Gerade, ungerade oder weder noch? Algebraische und graphische Beweise. 4-E1 Vorkurs, Mathematik
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- Jonas Giese
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1 Gerade, ungerade oder weder noch? Algebraische und graphische Beweise 4-E1
2 Symmetrie einer Funktion: Aufgabe 3 Bestimmen Sie algebraisch und graphisch, ob die Funktionen gerade oder ungerade sind, oder ob sie keine Symmetrie besitzen: a ) f (x) = x 4 2 x 2, b ) f (x) = x 3 4 x. Bemerkung: Algebraischer Beweis: x durch - x ersetzen und f (-x) mit f (x) vergleichen. Graphischer Beweis: prüfen, ob der Graph eine Symmetrie besitzt. 3-A
3 Aufgabe 3: Algebraische Lösung 3a Algebraische Lösung a): Um zu prüfen, ob eine Funktion f (x) gerade, ungerade oder keines von beiden ist, bilden wir zunächst f (-x) und prüfen dann, ob eine der folgenden Gleichungen erfüllt ist: (1): f ( x) = f (x), (2): f ( x) = f (x) Gilt Gleichung (1), dann ist die Funktion gerade, gilt Gleichung (2), ist die Funktion ungerade. Wenn keine der Gleichungen erfüllt ist, ist die Funktion keines von beiden. f ( x) = x 4 2 x 2 f ( x) = ( x) 4 2( x) 2 = x 4 2 x 2 = f (x) Ist n gerade, so ist die n-te Potenz von (-x) gleich der n-ten Potenz von + x : ( x) 2 = ( x) ( x) = x 2 ( x) 4 = ( x) ( x) ( x) ( x) = x 4 Graphische Lösung: Hier wird nach Inspektion des Graphen eine Aussage über die Symmetrieeigenschaften der Funktion gemacht. 3-1
4 Beispiel 1: Graphische Lösung 3a 3-2 Abb. 3-1: Der Graph von y = f (x) (a) ist symmetrisch bezüglich der y-achse. Die Funktion ist gerade
5 Aufgabe 3: Algebraische Lösung 3b Algebraischer Beweis: f ( x) = x 3 4 x f ( x) = ( x) 3 4 ( x) = x x = ( x 3 4 x) = f ( x) Ist n ungerade, so ist die n-te Potenz von (-x) gleich dem Negativen der n-ten Potenz von + x : ( x) 3 = ( x) ( x) ( x) = x 3 3-3
6 Beispiel 1: Graphische Lösung 3b 3-4 Abb. 3-2: Der Graph von y = f (x) (b) ist symmetrisch in Bezug auf den Koordinatenursprung. Die Funktion ist ungerade
7 Symmetrie einer Funktion: Aufgabe 4 Bestimmen Sie, ob die Funktion y = f (x) gerade oder ungerade ist, oder ob sie keine Symmetrie im gegebenen Bereich besitzt: f ( x) = x 2 2 2, a ) D f = R, b ) D f = [ 2, 3] Erklären Sie, wie die Änderung des Bereiches D die Symmetrieeigenschaft beeinflussen kann. 4-A
8 Symmetrie einer Funktion: Lösung 4a Algebraischer Beweis: f ( x) = x f ( x) = ( x) = x = f ( x) Die algebraische Prüfung der Funktion spricht dafür, daß die Funktion gerade ist. Das reicht aber noch nicht. Die folgenden Abbildungen 4-1 und 4-2 zeigen, dass die Symmetrie der Funktion auch vom Definitionsbereich abhängt. a ) D f = R Hier haben wir einen symmetrischen Definitionsbereich, der Funktionsgraph (Abb. 4-1) ist symmetrisch in Bezug auf die y-achse. b ) D f = [ 2, 3] Hier ist der Funktionsgraph (Abb. 4-2) nicht symmetrisch in Bezug auf die y-achse, weil der Definitionsbereich nicht symmetrisch ist. Z.B. enthält der Graph zum Punkt (3, 2.5) keinen symmetrischen Punkt (-3, 2.5). 4-1
