Urs Wyder, 4057 Basel Funktionen. f x x x x 2

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1 Urs Wyder, 4057 Basel Funktionen f 3 ( ) = + f ( ) = sin(4 )

2 Inhaltsverzeichnis DEFINITION DES FUNKTIONSBEGRIFFS...3. NOTATION...3. STETIGKEIT ABSCHNITTSWEISE DEFINIERTE FUNKTIONEN...4 DIE POLYNOMFUNKTION...4. DIE KONSTANTE FUNKTION (N=0)...4. DIE AFFINE FUNKTION (N=, GERADENGLEICHUNG) DIE QUADRATISCHE FUNKTION (N=) DIE SCHEITELFORM DER PARABEL DIE POTENZFUNKTION POLYNOMFUNKTIONEN HÖHEREN GRADEN (N>) RATIONALE FUNKTIONEN... 4 DER GRAPH VON ZUSAMMENGESETZTEN FUNKTIONEN PERIODIZITÄT VON SINUS UND COSINUS UMKEHRFUNKTIONEN DIE UMKEHRFUNKTION DER QUADRATISCHEN FUNKTION WEITERE UMKEHRFUNKTIONEN DIE KREISGLEICHUNG...6

3 Definition des Funktionsbegriffs Definition: Eine Funktion ist eine Abbildung, die jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zuordnet. ist der Definitionsbereich, der Wertebereich der Funktion.. Notation Die allgemeine Notation einer Funktion lautet: f : f ( ) Die Menge ist der Definitionsbereich der Funktion und beinhaltet alle Werte, die annehmen kann. Die Menge ist der Wertebereich und besteht aus den Werten, die f ( ) annehmen kann. f : Beispiel (siehe Titelseite): 3 + In der Kurzform lautet die Notation einer Funktion: f 3 ( ) = + Aufgabe: Bestimmen Sie den Definitions- und den Wertebereich der folgenden Funktionen: + 3 f e ( ) =, sin( ), tan( ),,,, ln( ), Stetigkeit Eine Funktion ist stetig, wenn sie in einem Strich gezeichnet werden kann und innerhalb des Definitionsbereichs keine Sprungstellen enthält (auf die streng mathematische Definition der Stetigkeit, das sog. - Kriterium, wird hier nicht eingegangen). Ein Beispiel einer Funktion, welche Unstetigkeiten enthält, ist die Treppenfunktion. Die Funktion int( ) (von engl. integer, ganze Zahl) kennen Sie von Ihrem TR: sie rundet auf die nächsttiefere ganze Zahl ab. Die Unstetigkeitsstellen sind -3, -, -, 0,,, 3 f : int( ) 3

4 Bemerkung: Man spricht nur dann von Unstetigkeit, wenn die Funktion an der entsprechenden Stelle definiert ist. Beispiel ist die Funktion /. Sie ist an der Stelle = 0 nicht unstetig, sondern schlicht nicht definiert!.3 Abschnittsweise definierte Funktionen π < π π f ( ) = sin( ) π > Die Polynomfunktion Definition: Ein Ausdruck der Form a + a + a + + a + a + a n, a n n n n n n o i heisst Polynom n - ten Grades und die Funktion f ( ) = a + a + a + + a + a + a n, a n n n n n n o i heisst Polynomfunktion n - ten Grades Beispiele: n = 0 : f ( ) = 3 n = : f ( ) = n = f = + : ( ) 7 3 n = 3: f ( ) = n = f = : ( ) 3. Die Konstante Funktion (n=0) n = 0 : f ( ) = a, a Die konstante Funktion f()=a verläuft auf der Höhe y=a parallel zur -Achse. 4

5 . Die Affine Funktion (n=, Geradengleichung) n = : f ( ) = a + b (Funktionsgleichung) a ist die Steigung, definiert als y y y a = = b ist der y - Achsenabschnitt Die Gerade kann auch in der Form A + By + C = 0 definiert werden (Koordinatengleichung) y Für b=0 (y-achsenabschnitt gleich Null, Gerade geht durch den Nullpunkt) heisst die Affine Funktion Lineare Funktion..3 Die Quadratische Funktion (n=) Aufgabe : Gegeben ist die Funktion f ( ) = Plotten Sie auf Ihrem TR die Funktionen f ( ) = ( ) f = ( ) ( ) 4 4 f = = + ( ) ( ) 4 3 f = = + Zeichnen Sie sie in das nebenstehende Koordinatensystem ein. Was stellen Sie fest? Folgerung: = + Ist die Funktion f ( ) 4 3 gegeben, so kann diese wie folgt umgeformt werden: f = + ( ) = = + = ( ) Woran erinnert Sie dieses Verfahren? Welches ist der Zusammenhang dieser Darstellung mit der Lage des Scheitels der Parabel? 5

