1 Beschreibung der Grundlagen
|
|
- Alma Gerstle
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Westsächsische Hochschule Zwickau Fachgruppe Mathematik Grundlagen Inhaltsverzeichnis Aufgaben zu den Grundlagen findet man über den folgenden Link: Aufgaben zu den Grundlagen 01 1 Beschreibung der Grundlagen 1.1 Binomische Formeln (a) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (b) (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (c) a 2 b 2 = (a + b)(a b) 1.2 Potenzen Für beliebige reelle Zahlen x und α mit x > 0 ist der Ausdruck x α definiert. Insbesondere gilt x α = 1 x α und für natürliche Zahlen n, m die Definition: x n m = m x n. Dieser Aspekt wird bei den Wurzelausdrücken im Detail noch einmal aufgegriffen. Beispiele (a) x 1 2 = x (b) x 7 5 = 5 x 7 (c) x 4 = 1 x 4 (d) ( 1 c ) 1 = c (e) x 2 = 1 x 2 = 1 x Potenzgesetze Sei x > 0. Für reelle Zahlen α und β gilt folgendes: (1) x α+β = x α x β (2) (x α ) β = x α β 1
2 Beispiele (a) 1 x 2 x = 1 2 x 2 (x ) 1 x 2 2 = x = x 2 2 x 2 = x 2 2 = x = x 1 2 = 1 x Wurzelgesetze Die Wurzelgesetze folgen aus den Potenzgesetzen n Definition: für eine reelle Zahl a 0 und eine natürliche Zahl n ist definiert: a = a 1 n Die folgenden Wurzel-Gesetze kann man aus den Potenzgesetzen folgern (a) n x m = x m n (b) n x m n x k = n x m k (c) n a k b l = n a k n b l Anmerkung 01: Insbesondere folgt hieraus ab = a b Man erkennt an diesem Beispiel, dass in der Definition der Wurzelausdrücke die Forderungen a 0 und b 0 notwendig sind, um die Gültigkeit der Wurzelgesetze zu gewährleisten. Denn andernfalls könnte man aus den Wurzelgesetzen z.b. folgern: 4 = ( 2)( 2) = 2 2 aber 2 ist im Bereich der reellen Zahlen nicht definiert. (e) Für natürliche Zahlen n und m und eine reelle Zahl x > 0 gilt: n m x = m n x 1. Logarithmus Der Logarithmus zu einer beliebigen Basis hat die Bezeichnung log. Die Angabe einer Basis a erfolgt in der Form log a. Logarithmen sind für verschiedene Basen definiert. Die Basis eines Logarithmus ist eine positive reelle Zahl. In allen Fällen ist der Logarithmus die Umkehrung einer Potenzfunktion. Alle Logarithmen sind nur für positive reelle Zahlen definiert. Der Wert eines Logarithmus kann positive und negative reelle Zahlen annehmen Logarithmus zur Basis a Sei a > 0 eine reelle Zahl und es gelte a x = b für reelle Zahlen x, b. Dann folgt, dass auch b > 0 gelten muss. Unter diesen Voraussetzungen ist der Ausdruck log a (b) definiert. Man bezeichnet ihn als den Logarithmus von b zur Basis a. Es gilt log a (b) = x. 2
3 Beispiele log 4 (64) =, 4 = 64 log 2 (64) = 6, 2 6 = Logarithmus zur Basis e Die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion ist der natürliche Logarithmus. Es handelt sich um den Logarithmus zur Basis e. Der natürliche Logarithmus ist nur für reelle Zahlen definiert, die größer als Null sind. Im folgenden wird daher vorausgesetzt, dass x eine reelle Zahl ist, für die x > 0 gilt. Für den natürlichen Logarithmus ist definiert: ln(x) = y genau dann, wenn e y = x. Dabei bezeichnet e die Exponentialfunktion. Für den natürlichen Logarithmus gelten folgende Rechengesetze: 1. Seien a, b positive reelle Zahlen, dann gilt ln(a b) = ln(a) + ln(b) bzw. in abkürzender Schreibweise ln(ab) = ln(a) + ln(b) 2. ln(a b) = ln(a) ln(b). Für eine reelle Zahl c gilt unter den angegebenen Voraussetzungen: ln(a c ) = c ln(a) 1.. Logarithmus zur Basis 10 Ein weiterer, spezieller Logarithmus ist der Logarithmus zur Basis 10, er wird als lg bezeichnet. Für 10 x = a ist definiert lg(a) = x Beispiel: lg(1000) = lg(10 ) = Anmerkung: Bei Mathlab bezeichnet log den Logarithmus zur Basis e. Die im folgenden angebenen Rechengesetze gelten für alle Logarithmen, sie werden nur speziell für den natürlichen Logarithmus angegeben. 2 Aufgaben zur Übung des Logarithmus 1. ln(10 2 ) 2. log (81). lg(e 2 ) 4. ln( 2 )
