Exponentialgleichungen: Teil 1. 1-E Mathematik, Vorkurs
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- Martha Ingrid Michel
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1 Exponentialgleichungen: Teil 1 1-E Mathematik, Vorkurs
2 Exponentialgleichungen: Aufgaben 1, 2 Aufgabe 1: Berechnen Sie mithilfe der Potenzgesetze [ ] : ; [ 35 : 2 2 ] Aufgabe 2: Fassen Sie zusammen: a ) (e x e 2 x ) : ( e 3 x ) b ) e 2 x : ( e 2 x ) c ) (e x e 2 x ) : (e 0.5 x ) d ) e x + 1 : e x e : e x e ) e x 1 e 2 e x e x f ) (e e 1+ x ) : (1 e x ) 1-1a Mathematik, Vorkurs
3 Exponentialgleichungen: Lösungen 1, 2 Lösung 1: [ 36 ( 2 3 ) 6 ] : ( 1 3 ) 6 = 6 6, [ 35 : ( 2 3 ) 2 ] ( 2 3 ) 5 = = 72 Lösung 2: a ) (e x e 2 x ) : ( e 3 x ) = e x e 2 x b) e 2 x :( e 2 x ) = e2 x c ) (e x e 2 x ) : (e 0.5 x ) = e 3 x = e x e 2 x e 3 x = e x+2 x 3 x = e 0 = 1 e 2 x = e2 x e 2 x = = e 4 x e x +2 x e 0.5 x = e x e 0.5 x = e 0.5 x d ) e x+1 : e x e : e x = e x+1 e x e e x = e x+1+x e e x = e e e x = e (1 e x ) e ) e x 1 e 2e x + 1 2e x = e x 1+1 2e x e x = e x 2e x e x = = e x 2 = e x ( ) = e x f ) (e e 1+x ) : (1 e x ) = e e e x 1 e x = e (1 e 1 e x = e 1-1b Mathematik, Vorkurs x ) 2
4 Exponentialgleichungen: Aufgabe 3 Aufgabe 3: Fassen Sie zusammen: a ) (e 3 x e 2 x ) : ( e 4 x ) b ) (e 3 x : ( e 3 x )) e 6 x c ) ((e 2 x e 3 x ) : (e x /3 )) 3 d ) e 2 x +2 : e 2 x e 2 : e 3 x e ) 2 e 2 x 3 e 3 4 e 2 x e 2 x f ) (e e 1 +2 x ) : (1 e 2 x ) 1-2a Mathematik, Vorkurs
5 Exponentialgleichungen: Lösung 3 a ) (e 3 x e 2 x ) : ( e 4 x ) = e x b ) (e 3 x : ( e 3 x )) e 6 x = 1 c ) ((e 2 x e 3 x ) : (e x /3 )) 3 = e 2 x d ) e 2 x +2 : e 2 x e 2 : e 3 x = e 2 (1 e 3 x ) e ) 2 e 2 x 3 e 3 4 e 2 x e 2 x = 7 4 e 2 x f ) (e e 1 +2 x ) : (1 e 2 x ) = e 1-2b Mathematik, Vorkurs
6 Exponentialgleichungen: Definition Definition: Gleichungen, bei denen die Variable mindestens einmal im Exponenten einer Potenz auftritt, werden Exponentialgleichungen genannt. Beispiele: 5 x + 7 x = 4, 9 3 x 2 = 19 3 x x = 12, a n x + m = k Im Gegensatz zu den quadratischen Gleichungen, Wurzelund Bruchgleichungen gibt es für Exponentialgleichungen keine bestimmte Lösungsstrategie, die automatisch zum Ergebnis führt. Daher kann man nur Ideen und Konzepte für gewisse Standardsituationen angeben. 2-1 Mathematik, Vorkurs
