LINEARE ALGEBRA UND ANALYSIS FÜR FUNKTIONEN EINER VARIABLEN
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- Catharina Rothbauer
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1 Fakultät Mathematik Institut für Numerische Mathematik LINEARE ALGEBRA UND ANALYSIS FÜR FUNKTIONEN EINER VARIABLEN 6. Komplexe Zahlen Prof. Dr. Gunar Matthies Wintersemester 2017/18
2 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 2/25 Motivation Problem: Da für alle reellen Zahlen x stets x 2 0 gilt, hat die Gleichung x 2 = 1 keine (reellen) Lösungen. Frage: Lässt sich eine Erweiterung von R derart finden, dass die Gleichung x = 0 eine Lösung hat? Anmerkung: Erweiterungen von Zahlenbereichen sind nicht neu. So führte der Wunsch nach der Durchführbarkeit der Division von den ganzen Zahlen auf die rationalen Zahlen. Idee: Wir führen die imaginäre Einheit i ein, für die gilt. i 2 = 1
3 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 3/25 Komplexe Zahlen Definition Die Menge der komplexen Zahlen ist durch C := { z = a + bi : a, b R } definiert. Bemerkung Komplexe Zahlen können als formale Rechenausdrücke mit der Variablen i betrachtet werden. Jede komplexe Zahl z C lässt sich eindeutig in der Form z = a + bi mit reellen Zahlen a, b schreiben. Beispiele für komplexe Zahlen: i, 2 4i, 3 + πi
4 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 4/25 Real- und Imaginärteil Definition Sei z = a+bi eine komplexe Zahl. Dann nennen wir a Realteil von z und b Imaginärteil von z. Wir schreiben: a = Re z und b = Im z. Die reellen Zahlen a und b heißen kartesische Koordinaten der komplexen Zahl z. Die Darstellung z = a + bi wird als kartesische Koordinatendarstellung bezeichnet. Der Imaginärteil ist stets eine reelle Zahl. Folgerung Zwei komplexe Zahlen z = a+bi und w = c +di sind genau dann gleich, wenn ihre Realteile und ihre Imaginärteile übereinstimmen, d. h., wenn a = c und b = d gilt.
5 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 5/25 Komplexe Konjugation und Betrag Definition Sei z = a + bi eine komplexe Zahl. Dann heißt die komplexe Zahl z := a bi die zu z konjugiert komplexe Zahl. Wir nennen z := a 2 + b 2 den Betrag der komplexen Zahl z. Bemerkung Der Betrag von z ( = ) a + bi entspricht der Länge des zweidimensionalen Vektors. a b
6 Gaußsche Zahlenebene G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 6/25
7 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 7/25 Grundrechenarten Satz Seien z = a + bi und w = c + di zwei komplexe Zahlen. Dann gelten die Rechenregeln Summe: z + w = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Differenz: z w = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i Produkt: zw = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 = (ac bd) + (bc + ad)i Quotient: z w = a + bi (a + bi)(c di) = c + di (c + di)(c di) = z w w w (ac + bd) + (bc ad)i = c 2 + d 2 für w 0 + 0i
8 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 8/25 Rechengesetze I Bemerkung Addition und Subtraktion komplexer Zahlen entsprechen der Addition und Subtraktion von zweidimensionalen Vektoren. Satz Für komplexe Zahlen gelten die Kommutativgesetze, die Assoziativgesetze und das Distributivgesetz wie für reelle Zahlen. Bemerkung Da sich jede reelle Zahl a gemäß a+0i als komplexe Zahl darstellen lässt, bilden die komplexen Zahlen einen Zahlenbereich, der die reellen Zahlen enthält. Statt a + 0i schreiben wir weiterhin a.
9 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 9/25 Rechengesetze II Bemerkung Für komplexe Zahlen gibt es keine Relationen wie < oder >. Nur Gleichheit kann festgestellt werden. Bemerkung Bei der Division komplexer Zahlen wird mit der konjugiert komplexen Zahl des Nenners erweitert.