4 Lösung der Aufgaben zum Logarithmus 1. ln(10 2 ) = log e (100) = 4.61, zu lösen ist die Gleichung e x = log (81) = 4, zu lösen ist die Gleichung x = 81. lg(e 2 ) = 2 lg(e) = 0.87, zu lösen ist die Gleichung 10 x = e 2 Bei der Berechnung treten Rundungsfehler auf. Berechnung mit GeoGebra: = 7.41, e 2 = ln( 2 ) = 2 ln() = Winkelmaß und Bogenmaß Es gilt: α 180 = x π. Dabei bezeichne α einen Winkel im Gradmaß, x den gleichen Winkel im Bogenmaß. Es ergeben sich dann folgende Umrechnungsformeln: α = x 180 π x = α π 180 4
5 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Beschreibung der Grundlagen Binomische Formeln Potenzen Potenzgesetze Wurzelgesetze Logarithmus Logarithmus zur Basis a Logarithmus zur Basis e Logarithmus zur Basis Aufgaben zur Übung des Logarithmus Lösung der Aufgaben zum Logarithmus 4 4 Winkelmaß und Bogenmaß 4 5
Definition: Unter der n-ten Potenz einer beliebigen reellen Zahl a versteht man das n-fache Produkt von a mit sich selbst
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Definition: Unter der n-ten Potenz einer beliebigen reellen Zahl a versteht man das n-fache Produkt von a mit sich selbst Man schreibt a n = b Dabei heißt a die Basis,
MehrPotenzgesetze und Logarithmengesetze im Komplexen
Potenzgesetze und Logarithmengesetze im Komplexen Man kennt die Potenzgesetze und die Logarithmengesetze gewöhnlich schon aus der Schule und ist es gewohnt, mit diesen leicht zu agieren und ohne große
MehrDer lange Weg zu den Potenz- und Logarithmengesetzen
Der lange Weg zu den Potenz- und Logarithmengesetzen. Schritt: x n, n N, also eine natürliche Zahl ungleich Null). Wie jeder weiß gilt: 0 6 0 3 = } 0 0 0 {{ 0 0 0} 0 } 0 {{ 0} = } 0 0 0 0 0 {{ 0 0 0 0}
MehrWiwi-Vorkurs Mathematik (Uni Leipzig, Fabricius)
Wiwi-Vorkurs Mathematik (Uni Leipzig, Fabricius) 1 Grundregeln des Rechnens 1.1 Zahlbereiche......... Zahlen N {1, 2, 3,...}......... Zahlen Z {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}......... Zahlen Q { a b a Z, b N}.........
MehrWöchentliche Aufgabe zur Vorbereitung des Vortrags Zahlen / Algebra. Feedback zur 3. wöchentlichen Aufgabe (Zahlen und Algebra)
Wöchentliche Aufgabe zur Vorbereitung des Vortrags Zahlen / Algebra Auf der Seite http://www.math.utah.edu/~alfeld/math/sexample.html werden zwei Herangehensweisen an das Umrechnen von Basen bei Logarithmen
Mehr1 Das Problem, welches zum Logarithmus führt
1 Das Problem, welches zum Logarithmus führt Gegeben sei die folgende Gleichung: a = x n Um nun die Basis hier x) auszurechnen, muss man die n-te Wurzel aus a ziehen: a = x n n ) n a = x Soweit sollte
Mehr(3) Wurzelfunktionen. Definition Sei f : D R eine Funktion. Eine Funktion g : D R heißt Umkehrfunktion von f, wenn für alle (x, y) R 2 die Äquivalenz
(3) Wurzelfunktionen Definition Sei f : D R eine Funktion. Eine Funktion g : D R heißt Umkehrfunktion von f, wenn für alle (x, y) R 2 die Äquivalenz Definition y = f (x) g(y) = x gilt. Für jedes k N ist
Mehr1 Reelle Zahlen. 2 Potenzen und Wurzeln. 1.1 die reelle Zahl π. Sprungziele innerhalb des Dokumentes Inhaltsverzeichnis
Sprungziele innerhalb des Dokumentes Inhaltsverzeichnis 1 Reelle Zahlen 1.1 die reelle Zahl π π ist ein Beispiel einer reellen Zahl, die keine rationale Zahl ist: π = 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105823197494459
MehrWir gehen in dieser Vorlesung mit folgenden Zahlbereichen um: zweier ganzer Zahlen p und q schreiben kann.
