer Komplexe Zahl Der Astand r einer Zahl z vom Ursprung o heißt: Betrag von z : z nach Pythagoras: z 2 = a 2 2 z = a Unter dem Betrag z der komplexen Zahl negative reelle Zahl. z = a i mit a, R versteht man die nicht Eigenschaften: Für alle z, C gilt: z = z z z 0 für alle z = 0 z = 0 z = a 2 2 z C i) Re z z ii) Im z z z = z = z z 2 = z 2 z 2 z 2 Beispiele: 1) = 1 3i = = 10 2) z 2 = 1 3i z 2 = = 10 3) z 3 = 1 3i z 3 = = 10 4) z 4 = 1 3i z 4 = = 10 Darstellungsformen einer komplexen Zahl I) Algeraische oder kartesische Form Die komplexe Zahlen lassen sich als algeraische Summe aus einer reellen Zahl a und einer imaginären Zahl i darstellen: z = a + i Diese Darstellungsform heißt algeraisch oder kartesische Form. M. Komasi 5
6 II) Trigonometrische Form: Aus der Veranschaulichung einer komplexen Zahl z = a i in der Gaußschen Zahleneene können wir die trigonometrische Darstellung aleiten. Wenn man nur den Winkel φ und den Betrag z kennt, kann man mit trigonometrischen Funktionen den real-und den Imaginärteil von z ausrechnen cosφ = a r sin φ = r Re(z) = a = r cos φ Im (z) = = r sin φ z = a + i z = r cosφ + r i sin φ z = r (cos φ + isin φ) Man ezeichnet diese Darstellung von z trigonometrische Form von z r : Betrag von z φ : Argument von z Das Argument φ kann man aus tan φ = a estimmen. Daei ist auf die korrekten Quadranten zu achten. 0 a 0 a = 0 a 0 φ = a) π 2 a) + π = 0 φ = 0 φ = π 0 a) + 2π φ = 3π 2 a) + π M. Komasi 6
7 a) z Liegt im I. Quadrant: a > 0, 0 und 0 φ < π 2 tan φ = a a) 1) z = 1 i r = z = a 2 2 = 2 a) = arctan ( 1 1) = π 4 z = r (cos φ + isin φ) = 2 [ cos ( π 4) + i sin ( π 4)] ) z Liegt im II. Quadrant: π a < 0, 0 und 2 < φ π tan α = a α = arctan ( φ = π α a) + π a) = arctan ( a) 1) z = 1 i r = z = a 2 2 = 2 a) + π = arctan ( 1) 1 + π = π 4 + π = 3 π 4 z = r (cos φ + isin φ) = 2 [ cos ( 3 π 4 ) + i sin ( 3π 4 )] M. Komasi 7
8 c) z Liegt im III. Quadrant: a < 0, < 0 und π φ < 3 π 2 tan α = a = a α = arctan ( a) φ = π + α a) + π 1) z = 1 i r = z = a 2 2 = 2 a) + π = arctan ( 1) + π = π 4 + π = 5π 4 z = r (cos φ + isin φ) = 2 [ cos ( 5 π 4 ) + i sin ( 5π 4 )] d) z Liegt im IV. Quadrant: a > 0, < 0 und tan α = a 3 π 2 < φ < 2 π α = arctan ( a ) = arctan ( a) φ + α = 2 π φ = arctan( a) + 2π 1) z = 1 i r = z = a 2 2 = 2 a) + 2 π = arctan ( 1 1 ) + 2 π = π π = 7π 4 z = r (cos φ + isin φ) = 2 [ cos ( 7 π 4 ) + i sin ( 7 π 4 )] M. Komasi 8
9 Multiplikation zweier komplexer Zahlen in der trigonometrischen Darstellung Zwei komplexe Zahlen werden multipliziert, indem man ihre Beträge multipliziert und ihre Argumente addiert. (cos φ 1 + isin φ 1 ) z 2 = r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2 ) z 2 (cosφ 1 + i sin φ 1 ) r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2 ) r 2 [ cos φ cosφ + icos φ sin φ + isin φ cosφ i2 r 2 [ cosφ 1 cos φ 2 sin φ 1 sin φ 2 cos(φ 1 + φ 2 ) 1sin φ 1 sin φ 2] + i( cosφ 1 sin φ 2 + sin φ 1 cosφ 2 z 2 r 2 [cos(φ 1 + φ 2 ) + i (sin(φ 1 + φ 2 ))] sin (φ 1 + φ 2 ) )] Division zweier komplexer Zahlen in der trigonometrischen Darstellung Zwei komplexe Zahlen werden dividiert, indem man ihre Beträge dividiert und ihre Argumente sutrahiert. (cos φ 1 + isin φ 1 ) = r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2 ) (cos φ 1 + isin φ 1 ) z 2 r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2 ) cosφ isin φ 2 2 cosφ 2 isin φ 2 cosφ 1 cos φ 2 cos φ 1 i sin φ 2 + isin φ 1 cos φ 2 i 2 sin φ 1 sin φ 2 r 2 cos 2 φ 2 + sin 2 φ 2 r 2 [ cosφ 1 cos φ 2 + sin φ 1 sin φ 2 cos(φ 1 φ 1 ) 1 + i( cosφ 1 sin φ 2 sin φ 1 cosφ 2 sin (φ 1 φ 2 ) )] z 2 r 2 [cos(φ 1 φ 2 ) + i (sin(φ 1 φ 2 ))] 1) Berechnen Sie z = z = 18 (cos14 + isin 14 ) 3 (cos46 + i sin 46 ) 6 (cos58 + i sin 58 ) 18 (cos14 + isin 14 ) 3 6 [cos( ) + isin ( )] 0 1 z = cos( ) + i sin( ) = i M. Komasi 9