9 Symmetrie einer Funktion: Lösung 4a Abb. 4-1: Der Graph der Funktion y = f (x) ist symmetrisch bezüglich der y-achse 4-2
10 Symmetrie einer Funktion: Lösung 4b Abb. 4-2: Der Graph der Funktion y = f (x) ist nicht symmetrisch bezüglich der y-achse 4-3
11 Symmetrie einer Funktion: Aufgaben 5, 6 Aufgabe 5: Entscheiden Sie 1) welche der gegebenen Funktionen Polynomfunktionen sind a ) f (x) = x 2 2 b ) f (x) = x 3 1 c ) f ( x) = 5 x 2 3 x + x d ) f ( x) = x 2 2 x 1 e ) f ( x) = x 5/ x 2 11 x g ) f (x) = x 5 4 x 3 + x 2) welche Polynomfunktionen gerade, ungerade oder keines von beiden sind. Aufgabe 6: Formulieren Sie die Bedingung dafür, dass eine Polynomfunktion gerade, ungerade oder keines von beiden ist. 5-A
12 Symmetrie einer Funktion: Lösung 5 1) Eine Polynomfunktion y = f (x) ist eine endliche Summe von Vielfachen von Potenzen einer Variablen mit natürlichzahligen Exponenten. Eine Polynomfunktion kann in folgender allgemeiner Form dargestellt werden: f ( x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 a i R, a n 0, n N, D f = R Die Polynomfunktionen dieser Aufgabe sind: a ) f (x) = x 2 2 b ) f (x) = x 3 1 d ) f ( x) = x 2 2 x 1 g ) f (x) = x 5 4 x 3 + x Diese Funktionen haben nur natürlichzahlige Exponenten. Die Funktionen c) und e) sind keine Polynome. Der letzte Term von c) hat den Exponenten 1/2, der erste Term von e) hat den Exponenten 5/2. c ) f ( x) = 5 x 2 3 x + x 5-1 e ) f (x) = x 5/ x 2 11 x
13 Symmetrie einer Funktion: Lösung 5 2) Um zu bestimmen, welche der Polynome f (x) gerade, ungerade oder keines von beiden sind, bilden wir für jede Funktion f (-x). a ) f (x) = x 2 2, f ( x) = ( x) 2 2 = x 2 2 = f (x) b ) f (x) = x 3 1, f ( x) = ( x) 3 1 = x 3 1 f ( x) d ) f (x) = x 2 2 x 1, f ( x) = ( x) 2 2( x) 1 = x x 1 f ( x) g ) f (x) = x 5 4 x 3 + x, f ( x) = ( x) 5 4( x) 3 + ( x) = x x 3 x = = (x 5 4 x 3 + x) = f (x) Die Funktion a) ist gerade, die Funktion g) ist ungerade, die Funktionen b) und d) sind weder gerade noch ungerade. 5-2
14 Symmetrie einer Funktion: Lösung 5 Man kann auch versuchen, auf einfache Art zu prüfen, ob eine Funktion gerade oder ungerade ist. Wie wir algebraisch gezeigt haben, ist die Funktion a) gerade: a ) f (x) = x 2 2, f ( x) = f (x) Wir betrachten die beiden x-werte, x = 1 und x = -1, die symmetrisch bezüglich des Ursprungs sind und prüfen die zughörigen Funktionswerte: f ( 1) = ( 1) 2 2 = 1 2 = 1, f (1) = = 1 2 = 1 f ( 1) = f (1) b ) f (x) = x 3 1, f ( x) f (x) f ( 1) = ( 1) 3 1 = 1 1 = 2, f (1) = = 1 1 = 0 f ( 1) ± f (1) 5-3