1 Grundlagen 1.1 Das Rechnen mit Zahlen Wir gehen in dieser Vorlesung mit folgenden Zahlbereichen um: N: natürliche Zahlen 1, 2, 3, 4, 5,... Z: ganze Zahlen..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... Q: rationale Zahlen:
Mehr2. Mathematische Grundlagen
2. Mathematische Grundlagen Erforderliche mathematische Hilfsmittel: Summen und Produkte Exponential- und Logarithmusfunktionen 21 2.1 Endliche Summen und Produkte Betrachte n reelle Zahlen a 1, a 2,...,
MehrFH Gießen-Friedberg, Sommersemester 2010 Skript 9 Diskrete Mathematik (Informatik) 30. April 2010 Prof. Dr. Hans-Rudolf Metz.
FH Gießen-Friedberg, Sommersemester 010 Skript 9 Diskrete Mathematik (Informatik) 30. April 010 Prof. Dr. Hans-Rudolf Metz Funktionen Einige elementare Funktionen und ihre Eigenschaften Eine Funktion f
MehrDer natürliche Logarithmus. logarithmus naturalis
Der natürliche Logarithmus ln logarithmus naturalis Zur Erinnerung: Die Exponentialfunktion y = exp(x) ist festgelegt durch 2 y = exp(x) y (x) = y(x) 0 x y(0) = 2 Zur Erinnerung: e := y() 2.78 exp(x) =
MehrBeispiel: Bestimmung des Werts 3 2 ( 2 1, 4142) Es gilt 3 1,41 = 3 141/100 = , 707. Es gilt 3 1,42 = 3 142/100 = , 759.
(4) Exponential- und Logarithmusfunktionen Satz Für jedes b > 1 gibt es eine eindeutig bestimmte Funktion exp b : R R + mit folgenden Eigenschaften. exp b (r) = b r für alle r Q Die Funktion exp b ist
MehrExponentialgleichungen
GS -.08.05 - f_epgl.mcd Eponentialgleichungen Definition: Eine Gleichung der Form b Definition: Die der Eponentialgleichung b Schreibweise: = log b ( a) Besondere Basen: = a mit a IR + und b IR + \ {}
Mehr19. Weitere elementare Funktionen
19. Weitere elementare Funktionen 1. Der Arcussinus Die Sinusfunktion y = f(x) = sin x (mit y = cos x) ist im Intervall [ π, π ] streng monoton wachsend und somit existiert dort eine Umkehrfunktion. f
MehrPotenzen, Wurzeln, Logarithmen
KAPITEL 3 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen 3.1 Funktionen und Umkehrfunktionen.............. 70 3.2 Wurzeln............................ 72 3.3 Warum ist a 2 + b 2 a + b?................. 73 3.4 Potenzfunktion........................
Mehr1.2 Rechnen mit Termen II
1.2 Rechnen mit Termen II Inhaltsverzeichnis 1 Ziele 2 2 Potenzen, bei denen der Exponent negativ oder 0 ist 2 3 Potenzregeln 3 4 Terme mit Wurzelausdrücken 4 5 Wurzelgesetze 4 6 Distributivgesetz 5 7
Mehr3. DER NATÜRLICHE LOGARITHMUS
3. DER NATÜRLICHE LOGARITHMUS ln Der natürliche Logarithmus ln(x) betrachtet als Funktion in x, ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion exp(x). Das bedeutet, für reelle Zahlen a und b gilt b = ln(a)
MehrDie elementaren Funktionen (Überblick)
Die elementaren Funktionen (Überblick) Zu den elementaren Funktionen zählen wir die Potenz- und die Exponentialfunktion, den Logarithmus, sowie die hyperbolischen und die trigonometrischen Funktionen und
MehrDie elementaren Funktionen (Überblick)
Die elementaren Funktionen (Überblick) Zu den elementaren Funktionen zählen wir die Potenz- und die Exponentialfunktion, den Logarithmus, sowie die hyperbolischen und die trigonometrischen Funktionen und
MehrLogarithmische Gleichungen
GS -.08.05 - g_loggl.mcd Logarithmische Gleichungen Definition: Eine Gleichung der Form log b ( ) = a mit > 0, a IR und b IR + \ {} heißt Logarithmusgleichung. Besondere Basen: Basis b = 0 heißt Dekadischer
MehrDie komplexen Zahlen