10 Potenzieren einer komplexen Zahl in der trigonometrischen Darstellung Es sei z C mit z = r (cos φ + isin φ) Dann erhalten wir: z 2 = r (cosφ + i sin φ ) r (cosφ + isin φ ) = r 2 [cos(2φ) + i sin(2φ)] z 3 = z 2 z = r 2 [cos(2φ) + i sin(2φ)] r (cosφ + i sin φ) = r 3 [cos(3φ) + i sin(3φ)] z n = r n [cos(n φ) + i sin(n φ)] Die n te Potenz einer komplexen Zahl kann man estimmen, indem man den n fachen Phasenwinkel φ nimmt und den Betrag z, der eine reelle Zahl ist, zur n ten Potenz nimmt. 1) z = i, z 6 =? r = z = a 2 2 = 3, z = r (cos φ + isin φ) = 3 [ cos ( π 6 ) + i sin ( π 6)] z n = r n [cos(n φ) + i sin(n φ)] z 6 = ( 3) 6 a) = arctan ( 3/ 2 3/ 2 ) = π 6 [ ( cos 6 π6 ) + i sin( 6 = 27 π6)] Radizieren Es sei z C. Jede komplexe Zahl z, die der Gleichung z n = z 0 genügt, heißt n te Wurzel von z 0 z = n z 0 Es sei z 0 = r 0 (cosφ 0 + isin φ 0 ) und z n = r n [cos(n φ) + i sin(n φ)] z n = z 0 r n [cos(n φ) + isin (nφ)] = r 0 [ cosφ 0 + i sin φ 0 ] Durch Vergleich der Beträge und Argumente ergit sich wegen der vieldeutigkeit der Argumente von z 0 r n = r 0 r = n r 0 n φ = φ 0 + k 2 π φ = φ 0 + k 2 π n Die Gleichung z n = z 0 mit z 0 = r 0 (cos φ 0 + isin φ 0 ) esitzt die n Lösungen. Z k+1 = n r 0 [ ( cos φ + k 2π 0 n ) ( + isin φ + k 2 π )] 0 n M. Komasi 10
11 1) Alle Lösungen von z 3 = i sind zu erechnen. z 3 = i z 0 = i r 0 = a 2 2 = 1 a = 0, > 0 und φ 0 = π 2 z 0 = r 0 (cosφ 0 + isin φ 0 ) = cos( π 2) + i sin ( π 2) Z k+1 = n r 0 [ ( cos φ + k 2π 0 n ) ( + isin φ + k 2 π )] 0 n k = 0 Z 1 = cos( π π 3 ) + isin ( π π 3 ) = i k = 1 Z 1 = cos( π π 3 ) + i sin ( π π 3 ) = i k = 2 Z 1 = cos( π π 3 ) + isin ( π π 3 ) = i III) Exponentielle Darstellung von z Unter Verwendung der Eulerschen Formel e i φ = cosφ + i sin φ ergit sich aus der trigonometrischen Form z = r (cos φ + i sin φ) die als Exponentialform ezeichnete Darstellungsform z = r e i φ Durch die Exponentialform von z wird nicht nur die Schreiweise kürzer,auch die Multiplikation, die Division, das Potenzieren und das Radizieren werden formelmäßig einfacher. Multiplikation: z 2 e i φ 1 r 2 e i φ 2 r 2 e i (φ 1 + φ 2 ) Division: z 2 ei φ1 r 2 e i φ 2 r 2 e i (φ 1 φ 2) Potenzieren: z n = r n e i n φ Radizieren: n ( z = r n e i φ + k 2 π n ) M. Komasi 11
12 Natürlicher Logarithmus einer komplexen Zahl Der natürliche Logarithmus einer komplexen Zahl ist unendlich vieldeutig: ln z = ln (r e i (φ + k 2 π) ) ln z = ln r + ln (e i (φ + k 2π) ) z = r e i (φ + k 2 π) mit r > 0 und 0 φ < 2π ln z = ln r + i(φ + k 2π)ln e 1 ln z = ln r + i(φ + k 2π) Der Hauptwert wird für k = 0 angenommen: ln z = ln r + i φ 1) z = 1 Wir stellen z zunächst in der Exponentialform dar: r = a 2 2 = 1 a < 0, = 0 und φ = π z = r e i (φ + k 2 π) i(φ + k 2π) = e ln z = ln r + i(φ + k 2π) = ln 1 + i (π + k 2π) = i (π + k 2π) Der Hauptwert von ln z ist damit k = 0 ln z = i π M. Komasi 12
LINEARE ALGEBRA UND ANALYSIS FÜR FUNKTIONEN EINER VARIABLEN
Fakultät Mathematik Institut für Numerische Mathematik LINEARE ALGEBRA UND ANALYSIS FÜR FUNKTIONEN EINER VARIABLEN 6. Komplexe Zahlen Prof. Dr. Gunar Matthies Wintersemester 2017/18 G. Matthies Lineare
MehrAddition, Subtraktion und Multiplikation von komplexen Zahlen z 1 = (a 1, b 1 ) und z 2 = (a 2, b 2 ):
Komplexe Zahlen Definition 1. Eine komplexe Zahl z ist ein geordnetes Paar reeller Zahlen (a, b). Wir nennen a den Realteil von z und b den Imaginärteil von z, geschrieben a = Re z, b = Im z. Komplexe
Mehr10 Komplexe Zahlen. 2. Februar Komplexe Multiplikation: Für zwei Vektoren. z 1 =
2. Februar 2009 66 0 Komplexe Zahlen 0. Komplexe Multiplikation: Für zwei Vektoren [ [ a a2 z =, z 2 = in R 2 wird neben der üblichen Addition die komplexe Multiplikation [ a a z z 2 := 2 b b 2 a b 2 +
MehrKörper sind nullteilerfrei
Mathematik I für Informatiker Komplexe Zahlen p. 1 Körper sind nullteilerfrei Für Elemente a, b eines Körpers gilt stets: Aus a b = 0 folgt a = 0 oder b = 0. Beweis: Aus a b = 0 und a 0 folgt also b =
MehrKomplexe Zahlen. Allgemeines. Definition. Darstellungsformen. Umrechnungen
Komplexe Zahlen Allgemeines Definition Eine komplexe Zahl z x + y i besteht aus einem Realteil Re(z) x und einem Imaginärteil Im(z) y. Der Imaginärteil wird mit der Imaginären-Einheit i multipliziert.