7 Exponentialgleichungen: Aufgabe 4 Welche der folgenden Gleichungen sind Exponentialgleichungen? a ) 2 x 6 = 0 b ) x 2 3 x = 8 c ) e x x 2 = 4 x d ) e x2 3 e x + 12 = 0 e ) 2 x2 + 2 x 5 = 1 f ) e2 = x 3 4 x 11 g ) (3 x2 + x ) x 2 = 1 h ) e 2 2 x 6 = 5 x i ) π x 7 x = x sin Mathematik, Vorkurs
8 Exponentialgleichungen: Lösung 4 a ) 2 x 6 = 0 b ) x 2 3 x = 8 Exponentialgleichung Polynomgleichung c ) e x x 2 = 4 x Exponentialgleichung d ) e x2 3 e x 12 = 0 e ) 2 x2 2 x 5 = 1 f ) e2 = x 3 4 x 11 Exponentialgleichung Exponentialgleichung Polynomgleichung g ) (3 x 2 + x ) x 2 = 1 h ) e 2 2 x 6 = 5 x i ) π x 7 x = x sin 2 Exponentialgleichung Polynomgleichung Exponentialgleichung 2-3 Mathematik, Vorkurs
9 Polynomgleichung Definition: In der Mathematik ist ein Polynom eine Summe von Vielfachen von Potenzen mit natürlichzahligen Exponenten einer Variablen, die meist mit x bezeichnet wird. Eine Polynomfunktion ist eine Funktion f (x) der Form: n f ( x) = ai x i = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x a n 1 x n 1 + a n x n i=0 n Mathematik, Vorkurs
10 Strategien zur Lösung von Exponentialgleichungen Im Folgenden wird erklärt, wie die folgenden Gleichungen gelöst werden können 9 x = 27, 5 x = 19 2 x x = x 2 3 x + 1 = Mathematik, Vorkurs
11 Strategien zur Lösung von Exponentialgleichungen Kommt die Variable nur in einem Exponenten vor, so kann man die Gleichung durch Logarithmieren lösen. Beispiel: 9 x = 27, x log b 9 = log b 27, x log b 3 2 = log b x log b 3 = 3 log b 3, x = 3 log b 3 2 log b 3 = 3 2 Da 9 und 27 Potenzen von 3 sind kann man die Lösung dieser Exponentialgleichung auch ohne Logarithmieren bestimmen. 9 x = 27, (3 2 ) x = 3 3, 3 2 x = 3 3, 2 x = 3, x = 3 2 Die Lösung der zweiten Gleichung kann man nur durch Logarithmieren bestimmen: 5 x = 19, log 5 (5 x ) = log 5 (19), x = log 5 (19) bzw.: 5 x = 19, ln (5 x ) = ln (19), x ln 5 = ln (19), x = ln (19) ln Mathematik, Vorkurs
12 Strategien zur Lösung von Exponentialgleichungen Kommt die Variable in mehreren Exponenten zu gleicher Basis vor, so kann man die Rechenregeln für Potenzieren anwenden, anschließend die Variable auf einer Seite des Gleichheitszeichens isolieren und logarithmieren. Beispiel: 3 x x = 12 Die Gleichung kann durch Anwendung der Potenzregeln umgewandelt werden in die Gleichung 3 x x = 12, 3 3 x 3 x = 12, 3 x (3 1) = 12 3 x = 6, log 3 (3 x ) = log 3 6, x = log 3 6 bzw.: 3 x = 6, ln (3 x ) = ln 6, x ln 3 = ln 6, x = ln 6 ln Mathematik, Vorkurs