Die komplexen Zahlen Dr. Bommhardt. Das Vervielfältigen dieses Arbeitsmaterials zu nicht kommerziellen Zwecken ist gestattet. www.bommi2000.de 1 Die nicht lösbaren quadratischen Gleichungen Seite 1 2 Das
MehrEtwa mehr zu Exponential- und Logarithmusfunktion
Etwa mehr zu Exponential- und Logarithmusfunktion Will man einen Logarithmus definieren, so liegt es nahe, diesen als Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion zu definieren. Solch eine kann es aber nicht
MehrPotenzen - Wurzeln - Logarithmen
Potenzen - Wurzeln - Logarithmen Anna Geyer 4. Oktober 2006 1 Potenzrechnung Potenz Produkt mehrerer gleicher Faktoren 1.1 Definition (Potenz): (i) a n : a... a, n N, a R a... Basis n... Exponent od. Hochzahl
MehrVorkurs Mathematik (Allgemein) Übungsaufgaben
Justus-Liebig-Universität Gießen Fachbereich 07 Mathematisches Institut Vorkurs Mathematik (Allgemein) Übungsaufgaben PD Dr. Elena Berdysheva Aufgabe. a) Schreiben Sie die folgenden periodischen Dezimalzahlen
Mehr2 RECHENGESETZE 2 auch dieses Rechengesetz gilt, wenn einmal bewiesen, natürlich vorwärts wie rückwärts, also gilt dann ebenfalls: Es folgt wieder der
1 DEFINITION DER POTENZIERUNG 1 Potenzgesetze 1 Definition der Potenzierung Wir definieren für eine rationale Zahl a und eine natürliche Zahl n die Potenzierung wie folgt: a n := a a a ::: a Diese Art
MehrExponential und Logarithmusfunktion. Wachstum und Zerfall
Wachstum und Zerfall Erklärung exponentielles Wachstum (Zerfall): eine Anfangsgröße W 0 vervielfacht (verringert) sich in gleichen Zeitabschnitten mit einem gleichbleibenden Wachstumsfaktor q, der größer
MehrInhaltsverzeichnis. Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Abteilung Quantitative Methoden. Mathematischer Vorkurs.
Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Abteilung Quantitative Methoden Mathematischer Vorkurs Dr. Thomas Zehrt Exponentialfunktionen und Logarithmen Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 2
MehrPotenz- / Wurzel- / Trigonom. / Arkus- / Exponential- / Log.-Funktionen
Übung 6 Funktionen Potenz- / Wurzel- / Trigonom. / Arkus- / Exponential- / Log.-Funktionen PUZZLE Themen 1 Potenz- / Wurzelfunktionen 2 Trigonometrische Funktionen / Arkusfunktionen 3 Exponential- / Logarithmusfunktionen
MehrDie elementaren Funktionen (Überblick)
Die elementaren Funktionen (Überblick) Zu den elementaren Funktionen zählen wir die Potenz- und die Exponentialfunktion, den Logarithmus, sowie die hyperbolischen und die trigonometrischen Funktionen und
Mehr17 Logarithmus und allgemeine Potenz
7 Logarithmus und allgemeine Potenz 7. Der natürliche Logarithmus 7.3 Die allgemeine Potenz 7.4 Die Exponentialfunktion zur Basis a 7.5 Die Potenzfunktion zum Exponenten b 7.6 Die Logarithmusfunktion zur
MehrPhysik für Biologen und Zahnmediziner
Physik für Biologen und Zahnmediziner Propädeutikum 3: Funktionen und Ableitungen, Vektoren Dr. Daniel Bick 27. Oktober 2017 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 27. Oktober 2017 1 / 35 Inhalt
MehrLogarithmen. Gesetzmäßigkeiten
Logarithmen Gesetzmäßigkeiten Einführung Als erstes muss geklärt werden, für was ein Logarithmus gebraucht wird. Dazu sollte folgendes einführendes Beispiel gemacht werden. Beispiel 1: 2 x = 8 Wie an diesem
MehrExponentialfunktionen, Eulersche Zahl, Logarithmen
Exponentialfunktionen, Eulersche Zahl, Logarithmen Jörn Loviscach Versionsstand: 16. November 2009, 19:01 1 Exponentialfunktionen Eine Funktion der Art x 7 3 x heißt Exponentialfunktion [exponential function].