MehrGRUNDLAGEN MATHEMATIK
Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik GRUNDLAGEN MATHEMATIK 6. Komplexe Zahlen Prof. Dr. Gunar Matthies Wintersemester 2015/16 G. Matthies Grundlagen
MehrKomplexe Zahlen. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden
Komplexe Zahlen Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de Körper sind nullteilerfrei Für Elemente a, b eines Körpers gilt stets: Aus a b = 0 folgt a
MehrKomplexe Zahlen. Wir beginnen mit Beispielen.
Komplexe Zahlen Wir beginnen mit Beispielen. Wenn man nur ganze Zahlen kennen würde, dann hätte die Gleichung 2x = 5 keine Lösung. Wenn die Grundmenge G = R (= reelle Zahlen) ist, dann hat auch die Gleichung
MehrKOMPLEXE ZAHLEN UND FUNKTIONEN
Übungen zu Theoretische Physik L2 KOMPLEXE ZAHLEN UND FUNKTIONEN E I N R E F E R A T M I T A N N E T T E Z L A T A R I T S U N D F L O R I A N G R A B N E R. 2 1. 1 0. 2 0 1 3 INHALT Geschichte Definition
MehrVorlesung. Komplexe Zahlen
Vorlesung Komplexe Zahlen Motivation In den reellen Zahlen haben nicht alle Polynome Nullstellen. Der einfachste Fall einer solchen Nullstellen-Gleichung ist x 2 + 1 = 0. Die komplexen Zahlen ("C") sind
MehrKomplexe Funktionen. Freitag Vorlesung 1. Kai Rothe. Sommersemester Technische Universität Hamburg-Harburg
Komplexe Funktionen Freitag 13.04.018 Vorlesung 1 Kai Rothe Sommersemester 018 Technische Universität Hamburg-Harburg K.Rothe, komplexe Funktionen, Vorlesung 1 Nullstellen quadratischer Gleichungen Beispiel
MehrA Die Menge C der komplexen Zahlen
A Die Menge C der komplexen Zahlen (Vgl. auch Abschnitt C) A.1 Definition Wir erweitern R um eine Zahl i / R (genannt imaginäre Einheit) mit der Eigenschaft i 2 i i = 1. (653) Unter einer komplexen Zahl
MehrDie komplexen Zahlen. 1. Einführung. A) Erweiterung des Zahlenkörpers. Def. 1 (imaginäre Einheit)
Die komplexen Zahlen 1. Einführung A) Erweiterung des Zahlenkörpers Def. 1 (imaginäre Einheit) Die Gl. x 2 + 1 = 0 hat zwei Lösungen, nämlich i und - i. Es soll also gelten: i 2 = -1 und ( - i ) 2 = -1.