13 Strategien zur Lösung von Exponentialgleichungen Kommt die Variable in mehreren Exponenten zu gleicher Basis vor und sind diese Exponenten Vielfache voneinander, so kann man die Gleichung häufig durch Substitution und anschließendes Logarithmieren lösen. Beispiel: 3 2 x 2 3 x + 1 = 0 Die Substitution u = 3 x führt zur quadratischen Gleichung u 2 2 u + 1 = 0 mit der Lösung u = 1, d.h. 1 = 3 x, x = Mathematik, Vorkurs
14 Strategien zur Lösung von Exponentialgleichungen Exponentialgleichungen, die sich durch Umformen in die Form a T 1 x = b T 2 x überführen lassen, können durch Anwenden des Logarithmengesetzes log x n = n log x weiter vereinfacht werden zu T 1 ( x) log a = T 2 log b Falls a = b ist, vereinfacht sich die Gleichung zu T 1 ( x) = T 2 ( x), was sich auch aus der oben gegebenen Gleichung durch Logarithmieren ergibt. 3-5 Mathematik, Vorkurs
15 Exponentialgleichungen: Aufgabe 5 Lösen Sie folgende Gleichungen: a ) 7 1 x = 7 3, 6 2 x 3 = 6 7, x = 4 3 b ) 3 x = 9, 2 x+2 = 32, 4 x 1 = 64 c ) 3 3 x+2 = 27, 2 5 x 2 = 2 3 x+4 d ) 3 x+1 = 1 3, 2 x+2 = 1 8, x = 1 25 e ) 4 2 x 3 = 1 16, x = 1 36, 7 5 x+8 = 1 49 f ) 2 x = 8, 3 2 x = 1 3, 5 x = a Mathematik, Vorkurs
16 Exponentialgleichungen: Lösung 5 a ) 7 1 x = 7 3, 1 x = 3, x = x 3 = 6 7, x = 5, x = 4 3, x = 3 b ) 3 x = 9, 3 x = 3 2, x = 2 2 x+2 = 32, x = 3, 4 x 1 = 64, x = 4 c ) 3 3 x+2 = 27, 3 3 x+2 = 3 3, 3 x + 2 = 3, x = x 2 = 2 3 x+4, x = 3 d ) 3 x+1 = 1 3, x = 2, 2 x+2 = 1 8, x = x = 1 25, x = 5 4 e ) 4 2 x 3 = 1 16, x = 1 2, x = 1 36, x = x+8 = 1 49, x = 2 f) keine Lösungen 4-1b Mathematik, Vorkurs
17 Exponentialgleichungen: Aufgaben 6, 7 Lösen Sie folgende Gleichungen: Aufgabe 6: a ) 9 x 2 = 9, 5 2 x 1 = 5, 7 3 x +2 = 3 7 b ) 9 3 x 9 = 3, 25 4 x 3 = 5, 36 3 x+2 = 1 6 c ) 2 2 x 12 = 1 2, 4 4 x 3 = 1 2, 36 3 x 1 = 1 6 Aufgabe 7: a ) 7 x2 = 7 6 x, b ) 5 x 2 5 x = 5 2 x c ) 2 x2 3 x = 16, d ) 3 x 2 +2 x = 27 e ) 3 x2 +2 x = 27, f ) 7 x 2 2 x+ 2 = a
18 Exponentialgleichungen: Lösung 6 a ) 9 x 2 = 9, x = 5 2, 5 2 x 1 = 5, x = x+2 = 3 7, x = 5 9 b ) 9 3 x 9 = 3, (3 2 ) 3 x 9 = 3, 3 2(3 x 9) = 3, x = x 3 = 5, x = 7 8, 36 3 x+2 = 1 6, x = 5 6 c ) 2 2 x 12 = 1 2, x = 0, 4 4 x 3 = 1 2, x = x 1 = 1 6, x = b Mathematik, Vorkurs