Mehr1 Mengenlehre. Maturavorbereitung GF Mathematik. Aufgabe 1.1. Aufgabe 1.2. Bestimme A \ B. Aufgabe 1.3. Aufgabe 1.4. Bestimme B \ A. Aufgabe 1.
Maturavorbereitung GF Mathematik Kurzaufgaben 1 Mengenlehre Aufgabe 1.1 Gegeben sind die Mengen A = {1, 2, 3} und B = {2, 3, 6, 8}. Bestimme A B. Aufgabe 1.2 Gegeben sind die Mengen A = {1, 2, 3} und B
MehrTrigonometrie aus geometrischer und funktionaler Sicht
Trigonometrie aus geometrischer und funktionaler Sicht Der Kosinussatz und der Sinussatz: Wenn in einem Dreieck nur zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind, oder nur die drei Seiten bekannt
MehrMathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen. Exponentialfunktionen und Logarithmen
Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Exponentialfunktionen und Logarithmen Inhalt:. Zinsrechnung. Exponential- und Logaritmusfunktionen
MehrMathematik 1 für Bauingenieurwesen
Mathematik 1 für Bauingenieurwesen Name (bitte ausfüllen): Prüfung am 28.1.2019 Reinhard Winkler Matrikelnummer (bitte ausfüllen): Wichtige Hinweise bevor Sie beginnen: Die Prüfung besteht aus vier Aufgaben
MehrLogarithmen und Exponentialgleichungen
Logarithmen und Exponentialgleichungen W. Kippels 8. April 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 4 2 Gesetze 5 3 Logarithmen und Taschenrechner 5 4 Exponentialgleichungen 7 5 Übungsaufgaben zu Exponentialgleichungen
MehrThema: Der Logarithmus und die Logarithmusfunktion - Sportgymnasium Dresden Schüler: L. Beer und R. Rost Klasse: 10/2.
Schüler: L. Beer und R. Rost Klasse: 0/ Der Logarithmus Zielstellung: Zeigt man natürliche Zahlen mit dem Computerbildschirm (o.ä.) an, ist es manchmal notwendig zu wissen, wie viele Ziffern die Zahl hat.
MehrPhysik für Biologen und Zahnmediziner
Physik für Biologen und Zahnmediziner Propädeutikum : Noch mehr Funktionen Dr. Daniel Bick 17. Oktober 14 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 17. Oktober 14 1 / 71 Inhalt 1 Wiederholung Potenzfunktionen
MehrDefinitions- und Formelübersicht Mathematik
Definitions- Formelübersicht Mathematik Definitions- Formelübersicht Mathematik Mengen Intervalle Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlunterschiedenen Elementen zu einem Ganzen. Dabei muss entscheidbar
MehrVorkurs Mathematik 2016
Vorkurs Mathematik 2016 Vorkurs Mathematik Wozu braucht man den Logarithmus? Schallpegel (db) Schallintensität (W/m 2 ) 120 Düsenjet in 500m Entfernung Rock-Konzert 1 90 U-Bahn 10-3 60 PKW leise Unterhaltung
MehrDas Rechnen mit Logarithmen
Das Rechnen mit Logarithmen -E Mathematik, Vorkurs Spezielle Logarithmen Der natürliche Logarithmus ist von besonderer Bedeutung in den Anwendungen: Basiszahl ist die Eulersche Zahl e: log e x ln x gelesen:
MehrReelle Zahlen, Termumformungen, Gleichungen und Ungleichungen
2. Vorlesung im Brückenkurs Mathematik 2018 Reelle Zahlen, Termumformungen, Gleichungen und Ungleichungen Dr. Markus Herrich Markus Herrich Reelle Zahlen, Gleichungen und Ungleichungen 1 Die Menge der
MehrBrückenkurs Mathematik zum Sommersemester 2015
HOCHSCHULE HANNOVER UNIVERSITY OF APPLIED SCIENCES AND ARTS Dipl.-Math. Xenia Bogomolec Brückenkurs Mathematik zum Sommersemester 2015 Übungsblatt 1 (Grundlagen) Aufgabe 1. Multiplizieren Sie folgende
MehrMathematik. für das Ingenieurstudium. 1 Grundlagen. Jürgen Koch Martin Stämpfle.