MehrMathematik I Herbstsemester 2018 Kapitel 7: Komplexe Zahlen
Mathematik I Herbstsemester 2018 Kapitel 7: Komplexe Zahlen Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/ farkas 1/62 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik I 7. Komplexe Zahlen Definition einer
MehrVII Komplexe Zahlen. Propädeutikum Holger Wuschke. 24. September 2018
Propädeutikum 2018 24. September 2018 Darstellung Rechengesetze Erweiterung der reellen Zahlen um eine imaginäre Einheit. Ursprung: Lösung der Gleichung x 2 + 1 = 0 Komplexe Zahlen C := {a + i b a, b R}
MehrMathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 7: Komplexe Zahlen
Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 7: Komplexe Zahlen www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/hs2014/other/mathematik1 BIOL Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/ farkas 1/60
MehrKomplexe Zahlen. Darstellung
Komplexe Zahlen Die Zahlenmengen, mit denen wir bis jetzt gearbeitet haben lassen sich zusammenfassen als N Z Q R Die natürlichen Zahlen sind abgeschlossen bezüglich der Operation des Addierens. Das heisst
MehrINHALTSVERZEICHNIS: DEFINITION UND EIGENSCHAFTEN VON KOMPLEXEN ZAHLEN 2 GESCHICHTE DER KOMPLEXEN ZAHLEN 4 DARSTELLUNG DER KOMPLEXEN ZAHLEN 5
INHALTSVERZEICHNIS: ZAHLENBEREICHSERWEITERUNG 1 DEFINITION UND EIGENSCHAFTEN VON KOMPLEXEN ZAHLEN 2 GESCHICHTE DER KOMPLEXEN ZAHLEN 4 DARSTELLUNG DER KOMPLEXEN ZAHLEN 5 RECHNEN MIT KOMPLEXEN ZAHLEN 7 DIE
MehrBrückenkurs Mathematik. Freitag Freitag
Brückenkurs Mathematik Freitag 9.09. - Freitag 13.10.017 Vorlesung 10 Komplexe Zahlen Kai Rothe Technische Universität Hamburg-Harburg Freitag 13.10.017 0 Brückenkurs Mathematik, K.Rothe, Vorlesung 10
Mehr4 Komplexe Zahlen. 4.1 Notwendigkeit und Darstellung Einführung
Komplexe Zahlen 4 4 Komplexe Zahlen Die komplexen Zahlen sind eine Erweiterung der reellen Zahlen. Die Konstruktion erfolgt durchc=r R. 4.1 Notwendigkeit und Darstellung 4.1.1 Einführung Hat die Gleichung
MehrInhaltsübersicht. Definition und erste Eigenschaften komplexer Zahlen
Inhaltsübersicht Kapitel 4: Die Macht des Imaginären: Komplexe Zahlen Definition und erste Eigenschaften komplexer Zahlen Die Polardarstellung komplexer Zahlen Polynome im Komplexen Exponentialfunktion
Mehr02. Komplexe Zahlen. a = Re z ist der Realteil von z, b = Im z der Imaginärteil von z.
0. Komplexe Zahlen Da für alle x R gilt dass x 0, hat die Gleichung x +1 = 0 offenbar keine reellen Lösungen. Rein formal würden wir x = ± 1 erhalten, aber dies sind keine reellen Zahlen. Um das Problem
MehrDie Menge der reellen Zahlen vereinigt die Menge der rationalen Zahlen mit der Menge der irrationalen
9 Menge der natürlichen Zahlen Axiome von Peano: 1. 1 ist eine natürliche Zahl. 2. Jede Zahl a hat einen bestimmten Nachfolger a + in der Menge der natürlichen Zahlen.. Stets ist a + 1, d.h. es gibt keine
MehrSpezialthema Komplexe Zahlen Fragen
Spezialthema Komplexe Zahlen Fragen Lukas Prokop 31. Mai 2009 Dank an Prof. Egger Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles weitere ist Menschenwerk (Leopold Kronecker 1 ) 1 frei zitiert nach
MehrKörper der komplexen Zahlen (1)
Die komplexen Zahlen Körper der komplexen Zahlen (1) Da in angeordneten Körpern stets x 2 0 gilt, kann die Gleichung x 2 = 1 in R keine Lösung haben. Wir werden nun einen Körper konstruieren, der die reellen
MehrKomplexe Funktionen. für Studierende der Ingenieurwissenschaften Technische Universität Hamburg-Harburg. Reiner Lauterbach. Universität Hamburg
Komplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften Technische Universität Hamburg-Harburg Reiner Lauterbach Universität Hamburg SS 2006 Reiner Lauterbach (Universität Hamburg) Komplexe Funktionen
MehrRechnen. mit. Komplexen Zahlen
Rechnen mit Komplexen Zahlen Fachschule für Technik Mühlhausen R.Schollmeyer - 30..007 Inhaltsvereichnis Einführung... Die imaginäre Einheit... Die komplexe Zahl... Darstellung der komplexen Zahl... Geometrische
MehrVorkurs Mathematik-Physik, Teil 5 c 2016 A. Kersch
Vorkurs Mathematik-Physik, Teil 5 c 206 A. Kersch Vektoren. Vektorrechnung Definition Ein Vektor ist eine gerichtete Größe welche einen Betrag ( Zahl und eine Richtung ( in 2D, 2 in 3D hat. Alternativ
MehrHöhere Mathematik für Naturwissenschaftler Studienjahr 2016/17
1/37 0. Organisatorisches 2/37 Übung Höhere Mathematik für Naturwissenschaftler Studienjahr 2016/17 Dr. Udo Lorz TU Bergakademie Freiberg Fakultät für Mathematik und Informatik Links zur Vorlesung Website
MehrKAPITEL 1. Komplexe Zahlen
KAPITEL Komplexe Zahlen. Lernziele im Abschnitt: Komplexe Zahlen............... Was sind komplexe Zahlen?......................3 Komplexe Zahlenebene....................... 3.4 Grundrechenarten in C.......................