19 Exponentialgleichungen: Lösung 7 a ) 7 x2 = 7 6 x, x 2 = 6 x, x 2 + x 6 = 0 ( x + 3) ( x 2) = 0, x 1 = 3, x 2 = 2 b ) 5 x2 5 x = 5 2 x, x 2 3 x = 0, x (x 3) = 0, x1 = 0, x 2 = 3 c ) 2 x2 3 x = 16, 2 x 2 3 x = 2 4, x 2 3 x = 4, x 2 3 x 4 = 0 x 1 = 1, x 2 = 4 d ) 3 x2 +2 x = 27, 3 x 2 +2 x = 3 3, x1 = 3, x 2 = 1 e ) 8 x2 2 x 13 = 64, 8 x 2 2 x 13 = 8 2, x 2 2 x 15 = 0 x 1 = 3, x 2 = 5 f ) 7 x2 2 x+2 = 49, 7 x 2 2 x+2 = 7 2, x 2 2 x = 0, x (x 2) = 0 x 1 = 0, x 2 = 2 4-2c Mathematik, Vorkurs
20 Exponentialgleichungen: Aufgabe 8 Lösen Sie folgende Gleichungen a ) 2 x = 4 x 1 b ) 3 x = 3 5 x 4 c ) 3 4 x = 9 x 6, 7 3 x 2 = 1 7 x 4 d ) 5 2 x 6 = 1 25 x 2, 36 x 3 = e ) x = x x a Mathematik, Vorkurs
21 Exponentialgleichungen: Lösung 8a Abb. L8a: Graphische Lösung der Gleichung. Die x-koordinate des Schnittpunktes der Funktionen f (x) und g (x) ist die Lösung der Gleichung f x = 2 x, g x = 4 x 1 2 x = 4 x 1, 2 x = 2 2 (x 1), x = 2 ( x 1), x = 2 4-3b Mathematik, Vorkurs
22 Exponentialgleichungen: Lösung 8b Abb. L8b: Graphische Lösung der Gleichung. Die x-koordinate des Schnittpunktes der Funktionen f (x) und g (x) ist die Lösung der Gleichung f (x) = 3 x, g (x) = 3 5 x 4 3 x = 3 5 x 4, x = 5 x 4, x = 1 4-3c Mathematik, Vorkurs
23 Exponentialgleichungen: Lösungen 8 c-e) c ) 3 4 x = 9 x 6, 3 4 x = 3 2 (x 6), x = x 2 = 1 7 x 4, 7 3 x 2 = 7 x+4, x = 3 2 d ) 5 2 x 6 = 1 25 x 2, 5 2 x 6 = 5 2 (x 2), x = x 3 = x 12, 6 2 (x 3) = 6 3 x+12, x = 18 5 e ) x = x + 2, 2 2 (5 9 x) = (3 x + 2) 2 2 (5 9 x) = 2 3 (3 x + 2), x = d Mathematik, Vorkurs
24 Exponentialgleichungen: Aufgabe 9 Lösen Sie folgende Gleichungen Aufgabe 9: a ) 3 2 x 9 = 3 4 x+6 27, b ) 2 3 x 16 = 2 x 128 c ) 4 2 x 16 = 16 3 x 64, d ) 5 3 x + 2 e ) 7 4 x 1 7 x 5 = x, f ) Aufgabe 10: a ) 2 x x + 1 = 64 b ) 3 x x + 1 = 81 5 x 1 = x x = 9 3 x 4-4a Mathematik, Vorkurs
25 Exponentialgleichungen: Lösungen 9 a-c) a ) 3 2 x 9 = 3 4 x+6 27, 3 2 x 3 2 = 3 4 x+6 3 3, 3 2 x 2 = 3 4 x x 2 = 4 x + 3, x = 5 2 b ) c ) d ) 2 3 x 16 = 2 x 128, 2 3 x 2 4 = 2 x 4 2 x 16 = 16 3 x 64, x = x x 1 = 5 3, 5 2 x + 3 = 5 3, x = 0 2 7, 2 3 x 4 = 2 x 7, x = 3 2 e ) 7 4 x 1 7 x 5 = x, 7 5 x + 4 = x, x = 1 4 f ) 3 2 x x = 9 3 x, 3 6 x 5 = 3 2 x, x = 1 4-4b Mathematik, Vorkurs
26 Exponentialgleichungen: Lösung 10 a ) 2 x x + 1 = 64, x x = 64 2 x (1 3) = 16, 2 x = 8 = 2 3, x = 3 b ) 3 x x + 1 = 81, x = 2 4-4c Mathematik, Vorkurs
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