1 Grundlagen www.mathematik-fuer-ingenieure.de 2010 und, Esslingen Dieses Werk ist urheberrechtlich geschützt. Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des Nachdruckes und der Vervielfältigung des Werkes,
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 5. Juni 2016 Definition 5.21 Ist a R, a > 0 und a 1, so bezeichnet man die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion x a x als
MehrExponentialfunktion, Logarithmus
Exponentialfunktion, Logarithmus. Die Exponentialfunktion zu einer Basis > 0 Bei Exponentialfunktionen ist die Basis konstant und der Exponent variabel... Die Exponentialfunktion zu einer Basis > 0. Sei
MehrVorlesung. Mathematik 1. Prof. Dr. M Herty (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30
Vorlesung Mathematik 1 Prof. Dr. M Herty (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 1 / 30 Vorlesung Mathematik 1 Prof. Dr. M Herty Diese Vorlesung: Mengen Reelle Zahlen Elementare Funktionen Anwendungsbeispiel:
MehrWiederholung. Diese Fragen sollten Sie ohne Skript beantworten können:
Wiederholung Diese Fragen sollten Sie ohne Skript beantworten können: Was bedeutet ein negativer Eponent? Wie kann man den Grad einer Wurzel noch darstellen? Wie werden Potenzen potenziert? Was bewirkt
MehrÜbungen zum Vorkurs Mathematik
Dr. Tatiana Samrowski Institut für Mathematik Universität Zürich Übungen zum Vorkurs Mathematik Mengenlehre Aufgabe : Stellen Sie die folgenden Menge durch Aufzählen ihrer Elemente dar: A = { N : ist Primzahl
MehrMathematik für Wirtschaftswissenschaftler
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Yves Schneider Universität Luzern Frühjahr 2016 Repetition Kapitel 1 bis 3 2 / 54 Repetition Kapitel 1 bis 3 Ausgewählte Themen Kapitel 1 Ausgewählte Themen Kapitel
MehrMathematikvorkurs. Fachbereich I. Sommersemester Elizaveta Buch
Mathematikvorkurs Fachbereich I Sommersemester 2017 Elizaveta Buch Themenüberblick Montag Grundrechenarten und -regeln Bruchrechnen Binomische Formeln Dienstag Potenzen, Wurzeln und Logarithmus Summen-
MehrLogarithmen und Exponentialgleichungen
Logarithmen und Exponentialgleichungen W. Kippels 27. Oktober 2018 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort 4 2 Definitionen 5 3 Gesetze 6 4 Logarithmen und Taschenrechner 6 5 Exponentialgleichungen 8 6 Übungsaufgaben
MehrSurjektive, injektive und bijektive Funktionen.
Kapitel 1: Aussagen, Mengen, Funktionen Surjektive, injektive und bijektive Funktionen. Definition. Sei f : M N eine Funktion. Dann heißt f surjektiv, falls die Gleichung f(x) = y für jedes y N mindestens
MehrMathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Allgemeiner Maschinenbau Fahrzeugtechnik Dresden 2002
MehrEinführung in die Algebra
1 Einführung in die Algebra 1.1 Wichtige Formeln Formel Symbol Definition Wert Bedingungen n Fakultät n! k = 1 2 3 n n N Binomialkoeffizient Binomische Formeln Binomischer Lehrsatz Potenzen ( ) n k Definition
Mehrein einführender Text zu:
ein einführender Text zu: LOGARITHMEN Umkehrfunktionen Was war auch wieder eine Funktion? Eine Funktion f macht aus einer Zahl x eine neue Zahl f(x). Das Umkehrproblem ist folgendes: Ich gebe dir y, finde
MehrKapitel 6. Funktionen. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 6 Funktionen 1 / 49
Kapitel 6 Funktionen Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 6 Funktionen 1 / 49 Reelle Funktion Reelle Funktionen sind Abbildungen, in denen sowohl die Definitionsmenge als auch die Wertemenge Teilmengen
MehrUnterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Abschluss Realschule Bayern Lösungen
Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Abschluss 2018 - Realschule Bayern Lösungen Das komplette Material finden Sie hier: School-Scout.de Inhaltsverzeichnis Mathematik
MehrI Rechengesetze und Rechenarten
Propädeutikum 2018 17. September 2018 Primfaktoren I Natürliche und ganze Zahlen Primfaktorzerlegung Klammerausdrücke Primfaktorzerlegung Jede natürliche (und auch ganze) Zahl n N kann in ein Produkt von
MehrÜbungen zu Mathematik für ET
Wintersemester 2017/18 Prof. Dr. Henning Kempka Übungen zu Mathematik für ET Übungsblatt 0 zum Thema Elementaraufgaben. Aufgabe 1 Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke so weit wie möglich: a) 100 [(b + 20)
MehrPhysik für Biologen und Zahnmediziner
Physik für Biologen und Zahnmediziner Propädeutikum 3: Funktionen und Ableitungen Dr. Daniel Bick 21. Oktober 2015 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 21. Oktober 2015 1 / 48 Hinweise zur
MehrGrundwissen 10. Überblick: Gradmaß rπ Länge eines Bogens zum Mittelpunktswinkels α: b = α
Grundwissen 0. Berechnungen an Kreis und Kugel a) Bogenmaß Beispiel: Gegeben ist ein Winkel α=50 ; dann gilt: b = b = π 50 0,8766 r r 360 Die (reelle) Zahl ist geeignet, die Größe eines Winkels anzugeben.