MehrMultiplikation und Division in Polarform
Multiplikation und Division in Polarform 1-E1 1-E Multiplikation und Division in Polarform: Mathematisches Rüstzeug n m b b = b n+m bn bm = bn m ( b n )m = b n m Additionstheoreme: cos 1 = cos 1 cos sin
Mehrax 2 + bx + c = 0, (4.1)
Kapitel 4 Komplexe Zahlen Wenn wir uns auf die reellen Zahlen beschränken, ist die Operation des Wurzelziehens (also die Umkehrung der Potenzierung) nicht immer möglich. Zum Beispiel können wir nicht die
Mehr2.9 Die komplexen Zahlen
LinAlg II Version 1 3. April 2006 c Rudolf Scharlau 121 2.9 Die komplexen Zahlen Die komplexen Zahlen sind unverzichtbar für nahezu jede Art von höherer Mathematik. Systematisch gehören sie zum einen in
MehrCorinne Schenka Vorkurs Mathematik WiSe 2012/13. Die kleineren Zahlbereiche sind jeweils Teilmengen von größeren Zahlbereichen:
2. Zahlbereiche Besonderheiten und Rechengesetze Die kleineren Zahlbereiche sind jeweils Teilmengen von größeren Zahlbereichen: 2.1. Die natürlichen Zahlen * + besitzt abzählbar unendlich viele Elemente
MehrKomplexe Zahlen (Seite 1)
(Seite 1) (i) Motivation: + 5 = 3 hat in N keine Lösung Erweiterung zu Z = 2 3 = 2 hat in Z keine Lösung Erweiterung zu Q = 2 / 3 ² = 2 hat in Q keine Lösung Erweiterung zu R = ± 2 ² + 1 = 0 hat in R keine
MehrSerie 6: Komplexe Zahlen
D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 15 Dr. Ana Cannas Serie 6: Komplexe Zahlen Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom 26. und 28. Oktober. Es gibt zwei Darstellungsformen
MehrAbbildung 14: Winkel im Bogenmaß
Mathematik für Naturwissenschaftler I. (7) Trigonometrische Funktionen (in R): Trigonometrische Funktionen wie sin x und cos x stehen üblicherweise in Zusammenhang mit Winkeln. Während im Alltag Winkel
MehrKOMPETENZHEFT ZU KOMPLEXEN ZAHLEN N Z Q R C
KOMPETENZHEFT ZU KOMPLEXEN ZAHLEN 1. Aufgabenstellungen Aufgabe 1.1. Kreuze alle Zahlenbereiche an, in denen die gegebene Zahl bestimmt enthalten ist. 42 5 8,2 2, 5 4 i 5 + 2 i 21/4 9/3 2 16 5,014 = 5,014
MehrMathematischer Vorkurs NAT-ING1
Mathematischer Vorkurs NAT-ING1 (02.09. 20.09.2013) Dr. Robert Strehl WS 2013-2014 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 40 Kapitel 12 Komplexe Zahlen Kapitel 12 Komplexe Zahlen Mathematischer Vorkurs
MehrDie komplexen Zahlen
Die komplexen Zahlen Wir haben gesehen, dass die Menge R der reellen Zahlen einen angeordneten Körper bildet und dass für die Menge Q der rationalen Zahlen entsprechendes gilt. In beiden Körpern sind Gleichungen
Mehrerfanden zu den reellen Zahlen eine neue Zahl
Vorlesung 9 Komplexe Zahlen Die Gleichung x 2 = 1 ist in R nicht lösbar, weil es keine Zahl gibt, deren Quadrat eine negative Zahl ist. Die Mathematiker erfanden zu den reellen Zahlen eine neue Zahl i,
MehrGrundrechenarten für komplexe Zahlen
Grundrechenarten für komplexe Zahlen Jörn Loviscach Versionsstand: 29. März 200, 8:35 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen in der Vorlesung. Gaußsche Zahlenebene Um die Gleichung
MehrKomplexe Zahlen und Allgemeines zu Gruppen
Komplexe Zahlen und Allgemeines zu Gruppen Die komplexen Zahlen sind von der Form z = x + iy mit x, y R, wobei i = 1 als imaginäre Einheit bezeichnet wird. Wir nennen hierbei Re(z = x den Realteil von
MehrAnalysis 1, Woche 3. Komplexe Zahlen I. 3.1 Etwas Imaginäres
Analysis, Woche 3 Komplexe Zahlen I A 3. Etwas Imaginäres Zusätzlich zu den reellen Zahlen führen wir das Symbol i ein und wir vereinbaren: i. Wir möchten die reellen Zahlen erweitern mit i. Das heißt,
MehrKomplexe Zahlen. Inhaltsverzeichnis Version: 1.1. Tobias Brinkert Homepage: <
Tobias Brinkert email: Homepage: 2.05.2005 Version:. Inhaltsverzeichnis . Die imaginäre Einheit i Da eine Zahl, mit sich selbst multipliziert, niemals ( ) ergeben
MehrMathematik I für das MW und VIW. Karsten Eppler Technische Universität Dresden Institut für Numerische Mathematik