10 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 10/25 Rechenregeln I Seien z, w komplexe Zahlen. Dann gelten die Rechenregeln z + w = z + w z w = z w zw = z w z n = z n, n N 0 ( ) z = z w w, falls w 0 z + z = 2 Re z z z = 2i Im z z = z
11 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 11/25 Rechenregeln II Seien z, w komplexe Zahlen. Dann gelten die Rechenregeln z z = z 2 = z 2 Dreiecksungleichung: z + w z + w zw = z w z = z w w, falls w 0 z n = z n, n N 0
12 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 12/25 Polarkoordinatenform Bemerkung Jede komplexe Zahl z = a + bi lässt sich durch ihren Betrag z und den Winkel ϕ zwischen der positiven reellen Achse und der Verbindungsstrecke vom Ursprung zu z in der Form z = z ( cos(ϕ) + i sin(ϕ) ), ϕ [0, 2π), darstellen, die Polarkoordinatenform genannt wird.
13 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 13/25 Winkel und Argument Bemerkung In der Polarkoordinatenform kann der Winkel ϕ additiv durch ganzzahlige Vielfache von 2π geändert werden, ohne dass sich die komplexe Zahl ändert, d. h., alle Winkel ϕ + 2kπ, k Z, erzeugen bei gleichem Betrag stets die gleiche komplexe Zahl. Definition Der zur komplexen Zahl z = a + bi gehörende Winkel ϕ, der im Intervall [0, 2π) liegt, wird als Argument von z, kurz arg(z), bezeichnet. Bemerkung Für die Eindeutigkeit des Arguments setzen wir arg(0 + 0i) = 0.
14 Umrechnung zwischen den Darstellungsformen I Gegeben: r, ϕ Gesucht: a, b Umrechnung: a = r cos ϕ b = r sin ϕ z = a + bi = r ( cos(ϕ) + i sin(ϕ) ) Gegeben: a, b Gesucht: r, ϕ Umrechnung: r = a 2 + b 2 b a = r sin ϕ r cos ϕ = tan ϕ G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 14/25
15 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 15/25 Umrechnung zwischen den Darstellungsformen II tan ϕ = b a, r = a 2 + b 2 arctan b a für a > 0, b 0 ϕ =
16 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 15/25 Umrechnung zwischen den Darstellungsformen II tan ϕ = b a, r = a 2 + b 2 arctan b a für a > 0, b 0 π 2 für a = 0, b > 0 ϕ =
17 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 15/25 Umrechnung zwischen den Darstellungsformen II tan ϕ = b a, r = a 2 + b 2 arctan b a für a > 0, b 0 π 2 für a = 0, b > 0 ϕ = π + arctan b a für a < 0
18 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 15/25 Umrechnung zwischen den Darstellungsformen II tan ϕ = b a, r = a 2 + b 2 arctan b a für a > 0, b 0 2 für a = 0, b > 0 ϕ = π + arctan b a für a < 0 π 3 2 π für a = 0, b < 0
19 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 15/25 Umrechnung zwischen den Darstellungsformen II tan ϕ = b a, r = a 2 + b 2 arctan b a für a > 0, b 0 π 2 für a = 0, b > 0 ϕ = π + arctan b a für a < 0 3 2π für a = 0, b < 0 2π + arctan b a für a > 0, b < 0
20 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 16/25 Illustration von Multiplikation und Division Vermutung: Bei der Multiplikation werden Beträge multipliziert und Winkel addiert, bei der Division werden Beträge dividiert und die Winkel subtrahiert.
21 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 17/25 Komplexe Exponentialfunktion I Wert der Exponentialfunktion für komplexe Argumente erklären Taylor-Reihe der Exponentialfunktion T exp x k (x) = k! = 1 + x + x x 3 3! + + x n n! + k=0 Einsetzen von x = iϕ T exp (iϕ) = 1 + iϕ + (iϕ)2 2 + (iϕ)3 3! + + (iϕ)n n! + = 1 + iϕ ϕ2 2 i ϕ3 3! + ϕ4 4! + i ϕ5 5! + i n ϕn n! + ) ) = (1 ϕ2 2 + ϕ4 4! + i (ϕ ϕ3 3! + ϕ5 5! = T cos (ϕ) + it sin (ϕ) Idee: e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ
22 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 18/25 Komplexe Exponentialfunktion II Definition Sei z = a + bi eine komplexe Zahl. Dann legen wir e z := e a (cos b + i sin b) C als Wert der komplexen Exponentialfunktion an der Stelle z fest. Bemerkung Für reelle Zahlen stimmt der Wert der komplexen Exponentialfunktion mit dem der üblichen Exponentialfunktion überein, da für b = 0 der Klammerausdruck 1 wird. Satz Seien z, w zwei komplexe Zahlen. Dann gilt e z+w = e z e w, also das gleiche Gesetz wie bei reellen Exponenten.