15 Symmetrie einer Funktion: Lösung 5 d ) f ( x) = x 2 2 x 1, f ( x) f ( x) f ( 1) = ( 1) 2 2 ( 1) 1 = = 2 f (1) = = = 2 f ( 1) = f (1) Wir haben schon gezeigt, dass diese Funktion weder gerade noch ungerade ist. Allerdings hat die Funktion an diesen speziellen x-werten die Eigenschaft einer ungeraden Funktion. Vorsicht! Wenn wir eine Funktion nur an zwei bezüglich des Ursprungs symmetrischen x-werten auswerten, dann müssen wir sicher sein, dass man dasselbe Resultat auch für alle anderen symmetrischen x-werte im Definitionsbereich erhält. Die Abbildung der nächsten Seite zeigt diese Funktion mit den beiden ausgewählten Punkten: P 1 = (1, f (1)) = (1, 2), P 2 = ( 1, f ( 1)) = ( 1, 2) 5-4
16 Symmetrie einer Funktion: Lösung 5 Abb. 4: Die Funktion y = f (x) ist weder gerade noch ungerade 5-5
17 Symmetrie einer Funktion: Lösung 6 ( x) n = x n, wenn n gerade ist x n, wenn n ungerade ist Potenzen von x mit geraden Exponenten ändern sich nicht, wenn x durch - x ersetzt wird. Potenzen von x mit ungeraden Exponenten ändern das Vorzeichen, wenn x durch -x ersetzt wird. 6-1
18 Symmetrie einer Funktion: Lösung 6 Polynomfunktionen, die nur Terme mit geraden Potenzen der Variablen x und konstante Faktoren und additive Konstanten enthalten, sind gerade Funktionen. Beispielsweise sind die folgenden Funktionen gerade: f ( x) = x g ( x) = 3 x x 2 1 h(x) = 1 x x4 24 x6 720 Diese Funktionen werden in Abb gezeigt. Ein konstanter Faktor ist z. B. die Zahl 1/2 in der Funktion f (x). - 3 und 6 sind konstante Faktoren in der Funktion g (x). Die Konstanten - 2 in f (x) and -1 in g (x) sind additive Konstanten. 6-2
19 Symmetrie einer Funktion: Lösung Abb. 5-1: Die Graphen der geraden Funktionen
20 Symmetrie einer Funktion: Lösung 6 Polynomfunktionen mit nur ungeraden Potenzen von x sind ungerade Funktionen, zum Beispiel: f (x) = x 3 6 g (x) = 6 x x 3 x h(x) = x x x
21 Symmetrie einer Funktion: Lösung Abb. 5-2: Die Graphen der ungeraden Funktionen
22 Symmetrie einer Funktion: Aufgabe 7 Bestimmen Sie, ob die Funktionen gerade, ungerade oder keines von beiden sind: a ) f (x) = 1 x, g (x) = 1 x 3, h (x) = 2 x x + 7 b ) f (x) = 1 x 2, g (x) = x x 2 + 1, h(x) = 5 x3 x 2 16 c ) f ( x) = 1 x 3, g ( x) = 3 x 3 4 x, h(x) = 2 x3 x 2 x d ) f ( x) = x x 2 3 x 4, g ( x) = x3 11 x x , h(x) = 5 x3 x 7 9 x 3 e ) f ( x) = 1 x, e ) f ( x) = g ( x) = x x, h(x) = 1 x + 1/2 1 x x + 1, g ( x) = 1 x x + 1/2 7-A Unter welchen Bedingungen sind gebrochenrationale Funktionen gerade oder ungerade?