Mathematik I für das MW und VIW Karsten Eppler Technische Universität Dresden Institut für Numerische Mathematik karsten.eppler@tu-dresden.de http://www.math.tu-dresden.de/ eppler Vorlesungsassistent:
Mehr3 Der Körper der komplexen Zahlen
3 Der Körper der kompleen Zahlen Nicht jede quadratische Gleichung hat eine reelle Lösung + p + q = (p, q R) Beispiel: Für alle R ist und daher + 1 Abhilfe: Man erweitert R zu einem größerem Körper C,
MehrZusatzmaterial zur Mathematik I für E-Techniker Übung 2
Mathematik I für E-Techniker C. Erdmann WS 011/1, Universität Rostock,. Vorlesungswoche Zusatzmaterial zur Mathematik I für E-Techniker Übung Wiederholung - Theorie: Komplexe Zahlen (a Wir definieren mit
MehrKomplexe Zahlen. Bemerkungen. (i) Man zeigt leicht, dass C mit diesen beiden Operationen
Komplexe Zahlen Da für jede reelle Zahl x R gilt dass x 0, besitzt die Gleichung x + 1 = 0 keine Lösung in R bzw. das Polynom P (x) = x + 1 besitzt in R (!) keine Nullstelle. Dies führt zur Frage, ob es
MehrKomplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Komplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften Prof. Dr. Armin Iske Department Mathematik, Universität Hamburg Technische Universität Hamburg-Harburg Sommersemester 2008 Komplexe Funktionen
MehrCrash-Kurs Komplexe Zahlen
1 Definitionen: j, C, z Im Körper R der reellen Zahlen besitzt die lineare Gleichung ax + b = 0 (a, bεr; a 0) stets eine Lösung. Die quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0 führt zu der Lösungsformel
MehrGrundlagen. Mathematik I für Chemiker. Daniel Gerth
Grundlagen Mathematik I für Chemiker Daniel Gerth Überblick Komplexe Zahlen Dieses Kapitel erklärt: Was komplexe Zahlen sind Wie man mit ihnen rechnet Daniel Gerth (JKU) Grundlagen 2 / 30 Inhaltsverzeichnis
MehrMenge der natürlichen Zahlen = {1, 2, 3,...} Aber: a + x = b ist nur lösbar, falls b > a
Komplexe Zahlen. Bedarfsfrage Menge der natürlichen Zahlen = {,, 3,...} Aber: a + x = b ist nur lösbar, falls b > a (Peano-Axiome). Erweiterung: Menge der ganen Zahlen = {..., -3, -, -, 0,,, 3,...} a +
Mehr= 2 i 2= 2 2 i, z 4. = 1.5, z 8
Mathematik 1 - Übungsblatt 11 Aufgabe 1 (komplexe Zahlen) Gegeben sind folgende komplexe Zahlen in der Darstellung als Normalform mit Real- und Imaginärteil z=x i y - oder wegen der Vertauschbarkeit von
MehrAlgebra. Roger Burkhardt Fachhochschule Nordwestschweiz Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft
Algebra Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Fachhochschule Nordwestschweiz Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft FS 2009 Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Algebra
MehrStefan Ruzika. 24. April 2016
Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 24. April 2016 Stefan Ruzika 2: Körper 24. April 2016 1 / 21 Gliederung 1 1 Schulstoff 2 Körper Definition eines Körpers
MehrKomplexe Zahlen. Rainer Hauser. Januar 2015
Komplexe Zahlen Rainer Hauser Januar 015 1 Einleitung 1.1 Zahlen und Operationen auf Zahlen Addiert man mit Eins als erster gegebener Zahl beginnend sukzessive Eins zu einer bereits gefundenen Zahl, so
MehrDie komplexen Zahlen
Die komplexen Zahlen Dr. Bommhardt. Das Vervielfältigen dieses Arbeitsmaterials zu nicht kommerziellen Zwecken ist gestattet. www.bommi2000.de 1 Die nicht lösbaren quadratischen Gleichungen Seite 1 2 Das
Mehr1. VORLESUNG,
1. VORLESUNG, 18.04.2017 1 1. KOMPLEXE ZAHLEN UND FUNKTIONEN 1.1. Der Körper der komplexen Zahlen. Die komplexe Ebene und die Riemannsche Zahlenkugel bilden den Grundbereich der Funktionentheorie; dort
Mehr2D-Visualisierung komplexer Funktionen
2D-Visualisierung komplexer Funktionen 1 Komplexe Zahlen Die komplexen Zahlen C stellen eine Erweiterung der reellen Zahlen dar, in der das Polynom z 2 + 1 eine Nullstelle besitzt. Man kann sie als Paare
Mehr2. alle Grundrechenarten +,, und / uneingeschränkt durchführbar sind und die Rechenregeln für R erhalten bleiben.