Mehr1.2 Rechnen mit Termen II
1.2 Rechnen mit Termen II (Thema aus dem Gebiet Algebra) Inhaltsverzeichnis 1 Potenzen, bei denen der Exponent negativ oder 0 ist 2 2 Potenzregeln 2 3 Terme mit Wurzelausdrücken 4 4 Wurzelgesetze 4 5 Das
MehrExponentialfunktionen, Eulersche Zahl, Logarithmen
Exponentialfunktionen, Eulersche Zahl, Logarithmen Jörn Loviscach Versionsstand: 22. Oktober 2010, 23:29 Die nummerierten Felder sind absichtlich leer, zum Ausfüllen in der Vorlesung. Videos dazu: http://www.youtube.com/joernloviscach
MehrDezimalzahlen. Analysis 1
Dezimalzahlen Definition. Eine endliche Dezimalzahl besteht aus - einem Vorzeichen +,, oder 0 - einer natürlichen Zahl d 0 - einer endlichen Folge von Ziffern d 1,...,d l von 0 bis 9. Die Länge l kann
MehrExponentialgleichungen und Logarithmen
. Exponentialgleichungen und Logarithmen. Logarithmen Ergänzung 3. Logarithmenregeln Seiten 4. Aufgaben Exponentialgleichungen 5. Didaktisches 6. Was sind Logarithmen? 7. Exponentialgleichungen Kurzfassung
MehrMathematik für Biologen
Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine Universität Düsseldorf 13. Oktober 2010 Hinweise Internetseite zur Vorlesung: http://blog.ruediger-braun.net Dort können Sie Materialien
MehrMathematik 1 für Bauingenieurwesen
Mathematik 1 für Bauingenieurwesen Name (bitte ausfüllen): Prüfung am 13.10.2017 Reinhard Winkler Matrikelnummer (bitte ausfüllen): Wichtige Hinweise bevor Sie beginnen: Die Prüfung besteht aus vier Aufgaben
Mehr2.5 Komplexe Wurzeln. Mathematik für Naturwissenschaftler I 2.5
Mathematik für Naturwissenschaftler I 2.5 Die Periodizität von e z ist der Grund, warum im Komplexen Logarithmen etwas schwieriger zu behandeln sind als im Reellen: Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrung
MehrVorkurs: Mathematik für Informatiker
Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 2 Wintersemester 2017/18 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil
Mehr2.4 Exponential - und Logarithmus - Funktionen
25.05.20 2.4 Eponential - und Logarithmus - Funktionen Mit Hilfe der Potenz a t definiert man eine weitere Funktionsart, indem man statt der Basis den Eponenten durch die Variable ersetzt: Für a ε R >
Mehr2.3 Exponential- und Logarithmusfunktionen
27 2.3 Exponential- und Logarithmusfunktionen Die natürliche Exponentialfunktion f(x) = e x ist definiert durch die Potenzreihe e x = + x! + x2 2! + x3 3! + = für alle x in R. Insbesondere ist die Eulersche
Mehr1 Lineare Funktionen. 1 Antiproportionale Funktionen
Funktion Eine Funktion ist eine Zuordnung, bei der zu jeder Größe eines ersten Bereichs (Ein gabegröße) genau eine Größe eines zweiten Bereichs (Ausgabegröße) gehört. Eine Funktion wird durch eine Funktionsvorschrift
MehrWirtschaftsmathematik: Mathematische Grundlagen
Wirtschaftsmathematik: Mathematische Grundlagen 1. Zahlen 2. Potenzen und Wurzeln 3. Rechenregeln und Vereinfachungen 4. Ungleichungen 5. Intervalle 6. Beträge 7. Lösen von Gleichungen 8. Logarithmen 9.
MehrBM Stoffplan Mathematik BMS 1 (3-jährig) Lehrmittel Mathematik I Algebra (hep Verlag) Skript Jakob/Göldi/Saier
1/6 L.8. Organisatorisches 0 6 Wo Arithmetik I 1.1.1-1.1.2 : Zahlenmengen, Zahlenstrahl S.1 Ü 1, 2 S. 0 23.8. MA I-1 1.1.3 Terme S. 7 Ü 3, S. 0 Addition, Subtraktion 1.2 Addition und Subtraktion S. Ü 5.