6 Aufgabe: Zeichnen Sie in das nebenstehende Koordinatensystem die Funktionen f ( ) = g( ) = h( ) = u( ) = v( ) = w( ) = Folgerung:.4 Die Scheitelform der Parabel Die Parabel ist der Graph der Quadratischen Funktion. Anhand der bisher gemachten Erkenntnisse kann jetzt der Graph einer beliebigen Quadratischen Funktion problemlos gezeichnet werden, indem diese in die sogenannte Scheitelform transformiert wird. Definition: Die Funktion f a b c ( ) = + + heisst Normalform der Quadratischen Funktion f k s h ( ) = ( ) + heisst Scheitelform der Quadratischen Funktion Beispiel: f ( ) = ( 8 ) 0 = ( 8 6 6) 0 = + [( 4) 6] 0 = ( 4) 8 0 = + ( 4) = 6

7 Zeichnen der Parabel:. Normalparabel f ( ) = zeichnen. mit Faktor ½ in y-richtung stauchen 3. spiegeln an der -Achse (neg. Vorzeichen!) 4. um 4 Einheiten in pos. -Richtung verschieben 5. um Einheiten in neg. y-richtung verschieben Achtung: Beachten Sie die Vorzeichen in der Scheitelgleichung. In der quadratischen Klammer bedeutet ein negatives Vorzeichen (im Beispiel die -4) eine Verschiebung in Richtung der positiven -Achse, also gerade umgekehrt, als dass man auf den ersten Blick erwarten würde. Bei der Verschiebung in y-richtung (im Beispiel die -) stimmt das Vorzeichen mit der Achsenrichtung überein. Aufgabe: Dieses Verfahren kann natürlich auch in umgekehrter Richtung angewendet werden. Bestimmen Sie anhand der drei Graphen die Funktionsgleichungen der Quadratischen Funktionen f(), g() und h(). 7

8 Aufgaben:. Berechnen Sie die Scheitelkoordinaten der Parabeln: a) f ( ) = 3 b) f ( ) = ( + 4)( 6) c) f ( ) = d) f ( ) = 8 5 e) f ( ) = 6(3 ) f) f ( ) = g) f ( ) = h) f ( ) = Skizzieren Sie den Graphen der Funktion, indem Sie die Scheitelkoordinaten und die Nullstellen berechnen: a) ( ) 3 b) ( ) 0.5( 6) c) ( ) f = f = + f = d) ( ) = 3 f e) f ( ) = f) f ( ) = (6 ) g) f ( ) = ( 5)( + 7) h) f ( ) = (4 + ) i) f ( ) = 8( + 0.5) 3. Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel, die durch die Punkte P, Q und R geht. a) P(-4 8), Q(0 0), R(0 5) b) P( -), Q( 4), R(4 8) c) P(6-83 ), Q( ), R(- -7) 4. Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel mit dem Scheitel S so, dasss sie durch den Punkt P geht. a) S( ), P(0 4 ) b) S(- 0 ), P( 3) 5. Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel, die die -Achse bei Null und schneidet und deren Scheitel die y-koordinate 8 hat. 6. Berechnen Sie die Schnittpunkte der Parabel y = mit der Geraden y = Die Parabel y = wird von einer Geraden mit der Steigung -7 in den Punkten A(5 5) und B geschnitten. Berechnen Sie die Koordinaten von B. 8. Berechnen Sie die Schnittpunkte von y = und y =

9 .5 Die Potenzfunktion n Eine Funktion f mit f ( ) =, n =,, 3,... heisst Potenzfunktion. Der Graph der Potenzfunktion y = n heisst Parabel n - ter Ordnung. Die Graphen von Potenzfunktionen mit geradem Eponenten sind Achsensymmetrisch bezüglich der y-achse (Bild links), solche mit ungeradem Eponenten sind Punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs (0/0). Aufgaben:. Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Potenzfunktionen: 4 5 a) f ( ) = b) f ( ) = + 9

10 .6 Polynomfunktionen höheren Graden (n>) Über Polynomfunktionen höheren Grades lassen sich keine allgemeinen Aussagen bezüglich deren Verlauf und der Anzahl ihrer Nullstellen machen. Für 0 verhält sich die Funktion wie das Glied mit der niedrigsten Potenz. Für ± verhält sich die Funktion wie das Glied mit der höchsten Potenz. Begründen Sie: Polynomfunktionen ungeraden Grades haben immer mindestens eine Nullstelle. Symmetrien: Der Graph einer Funktion ist Achsensymmetrisch bezüglich der y-achse, wenn gilt: f ( ) = f ( ) Eine solche Funktion nennt man gerade Funktion. Der Graph einer Funktion ist Punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs (0/0), wenn gilt: f ( ) = f ( ) Eine solche Funktion nennt man ungerade Funktion. Aufgaben:. Welche der folgenden Funktionen sind gerade, welche ungerade? a) f ( ) = b) f ( ) = + c) f ( ) = d) f ( ) = e) f ( ) = f) f ( ) = 3 g) f ( ) = h) f ( ) = i) f ( ) = + 6 j) f ( ) = k) f ( ) = 3 l) f ( ) = 3 m) f ( ) = + + n) f ( ) = Bestimmen Sie Anzahl und Lage der Nullstellen der Folgenden Polynomfunktionen vom Grad 3. a) f ( ) = b) f ( ) = + c) f ( ) = Plotten Sie die Graphen der folgenden Funktionen und bestimmen Sie alle Nullstellen. a) f ( ) = 8 b) f ( ) = c) f ( ) = d) f ( ) = e) f ( ) = ( 00)( ) f) f ( ) =