41 3 Komplexe Zahlen Für alle reellen Zahlen x gilt x 2 0. Es gibt also keine reelle Zahl, welche Lösung der Gleichung x 2 +1 = 0 ist. Allgemein hat die quadratische Gleichung ax 2 +bx+c = 0, a,b,c R nur
MehrZahlen und Gleichungen
Kapitel 2 Zahlen und Gleichungen 21 Reelle Zahlen Die Menge R der reellen Zahlen setzt sich zusammen aus den rationalen und den irrationalen Zahlen Die Mengen der natürlichen Zahlen N, der ganzen Zahlen
MehrKomplexe Zahlen. elektret.github.io 16. Mai 2014
Komplexe Zahlen elektret.github.io 16. Mai 2014 1 Definition i Der Körper R,, ist ein Unterkörper von C. ii Es gibt ein Element, sodass i 2 1 ist. iii C ist der kleinste Körper der den Eigenschaften i
MehrDemo: Mathe-CD KOMPLEXE ZAHLEN
KMPLEXE ZAHLEN Diese Datei gibt einige Seiten Einblick in die Serie Komplexe Zahlen, und, die gegen Zusatbestellung auf der CD u haben ist. Abonnenten erhalten sie automatisch. Datei Nr. 50000 Januar 00
MehrKomplexe Zahlen. Axel Schüler, Leipzig Juli 2003
Komplexe Zahlen Axel Schüler, Leipzig schueler@mathematikuni-leipzigde Juli 2003 Da die komplexen Zahlen nicht mehr im Lehrplan stehen, sollen hier die Grundlagen gelegt werden Eine sehr schöne Einführung
MehrLineare Algebra 1. 4 Ringe und Körper (Fortsetzung) Der erweiterte Euklidische Algorithmus. Heinrich Heine-Universität Düsseldorf Sommersemester 2014
Fakultät für Mathematik PD Dr. Markus Perling Heinrich Heine-Universität Düsseldorf Sommersemester 2014 Lineare Algebra 1 Siebte Woche, 21.5.2014 4 Ringe und Körper (Fortsetzung) Satz: Es sei R ein Ring
MehrErgänzungen in Mathematik Studierende Nanowissenschaften
Hans Walser Ergänzungen in Mathematik Studierende Nanowissenschaften Komplexe Zahlen Hans Walser: Komplexe Zahlen ii Inhalt 1 Die imaginäre Einheit... 1 2 Rechenregeln... 1 3 Quadratische Gleichungen...
MehrEinführung in die Mathematik für Informatiker
Einführung in die Mathematik für Informatiker Prof. Dr. www.math.tu-dresden.de/ baumann 9.10.2017 Inhalt des Moduls Einführung in die Mathematik für Informatiker Fachrichtung Mathematik, Institut für Algebra
MehrGrundlagen komplexe Zahlen. natürliche Zahlen
Grundlagen komplexe Zahlen Die Zahlenbereichserweiterungen von den natürlichen Zahlen hin zu den reellen Zahlen waren dadurch motiviert, bestimmte Rechenoperationen uneingeschränkt ausführen zu können.
MehrMathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie
Mathematik für Studierende der Biologie und des Lehramtes Chemie Dominik Schillo Universität des Saarlandes 8. Vorlesung, 08..07 (Stand: 08..07, 4:0 Uhr) Mathematik für Studierende der Biologie und des
MehrKomplexe Zahlen. Skript für Matheplus Olaf Schimmel
Komplexe Zahlen Skript für Matheplus 2016 Olaf Schimmel 1 Imaginäre und komplexe Zahlen 1.1 Die imaginäre Einheit und imaginäre Zahlen Wir kennen die Zahlenbereiche und ihre schrittweise Erweiterung, beginnend
Mehr(a) Motivation zur Definition komplexer Zahlen
1 Anhang B (a) Motivation zur Definition komplexer Zahlen Neue Zahlen wurden stets dann definiert, wenn die Anwendung von Rechenoperationen auf bekannte Zahlen innerhalb der Menge letzterer keine Lösung
Mehrz + b ) 2 2a 4a 2 Nach Ausklammern des linken Terms mittels binomischer Formel ergibt sich = b2 4ac
Kapitel 3 Komplexe Zahlen Komplexe Zahlen gehören mit zu den nützlichsten Abstraktionen der Mathematik. Obwohl sie zunächst nur als Erweiterung des reellen Zahlenkörpers eingeführt wurden, um Gleichungen
MehrK. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 1. Übung: Woche vom (komplexe Zahlen):
Übungsaufgaben 1. Übung: Woche vom 17.-21.10.16 (komplexe Zahlen): Heft Ü1: 3.9 (a,b); 3.10, 3.12 (a-c); 3.13 (a-c); 3.2 (a,b,d); 3.3 (c,d,f) Wiederholung Komplexe Zahlen Definition (Imaginäre Einheit,
MehrVorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (A)
1 Vorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (A) Wintersemester 2016/17 Kapitel 1: Zahlen Prof. Dr. Gerald Warnecke Nach Folienvorlage von Prof. Dr. Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg http://fma2.math.uni-magdeburg.de:8001
MehrKapitel 10 Komplexe Zahlen
Komplexe Zahlen Kapitel 10 Komplexe Zahlen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 94 / 112 Komplexe Zahlen Die komplexen Zahlen entstehen aus den reellen Zahlen, indem eine neues Element i (in der Elektrotechnik
MehrFunktionen einer Variablen
Funktionen einer Variablen 1 Zahlen 1.1 Zahlmengen Im täglichen Gebrauch trifft man vor allem auf die natürlichen Zahlen N = {1,2,3,...}. Gelegentlich wird auch die Bezeichnung N 0 = {0,1,2,...} benutzt.
MehrD-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2018 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 4
D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 018 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie 4 MC-Aufgaben (Online-Abgabe) 1. Sei z := exp ( π 6 i) (5 + b i). Für welches b R ist z eine reelle Zahl? (a) 1 (b) (c) 1 5 (d) 5 (e)
Mehr17 Grundrechenarten für komplexe Zahlen
7 Grundrechenarten für komplexe Zahlen Jörn Loviscach Versionsstand: 2. September 203, 5:58 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen beim Ansehen der Videos: http://www.j3l7h.de/videos.html
Mehr3.2. Polarkoordinaten
3.2. Polarkoordinaten Die geometrische Bedeutung der komplexen Multiplikation versteht man besser durch die Einführung von Polarkoordinaten. Der Betrag einer komplexen Zahl z x + i y ist r: z x 2 + y 2.
