Mathematik Tutorium. x 2

Transkript

1 Mathematik Tutorium Fakultät Grundlagen Termin Algebra Aufgabe : Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke: a) 5 ) : ) 5 b) n+ n c) an+ a n a n+ + a n d) ) ) : ) ) e) 5 f) 5 z + z 5 Aufgabe : Berechnen Sie die Lösungen der folgenden quadratischen Gleichungen und zerlegen Sie die Ausdrücke in Linearfaktoren. a) + = 0 b) + = 0 c) = 0 d) + t + = 0, t IR Aufgabe : Bestimmen Sie die Lösungen folgender Gleichungen: a) + + = b) + 7a = + a, a IR c) + + = d) + + = 8 6 Aufgabe : Berechnen Sie folgende Logarithmen: a) log 6 b) log 5 5 c) log 7 d) log e) ln e Aufgabe 5: Zerlegen Sie in möglichst viele Summanden: a) ln a b c 5 d b) lna ) c) ln a b d) ln + ) e) ln a b Bestimmen Sie auch den Gültigkeitsbereich für diese Umformungen! Aufgabe 6: Fassen Sie zu einem Term zusammen: a) ln ln + ln 6 b) ln u ln v c) ln a + ln a ln a d) ln a n n lna + ) e) ln ) ln + ) f) n ln m m ln n

2 Aufgabe 7: Lösen Sie die folgenden Gleichungen: a) + = b) e = e + c) ln + ) = ln ) d) + = e) e = e + f) ln + e) = e Ungleichungen und Beträge Aufgabe 8: Lösen Sie die Ungleichungen: a) > 0 5 b) < 0 c) Aufgabe 9: Lösen Sie die Ungleichungen: a) < b) + > Aufgabe 0: Bestimmen Sie die Lösungsmengen der nachfolgenden Betragsgleichungen: a) 5 = b) = + 5 c) > Aufgabe : Bestimmen Sie die Lösungsmengen der nachfolgenden Betragsgleichungen und Ungleichungen: a) + = b) < c) 6 Aufgabe : Für welche IR sind die folgenden Funktionen definiert? ) a) f ) = b) f ) = ln + Aufgabe : Skizzieren Sie die Schaubilder der nachfolgenden Funktionen: a) f ) = b) f ) = c) f ) = + d) f ) = Aufgabe : Skizzieren Sie das Schaubild der Funktion: f) = + + )

3 Termin Trigonometrie Aufgabe 5: Bestimmen Sie die Winkel im Bereich von 0 o bis 60 o : a) sin α = 0. b) sin β = 0. c) cos γ = 0.5 d) cos δ = 0. e) tan ε =. f) tan ζ = 0. g) cot η = 0.8 h) cot θ = 0. Aufgabe 6: Bestimmen Sie sämtliche Lösungen folgender Gleichungen im Bogenmaß): a) sin = 0.5 b) tan = c) cos = d) cos = Aufgabe 7: Lösen Sie nach auf: a) sin 5 = b) tan d) sin + cos = 0 e) sin π ) ) = c) sin + π ) 6 = sin + π ) = Aufgabe 8: Lösen Sie die folgenden trigonometrischen Gleichungen im Bogenmaß) : a) sin = cos b) sin + tan = 0 c) cos sin = d) sin cos + = 0 e) sin 5 cos = 7 Aufgabe 9: Vereinfachen Sie die Ausdrücke: a) cos b) sin + sin π ) cos + cos + π ) sin c) cos sin sin d) + cos cos