11 3 Rationale Funktionen Z( ) Eine Funktion f mit f ( ) = heisst (gebrochen) Rationale Funktion, wenn Z( ) und N( ) N( ) Polynome sind und der Grad des Nennerpolynoms mindestens ist. Als Beispiel sei hier folgende Funktion dargestellt: f ( ) =, mittels Polynomdivision kann die Funktion wie folgt dargestellt werden: = ( 5 0) : ( 3) Für grosse verläuft die Funktion wie die Affine Funktion f ( ) = +. An der Stelle =3 hat die Funktion eine sogenannte Polstelle mit Vorzeichenwechsel und verläuft asymptotisch zur Geraden =3: Weitere Beispiele gebrochen rationaler Funktionen: f ( ) =, g( ) =, h( ) =, k( ) = ( 4)

12 Aufgaben: f ( ) = f ( ) = + 3 f ( ) = 3 + f ( ) = +

13 4 Der Graph von zusammengesetzten Funktionen Beim Polynom vom Grad wurde gezeigt, wie man dessen Graph aus der Quadratischen Funktion f ( ) = herleiten kann, indem man das Polynom in die Scheitelform bringt. Dieses Verfahren lässt sich verallgemeinern und auf beliebige Funktionen ausweiten. Beispiel: π Zeichnen Sie den Graph der Funktion f ( ) = Sin( ) + Die Sinus-Kurve (f ) wird in y-richtung mit dem Faktor gestreckt (f ). Dann wird sie in - Richtung um / verschoben (f 3 ). Schliesslich wird die ganze Funktion noch um Einheiten in y-richtung gehoben und man erhält die gesuchte Funktion f(). Dieses Verfahren lässt sich verallgemeinern: Bezüglich der Funktion f ( ) ist der Graph der Funktion k f ( s) + h - um den Faktor k in Richtung der y-achse gestreckt - um den Betrag s in positiver -Richtung verschoben (Vorzeichen beachten!!!) - um den Betrag h in Richtung der y-achse verschoben Aufgaben: Zeichnen Sie den Graph der folgenden Funktionen: 3 a) f ( ) = b) g( ) = c) h( ) = + π d) f ( ) = Cos( ) e) g()=- + f) h( ) = Ln( + ) ( ) 3

14 4. Periodizität von Sinus und Cosinus Sinus und Cosinus sind -periodisch. Wird das Argument der Funktionen um einen Faktor k erweitert, erhalten wir die Funktion Sin( k), k. Dadurch verändert sich die Periodizität der Funktion. Wie gross ist die Periode dieser Funktion? Da wir wissen, dass Sinus und Cosinus sich wiederholen, wenn das Argument erreicht, muss gelten: π π k = π =, die neue Periode T beträgt also T = k k Aufgabe: Bestimmen Sie im obenstehenden Bild die Funktionen und deren Periodizität. 4

15 5 Umkehrfunktionen 5. Die Umkehrfunktion der Quadratischen Funktion = = Die Funktion f ( ) kann als Gleichung in der Form y geschrieben werden. Die Umkehrfunktion erhält man, indem diese Gleichung nach y aufgelöst wird und anschliessend die Variablen und y vertauscht werden: y = y = y = resp. f ( ) = Dieses Verfahren wird anhand der Graphen von Funktion und Umkehrfunktion anschaulich: Die Umkehrfunktion entsteht durch spiegeln an der Winkelhalbierenden y=. Folgendes ist dabei zu beachten: Um Eindeutigkeit zu erhalten, wird der Definitionsbereich auf den rechten Ast der Parabel eingeschränkt. Andernfall ergäbe sich eine Umkehrfunktion, welche jedem zwei y-werte zuordnet. Das ist aber nicht erlaubt (siehe Definition einer Funktion im ersten Kapitel). 5. Weitere Umkehrfunktionen Als weiteres Beispiel wird die Sinusfunktion dargestellt. Diese wird auf den Bereich [-/, /] eingeschränkt, um Eindeutigkeit zu erhalten. Die Hyperbel, der Graph der Funktion f ( ) =, ist symmetrisch bezüglich der Winkelhalbierenden. Funktion und Umkehrfunktion sind somit identisch: zweimaliges bilden des Kehrwertes ergibt wieder den ursprünglichen Wert. Die Achsen des Koordinatensystems bilden die Asymptoten des Graphs. 5

16 6 Die Kreisgleichung Die Gleichung des Kreises mit Mittelpunkt M ( m m ) und Radius R lautet: ( m ) + ( y m ) = R y y Wie lautet die Gleichung des Kreises im nebenstehenden Bild? Aufgaben:. Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Geraden y = mit dem Kreis mit Mittelpunkt M (4 ) und Radius R = Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Geraden y = + 3 mit der Parabel y =