MehrHöhere Mathematik für technische Studiengänge Vorbereitungsaufgaben für die Übungen
Höhere Mathematik für technische Studiengänge Vorbereitungsaufgaben für die Übungen Komplexe Zahlen Lösungshinweise. Sei z = + i und z = i. Berechnen Sie z + z, z z, z z, z z, z /z, z + z, z z, z z, z
Mehr6.Umrechnung Normalform in Polarform
6.1 Standardmethode: Arkustangens benutzen 6.Umrechnung Normalform in Polarform 6.1 Standardmethode: Arkustangens benutzen Überblick Gegeben sei die algebraische Normalform z=a+bi, gesucht ist die Polarform,
Mehr12 3 Komplexe Zahlen. P(x y) z = x + jy
2 3 Komplexe Zahlen 3 Komplexe Zahlen 3. Grundrechenoperationen Definition Die Menge C = {z = a + jb a, b IR; j 2 = } heißt Menge der komplexen Zahlen; j heißt imaginäre Einheit. (andere Bezeichnung: i)
MehrFolien zur Vorlesung Mathematik Plus: Ergänzugen Mathematik I
Bachelor Informatik Mathematik Plus Titel Folien zur Vorlesung Mathematik Plus: Ergänzugen Mathematik I Hochschule Stralsund Fakultät Elektrotechnik und Informatik Prof. Dr. W. Kampowsky Bachelor Informatik
Mehr11 Komplexe Zahlen. Themen: Der Körper der komplexen Zahlen Die Mandelbrot-Menge Der Fundamentalsatz der Algebra
11 Komplexe Zahlen Themen: Der Körper der komplexen Zahlen Die Mandelbrot-Menge Der Fundamentalsatz der Algebra Addition ebener Vektoren Sei Ê 2 = {(x, y) : x, y Ê}. Ê 2 können wir als Punkte in der Ebene
MehrKomplexe Zahlen und Geometrie
Komplexe Zahlen und Geometrie Dr. Axel Schüler, Univ. Leipzig März 1998 Zusammenfassung Ziel dieses Beitrages ist es, die komplexen Zahlen bei einfachen geometrischen Aufgaben einzusetzen. Besonderes Augenmerk
MehrTechnische Universität München. Lösung Montag WS 2013/14. (Einheitskreis, ohne Rechnung ersichtlich) (Einheitskreis, ohne Rechnung ersichtlich)
Technische Universität München Andreas Wörfel Ferienkurs Analysis 1 für Physiker Lösung Montag WS 01/1 Aufgabe 1 Zum warm werden: Komplexe Zahlen - Lehrling Bestimmen Sie das komplex Konjugierte, den Betrag
MehrHöhere Mathematik I für Ingenieurinnen und Ingenieure Lösungen zur 3. Übung
TU Bergakademie Freiberg Vorl. Frau Prof. Dr. Swanhild Bernstein Übung Dipl.-Math. Daniel Lorenz Freiberg, 25. Oktober 2016 Höhere Mathematik I für Ingenieurinnen und Ingenieure Lösungen zur 3. Übung Aufgabe
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure 1 (Wintersemester 2008/09)
1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure 1 (Wintersemester 2008/09) Kapitel 1: Zahlen Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 12. Oktober 2008) Beispiele für Mengen A = {1, 2, 3}
MehrHöhere Mathematik I für Ingenieurinnen und Ingenieure Lösungen zur 3. Übung
TU Bergakademie Freiberg Vorl. Frau Prof. Dr. Swanhild Bernstein Übung Dipl.-Math. Daniel Lorenz Freiberg, WS 2017/18 Höhere Mathematik I für Ingenieurinnen und Ingenieure Lösungen zur 3. Übung Aufgabe
Mehrviele weitere Anwendungen wie zum Beispiel Schwingungsvorgänge. 4.1 Die algebraische Struktur der komplexen Zahlen
4 Komplexe Zahlen In diesem Kapitel wollen wir uns erneut mit dem R 2 beschäftigen, diesmal aber mit einer anderen algebraischen Struktur. Dies erlaubt uns weitere Anwendungen in der Geometrie die Lösung
MehrKomplexe Zahlen. (a, b) + (c, d) := (a + c, b + d) (a, b) (c, d) := (a c b d, a d + b c)
Komplexe Zahlen Wir betrachten Zahlenpaare (a, b, (c, d R und definieren eine Addition und eine Multiplikation wie folgt: (a, b + (c, d := (a + c, b + d (a, b (c, d := (a c b d, a d + b c Satz: R mit dieser
MehrVorkurs Mathematik Übungen zu Komplexen Zahlen
Vorkurs Mathematik Übungen zu Komplexen Zahlen Komplexe Zahlen Koordinatenwechsel Aufgabe. Zeichnen Sie die folgende Zahlen zunächst in ein (kartesisches) Koordinatensystem. Bestimmen Sie dann die Polarkoordinaten
MehrMathematik I für das MW und VIW. Karsten Eppler Technische Universität Dresden Institut für Numerische Mathematik
Mathematik I für das MW und VIW Karsten Eppler Technische Universität Dresden Institut für Numerische Mathematik karsten.eppler@tu-dresden.de http://www.math.tu-dresden.de/ eppler Vorlesungsassistent:
Mehr