MehrVorkurs: Mathematik für Informatiker
Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 2 Wintersemester 2018/19 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2018 Steven Köhler Wintersemester 2018/19 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil
MehrA5 Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion
A5 Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion A5 Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion Wachstums- und Zerfallsprozesse. Beispiel: Bakterien können sich sehr schnell vermehren. Eine bestimmte Bakterienart
MehrMathematik zum Studieneinstieg
Gabriele Adams Hermann-Josef Kruse Diethelm Sippel Udo Pfeiffer Mathematik zum Studieneinstieg Grundwissen der Analysis für Wirtschaftswissenschaftler, Ingenieure, Naturwissenschaftler und Informatiker
MehrMusteraufgaben zu den Mathematikmodulen Ein Selbsttest
Musteraufgaben zu den Mathematikmodulen Ein Selbsttest I. Grundlagen der Mathematik I Terme und Gleichungen, elementare Funktionen (bis zu 5 h) Grundsätzliches zum Vereinfachen von Termen und Lösen von
MehrDemo-Text für LN-Funktionen ANALYSIS INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. FRIEDRICH W. BUCKEL.
ANALYSIS LN-Funktionen Grundlagen Eigenschaften Wissen - Kompakt Datei Nr. 60 Neu geschrieben Stand: 0. Juni 0 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Demo-Tet für 60 Übersicht: Ln-Funktionen
MehrMathematik Tutorium. x 2
Mathematik Tutorium Fakultät Grundlagen Termin Algebra Aufgabe : Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke: a) 5 ) : ) 5 b) n+ n c) an+ a n a n+ + a n d) ) ) : ) ) e) 5 f) 5 z + z 5 Aufgabe : Berechnen
MehrPhysik für Biologen und Zahnmediziner
Physik für Biologen und Zahnmediziner Propädeutikum : Noch mehr Funktionen Dr. Daniel Bick 18. Oktober 013 Daniel Bick Physik für Biologen und Zahnmediziner 18. Oktober 013 1 / 74 Inhalt 1 Wiederholung
MehrEinstiegsvoraussetzungen für das 3. Semester Angewandte Mathematik AM
Einstiegsvoraussetzungen für das 3. Semester Angewandte Mathematik AM 1. Siehe: Einstiegsvoraussetzungen für das 1. Semester 2. Bereich: Zahlen und Maße 2.1. Fehlerrechnung (Begriffe absoluter und relativer
MehrDamit hat man die Potenzfunktion mit rationalem Exponenten definiert:
Mathematik 1, Übungen Nr. 9 Joachim Schneider 11. Dezember 2006 Funktionen Teil 2 Die Potenzfunktion mit rationalem Exponenten Sei x R. Dann definieren wir für natürliches n x n := x} x {{ x} n Faktoren
Mehrα π r² Achtung: Das Grundwissen steht im Lehrplan! 1. Kreis und Kugel
Achtung: Das Grundwissen steht im Lehrplan! Tipps zum Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 10 Folgende Begriffe und Aufgaben solltest Du nach der 10. Klasse kennen und können: (Falls Du Lücken entdeckst,
MehrVorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (A)
1 Vorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (A) Wintersemester 2016/17 Kapitel 1: Zahlen Prof. Dr. Gerald Warnecke Nach Folienvorlage von Prof. Dr. Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg http://fma2.math.uni-magdeburg.de:8001
MehrInhaltsverzeichnis. 1. Anwendungen der Analysis... 1
Inhaltsverzeichnis 1. Anwendungen der Analysis................ 1 1.1 Folgen und Reihen................................. 2 1.2 Funktionen... 9 1.3 Grenzwerte von Funktionen und Stetigkeit............ 18
MehrExponential- und Logarithmusfunktion. Biostatistik, WS 2010/2011. Inhalt. Matthias Birkner Mehr zur Eulerschen Zahl und natürliche
Biostatistik, WS 2010/2011 Exponential- und Logarithmusfunktion Matthias Birkner http://www.mathematik.uni-mainz.de/~birkner/biostatistik1011/ 5.11.2010 Inhalt 1 Exponential- und Logarithmusfunktion Potenzen
MehrMathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium
Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden Fakultät Informatik / Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Kartographie/Geoinformatik Vermessung/Geoinformatik Dresden
Mehr