4 Termin Lineare Gleichungsssteme Aufgabe 0: Bestimmen Sie die Lösung der folgenden linearen Gleichungsssteme: a) + = + = + = 0 b) + + = = = 8 c) = 6 + = + = d) = 9 + = 5 = 5 Aufgabe : Bestimme die Lösungen der folgenden linearen Gleichungsssteme: a) + + = + = + = + + = b) = = + = = Aufgabe : Für welche Werte des Parameters t besitzt das folgende lineare Gleichungssstem nichttriviale Lösungen? Bestimmen Sie gegebenenfalls diese Lösungen. + = t 5 = t Aufgabe : Gegeben ist das folgende LGS mit den reellen Parametern p, q, r. + = p + 8 = q + 8 = r a) Welche Bedingungen müssen p, q, r erfüllen, damit das LGS lösbar wird? b) Welcher Wert ergibt sich in diesem Fall für r, falls man p = und q = 0 setzt? c) Berechnen Sie die allgemeine Lösung für den in Aufgabenteil b) beschriebenen Fall. Aufgabe : Ein Lösungsvektor des nachfolgenden linearen Gleichungssstems lautet +? + = =?, =. + +? = Bestimmen Sie die unleserlichen Koeffizienten.

5 Vektorrechnung Aufgabe 5: Vektorrechnung: a) Gegeben sind die zwei Vektoren a, b durch b) Es sei a = a =, b =, a, b) = 60 o Berechnen Sie a b., b = k k IR, c = Wie muss k gewählt werden, damit der Vektor u = a + b senkrecht auf c steht? c) Gegeben sind die Punkte Ap 0 ), B ), C0 0) und D0 q). c ) Welcher Zusammenhang muss zwischen p und q gelten, damit die vier Punkte in einer Ebene liegen? c ) Für welche Werte von p und q verläuft der Vektor d = 0 zusätzlich parallel bzw. senkrecht zur Ebene?. Aufgabe 6: Zerlegen Sie den Vektor a in Komponenten parallel und normal zu b: a) a =, 5 7 b = b) a =, b = P P P /0/), P // ) Aufgabe 7: C Gegeben ist ein Tetraeder mit den Eckpunkten A 0 0), B0 0), C0 0 ) und dem Koordinatenursprung O0 0 0). a) Bestimmen Sie die Koordinaten der Schwerpunkte der vier Tetraederflächen. b) Die in a) bestimmten Schwerpunkte seien die Eckpunkte eines zweiten Tetraeders. Bestimmen Sie das Volumen. S S S O A S B 5

6 Termin Funktionen Aufgabe 8: Skizzieren Sie folgende Funktionen: a) f) = b) f) = sin + sin c) f) = e + d) f) = e e) f) = e f) f) = ln ) Aufgabe 9: Bestimmen Sie die Parameter A, a > 0 so, dass die Kurve = A a durch die Punkte ), ) geht. Aufgabe 0: Bestimmen Sie bei den folgenden harmonischen Funktionen Amplitude, Periode und Phasenverschiebung. Skizze! a) f) = sinπ ) b) f) = sin c) f) = cos d) f) = cos π ) e) f) = sin π π ) f) f) = + sin π ) Aufgabe : Untersuchen Sie die folgende Funktionen auf Smmetrien: a) f) = + b) f) = + c) f) = sin [ + ) )] d) f) = ln [ + ) ] e) f) = e f) f) = tan π ) Aufgabe : Bestimmen Sie ein Polnom der Ordnung p ) = a + a + a 0 durch die Punkte ), 0 ), ). Aufgabe : Ermitteln Sie die Nullstellen, Unstetigkeitsstellen und Asmptoten folgender Funktionen und skizzieren Sie diese. a) f) = b) f) = + = + c) f) = + Aufgabe : Ermitteln Sie die Nullstellen, Unstetigkeitsstellen und Asmptoten folgender Funktionen und skizzieren Sie diese. a) f) = 6 b) f) = + + ) c) f) = 0 + 6

7 Aufgabe 5: Gegeben sind die Schaubilder der folgende Funktionen: b) a) f a ) f b ) c) f c ) d) f d ) Ordnen Sie die Bilder jeweils einer der folgenden Funktionsgleichungen zu Begründung!). f ) = + f ) = ln + ) f ) = e f ) = tan 7