23 Symmetrie einer Funktion: Aufgabe 7 Definition: Eine rationale Funktion ist eine Funktion, die als Quotient zweier Polynome darstellbar ist: f (x) = P (x) Q (x), Q (x) 0 Zum Beispiel (b): f ( x) = 1 x 2, P f ( x) = 1, Q f ( x) = x2 g ( x) = h(x) = x x 2 + 1, P g (x) = x, Q g ( x) = x x3 x 2 16, P h (x) = 5 x3, Q h ( x) = x
24 Symmetrie einer Funktion: Lösung 7 a,b a ) f (x) = 1 x, g (x) = 1 x 3, h (x) = 2 x x + 7 f ( x) = 1 x = f (x), g ( x) = 1 x 3 = 1 x + 3 h( x) = 2 x x + 7 = 2 x x 7 Die Funktion f (x) ist ungerade. b ) f (x) = 1 x 2, g (x) = x x 2 + 1, h(x) = 5 x3 x 2 16 f ( x) = 1 ( x) = f (x), g ( x) = 2 x ( x) = h( x) = 5( x)3 ( x) 2 16 = 5 x3 x 2 16 = h(x) x x = g (x) Die Funktion f (x) ist gerade, die Funktionen g (x) und h (x) sind ungerade. 7-2
25 Symmetrie einer Funktion: Lösung 7c c ) f ( x) = 1 x 3, g ( x) = 3 x 3 4 x, h(x) = 2 x3 x 2 x f ( x) = 1 ( x) 3 = 1 x 3 = f (x) g ( x) = 3 x 3 4 x = 3 ( x) 3 4( x) = 3 x x = 3 x 3 4 x = g (x) h( x) = 2( x)3 ( x) 2 ( x) = 2 x3 x 2 x = (2 x3 + x 2 ) x Die Funktionen f (x) und g (x) sind ungerade. 7-3
26 Symmetrie einer Funktion: Lösung 7d d ) f ( x) = x x 2 3 x 4, g ( x) = x3 11 x x , h(x) = 5 x3 x 7 9 x 3 f ( x) = ( x)2 + 7 ( x) 2 3( x) 4 = x2 + 7 x 2 3 x 4 = f (x) g ( x) = ( x)3 11 ( x) ( x) = x x x = x3 11 x x = g ( x) h( x) = 5 ( x) 3 ( x) 7 9( x) 3 = 5 x 3 x 7 9 x 3 = h(x) Die Funktionen f (x) und h (x) sind gerade, die Funktion g (x) ist ungerade. 7-4
27 Symmetrie einer Funktion: Lösung 7e Abb. 7-1: Graph der geraden Funktion y = f (x) f ( x) = 1 x, f ( x) = 1 x = 1 x = f ( x) 7-5
28 Symmetrie einer Funktion: Lösung 7e Abb. 7-2: Graph der ungeraden Funktion y = g (x) g ( x) = x x, x g ( x) = x = x x = g ( x) 7-6
29 Symmetrie einer Funktion: Lösung 7e Abb. 7-3: Graph der geraden Funktion y = h (x) h(x) = 1 x + 1/2, h( x) = 1 x + 1/2 = 1 x + 1/2 = h (x) 7-7a
30 Abb. 7-4: Gerade Funktionen, die man beobachten kann (Lüneburg) 7-7b
31 Symmetrie einer Funktion: Lösung 7f Abb. 7-4: Graphen der geraden Funktionen f ( x) = 1 x x + 1, g (x) = 1 x x + 1/2 7-8
32 Aufgabe 7: Zusammenfassung f (x) = P (x) Q (x), Q (x) 0 Eine gebrochenrationale Funktion y = f (x) is gerade, falls der Zähler P (x) und der Nenner Q (x) gerade Funktionen sind, zum Beispiel: a ) f (x) = 1 x 2, d ) f ( x) = x2 + 7 x 2 3 x 4, e ) f ( x) = 1 x der Zähler P (x) und der Nenner Q (x) ungerade Funktionen sind, zum Beispiel: d ) h ( x) = 5 x3 x 7 9 x 3 7-9a
33 Aufgabe 7: Zusammenfassung f (x) = P (x) Q (x), Q (x) 0 Eine gebrochenrationale Funktion y = f (x) is ungerade, falls der Zähler P (x) ungerade und der Nenner Q (x) gerade ist, zum Beispiel: b ) g (x) = x x 2 + 1, h (x) = 5 x3 x 2 16 der Zähler P (x) gerade und der Nenner Q (x) ungerade ist, zum Beispiel: a ) f ( x) = 1 x, c ) g (x) = 3 x 3 4 x, e ) g (x) = x x 7-9b
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