23 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 19/25 Eigenschaften der komplexen Exponentialfunktion Für z = iϕ mit ϕ R erhalten wir und Weiterhin gilt e z = e iϕ = e 0 (cos ϕ + i sin ϕ) = cos ϕ + i sin ϕ e iϕ = cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = 1. e i(ϕ+2πk) = cos(ϕ + 2πk) + i sin(ϕ + 2πk) = cos ϕ + i sin ϕ = e iϕ für alle k Z. Damit ist die komplexe Exponentialfunktion, im Gegensatz zur reellen Exponentialfunktion, nicht injektiv. Schönste Gleichung der Mathematik e iπ + 1 = 0
24 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 20/25 Exponentialform Satz Für alle ϕ R sind die Zusammenhänge erfüllt. Satz e iϕ = e iϕ, cosh(iϕ) = 1 2( e iϕ + e iϕ) = cos(ϕ), sinh(iϕ) = 1 2( e iϕ e iϕ) = i sin(ϕ), Jede komplexe Zahl z lässt sich in der Form z = r e iϕ mit r 0 und ϕ [0, 2π) darstellen, die als Exponentialform bezeichnet wird. Dabei sind r der Betrag von z und ϕ das Argument von z.
25 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 21/25 Multiplikation und Division Seien z 1 = r 1 e iϕ 1 und z 2 = r 2 e iϕ 2 zwei komplexe Zahlen in Exponentialform. Dann haben wir z 1 z 2 = r 1 e iϕ 1 r 2 e iϕ 2 = r 1 r 2 e i(ϕ 1+ϕ 2 ) und z 1 z 2 = r 1e iϕ1 r 2 e iϕ 2 = r 1 r 2 e i(ϕ 1 ϕ 2 ), d. h., bei Multiplikation (Division) werden die Beträge multipliziert (dividiert) und die Winkel addiert (subtrahiert). Weiterhin gilt z n = ( r e iϕ) n = r n e i nϕ für jede komplexe Zahl z = r e iϕ und n N 0.
26 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 22/25 Wurzeln komplexer Zahlen Satz Sei n eine natürliche Zahl. Dann hat die Gleichung w n = 1 genau n verschiedene komplexe Lösungen w k = e 2kπ n i, k = 0,..., n 1, die n-te Einheitswurzeln genannt werden. Insbesondere ist w 0 = 1. Satz Seien n eine natürliche Zahl und z = r e iϕ eine von 0 verschiedene komplexe Zahl, d. h. r 0. Dann hat die Gleichung w n = z genau n verschiedene komplexe Lösungen, die durch gegeben sind. w k = n r e ( ϕ n + 2kπ n )i, k = 0,..., n 1,
27 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 23/25 Illustration zu Einheitswurzeln Lösungen von w 6 = 1: sechste Einheitswurzeln Die Einheitswurzeln liegen in der Gaußschen Zahlenebene stets auf dem Kreis mit Radius 1 um den Ursprung.
28 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 24/25 Illustration zu Wurzeln Lösungen von w 4 = 64 = 64e iπ Die Wurzeln liegen in der Gaußschen Zahlenebene stets auf einem Kreis um den Ursprung.
29 G. Matthies Lineare Algebra und Analysis für Funktionen einer Variablen 25/25 Fundamentalsatz der Algebra Satz Seien n eine natürliche Zahl und p(z) = a 0 + a 1 z + a 2 z a n z n, a n 0, ein Polynom vom Grad n mit komplexen Koeffizienten a 0,..., a n. Dann gibt es n (nicht notwendig verschiedene) komplexe Zahlen z 1,..., z n C derart, dass p(z) = a n (z z 1 )(z z 2 ) (z z n ) für alle z C erfüllt ist. Damit sind z 1,..., z n die Nullstellen des Polynoms p. Beispiel: 2z 3 2z 2 + 8z 8 = 2(z 1)(z 2 + 4) = 2(z 1)(z 2i)(z + 2i)
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